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• Luz Urquiza Sanchez

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ANALIZAMOS Y APLICAMOS LAS FUNCIONES Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN SITUACIONES DIVERSAS.

MATEMÁTICA NS Cuarto grado de Secundaria

Módulo N° 19

Estudiante: ________________________________ Situación de aprendizaje

MIDIENDO SITUACIONES COMPLICADAS Un barco está navegando hacia el Oeste cuando el capitán ve un faro a una distancia de 20 km, sobre un rumbo de 230°. a) b) c) d)

Dibuje un diagrama para mostrar la situación. ¿Qué distancia debe navegar el barco antes de que el faro esté a 16 km? ¿Qué distancia debe navegar el barco más allá del punto hallado en b, antes de que el faro esté nuevamente a una distancia de 16 km del barco? ¿•Sobre qué rumbo está situado el faro respecto del barco la segunda vez que los separa una distancia de 16 km?

INTRODUCCIÓN TRIGONOMETRÍA Y SUS MÚLTIPLES APLICACIONES ¿Cómo planificaron los egipcios la construcción de las pirámides sin la ayuda de la trigonometría? La respuesta es que deben haber tenido algún conocimiento de las propiedades de triángulos semejantes, lo que lleva al desarrollo de relaciones trigonométricas en triángulos rectangulares. Los antiguos griegos calcularon el diámetro de la Tierra midiendo la distancia del horizonte, y Tales determinó la altura de la pirámide de Keops al comparar la longitud de su sombra con la de la sombra de una vara de longitud conocida. MATEMÁTICAS/ NS 4°

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Se dice que la cartografía y la navegación a principios del siglo XV florecieron debido a la trigonometría y los métodos de triangulación. Uno podría argumentar que ya no necesitamos estos métodos anticuados para la creación de mapas y la navegación porque en el siglo XXI, un clic de un botón lo hace todo por nosotros. Podemos tomar una fotografía con nuestra cámara y cuando la vemos no solo obtenemos su imagen, sino también sus coordenadas geográficas y su posición en un mapa. También se puede argumentar que el hecho de tener mapas de papel en los automóviles ya no es necesario debido al aumento en el uso de los receptores de GPS (Sistema de Posicionamiento Global). El GPS consta de 27 satélites que orbitan alrededor de la Tierra para que en cualquier punto de la superficie de la Tierra se puedan ver al menos cuatro de ellos, y si uno está equipado con un receptor GPS, la ubicación del vehículo puede calcularse instantáneamente. Entonces, ¿la trigonometría es obsoleta? En absoluto, ya que un satélite GPS debe colocarse con precisión en su órbita utilizando cálculos trigonométricos. En este capítulo abordarás la trigonometría desde dos perspectivas diferentes. El primero considera razones de ángulos donde las razones trigonométricas serán definidas en términos de las relaciones de los lados de los triángulos rectangulares. El segundo considera funciones de números reales donde las funciones trigonométricas serán definidas en términos de números reales. EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS En cualquier triángulo rectángulo:  La hipotenusa (a menudo se abrevia h o H) es el lado más largo y se opone al ángulo recto.  El lado que se opone al ángulo rotulado • se llama lado opuesto (a menudo se abrevia o u O).  El lado cercano al ángulo, se llama lado adyacente (a menudo se abrevia a o A).

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Puede usar las propiedades de triángulos similares para mostrar que las relaciones trigonométricas anteriores son válidas para un triángulo rectángulo de cualquier tamaño. Considere el triángulo ABC con un ángulo recto en B y el vértice A colocado en el origen como se muestra a continuación. Los triángulos ABC y AQP son similares, ya que tienen ángulos C iguales, cada uno tiene un ángulo recto y un ángulo. Por lo tanto, por definición obtenemos, del gráfico::

PQ  AP AQ  AP PQ  AQ

BC  Sen  AC AB  Cos  AC BC  tan  AB

Con estas definiciones, junto con una calculadora, ahora está listo para resolver triángulos rectángulos de la siguiente manera:  Dado cualquier ángulo (que no sea el ángulo recto) y la longitud de un lado, puede encontrar el tercer ángulo y las longitudes de los otros dos lados.  Dados cualquiera de los dos lados del triángulo, puedes encontrar la longitud del tercer lado y los tamaños de los dos ángulos desconocidos. Si desea encontrar el ángulo “” cuya relación trigonométrica sabemos, p. ej. sen   usamos la notación

5 7

5  

  arcsen   , en la calculadora se denota por sin1 . 7

Por lo tanto:   sin 1  p   arcsen  p   1 . q  q  sen 

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Ejemplo 1: Para cada triángulo, encuentra los ángulos y lados desconocidos.

Ejemplo 2: La foto muestra el río Rin y el edificio conocido como Langer Eugen en Bonn, que alberga las Naciones Unidas. El edificio tiene 114 m de altura. Se miden los ángulos y desde la parte superior de la torre hasta los bordes del río. Dado que  = 75 y  = 19, calcule el ancho del río, DC, dando su respuesta al metro más cercano.

La matemática griega, Hiparco, en el siglo II AC, era la más moderna para usar la trigonometría. Él produjo tablas de acordes para ayudar en el descubrimiento de las alturas y distancias o objetos inaccesibles. Ptolomeo citó y utilizó este concepto unos 300 años después, Aryabhatta, pero fue quien primero definió las relaciones trigonométricas en términos de triángulos rectangulares. El libro de Aryabhatta, escrito alrededor de 499 DC en la India, contiene reglas matemáticas o aritmética, álgebra y trigonometría. Él habla o el "jya" significa medio acorde. Esto se tradujo más tarde en latín como "seno", que significa cala o bahía. Esto se convirtió en la relación de seno que usas hoy. MATEMÁTICAS/ NS 4°

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Ejemplo 3: El sólido presentado a continuación está formado por un cono y un hemisferio. a. Encuentra la altura del sólido. b. Mostrar que el área superficial de la base semiesférica es igual a la superficie curvada del cono.

EJERCITACIÓN 01 1. Para cada triángulo, resuelve los ángulos y lados desconocidos:

2. La siguiente imagen ilustra cómo se usó la triangulación para medir el ancho de un río. El diagrama es una representación simplificada.

La distancia AB = 30 m y el ángulo  = 52.3. Encuentra el ancho del río.

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3.

El cono en el siguiente diagrama está hecho del sector que se muestra a la derecha.

Dado que  = 1.23 radianes, Hallar 4.

.

La leche se transporta en contenedores cilíndricos de acero inoxidable montados en camiones. El siguiente diagrama muestra la sección transversal de un cilindro que contiene leche. El radio del cilindro es de 1,5 m y la altura de la leche dentro del cilindro es de 1,8 m.

Dado que el cilindro tiene una longitud de 3 m, calcule la cantidad de leche, en metros cúbicos, que se transporta. EL CÍRCULO UNITARIO Y LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Considere la unidad que se muestra a continuación con el centro en el círculo de origen (0, 0) y el punto P en la circunferencia. La longitud de OP es 1 y las coordenadas del punto P son (x, y).

Un círculo unitario es un círculo con un radio de una unidad y el centro en el (0,0)

Aplicando la definición de las tres relaciones trigonométricas dadas en la sección anterior:

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De esto podemos decir que en el círculo unitario se cumple que: x = cos , y = sen. Entonces un punto cualquiera P(x, y) = (cos, sen). En las diferentes posiciones valores del ángulo en sentido antihorario, cuando el ángulo esté en grados sexagesimales o en radianes, será del siguiente modo:

Si el ángulo  se abre en sentido horario (desde el eje x positivo), entonces  es negativo.

Si conocemos los valores del seno y el coseno de un ángulo, podemos asignarles valores numéricos a las coordenadas del punto donde el ángulo corta al círculo de radio unidad.

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RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS QUE NO SON AGUDOS En la sección anterior, las relaciones trigonométricas se definieron para el círculo unitario y con los casos vistos, podemos generalizar y encontrar algunas relaciones importantes. Se puede entonces, ampliar la definición de las funciones trigonométricas a ángulos mayores de 90° observando las coordenadas del punto P fuera del primer cuadrante. Cuando P está en el segundo cuadrante, es obtuso, la coordenada x es negativa y la coordenada y es positiva, por lo que todas las relaciones, excepto para seno, son negativas en este cuadrante. Considere los signos de las coordenadas de P en cada cuadrante, y asigne signos a las tres relaciones. Esto se resume en el siguiente diagrama.

Del diagrama anterior, también podemos obtener las siguientes identidades para 0   

 2

Estos resultados sugieren que el seno, el coseno y la tangente son periódicos. La periodicidad de las funciones trigonométricas se discute en detalle más adelante. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Las relaciones trigonométricas recíprocas se definen como:

Es muy importante recordar que

Por ejemplo:

csc  

1 1   sen   sen 

sen  0,3246  csc  

1 1   sen    3, 081 sen 

También debe tener en cuenta que por definición: 

1  sen  1  csc   1, y



1  cos   1  sec   1

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Ejemplo 4: Escribe cada uno de estos ángulos en términos de ángulos agudos. a) Sen 156° b) Tan 140° c) Cos 320° d) cos  5     8  Ejemplo 5: Dado que Sen  

3  y 0    , hallar el valor exacto del cos y tan. 5 2

Ejemplo 6: Halle el valor máximo de 1  3sen y evalúe el valor positivo más pequeño de “” para el cual ocurre esto. Ejemplo 7:

EJERCITACIÓN 02 01. Escribe cada uno de estos ángulos en términos de ángulos agudos.

02. Dado que 03. Dado que

3  y     , hallar el valor exacto del cos y tan. 13 2 5 Sec    y     2 , hallar el valor exacto del cos, tan y sen. 4 Sen  

04. Para cada expresión trigonométrica a continuación, escriba: i) el valor máximo ii) el valor mínimo. Indique el valor positivo más pequeño para el que se producen estos valores.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Identidades pitagóricas

sen2  cos2   1

1  tan 2   sec2 

Identidades por cociente

tan  

sen cos 

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cot  

1  cot 2   csc2 

cos sen Página | 9

Co-razones idénticas

sen  cos(90   )

cos   sen(90   ) ÁNGULOS Y LA MEDIDA RADIAN Para un círculo de radio “r”, el ángulo en el centro, que subtiende una parte de la circunferencia de longitud “r”, es igual a un radián. Como la circunferencia del círculo es 2 r, el ángulo total en el centro es 2 radianes, que también es 360 ° (un círculo completo). Entonces:  

2 radianes  360 o  radianes  180 180  1 radian  y 1  radianes  180

Puede usar esta información para convertir entre grados y radianes. Considere el círculo unitario y la recta numérica real como se muestra en el diagrama. El punto B en el círculo coincide con cero en el número r línea. Imagine que envuelve la línea numérica alrededor del círculo, con el punto B en el círculo restante. A medida que la línea numérica se envuelve alrededor del círculo, cada número real en la línea numérica se asigna a un punto (x, y) en el círculo. El punto P en la línea de números coincide con P 'en el círculo, el punto Q en la línea de números coincide con Q', y los puntos pi y -pi ambos coinciden con el punto A. Observe que dado que la línea numérica es infinito, podría continuar envolviéndolo alrededor del círculo y si lo hiciera, los puntos 2 y -2 volverían a coincidir con el punto B en el círculo. De hecho, todos los puntos 2n, n, en la recta numérica coincidirán con el punto B en el círculo. Cualquier número real, x, en la línea numérica coincidirá con un punto único en el círculo unitario. Sin embargo, este punto en el círculo unitario coincide con todos los números x 2n, n, en la línea numérica. De manera similar, todos los ángulos   360n, n, medidos en grados, son equivalentes al mismo punto en un círculo. Realmente no importa si usa grados o radianes al medir ángulos. Sin embargo, cuando use radianes, encontrará que B muchas fórmulas se vuelven simples. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS ESPECIALES Volviendo a las definiciones de las tres relaciones trigonométricas y al diagrama, puede evaluar las relaciones para 0 y

. 2

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Ya que:

  2n ,es equivalente a   0 y        2n  , es equivalente a   2



2

En el círculo unitario, se puede decir que:

De manera similar:

    2n ,es equivalente a    y 3  3      2n  , es equivalente a    2



2

En el círculo unitario, se puede decir que:

Resumen de valores de razones trigonométricas comunes:

Ejemplo 7: Dado que Sen  

Ejemplo 8: Dado que

tan  

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1  cuando       , hallar los valores del cos y tan. 3 2

4 3

, hallar los posibles valores del sen y cos.

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Ejemplo 9: Mostrar que:

EJERCITACIÓN 03 Soluciona los siguientes ejercicios SIN ayuda de la calculadora de pantalla gráfica.

IDENTIDADES DE ÁNGULO COMPUESTO En esta sección encontrará las siguientes identidades útiles, conocidas como las identidades del ángulo compuesto, que expresan las relaciones trigonométricas de la suma o la diferencia de dos ángulos, A y B, en términos de las relaciones de los ángulos por separados. Considere este diagrama que muestra dos ángulos rectos en los triángulos PQS y RQS.

PQS  A

y

RQS  B ,

Se ha trazado una perpendicular, RM, de R a PQ, y una línea paralela a PQ se dibuja desde S para encontrarse con RM en L. Desde el diagrama, puede ver que En el triángulo RMQ,

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ˆ  A  SRL ˆ . QSL

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sen( A  B)  senA.cos B  cos A.senB .

Por lo tanto:

Esta es la identidad para el seno de la suma de dos ángulos. INVESTIGACIÓN 1. Pruebe la identidad: 2.

Use el diagrama

anterior u otra forma analítica. Use las identidades anteriores para deducir las identidades: a. cos( A  B)  cos A.cos B  senA.senB b.

3.

sen( A  B)  senA.cos B  cos A.senB .

cos( A  B)  cos A.cos B  senA.senB

¿Puedes hacer lo mismo usando el diagrama?

Ahora puede usar la identidad tangente,

tan  

sen cos 

, para derivar las identidades de ángulo compuesto

para tangente:

Por lo tanto:

tan( A  B) 

tan A  tan B . 1  tan A.tan B

Esta es la identidad para la tangente de la suma de dos

ángulos. En resumen:

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3 1   . cos     12  2 2 2 2 Ejemplo 11: Muestre que cos( A  B).cos( A  B)  cos A  sen B .

Ejemplo 10: Muestre que

Ejemplo 12: Sabiendo que valor exacto de

sen 

cos(   ) .

3 12 y sen  , donde 5 13

son ángulos  y  agudos. Hallar el

EJERCITACIÓN 04 Resuelve cada una de las siguientes situaciones sin usar la calculadora de pantalla gráfica.

IDENTIDADES DE ÁNGULO DOBLE Siendo A = B = , entonces podemos usar las identidades de ángulos compuestos para obtener las fórmulas de sen2 ,cos 2 y tan 2 , que son las identidades de ángulo doble. IDENTIDADES DE ÁNGULO DOBLE

cos(2 )  cos 2   sen 2

sen(2 )  2sen .cos 

senA 

Ejemplo 13: Dado que

sen(2 A) y cos(4 A) Ejemplo 14: Muestre que

2 , 5

tan(2 ) 

2 tan  1  tan 2 

use las identidades de ángulo doble para evaluar

.

sen3 A  3senA  4sen3 A .

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Ejemplo 15: Exprese

4  2cos 2 A , en términos de cos 2A .

EJERCITACIÓN 05 Resuelve cada una de las siguientes situaciones sin usar la calculadora de pantalla gráfica.

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GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Consideremos nuevamente las razones trigonométricas en el círculo unitario. El diagrama presentado a la derecha, nos muestra el ángulo “”, movido por el radio OP. P tiene coordenadas (x,y) y

sen 

y y OP

Nos damos cuenta de que, al medir ángulos en radianes, sus tamaños corresponden a números reales que se pueden representar en una recta numérica envuelta alrededor del círculo unitario. Ahora considere el sen para varios ángulos en el círculo. Como el

sen representado por la coordenada “y”, imagina una cantidad de líneas verticales desde puntos en la circunferencia del círculo hasta el eje x. Abra la recta numérica envuelta que lleva estas líneas verticales para obtener:

Considera ahora

x  x , y, de la misma manera, considere cos  para varios ángulos en el OP que cos  está representado por la coordenada x, imagine la cantidad de líneas

cos  

círculo unitario. Dado horizontales desde los puntos en la circunferencia del círculo al eje y. Abra la línea de números envueltos que y se lleva estas líneas horizontales al eje y para obtener

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Considere los puntos finales de estas líneas, estos son los valores para

sen y cos  para los valores cos  . Dado que R, el dominio

correspondientes de “”, es decir, las funciones f() = sen y g() = de ambas funciones será todos valores reales de . Además, si ajusta toda la línea de números alrededor del círculo unitario y repite el proceso, los gráficos de f() = sen y g() = cos  , se repetirán por cada giro completo. En otras palabras, las funciones seno y coseno son funciones periódicas cuyo período en 2. Finalmente, el rango de estas funciones es 1  f ( )  1 . Otra forma de entender la formación de la función seno y coseno es relacionando en una tabla los valores de la variables “x” (ángulo) y el valor de la razón trigonométrica respecto al valor de cada ángulo tomado, es decir en resumen:

Si consideramos la función

y  f ( x)  sen x , podemos situar estos valores como coordenadas en el

gráfico.

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Podemos observar que el gráfico de la función

f ( x)  sen x

genera los mismos valores del seno

que hallamos utilizando el círculo de radio unidad. De manera similar, si consideramos conocemos en el gráfico de la función

Ahora hagamos los mismo para la

f ( x)  cos x , podemos y  f ( x)  cos x .

f ( )  tan  , ya que tan  

situar los valores del coseno que

y , x  0 , nos damos cuenta de x

que en esta razón “x” no puede ser cero ya que no está definido la tangente, es decir que el ángulo no debe ser:



 3 5 7 2

,

2

,

2

,

2

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,... , de manera general:   (2n  1)



2

, n . Página | 18

Esto quiere decir que esos valores en el eje “x”, serán las asíntotas verticales. Entonces el dominio de

f ( )  tan  ,

R( f ) 

será

   ,   (2n  1) , n  2

, y su rango serán todos los reales

.

Trazando en el círculo unitario una tangente en x=1, a cada valor del ángulo y proyectando el radio en cada valor del ángulo, corta a esta tangente en un punto y tomando esta medida corresponde a la tangente de dicho ángulo. Colocando todos estos valores de la medida de la tangente respecto a su ángulo y llevado al plano cartesiano se tendría la gráfica de función tangente.

Nótese, que en la función tangente el período es Se puede resumir estos resultados en:

Ejemplo 16: Use la gráfica de la función

.

f ( x)  cos x , para deducir el gráfico y las propiedades de

g ( x)  sec . Ejemplo 17: Use la gráfica de la función

f ( x)  sen x , para dibujar gráfico y las propiedades de

g ( x)  3se n(4 x) . MATEMÁTICAS/ NS 4°

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EJERCITACIÓN 06 Resuelve cada una de las siguientes situaciones sin usar la calculadora de pantalla gráfica.

PASOS PARA AJUSTAR DATOS A UNA FUNCIÓN SINOSOIDAL Para la función seno a)

valor máximo  valor mínimo 2

Hallamos el valor de “b”

b d)

valor máximo  valor mínimo 2

Calcular el desplazamiento vertical

d c)

,

Calculo de la amplitud:

a b)

f ( x)  a s en b( x  c)   d

2 período

Calcule el desplazamiento horizontal eligiendo las coordenadas dadas de un punto de dato.

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Ejemplo 18: Encuentre la amplitud, el período, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical de la función f ( x)  2sen(4 x   )  5 , luego bosqueje la gráfica.

Ejemplo 19: El número de horas de sol en Wellington, la ciudad más austral de Nueva Zelanda, en el día más corto es de 9.18 horas y en el día más largo es de 15.13 horas. Dado que las horas de luz solar durante un año siguen una función de la forma

f ( x)  a s en b( x  c)   d , encuentre los valores de a, b, c y d. Use

la gráfica de esta función para calcular el número de horas de sol el 21 de marzo de 2012. (Suponga que este es el día 60 del año y que hay 365 días en un año).

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EJERCITACIÓN 07

BIBLIOGRAFÍA   

Buchanan, Laurie, et al. (2012). Mathemátics. Standar Level. Reino Unido: Oxford University Press Haese, Robert, et al. (2012). Mathematics for international student. Mathematics HL. 3a ed. Australia: Hease Mathematics. Haese, Robert, et al. (2012). Mathematics for international student. Mathematics SL. 3a ed. Australia: Hease Mathematics.

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Harcet, Josip, et al. (2012). Mathematics. Higher Level. Reino Unido: Oxford University Press Fannon, Paul et al. (2016). Mathematics Higher Level for the IB Diploma. 5° edición. Cambridge University Press.

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