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TOMA DE DECISIONES CON LA INVESTIGACION OPERATIVA

Objetivos ● Conocer y clasificar los modelos que con frecuencia se utilizan en las industrias y empresas en general en la toma de decisiones en el campo de la producción y las operaciones. ● Conocer y aplicar las técnicas para la toma de decisiones bajo certeza, bajo riesgo y baja incertidumbre. Definición de investigación de Operaciones Teniendo en cuenta sus orígenes la investigación de Operaciones la podemos definir como un enfoque científico de la toma de decisión. En este orden de ideas, la toma de decisión es dada a través de la aplicación del método científico, de ahí la definición antes dada. La investigación de operaciones comienza describiendo algún sistema mediante un modelo que luego se manipula y a través de este determinar la mejor forma de operación de dicho sistema. Es esta, tal vez la mejor forma de tomar una decisión, no obstante, nos compromete a seguir un proceso de toma de decisiones racional. Proceso racional de toma de decisiones. ¿Cómo debemos actuar al tomar una decisión? ¿Qué debemos hacer para tomar la mejor decisión? La investigación de operaciones no hace distinción a los nombres proceso de toma de decisiones y solución de problemas por tanto cualquier término se utilizará indistintamente. Esto comprenderá a la secuencia completa de pasos desde la identificación de un problema hasta su solución. El término toma de decisiones se referirá a la selección de una alternativa entre un conjunto de estas. Significa escoger; como tal, la toma de decisiones vendría a ser un paso dentro de este proceso. A continuación, se enumeran los pasos del método científico para resolver problemas: • Definir el problema. Este primer paso es crítico porque establece las fronteras para todo lo que sigue. Debe definirse en magnitud, tiempo y grado de importancia. Donde comienza y donde termina, que tan grande o pequeño es, cuando ocurrió y hasta donde puede durar, es relevante o no. Para definir bien un problema se necesita conocerlo.

• Recolección de datos. Deberá reunirse información pasada, hechos pertinentes, así como soluciones previas a problemas semejantes. Definir alternativas de solución. El método científico se basa en la suposición que las soluciones existen. En este paso se buscan las soluciones posibles y se enumeran. • Evaluar las alternativas de solución. Una vez enumeradas todas las alternativas de solución, deberán evaluarse. Esto puede lograrse comparando una por una con un conjunto de criterios de solución u objetivos que se deben cumplir. • Seleccionar la mejor alternativa. Aquí se toma la decisión de cuál de las alternativas cumple mejor con los criterios de solución. • Puesta en marcha. La toma de decisiones en administración debe llevar a actuar. La alternativa seleccionada deberá ponerse en práctica.

 TIPOS DE MODELOS

 MODELO ANALÓGICO Puede representar situaciones dinámicas o cíclicas, son más usuales y pueden representar las características y propiedades del acontecimiento que se estudia. Ejemplo: •Curvas de demanda. •Curvas de distribución de frecuencia en las estadísticas y diagramas de flujo.

 MODELO SIMBOLICO O MATEMATICO Son representaciones de la realidad en forma de cifras, símbolos matemáticos y funciones, para representar variables de decisión y relaciones que nos permiten describir y analizar el comportamiento del sistema. Tipos de Modelos Matemáticos 1. Cuantitativos y cualitativos 2.Estándares y hechos a la medida 3.Probabilísticas y determinísticos 4.Descriptivos y de optimización 5.Estáticos y dinámicos 6.De simulación y no simulación



1.2 CONCEPTO DE SISTEMA

Un sistema es un conjunto de partes o elementos organizados y relacionados que interactúan entre sí para lograr un objetivo. Los sistemas reciben datos, energía o materia del ambiente (entrada) y proveen información, energía o materia (salida).

Un sistema es un conjunto de funciones que operan en armonía o con un mismo propósito, y que puede ser ideal o real. Por su propia naturaleza, un sistema posee reglas o normas que regulan su funcionamiento y, como tal, puede ser entendido,

aprendido

y

enseñado.

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS  Los

sistemas

pueden

clasificarse según

su

origen en:

Sistema artificial: por ejemplo, un televisor, una computadora, un celular. Sistema natural: por ejemplo, un ave, un humano, el ciclo del agua, el sistema

solar.

Sistema social: por ejemplo, una empresa, una institución, un estado. Puede ser incluido dentro de los sistemas artificiales.  En cuanto a su constitución o naturaleza, un sistema puede ser:

Sistema físico o concreto: por ejemplo, una computadora, un árbol. Sistema abstracto o conceptual: por ejemplo, un software, una metodología, un sistema de creencias.  También pueden clasificarse según su ambiente (según realicen o no

intercambios

con

su

entorno):

Sistema abierto: un sistema que tiene flujos de entrada y salida; intercambia energía,

materia

y/o

información

con

su

ambiente.

Sistema cerrado o aislado: un sistema que no tiene ni entradas ni salidas; no intercambia ni energía, ni materia con su ambiente. En ocasiones, con fines de estudio, se considera un sistema cerrado aquel que no intercambia 

materia, pero sí energía con su medio. Según su alterabilidad Sistema



estático:

no

en

cambia

el con

tiempo: el

Sistema dinámico: cambia con el transcurso del tiempo. Según la complejidad de sus

tiempo. relaciones:

Sistema simple: pocos componentes y relaciones. Por ejemplo, la rueda, la palanca,

la

polea,

la

cuña,

etc.

Sistema complejo: numerosos componentes y relaciones entre sí. Por ejemplo, un ecosistema, la Tierra, el Estado, una ciudad, etc.  SEGÚN SU RELACION CON EL MEDIO AMBIENTE Abiertos: Sistemas que intercambian materia, energía o información con el ambiente. Ejemplo: célula. Cerrados: Sistemas que no intercambian materia, energía o información con el ambiente. Ejemplos: El universo. La clasificación de sistema cerrado es netamente conceptual pues en la práctica todo se encuentra comunicado con elementos externos.  SEGÚN SU NATURALEZA Concretos: Sistema físico o tangible. Ejemplos: Equipos de sonidos Abstractos: Sistemas simbólicos o conceptuales. Ejemplo: Sistema sexagesimal.  SEGÚN SU ORIGEN Naturales: Sistemas generados por la naturaleza, tales como los ríos. Artificiales: Sistemas que son productos de la actividad humana, son concebidos y construidos por el hombre, tenemos al tren.  SEGÚN SUS RELACIONES Simples: Sistemas con pocos elementos y relaciones, como el péndulo. Complejos: Sistemas con numerosos elementos y relaciones. Ejemplo: universidad. Esta clasificación es relativa porque depende del número de elementos y relación considerados. En la práctica y con base en límites psicológicos de la percepción y comprensión humanas, un sistema con más o menos siete elementos y relaciones se puede considerar simple.  SEGÚN SU CAMBIO EN EL TIEMPO Estáticos: Sistema que no cambia en el tiempo: Sistema numérico.

Dinámicos: Sistema que cambia en el tiempo: hongo. Esta clasificación es relativa porque depende del periodo de tiempo definido para el análisis del Sistema.  SEGÚN EL TIPO DE VARIABLEQUE LO DEFINEN Discretos: Sistema definido por variables discretas: lógica booleana. Continuos: Sistema definido por variables continuas: ríos.  OTRAS CLASIFICACIONES Jerárquicos: Sistemas cuyos elementos están relacionados mediante relaciones de dependencia o subordinación conformando una organización por niveles: gobierno de una ciudad. Sistema de control: Sistema jerárquico en el cual unos elementos son controlados por otros: lámparas. Sistema de Control con retroalimentación: Sistema de control en el cual elementos controlados envían información sobre su estado a los elementos controladores: termostato. Determinístico: Sistema con un comportamiento previsible: palanca. Probabilístico: Sistema con un comportamiento no previsible: el clima.



CON CEPTO D E MODELO

Un Modelo es un pro to ti po que sirve de re fe ren cia y ejemplo para to dos lo s qu e diseñ an y con fe cci onan produ ctos de la misma naturale za. La pal abra provie ne del italian o “Mod ello ”. Seg ún la Real Acade mia Espa ñola , un mode lo es una represe ntaci ón que simboli za la perfe cci ón en tod os los aspecto s naturale s qu e pose e y en la forma en la que la so cied ad re accion a ante ell o.



TIPOS DE MOD ELO

Mode lo mate mátic o Expre sa rela cione s, propo sici one s su stan ti vas de he cho s, variabl es, paráme tros y rel aci one s entre va riabl es y/o entida des u ope racione s que ocu rren fu era del ca mpo de las matemá ti ca s. Es deci r que con siste en la con stru cción del su ce so a un leng uaje ma te má ti co a través del anál isi s. Su ob jetivo e s aplicar los co nocimi entos aprendid os al obje to estudi ado . Mode los físicos Un mo delo físi co consiste en la apli ca ción de la teo ría del model o ma te mático construyend o un si stema físi co que re pro duci rán el co mpo rtami ento del mode lo estudi ado . Esta construcció n se reali za utilizando obje to s si mila re s al re al y pu ede ser a escala . CLA SIFIC ACIÓN DE LOS MODELOS Mode los estadís tic os Consiste en obtene r la vari able respue sta a tra vé s de una ecu ació n la cu al ha sido an alizada para uti liza r lo s da to s su mini stra dos, es deci r la s va riab les que forman parte de la ecuación qu e se ha obteni do para ob te ner la mej or exa ctitud en el resultado ob te nido de un de te rmi nado fe nómeno . Mode los dinám ic os Es aqu el el cual su s valo res in te rno s cambian co n el pa sar del ti emp o y es utilizado pa ra espe cificar e imple men ta r lo s aspecto s de con trol de l si stema . Este pu ede ser rep resentado a través de diag ramas de estad o, en lo s cua les los no dos son estado s y los arcos son tra nsi cio nes entre estado s causado s por suceso s. Mode los de ter minís ticos

Son los model os en donde cad a va riabl e de en trada pro duci rá únicame nte un resu ltado , son ú tile s en los modelo s din ámi co s en lo s cual es los e stado s ca mbia n con el pa sar del tiempo y es po sible con oce r su información a parti r de lo s val ore s. Mode los estoc ás ticos Este

tipo

de

mod elo s

tien en

como

objetivo

gene rar

da to s

y

pro nósti co s a parti r de mode los no determin ísticos, esto a tra vé s de pro pieda des estad ística s qu e involucran alea to ried ad. Mode los dis cre tos Un model o discre to es aqu el en el cual su cede n camb ios de man era discre ta , es de cir qu e lo s cambio s suce den en intervalo s durade ros de tiempo y es fáci l observar cuan do suce den . Mode los continuos Los mo delo s con tin uos so n aquell os en los cu ales lo s cambios qu e afectan al si stema su cede n de mane ra co ntinua , este mo delo se utiliza cuand o se nece si ta sab er el valo r de salid a de un si stema en cual quie r in stante de l ti emp o que lo con fo rma.

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BIBLIOGAFÍA

TEMA 1.1 https://scholar.google.com.mx/scholar? q=investigacion+operativa&hl=es&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart

https://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm http://www.abelhibert.org/clases/iotoma.pdf http://www.eumed.net/libros-gratis/2011b/969/la%20investigacion%20de %20operaciones%20en%20el%20proceso%20de%20toma%20de %20decisiones.html TEMA 1.2 http://sisinformacion.obolog.es/clasificacion-sistemas-2002127 http://informatica-colegiom.forosactivos.net/t13-sistemas-tipos-y-clasificacion https://es.slideshare.net/PedroElverEnrriquezJ/clasificacion-de-los-sistemas49222038 https://www.google.com.mx/search? q=concepto+y+clasificacion+de+sistemas&rlz=1C1AVUB_enMX792MX792&tbm=i sch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=2ahUKEwja9tjdotDeAhUQA6wKHY9xC4gQs AR6BAgEEAE&biw=1920&bih=969#imgrc=GvdQ0X9Nd7VD3M: https://www.google.com.mx/search? q=concepto+y+clasificacion+de+sistemas&rlz=1C1AVUB_enMX792MX792&tbm=i sch&tbo=u&source=univ&sa=X&ved=2ahUKEwja9tjdotDeAhUQA6wKHY9xC4gQs AR6BAgEEAE&biw=1920&bih=969#imgrc=mVs-k6aLLTUtdM: TEMA 1.3 http://composicion.aq.upm.es/Master/Modulo%20B/Maure/3.1._Modelos,%20tipos %20y%20tipologia.pdf https://es.scribd.com/document/68336430/Concepto-y-Tipologia-de-ModelosLeovardo https://es.scribd.com/document/324792302/Concepto-y-Tipologia-de-Modelos

Instituto Tecnológico de Pachuca

Tema 2: El modelo de programación lineal. Modelos de Optimización de Recursos Ingeniería civil 3er Semestre Alumnos: Ramírez Hernández Elizeth-Hernández Cerecedo Juan- Quesada Tinoco José Alfredo-Orozco Martínez Brenda-Leonardo Rubio ÁngelesGonzález Alvarado Gerardo-Vargas Pérez Johnny-Micete Villanueva Alexis.

Ing. Juan José Mejía Briseño

Índice:

Tema 2.1 El planteamiento del problema de P.L Pag.3 Tema 2.2 Modelo primal–dual. Pag.7 Tema 2.3 La interpretación geométrica Pag.19 Tema 2.4 El método simplex tabular Pag.23 Tema 2.5 Análisis de sensibilidad Pag.31 Tema 2.6 Uso de software Pag.36

Tema 2.1 El planteamiento del problema de P.L.

Programación matemática:

La Programación Matemática (PM) provee modelos matemáticos asociados con situaciones-problema que involucran decisiones de corto o mediano plazo. De ahí que se desprenda la programación lineal de la que hablaremos: EL MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL: En el modelo general de Programación Matemática, tanto la función objetivo de optimización como las “m” restricciones del problema son lineales y se agregan “n” restricciones de no negatividad para las variables de decisión, se tiene el modelo matemático de Programación Lineal:

Optimizar (maximizar o minimizar)

Restricciones y objetivos:

Mo

M

Sean:

x1 = Nº de unidades/mes a producir y vender de A x2 = Nº de unidades/mes a producir y vender de B

La Programación Lineal puede ser aplicada en una amplia gama de problemas de decisión EJERCICIO: Para el próximo mes, una empresa desea saber cuántas unidades debe producir y vender de cada uno de sus dos productos principales (A y B). Los dos bienes se producen en dos fases de proceso (I y II) con los siguientes coeficientes técnicos:

El beneficio unitario estimado por ventas es de US$ 3.000 y US$ 4.000 para el bien A y el B, respectivamente. Plantear matemáticamente y resolver gráficamente. Sean: x1 = Nº de unidades/mes a producir y vender de A x2 = Nº de unidades/mes a producir y vender de B

Fuente de consulta: Libro de programación lineal.

Tema 2.2: Modelo primal–dual.

DEFINICION

Problema primal: Es el modelo original de la programación lineal. Cada problema de programación lineal (Primal) está estrechamente relacionado con otro problema simétrico a él, denominado problema dual. Problema Dual: es el problema asociado a todo modelo de P.L, los dos están estrechamente relacionados en el sentido de que la solución óptima de uno proporciona automáticamente la solución óptima del otro. El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la programación lineal porque la distribución de los recursos y la formación de los precios son dos aspectos del mismo problema.

FORMA CANONICA

La forma canónica es el representar la ecuación en forma de vector, para su resolución existen 3 procesaos a seguir, pero para el estudio de este tema de manera más óptima se empleará la forma canónica.

USO DE MA FORMULACION DUAL

El emplear el modelo primal –dual nos permite:  

Resolver problemas lineales que tiene más restricciones que actividades. Hacer interpretaciones económicas de las soluciones optimas de los



problemas de P.L Generar nuevos algoritmos para la solución de problemas de redes de



optimización (problemas de maximización & minimización). Generar métodos como el Dual Simplex para el análisis de sensibilidad de



los problemas de P.L Puede ser utilizada para resolver el caso en que se debe considerar la introducción de una nueva variable en el primal una vez que ha de sido obtenida la solución óptima, sin tener que resolver completamente el problema.

APLICACIONES EN LA INGENIERIA CIVIL Dentro de la industria de la construcción es común que se presenten constantemente problemas, tanto en la obra, como en el gabinete, contratos, licitaciones o bien dentro de la dirección & administración de la empresa constructora,

entre

otros

muchos

posibles,

el

ingeniero

civil

tiene

la

responsabilidad de solucionarlos de la manera más óptima que permita una fácil resolución, menor gastos, tiempo, mantenimiento u operación, según se presente el problema. Para lo cual el desarrollar modelos matemáticos que permita la solución al problema es indispensable, a continuación, se presentan las relaciones entre la optimización de recursos Y la industria de la construcción.

•

Costos & presupuestos

•

Salarios & producción

•

Costos de herramientas, materiales y equipo

•

Renta de equipo y maquinaria (horas maquina)

•

Rendimiento de materiales

•

Impuestos, ganancias Y utilidades

•

Administración de obras en general y empresas constructoras

CARACTERISTICAS PRINCIPALES

Las relaciones las podemos enumerar como sigue: •

El problema

dual tiene

tantas

variables Como

restricciones tiene

tantas

restricciones como

el

programa primal •

El problema

dual tiene

variables tiene

el

programa primal •

Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones del programa primal

•

Los términos independientes de las restricciones del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal

•

La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal

•

Si el programa primal es un problema de maximización el programa dual es un problema de minimización.

MÉTODO GRAFICO UTILIZANDO TEOREMAS DE DUALIDAD Este se define a partir del planteamiento de un modelo primal también conocido

como objetivo.

Reglas para obtener el modelo dual



El objetivo de un problema debe ser opuesto del otro, es decir:



Cada restricción en un problema tiene asociada una variable en el otro & viceversa.



Los coeficientes de las variables en la función objetivo del primal coinciden



con los términos independientes del dual. Los términos independientes del primal son el dual, los coeficientes de las



variables en la función objetivo. La matriz de coeficientes tecnológicos de un problema, es la matriz transpuesta de coeficientes tecnológicos del otro.

Forma canónica de dualidad (versión matricial)

A continuación, se propone una metodología para la resolución de problemas de optimización mediante el problema Primal-Dual.

De donde se determina que:

C: Es un vector renglón de coeficientes de la función objetivo primal. b: Es un vector columna de los términos independientes de restricciones del primal A: Es la matriz de coeficientes tecnológicos de restricción del primal. X: Es un vector columna de las variables del primal T: Es la transpuesta del vector o matriz Y: Es un vector columna de variables duales

EJEMPLO:

Una empresa produce 2 tipos de máquinas de escribir: Manual & Eléctrica. Cada máquina Manual vendida con un ingreso de $ 40.0 y cada máquina Eléctrica produce un ingreso de $60.0. Ambos maquinas pasan por un proceso de ensamblado y empaquetado atreves de 2 procesos distintos O1 & O2. El número de horas de O1 & O2 requeridos para producir un modelo determinado se da de la siguiente manera:

Producción de máquinas Eléctricas & Manuales O1

3

2

2000

O2

1

2

1000

Ahora planteando el problema primal se tiene:

MAXIMIZAR Z=40X1+60X2 Y se plantean las siguientes restricciones de acuerdo al problema

3X1+2X2≤2000 X1+2X2≤1000 Donde como ya se sabe no puede haber variables negativas, por lo tanto: X1, X2≥0

Resolviéndolo para hallar la solución óptima podemos tomar dos vías: 1) Al resolver la matriz de la maximización 2) Aplicando el teorema primal –dual, ya que la hallar la solución óptima de uno se obtiene la solución óptima del otro.

A continuación, planteamos la siguiente Matiz:

Y procedemos a resolverla, por el método que se nos parezca más conveniente, a continuación, se presenta la solución por 2 métodos (Determinantes Y Gauus-Jordan)

La solución óptima es producir 500 máquinas de escribir manuales por mes (X1=500) & 250 máquinas de escribir eléctricas por mes (X2=250). El ingreso máximo es de $35000.00 por mes. Ahora bien, el problema también se puede resolver mediante el Dual, que sería el obtener el mínimo del primal.

Minimizar G=2000X1+1000X2 Y se plantean las siguientes restricciones de acuerdo al problema

3Y1+Y2≤2000 2Y1+2Y2≤1000 Donde como ya se sabe no puede haber variables negativas, por lo tanto: Y1, Y2≥0

A continuación, planteamos la siguiente Matiz:

Y procedemos a resolverla, por el método que se nos parezca más conveniente, a continuación, se presenta la solución por 2 métodos (Determinantes Y Gauus-Jordan)

La solución óptima es producir 500 máquinas de escribir manuales por mes (X1=500) & 250 máquinas de escribir eléctricas por mes (X2=250). El ingreso máximo es de $35000.00 por mes. Como podemos observar la solución óptima es la misma, por lo que se cumple el teorema de dualidad que nos dice: ” Al obtener la solución óptima del primal se obtiene la soluciono tima del dual y viceversa” .

Conclusiones: Es muy común encontrarse con diversos problemas, pero al implementar los modelos matemáticos competentes podemos resolver todo tipo de problemas, es así como el modelo Primal-Dual nos brinda una herramienta parta solucionarlos.

Fuentes de consulta: https://es.scribd.com/doc/74732391/2-2-El-Modelo-Primal-y-Dual https://www.youtube.com/watch?v=QLi7Sh_BUW8 https://www.google.com.mx/search? q=optimizacion+de+recursos+en+la+construccion&rlz=1C1AVFB_enMX732MX732&source=lnms&tbm=isch& sa=X&ved=0ahUKEwiytoiJ5sPdAhXQ3lMKHWUACJIQ_AUICigB&biw=1366&bih=608#imgrc=vKlbCphDfWwDj M:

Tema 2.3 LA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Una interpretación geométrica representa las restricciones sobre unos ejes de coordenadas para delimitar la región donde se encuentra la solución factible.

Daremos un ejemplo para que sea mejor comprendido. En este caso se representa el vector director de la recta que viene dada por la ecuación de la función objetivo: F (X, Y) =A*X + B*Y, que hay que maximizar o minimizar. El vector de la recta antes mencionada viene dado por v= (-B, A), lo único que nos importa es la dirección del vector, no la magnitud. Se trazan rectas paralelas a este vector que pasen por los vértices de la región factible, o por todo el borde de la región factible y se observa en que vértice la función F se hace máximo sin más que tener en cuenta cuál de las rectas tiene mayor ordenada en el origen. Maximizar la función F (X, Y) = 2000X+5000Y sujeta las restricciones:

Graficar las restricciones anteriores, a lo que queda dentro de todas las restricciones se le llama, REGIÓN FACTIBLE:

Los vértices son los puntos (0,1), (5,1) y (3,-3). Como la función es F(y)=2000x + 5000y, el vértice director es v= (-5000, 2000), que tiene la misma dirección que el v= (-5,2) y representándolo queda:

Trazar paralelas al vector, que pasen por los vértices anteriores:

Se observa gráficamente que las tres paralelas trazadas, la que corta al eje Y en un punto mayor es la que pasa por el punto (5,1), que por tanto será la solución óptima al problema de máximos planteado. Para saber cuál es el valor máximo sustituimos en la función:

F (5,1) = 2000*5 + 5000*1= 10000 + 5000= 15000 Luego la función tiene su solución óptima en (5,1) donde toma el valor de 15000.

Ejercicio: Se va a organizar una constructora, donde se van a adquirir dos tipos de maquinaria pesada, los compactadores y las retroexcavadoras. Por necesidad de mercado, es necesario que haya mayor o igual de numero de retroexcavadores que de compactadores, y que el número de retroexcavadoras no supere al doble de compactadores. En total se pueden comprar 30 compactadores y 20 retroexcavadoras. El beneficio que tiene por cada renta es de compactadores es de $550 y $350 por retroexcavadores. ¿Cuántas maquinarias pesadas debe elegir para obtener el máximo beneficio y cual es este? X=compactadores Y= retroexcavadoras Función objetiva: maximizar F (X, Y) = 550X + 350Y Restricciones: Y≥X Y≤ 2X X ≤ 30 Y ≤ 20 Graficar, sustituyendo valores: x= 30 y= 20 Y≥X Y=x Y=0 Y=20 Y≤ 2X Y=2(0) Y= 0

Y= 2 (10) Y= 20 Al graficar se encuentra la Región factible. Región factible

Solucion optima maxima

A (0, 0) B (10, 20) C (20, 20) Sustituir cada coordenada en F (X, Y) A= 550 (0) + 350 (0) = 0 B= 550 (10) + 350 (20) = 12500 C= 550 (20) + 350 (20) = 18000 Máximo beneficio: 20 retroexcavadoras y 20 compactadores. 

Recuperado 6 de septiembre del 2018: http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T08.pdf, Programación lineal PDF, pág.. 131-133

2.4 El método simplex tabular Objetivos: El alumno comprenderá la importancia de la toma de decisiones en su vida diaria de forma razonable por medio del método simplex tabular.

El alumno comprenderá los conceptos y métodos básicos necesarios para emplear el método simplex tabular.

Introducción: El Método Simplex, como parte de la programación lineal, es un método analítico capaz de resolver aquellos modelos que se vuelven complejos en el uso del método gráfico por el número de variables empleadas.

Características:  Minimizar costos o maximizar ganancias relación predeterminada para estos).

(recordar que no existe una

 Los caminos para tomar las decisiones son infinitos  Cuando se trata de más de dos variables, el camino realmente óptimo.  Sin embargo, los resultados no siempre deberán tomarse literalmente pues es deber del interprete considerar que hay factores externos como el cambio climático, la competencia, las condiciones de seguridad, entre otros.



Procedimiento:

 Formulación del modelo:  Variables: representan las incógnitas del problema.  Restricciones: se contemplan las limitaciones a las que se encuentra sujeta la resolución del problema considerando la escasez de recursos en tiempo y espacio.  Función objetivo: representa la meta que se pretende alcanzar y en la cual se basan las decisiones principales para maximizar los beneficios o bien para minimizar los costos (considere que en la programación lineal el calificativo “lineal” hace referencia que las ecuaciones usadas en el modelo serán siempre de primer grado, es decir, sin exponentes).

Primero se analizan las restricciones que tenemos para asignarles una variable ´´S ´´ con esto podremos convertir las inecuaciones en ecuaciones normales, nótese que estas pueden variar tanto de valor que por lo generar al considerarlas en nuestras soluciones valdrán cero.

Se elabora una tabla con los tipos de variables y la respectiva solución

Se convierte la función objetivo en su forma general para poder incluirla en el primera

fila de la tabla.

De esta manera es fácil identificar las variables cuyo valor vamos a turnar a cero teniendo como Coeficiente 1 en un lugar de cada columna.

Basándonos en la tabla podemos deducir que las variables ´´S´´ en cada fila tienen los valores 20, 18 y 8 y las variables x son igual a 0 y por tanto z es igual a 0, con esto intentaremos hacer crecer el valor de z haciendo tomar a X1 o a X2 un valor diferente de 0. para esto buscamos en la fila de la función objetivo el valor más bajo o más negativo lo cual indica que X1 se volverá una variable básica.

Si el coeficiente de una variable en una restricción es 0 o negativo esta puede

crecer sin límites, pero si es positivo se puede saber hasta dónde crecerá si se divide la constante entre el coeficiente de la variable.

Esto significa que la variable X1 se puede volver básica o bien adquirir un valor y la variable ´´S3´´ dejara de serlo. La construcción de la segunda tabla se basara en el valor donde intersectan las variables de salida y entrada, considerando en la siguiente tabla a X1 como una variable básica y como será el pivote para resolución su fila pasa igual.

Para continuar se necesita transformar los valores de la columna que comparte el pivote en 0 y esto se logra operando como si fuera una matriz por método de gauss o gauss-Jordán.

Una vez completada la segunda tabla se buscan números negativos en la fila de la función objetivo para repetir el mismo procedimiento. Debido a que la variable 2 entrara como básica se determinara cual de las 2 variables ´´s´´ abandonara este sistema y será la que mas restrinja su crecimiento.

Esto se logra dividiendo la constante entre el coeficiente de la variable aquí hay un caso particular donde se divide entre 0 con esto se sabe que puede crecer sin limite. Una vez ubicado la fila del pivote se traslada a una tercera tabla para sustituir a la variable X2 en el sistema.

Con el pivote se busca convertir de nuevo los coeficientes en de la misma columna que el pivote en o realizando las operaciones típicas de un resolución de matrices. Debido a que queda un coeficiente negativo en la fila de función objetivo se repite el proceso.

Se pasa a una tabla nueva la fila del pivote para poder sustituir la variable ´´S2´´ por la variable ´´S3´´ volviéndola básica.

Resultados:

Cabe aclarar que las variables S2 y S1 dejaron de ser básicas por lo que su valor es 0.

Ejercicio de aplicación:  Una empresa produce concreto premezclado de dos diferentes resistencias, vende la olla de resistencia más baja a $9,000 y la de mayor resistencia a $10,000. Para producirlos la empresa dispone de 700kg de cemento, 800 kg de arena y 900kg de grava. ¿Qué cantidad de ollas debería producir la empresa? Se sabe que el de baja resistencia ocupa 7kg de cemento, 10 kg de arena y 6kg de grava, mientras que el de mayor resistencia ocupa 10kg de cemento, 8kg de arena y 15kg de grava.

proceso

Concreto de baja resistencia

Concreto de alta resistencia

Limites de los Insumos

Cemento

70

10

700

Arena

100

8

800

Grava

6

15

900

Beneficio

9,000

10,000

Resultados:

Fuente de consulta: https://www.youtube.com/watch?v=CCud7rAIi8A https://www.youtube.com/watch?v=hVjBn14xdMQ

2.5-Análisis de sensibilidad Definición: El análisis de sensibilidad o post-optimar para los modelos de programación lineal, tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente.

Coeficientes objetivos: No afectan la forma de la región factible, por lo que no afectarán a la solución óptima.

Coeficientes tecnológicos: Los cambios en estos coeficientes provocarán cambios sustanciales en la forma de la región factible.

Recursos disponibles: Los cambios suponen desplazamientos paralelos de las rectas asociadas a las restricciones, lo cuál hará variar la forma de la región factible y con ello a la solución óptima.

■

Ejemplo ilustrativo:

Una empresa produce concreto premezclado de dos diferentes resistencias, vende la olla de resistencia más baja a $9,000 y la de mayor resistencia a

$10,000. Para producirlos la empresa dispone de 700kg de cemento, 800 kg de arena y 900kg de grava. ¿Qué cantidad de ollas debería producir la empresa? Se sabe que el de baja resistencia ocupa 7kg de cemento, 10 kg de arena y 6kg de grava, mientras que el de mayor resistencia ocupa 10kg de cemento, 8kg de arena y 15kg de grava.

Variables: ■ X1 = ollas de baja resistencia. ■ X2 = ollas de alta resistencia. Función objetivo: ■ Z(max) = 9000X1 + 10000X2

Z

X1

X2

S1

S2

S3

R

1

0

0

0.64

0.45

0

809,000

0

1

0

-0.18

0.22

0

54

0

0

1

0.22

0.16

0

32

0

0

0

-2.31

1.02

1

95

Restricciones: ■

7 X 1+ 10 X 2 ≤ 700

■ 10 X 1+ 8 X 2≤ 800

■ 6X1 + 15X2 ≤ 900 ■ X1,X2 ≥ 0 Tabla óptima (método simplex)

Metodología: 1. Escoger el valor más alto de “S” para Z y sumar su columna multiplicada por ∆ a los valores encontrados.

1. Escoger el valor más alto de “S” para Z y sumar su columna multiplicada por ∆ a los valores encontrados. 2. Sustituir en la tabla.

1. Escoger el valor más alto de “S” para Z y sumar su columna multiplicada por ∆ a los valores encontrados.

2. Sustituir en la tabla. 3. Formular inecuaciones mayores o iguales a 0, despejar a ∆ y encontrar un rango de valores permitidos.

1. Escoger el valor más alto de “S” para Z y sumar su columna multiplicada por ∆ a los valores encontrados. 2. Sustituir en la tabla. 3. Formular inecuaciones mayores o iguales a 0, despejar a ∆ y encontrar un rango de valores permitidos. 4. Sustituir un valor deseado de ∆ en la tabla del paso 2.

Tema 2.6 Uso de Software INTRODUCCION.

En modelos de optimización de recursos utilizaremos Geogebra para el método grafico analítico donde graficaremos funciones y encontraremos sus puntos óptimos con herramientas de la aplicación, y de esta forma encontrar la solución óptima del problema. Geogebra.

Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra, estadística y cálculo, por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas. Geogebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc. “A continuación presentaremos un pequeño manual de uso de cómo usar esta aplicación para la maximización y minimización de funciones “ MANUAL DE USO. Paso 1: Primeramente metemos las ecuaciones de la las funciones lineales en la barra de entrada de la aplicación.

Paso 2:

Localizamos los puntos óptimos, donde sabemos que los puntos óptimos se encuentran del punto de intersección de rectas hacia el origen del eje coordenado. Para este paso nos vamos a la barra de herramientas localizado en el encabezado del software de aplicación, y seleccionas la herramienta Punto.

Paso 3:

Utilizamos la herramienta punto para obtener los puntos exactos de la intersección de las rectas con el eje coordenado, no obviando la zona factible.

Paso 4: Paso 4:

Utilizaremos la herramienta “intersección” para un punto especial que es el punto de intersección de las dos rectas, utilizamos esta herramienta ya que no sabemos en que ordenada se encuentra este punto y utilizando la herramienta punto nos daría un dato aproximado.

Paso 5:

Una vez localizados los puntos de OPTIMOS lo que resta es sustituir los puntos en la función objetivo y escoger el resultado que proporcione mayor ganancia. Quedando así el paso final.

Esta herramienta nos es de mucha ayuda para la realización de este tipo de problemas ya que el objetivo de mayor importancia de este método es encontrar la gráfica y los puntos óptimos delos problemas. Sin la utilización de esta herramienta tendríamos que hacer mucha algebra para llegar a la solución de determinados problemas. La aplicación se puede encontrar en PlayStore, tienda Windows y en la siguiente pagina https://geogebra.softonic.com

PHP simplex Metodo Php simplex es una herramienta online para resolver problemas de programación lineal, su uso es libre y gratuito concuerda con el tema del metodo simplex tabular.

Paso 1

Colocación de las variables del problema y de las restricciones

Paso 2 colocas tus datos en la tabla

Paso 3

Nos determina si vamos a colocar más datos o ya para meter la información del tema

Paso 4

Primera tabla ahí indica que variables se movieron

Paso 5

Otra variable se coloca de diferente forma

Paso 6

La variable P4 se cambió y entro la variable P5

Paso 7

Ya obtienes la solución óptima

Aquí su grafica del problema

Te muestra lo que se encuentra en solución y pertenecen a la región factible. Por último esta aplicación solo la puedes encontrar en cualquier navegador, el detalle es que necesita datos para poder utilizarse o conectarse en cualquier red inalámbrica.

3.1 PROBLEMA DE TRANSPORTE, PLANTEAMIENTO DE PROBLEMA Y DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN BÁSICA, FACTIBLE, INICIAL.

El problema de transporte ¿Qué significa problema de transporte? Supongamos que un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a dos depósitos. Cada planta puede mandar productos a todos los depósitos, pero el costo de transporte varía con las diferentes combinaciones. EL problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar a cada depósito con el fin de minimizar el costo total de transporte. Planteamiento del problema El problema del transporte en general se especifica mediante la siguiente información:



1. Un conjunto de m puntos de oferta desde los cuales se envían utilidades o bienes.



2. Una lista de capacidades de suministro máximo de cada sitio de oferta si para i = 1, 2,. . ., m.



3. Un conjunto de n puntos de demanda hacia los cuales se envía una utilidad o bien.



4. Una lista de demandas de utilidades o bienes de dj cada punto de demanda j las cuales deben satisfacerse mínimamente.



5. Una matriz de valores que indica el costo fijo en el que se incurre al enviar una unidad producida en el punto de oferta i y enviada al punto de demanda j, cij .

Determinación de la solución básica factible 

La utilización del método SIMPLEX no resulta eficiente para resolver el Problema de Transporte, por lo cual se utilizan otros métodos como:



a) Método de la Esquina Nor-Oeste (N-O)



b) Método de la Matriz de Costo Mínimo



c) Método de Vógel

MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE Características 

Sencillo y fácil de hacer



No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones



Generalmente nos deja lejos del óptimo

Algoritmo 

1. Construya una tabla de ofertas (disponibilidades) y demandas (requerimientos).



2. Empiece por la esquina noroeste.



3. Asigne lo máximo posible (Lo menor entre la oferta y la demanda, respectivamente)



4. Actualice la oferta y la demanda y rellene con ceros el resto de casillas (Filas ó Columnas) en donde la oferta ó la demanda halla quedado satisfecha.



5. Muévase a la derecha o hacia abajo, según halla quedado disponibilidad para asignar.



6. Repita los pasos del 3 al 5 sucesivamente hasta llegar a la esquina inferior derecha en la que se elimina fila y columna al mismo tiempo.

Ejemplo 

Una compañía tiene 3 fábricas ubicadas en A, B y C, las cuales proveen a los almacenes que están ubicados en D, E, F y G. La capacidad de producción de las fábricas es de 70, 90 y 115 unidades mensuales respectivamente, mientras que las capacidades de los almacenes son de 50, 60, 70 y 95 unidades respectivamente. El costo de envió de una unidad desde cada una de las fábricas a cada una de los almacenes se presenta en el siguiente cuadro (en pesos):

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO Características 

Es más elaborado que el método de la esquina noroeste



Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones



Generalmente nos deja alejados del óptimo

Algoritmo 

1. Construya una tabla de disponibilidades, requerimientos y costos



2. Empiece en la casilla que tenga el menor costo de toda la tabla, si hay empate, escoja arbitrariamente (Cualquiera de los empatados).



3. Asigne lo máximo posible entre la disponibilidad y el requerimiento (El menor de los dos).



4. Rellene con ceros (0) la fila o columna satisfecha y actualice la disponibilidad y el requerimiento, restándoles lo asignado.



Nota: Recuerde que no debe eliminar ó satisfacer fila y columna al mismo tiempo, caso en que la oferta sea igual a la demanda, en tal caso recuerde usar la ε (Épsilon).



5. Muévase a la casilla con el costo mínimo de la tabla resultante (Sin tener en cuenta la fila o columna satisfecha).



6. Regrese a los puntos 3,4,5 sucesivamente, hasta que todas las casillas queden asignadas.

Ejemplo



El hospital Saludmuch pertenece a la Compañía de Seguros Todosalud SA. Esta sociedad tiene un Centro de Asistencia Primaria (CAP) en 5 ciudades de una región (un CAP en cada ciudad). Para obtener un buen funcionamiento global del servicio y poder planificar el número de visitas en función del personal previsto en cada CAP y de su dimensión, Todosalud S.A. ha decidido organizar el servicio de tal forma que todos sus asegurados tengan un CAP de referencia asignado, pero que sea éste el más cercano posible a su lugar de residencia. En la región hay 5 ciudades y la compañía sabe cuántos asegurados tiene en cada uno de ellos. Los CAP tienen una capacidad máxima de pacientes que pueden soportar. El objetivo es asignar a los asegurados a los CAPs minimizando el coste de desplazamiento o la distancia total.

MÉTODO DE VOGEL Características 

Es más elaborado que los anteriores, más técnico y dispendioso.



Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer las asignaciones.



Generalmente nos deja cerca al óptimo.

Algoritmo 

1. Construir una tabla de disponibilidades (ofertas), requerimientos (demanda) y costos.



2. Calcular la diferencia entre el costo más pequeño y el segundo costo más pequeño, para cada fila y para cada columna.



3. Escoger entre las filas y columnas, la que tenga la mayor diferencia (en caso de empate, decida arbitrariamente).



4. Asigne lo máximo posible en la casilla con menor costo en la fila o columna escogida en el punto 3.



5. asigne cero (0) a las otras casillas de la fila o columna donde la disponibilidad ó el requerimiento quede satisfecho.



6. Repita los pasos del 2 al 5, sin tener en cuenta la(s) fila(s) y/o columna(s) satisfechas, hasta que todas las casillas queden asignadas.



Nota: Recuerde que no debe satisfacer filas y columnas al mismo tiempo; caso en que la disponibilidad sea igual al requerimiento; en tal caso use el ε (epsilon).

Problema ejemplo.

3.2 PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA, ALGORITMO PARA DETERMINAR LA ASIGNACIÓN ÓPTIMA.

MODELO DE ASIGNACIÓN. El modelo de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos que se destinan a la realización de tareas. por ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. la asignación de personas a trabajos es una aplicación común del problema de asignación. sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. También pueden ser máquinas, vehículos o plantas, o incluso periodos a los que se asignan tareas. OBJETIVO. Determinar la asignación optima de trabajadores a puestos.

Modelo general de asignación con n trabajadores y n puestos

•

El número de asignados es igual al número de tareas. (n)

•

A cada asignado se le asigna sólo una tarea.

•

Cada tarea debe realizarla sólo un asignado.

•

Existe un costo Cij asociado con el asignado i (i 5 1, 2, . . . , n) que realiza la tarea j ( j 1, 2, . . . , n).

•

El objetivo es determinar cómo deben hacerse las n asignaciones para minimizar los costos totales.

FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UN PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

TABLA DE TRANSPORTE: Otra forma de plantear el problema de transporte ( recordemos que el problema de asignación es un caso especial del de transporte) es mediante una tabla llamada tabla de transporte, la cual tiene forma de matriz donde los renglones representan las fuentes y las columnas los destinos o trabajos.

MATRIZ DE COSTOS: Es una matriz cuadrada de n*n, donde cada elemento representa el costo de asignar el enésimo trabajador al enésimo trabajo; renglones = trabajadores.

RED. Muchos problemas de redes son más que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto. Para definir lo que es una red necesitaremos saber qué es un nodo.

Cuando el problema de asignación es de maximización se le llama problema de selección.

MÉTODO HÚNGARO

- El método Húngaro es un método de optimización de problemas de asignación. - Primeros aportes al método clásico definitivo fueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros. - El algoritmo para MINIMIZACIÓN únicamente. - Trabaja con una matriz de costos n*m (en este caso m*m, dado que n = m). Para resolver problemas de asignación, aplicando el método Húngaro, se requiere seguir los siguientes algoritmos o pasos: Paso 1 En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos del renglón. Paso 2 En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Paso 2.1 Si no se puede asegurar una asignación factible (con todos los elementos cero) con los pasos 1 y 2, a). Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubran todos los elementos cero. b). Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de dos líneas. c). Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos cero que resulten, repetir el paso 2.1. En caso contrario, seguir en el paso 3 para determinar la asignación óptima.

Paso 3 Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.

EJEMPLO 1 Un equipo de 3 trabajadores debe ser asignado para la realización de 3 tareas, donde cada trabajador debe hacer una tarea. Se requiere encontrar la asignación de costo mínimo para lo cual se dispone de los costos asociados a que el trabajador i realice la tarea j.

SOLUCIÓN PASO 1: En la matriz original de costo, identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos del renglón.

PASO 2: En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna.

PASO 3: Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2. Las celdas con valor cero y color cafés son la solución óptima. En consecuencia el mecánico 1 realiza la tarea 2, el mecánico 2 asuma la tarea 1 y el mecánico 3 la tarea 3. Cada mecánico realiza exactamente una tarea y el costo total de dicha asignación (valor óptimo) es de Q9+Q10+Q8=Q27.

EJEMPLO 2 Una empresa debe asignar 4 tareas a 4 trabajadores. El costo de realizar un trabajo es función de los conocimientos de los trabajadores. La siguiente tabla resume el costo de las asignaciones. El trabajador 1 no puede hacer el trabajo 3, y el trabajador 3 no puede hacer el trabajo 4. Determine la asignación óptima con el método húngaro.

PASO 1. Identificar mínimo de cada renglón y restarlo renglón.

Paso 2. Identificar mínimo de cada columna y restarlo a c/elemento de la columna. Si no se puede asegurar una asignación factible (con todos los elementos cero) con los pasos 1 y 2 Paso 2.1 a). Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubran todos los elementos cero.

b). Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de dos líneas.

c). Si no se puede encontrar una asignación factible entre los elementos cero que resulten, repetir el paso 2.1. En caso contrario, seguir en el paso 3 para determinar la asignación óptima

PASO 3: Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2.

Las celdas con valor cero y color verde son la solución óptima. En consecuencia el trabajador 1 realizará el trabajo 4, el trabajador 2 asuma el trabajo 3, el trabajador 3 realizará el trabajo 2 y el trabajador 4 el trabajo 1. Cada trabajador realizará exactamente un trabajo y el costo total de dicha asignación (valor óptimo) es de Q20+Q20+Q30+70=Q140.

BIBLIOGRAFÍA https://proyectoinvestigacionoperaciones.wordpress.com/2016/11/09/primeraentrada-del-blog/ https://www.gestiopolis.com/modelo-asignacion-caso-modelo-transporte/

3.3 USO DE SOFTWARE TORA El software TORA de optimización es un programa basado en Windows, que tiene por objeto usarse con muchas de las técnicas presentadas en el libro de investigación de operaciones de TAHA.

Libro de investigaciones TAHA La novena edición del reconocido libro TAHA contiene, de manera concisa que las anteriores, tanto el texto como el software de apoyo, con el fin de que el lector se enfoque de lleno en puesta en ejecución algorítmica y práctica de las técnicas de investigación de operaciones.

DESCRIPCIÓN TORA es una aplicación muy simple, con una interfaz gráfica de baja calidad. Una de las ventajas de TORA es que puede utilizarse en procesadores de 32 y 64 bits, hoy por hoy su principal desventaja es que debe ajustarse la configuración de pantalla para adecuarse a sus ajustes de presentación de 800x600 o 1024x768 MÉTODO DE ESQUINA NORESTE EL

de

método de la esquina noreste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución, mediante la consecución una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes, sí que esto implique que se alcance el costo optimo total.

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO El método del costo mínimo o método de los mínimos costos es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noreste, dado que e enfoca en las rutas que presentan menores costos.

MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL El método de aproximación de vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un numero generalmente mayor

de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.

BIBLIOGRAFÍA: https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigación-de-operaciones/programación-lineal-en-tora/ https://www.elsolucionario.org/investigacion-de-operaciones-hamdy-taha-9ed/

5.1 CONSTRUCCION DE REDES DE ACTIVIDADES DE UN PROYECTO El Método del Camino Crítico es una parte de la fase administrativa de planeación que se encarga de la programación, ejecución y control de un proyecto que deba realizarse con aprovechamiento óptimo de tiempo y costos destinados al mismo. No solo se denomina Camino Crítico al sistema total, sino también se le llama así a la serie de actividades, a partir de la iniciación y hasta la terminación del proyecto que no tienen posibilidad de variación en su tiempo de ejecución, ya que si una de ellas retrasara el proyecto total sufrirá el mismo efecto. También se entiende por camino crítico a la secuencia de actividades que ocupan el mayor tiempo de ejecución del proyecto y con lo cual definen la duración total del mismo. El Método del Camina Crítico tiene una variada gama de aplicaciones dentro de la Administración moderna, además de aquellas correspondientes a la industria de la construcción de procesos industriales. Algunos de los proyectos de carácter administrativo financiero o mercadotécnico que pueden ser desarrollados mediante el Método del Camino Crítico son: Lanzamiento de un nuevo producto al mercado. Instalación y puesta en marcha de un sistema de Cómputo Electrónico. Preparación del presupuesto de una obra civil. Realización de Auditorias de Estados Financieros. Etc. Prevaleciendo como características de los proyectos el que: No sean cíclicos o repetitivos dentro del trabajo cotidiano. Se busque realizarlos con el óptimo aprovechamiento de los recursos financieros, humanos y materiales dentro del tiempo programado.

PASOS PARA ELABORAR UNA RED DE ACTIVIDADES. En todo proyecto será necesario dividir el Método del Camino Crítico en dos etapas: 1.- Planeación y Programación 2.- Ejecución y Control a) Definición y Objetivos del Proyecto. En él se evalúa la factibilidad de éxito del mismo, si se cuenta con los recursos necesarios, así como la época más viable para el inicio tomando en cuenta las necesidades de la empresa y sus directivos, la carga del trabajo en determinadas temporadas, etc. b) Lista de Actividades a realizar. Es el detalle de las funciones a ejecutar ya sean físicas o mentales, que integran procesos o fases que se interrelacionan en el desarrollo de un proyecto. c) Matrices o tablas de información –Matriz de antecedentes y secuencias.-esta tabla de información permite interrelacionar las actividades indicando cuáles deberán ser elaboradas antes o después según la secuencia del desarrollo del proyecto. Para ser llenada se prepara una hoja con 4 columnas cuyos encabezados son: Antecedentes, Actividad Núm., Secuencias y Anotaciones. – Matriz de tiempos.- Se procede a elaborar la correspondiente a los tiempos estimados para la realización de cada actividad programada y así obtener la duración total de un proyecto. Aplicando la fórmula PERT permitirá calcular el tiempo estándar (te) el cual será usado en el proyecto. Tiempo óptimo (o) representa el mínimo posible de consumir la actividad. Tiempo Normal (M) es el que en condiciones normales se necesita para la ejecución de las actividades programadas. Tiempo pésimo (p) es el máximo necesario para realizar la actividad si todo saliera mal. Tiempo estándar (te) te = 0 + 4M + p 6 - Matriz de costos y pendientes.- Se solicita a los responsables del proyecto que proporcionen el costo expresado en unidades monetarias; ya con los datos solicitados se calcula la pendiente (m) que es la relación que guardan el tiempo y el costo. d) Red o gráfica de actividades (símbolos).Se llama así a la representación gráfica de la matriz de antecedentes, secuencias y tiempos, mediante ella es posible mostrar en forma clara y comprensible la relación, interrelación, secuencias, etc., de las actividades a realizar así como el camino crítico. Las actividades se representan mediante flechas las cuales indican el tiempo que se ocupará en su realización.

Estas flechas pueden ser rectas, curvas, quebradas, etc., según las necesidades en el trazo de la red, ejemplos:

En algunos casos, al trazar la red, es necesario indicar la relación de una actividad con otro u horas, para lo cual es necesario dibujar flechas que indiquen dicha relación; este tipo de flechas, al no representar consumo de tiempo y/o recursos, se dibujan en forma punteada, ejemplos:

A estas actividades se les conoce con los nombres de actividades ficticias o "ligas". Todas las ligas se dibujarán de izquierda a derecha (a excepción de aquellas actividades reales que por ser muy breve su duración se represente con cero de tiempo y por lo tanto se dibujarán en forma ascendente o descendente), y tanto al inicio como al término de cada una de ellas es necesario dibujar un pequeño círculo (o) el cual se denomina como "evento" o "nodo", los que señalarán el principio o fin de la actividad, ejemplos:

Al evento de iniciación se le conoce como evento "i" y al de la finalización como evento "j", el evento final de una actividad será el inicial de la actividad siguiente. De un evento pueden iniciar o terminar varias actividades, ejemplo:

Al dibujar la Red es conveniente evitar: 1) Que dos o más actividades que inicien de un mismo evento terminen, también, en un mismo evento, ejemplo:

Ya que puede provocar error al interpretarla, por lo que se recomienda el uso de luna "liga" o actividad ficticia para relacionarlos, ejemplo:

2) No puede iniciar una actividad a la mitad de la otra.

Y para evitarlo es necesario dividir en dos la actividad en donde se origine el problema.

3) No se deben tener al iniciar la red, varios eventos que parten de actividades distintas sin relacionarlos entre sí, mediante ligas, ejemplo:

4) El mismo cuidado se debe tener al finalizar la red, ejemplo:

Cuando existe alguna actividad con duración de cero, se dibuja así:

Para trazar la red se utiliza, preferentemente, papel cuadriculado dibujando primero una escala de tiempos que represente la división utilizada al calcular la matriz (horas, días semanas, meses, etc.) Es siempre conveniente dibujar la red con lápiz ya que, normalmente, se cambiarán de lugar algunas actividades para facilitar su construcción. Para finalizar el dibujo de una red se trazan las ligas a partir de las actividades hasta el último nodo o evento ya trazado, quedando totalmente terminada la red del proyecto el cual tendrá una duración a tiempo estándar (te). Una vez que la Red de Actividades del proyecto ha sido concluida, se conoce la duración total del mismo el cual puede ser: Menor del tiempo previsto.- En este caso se puede decir que la Red de está terminada y se procede a calcular los costos del proyecto. Igual del tiempo previsto.- Se procede igual que en el inciso anterior. Mayor del tiempo previsto.- En este caso obliga a cumplir el tiempo de algunas actividades, con el objetivo de reducir el tiempo del proyecto obtenido por el programado por la dirección. e) Elasticidad y probabilidad de retraso. La segunda etapa se divide a su vez en: a) Graficas de control de tiempos y costos b) Ajustes y Evaluación de resultado

EJEMPLO:

Origen Se trata de una técnica aplicada importantes proyectos de nuestra historia contemporánea. La Armada de los Estados Unidos comenzó a utilizarla en 1958 para la planificación del proyecto Polaris, un misil balístico basado en submarinos, construido con armas nucleares durante la Guerra Fría. Se dice que gracias a la lógica de PERT, se adelantó dos años la fecha de terminación de su construcción. Toda una ventaja si tratamos un contexto bélico. El programa Apolo, por ejemplo, también fue programado siguiendo el método PERT. En la actualidad, PERT se emplea tanto en proyectos gubernamentales como relativos a la industria. De hecho, algunos gobiernos, como el estadounidense o instituciones públicas como la NASA, exigen a las compañías privadas un trabajo basado en la lógica de PERT.

¿Para qué sirve el diagrama de PERT?

El Diagrama de PERT es utilizado por las empresas desde mediados del siglo pasado. Sus funcionalidades son múltiples, ya que entre las más destacadas, la técnica de PERT nos ayuda a saber cuál será el final del proyecto. Es decir, la fecha mínima en la que terminaremos nuestro trabajo. Esto nos permite establecer una comunicación más efectiva con el dueño del proyecto o cliente. PERT cumple unos aspectos primordiales. 

Funciona a través de una red de relaciones de procedencia de los elementos que componen las actividades, respecto al orden en el que se deben ejecutar.



Su característica fundamental es la duración de las actividades



Busca cumplir con fechas de entrega específicas



Evalúa el impacto de los cambios durante la ejecución del proyecto.

Las simulaciones

pueden

gestionar

mejor

la

incertidumbre.

Si

hay

desviaciones de lo planificado, se comprobará cómo afecta ese cambio al proyecto en su conjunto. Lo podemos obtener automáticamente con aplicaciones avanzadas de gestión. Además, todo ello puede estar representado en un diagrama de Gantt. PERT también sirve para muchas más cosas. Recopilamos una serie de ventajas y desventajas del Diagrama de PERT. Ventajas 

Organizar actividades.



Calcular rutas de trabajo optimizadas.



Tiene en cuenta las dependencias entre las tareas.



Planificaciones más efectivas y realistas.



Tiene en cuenta cada actividad de manera individual y su relación con las demás tareas.



Permite la identificación de cuellos de botella o nodos críticos en la ruta de trabajo.



Ayuda a cumplir plazos y presupuestos estimados.



Mejora la toma de decisiones anticipadas y efectivas.



Mejor integración y presentación de datos a los interesados del proyecto.

Desventajas 

No fomenta la planificación flexible. Es complicado re-planificar si aplicas técnicas de PERT en la gestión de proyectos. Afortunadamente, existen aplicaciones como Sinnaps que superan este límite para adaptar el métodos PERT y CPM al mundo tan versátil en el que vivimos hoy.



No disponemos de datos suficientes al crear el diagrama de PERT online. Cuando realizamos la primera planificación o estimación del proyecto, aún no tenemos una información exhaustiva y completa del mismo. ¿Cómo saber la estimación exacta de costes o plazos? De ahí, que tengamos la necesidad de re-planificar y nos lleve a la primera barrera de PERT: su estatismo.



Supone un enorme esfuerzo realizar por nosotros mismos una red de PERT de un proyecto medio. Las rutas de trabajo suelen contener varias actividades, con varias dependencias entre sí. Debemos tener en cuenta diferentes y múltiples nexos



Único parámetro es el factor tiempo. Si falla algún dato sobre duraciones de actividades, cambios de fechas, plazos u otra variación en la gestión de recursos, toda la red PERT se vendría abajo. De ahí, la importancia de usar apps que tengan en cuenta estas desventajas del Diagrama de PERT, y que permitan planificaciones flexibles.



No es un método ágil. Por todo lo que hemos mencionado anteriormente, la técnica de PERT es predictiva pero no es ágil. No permite una revaluación constante de la planificación, alejándose así de una gestión realista. Sí predice lo que sucederá en proyectos con un nivel de incertidumbre no muy elevado.

DIFERENCIA ENTRE PERT Y CPM

El modelo PERT y CPM suelen ir asociados en toda gestión de proyectos. Ambas técnicas llevan empleándose desde los años 50 del siglo XX, cuando comenzaron su aplicación por la armada estadounidense. La técnica de PERT se centra en establecer las relaciones entre las actividades, a partir de las dependencias entre ellas. Mientras que CPM encuentra los caminos críticos y cuellos de botella del proyecto, apoyada de PERT. Los caminos críticos son las rutas que primero debemos realizar si queremos terminar en plazo. Porque muchas actividades estarán esperando que se realicen otras previas. Esta ruta crítica suele marcar el final del proyecto, ya que suele ser de las más largas del mismo.

Referencia: https://www.sinnaps.com/blog-gestion-proyectos/diagrama-de-pert

Partes del Diagrama de PERT Tareas: (A veces denominadas actividades o etapas), representadas por una flecha. Se le asigna a cada una de las tareas un código y una duración. Sin embargo, la longitud de la flecha es independiente de la duración de la tarea. Etapas: Es decir, el inicio y el final de la tarea. Cada tarea tiene una etapa de inicio y una de finalización. Con excepción de las etapas iniciales y finales, cada etapa final es una etapa de inicio de la siguiente tarea. Las etapas generalmente están numeradas y representadas por un círculo, pero en algunos otros casos pueden estar representadas por otras formas (cuadrados, rectángulos, óvalos, etc.). Tareas ficticias: Representadas por una flecha punteada que indica las limitaciones de las cadenas de tareas entre ciertas etapas.

Referencia: https://es.ccm.net/contents/582-metodo-pert

PERT - Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos (Algoritmo) El algoritmo PERT se desarrolla mediante intervalos probabilísticos, considerando tiempos optimistas, probables y pesimistas, lo cual lo diferencia del método CPM que supone tiempos determinísticos. Regla 1: Cada actividad se debe representar sí y sólo sí, por un ramal o arco.

Regla 2: Cada actividad debe estar identificada por dos nodos distintos. En el caso de existir actividades concurrentes (que inicien al mismo tiempo, o que el inicio de una actividad dependa de la finalización de 2 o más actividades distintas) se debe recurrir a actividades ficticias (representadas por arcos punteados que no consumen ni tiempo ni recursos) para satisfacer esta regla. Por ejemplo, la actividad C para su inicio requiere que finalicen A y B. Las actividades A y B inician al mismo tiempo.

FASES PARA LA PLANIFICACIÓN DE UN PROYECTO CON PERT Paso 1: ACTIVIDADES DEL PROYECTO La primera fase corresponde a identificar todas las actividades que intervienen en el proyecto, sus interrelaciones, sucesiones, reglas de precedencia. Con la inclusión de cada actividad al proyecto se debe cuestionar respecto a que actividades preceden a esta, y a cuales siguen inmediatamente esta finalice. Además, deberán relacionarse los tiempos estimados para el desarrollo de cada actividad. A diferencia del método CPM, el método PERT asume tres estimaciones de tiempo por cada actividad, estas estimaciones son: Tiempo optimista (a): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma perfecta. En la práctica suele acudirse al tiempo récord de desarrollo de una actividad, es decir, el mínimo tiempo en que una actividad de esas características haya sido ejecutada. Tiempo más probable (m): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma normal. En la práctica suele tomarse como el tiempo más frecuente de ejecución de una actividad de iguales características. Tiempo pesimista (b): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma deficiente, o cuando se materializan los riesgos de ejecución de la actividad.

Paso 2: ESTIMAR EL TIEMPO ESTIMADO (DURACIÓN PROMEDIO) Y LA VARIANZA Para efectos de determinar la ruta crítica del proyecto se acude al tiempo de duración promedio, también conocido cómo tiempo estimado. Este tiempo es determinado a partir de las estimaciones como:

El cálculo del tiempo estimado deberá hacerse entonces para cada actividad. Por ejemplo para la actividad A:

Además de calcular el tiempo estimado, deberá calcularse la varianza de cada actividad. El cálculo de esta medida de dispersión se utiliza para determinar la incertidumbre de que se termine el proyecto de acuerdo al programa. Para efectos del algoritmo PERT, el cálculo de la varianza se hará a partir de sus estimaciones tal cómo se muestra a continuación:

El cálculo de la varianza deberá hacerse entonces para cada actividad. Por ejemplo para la actividad A:

Para las actividades del tabulado mencionado en el Paso 1, los tiempos estimados y varianzas serían las siguientes:

Paso 3: DIAGRAMA DE RED Con base en la información obtenida en la fase anterior y haciendo uso de los conceptos básicos para diagramar una red, obtendremos el gráfico del proyecto (los tiempos relacionados con cada actividad en el gráfico corresponden a los tiempos estimados):

Paso 4: CALCULAR LA RED Para el cálculo de la red se consideran 3 indicadores, T1, T2 y H. Estos indicadores se calculan en cada evento o nodo (entiéndase nodo entonces como un punto en el cual se completan actividades y se inician las subsiguientes.

T1: Tiempo más temprano de realización de un evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de izquierda a derecha y considerando lo siguiente: 

T1 del primer nodo es igual a 0.



T1 del nodo n = T1 del nodo n-1 (nodo anterior) + duración de la actividad (tiempo estimado) que finaliza en el nodo n.



Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con mayor valor.

En este caso para el cálculo del T1 en el nodo 8, en el que concurre la finalización de 2 actividades, deberá considerarse el mayor de los T1 resultantes: T1 (nodo 6) + G = 13 + 6 = 19 T1 (nodo 7) + H = 8 + 4 = 12 Así entonces, el T1 del nodo 8 será igual a 19 (el mayor valor). T2: Tiempo más tardío de realización del evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de derecha a izquierda y considerando lo siguiente: 

T2 del primer nodo (de derecha a izquierda) es igual al T1 de este.



T2 del nodo n = T2 del nodo n-1 (nodo anterior, de derecha a izquierda) duración de la actividad que se inicia (tiempo estimado).



Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con menor valor.

En este caso para el cálculo del T2 del nodo 1, en el que concurren el inicio de 2 actividades deberá entonces considerarse lo siguiente: T2 nodo 2 - B = 6 - 6 = 0 T2 nodo 3 - C = 9 - 2 = 7 Así entonces, el T2 del nodo 1 será 0, es decir el menor valor. H: Tiempo de holgura, es decir la diferencia entre T2 y T1. Esta holgura, dada en unidades de tiempo corresponde al valor en el que la ocurrencia de un evento puede tardarse. Los eventos en los cuales la holgura sea igual a 0 corresponden a la ruta crítica, es decir que la ocurrencia de estos eventos no puede tardarse una sola unidad de tiempo respecto al cronograma establecido, dado que en el caso en que se tardara retrasaría la finalización del proyecto.

Las actividades críticas por definición constituyen la ruta más larga que abarca el proyecto, es decir que la sumatoria de las actividades de una ruta crítica determinará la duración estimada del proyecto. Puede darse el caso en el que se encuentren más de una ruta crítica.

Ruta crítica:

Esta ruta se encuentra compuesta por las actividades A, C, E, G, I, J. La duración del proyecto sería de 22 semanas.

Paso 4: CÁLCULO PROBABILIDADES

DE

LA VARIANZA,

DESVIACIÓN

ESTÁNDAR

Y

La varianza y la desviación estándar para la culminación del proyecto se relacionan con las actividades que comprenden la ruta crítica. Así entonces, para calcular la varianza basta con sumar las varianzas de las actividades A, C, E, G, I y J:

La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada de la varianza del proyecto, es decir:

Con la información que acabamos de obtener podemos efectuar cálculos probabilísticos de terminación del proyecto. Por ejemplo, sí se nos pide hallar la probabilidad de que el proyecto se culmine antes de 26 semanas, procederíamos de la siguiente forma y siguiendo la teoría de distribución normal:

Buscando este valor en una tabla de distribución normal encontramos que equivale a 0,9612, es decir que la probabilidad de culminar el proyecto en 26 semanas o menos es del 96,12%.

Referencia: https://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/pert-tecnica-de-evaluacion-y-revision-deproyectos/ Según Parodi (2001), un proyecto consiste en un conjunto de actividades que se encuentran interrelacionadas y coordinadas; la razón de ser de un proyecto es alcanzar objetivos específicos dentro de los límites que imponen un presupuesto y un lapso de tiempo previamente definidos. Un criterio diferenciador entre los proyectos es, sin duda alguna, su ciclo de vida ya que aún y cuando las fases por las cuales debe atravesar cada proyecto durante su existencia sean similares, la duración de las mismas está asociada directamente con el tipo proyecto; por tanto, la configuración del ciclo de vida entre un proyecto y otro depende de su propia naturaleza. El arranque del proyecto se da en el momento en que se da inicio con las actividades asociadas con él; por su parte, el nivel de esfuerzo se incrementa paulatinamente para posteriormente descender y desaparecer en el momento en que el proyecto concluye. Las múltiples actividades que integran a los proyectos tienen características distintas; sin embargo, deben estar sujetas, al menos, a dos condiciones: tiempos y costos. El tiempo se descompone para propósitos analíticos en el tiempo requerido para completar los componentes del proyecto que es, a su vez, descompuesto en el tiempo requerido para completar cada tarea que contribuye a la finalización de cada componente. Cuando se realizan tareas utilizando gestión de proyectos, es importante partir el trabajo en pedazos menores para que sean fáciles de seguir. El costo de desarrollar un proyecto depende de múltiples variables incluyendo costos de mano de obra, costos de materiales, administración de riesgo, infraestructura (edificios, máquinas, entre otros.), equipo y utilidades. Cuando se

contrata a un consultor independiente para un proyecto, el costo típicamente será determinado por la tarifa de la empresa consultora multiplicada por un estimado del avance del proyecto. La administración de proyectos implica una serie de operaciones que inician una vez que se ha tomado la decisión de ejecutar el proyecto y que se ha demostrado su viabilidad técnica y financiera a través de la evaluación del mismo. Las estimaciones, tanto de tiempo como de costos, son fundamentales para la elaboración de los programas de trabajo y responsabilidades; la determinación de la duración y costo del proyecto; los requerimientos de flujos de efectivo; la definición de rutas críticas de progreso en las fases del proyecto; entre otros. Frecuentemente, las estimaciones son realizadas a partir de experiencias similares precedentes, las cuales permiten hacer inferencias relacionadas con los tiempos y costos requeridos en la ejecución de los proyectos; sin embargo, es necesario añadir técnicas de estimación que permitan perfeccionar la información histórica. Según Gray y Larson (2009) el líder del proyecto deberá considerar las siguientes premisas en los procesos de estimación de recursos, tiempos y costos, a fin de que las estimaciones sean útiles y contribuyan en el cumplimiento exitoso del proyecto: a) Responsabilidad. Es importante que se involucre en la estimación a las personas encargadas de realizar las tareas; de lo contrario, será complicado responsabilizarlas por el cumplimiento fuera de tiempo de las actividades asignadas. En este aspecto es importante definir los criterios de selección de las personas que participarán en la planeación de las actividades, la experiencia en el desarrollo de las tareas específicas podría ser un parámetro a considerar. b) Utilización de diversas personas para realizar la estimación. Esto permitirá que los tiempos y costos estimados tengan mayores probabilidades de asemejarse a los reales; aunque la participación de un grupo de personas en estas actividades implica que cada una integrante del equipo anteponga sus prejuicios a partir de sus propias experiencias; sin embargo, es posible concretar consensos. c) Condiciones normales. Los supuestos en los que se soporta la estimación de tiempos y costos para cada actividad del proyecto deben estar directamente relacionados con las condiciones habituales y cotidianas asociadas con el entorno del mismo; por ejemplo, si en una empresa se cuenta con una jornada laboral de ocho horas diarias, entonces el tiempo asignado a cada tarea deberá considerar esa condición; también debe considerarse la cantidad de recursos, financieros, humanos y materiales a con los cuales podrá contar la organización. d) Unidades de tiempo. Es importante que las estimaciones consideren unidades de tiempo estándar; por ejemplo, semanas, días hábiles, horas, minutos.

e) Independencia. El grupo de personas encargadas de hacer las estimaciones deben considerar a cada tarea como independiente. Esto permite asegurar que el total de tiempo y costos asignados a una actividad serán exclusivos para ésta y no para otras. De esta manera se garantiza el control y supervisión del desarrollo de cada una de las tareas. f) Contingencias. Las estimaciones deben asumir condiciones normales; por lo que los dueños del proyecto deberán crear un fondo para cualquier contingencia que pudiera presentarse. g) Identificación de riesgos. Es de gran utilidad la identificación de riesgos en cada una de las actividades que conforman el proyecto; esto permitirá implementar mecanismos de medición y control para cada uno de los riesgos que pudieran presentarse. La administración de los riesgos del proyecto debe iniciar desde la planeación del mismo. Estimación de tiempos y costos Existen distintos tipos de métodos que permiten estimar tiempos en la administración de un proyecto. Es imprescindible considerar: la duración total del proyecto, fecha de inicio y fin de cada una de las actividades, así como el conocimiento que tendrá el atraso o desfase en la realización de las tareas individuales que forman parte del proyecto. Los atrasos en las actividades individuales del proyecto tienen incidencias directas en los costos presupuestados. Método PERT (Program Evaluation and Review Technique) Es un método que se creó en 1957 y permite: fijar objetivos, buscar y organizar los medios necesarios para alcanzar los objetivos previamente fijados y, controlar la concordancia existente entre el plan fijado y lo que se está realizando. Este método es similar al procedimiento conocido como ruta crítica; sólo que el primero asume que la duración de cada actividad sigue una distribución estadística. La aplicación del PERT es sumamente amplia ya que puede ser utilizado en la administración de cualquier tipo de proyecto. Se plantan tres principios básicos que son necesarios para construir los diagramas a través de los cuales se representan las actividades del proyecto: a) Principio de designación sucesiva. Se nombra a los vértices según los números naturales, de manera que no se les asigna número hasta que han sido nombrados todos aquellos de los que parten aristas que van a parar a ellos. b) Principio de unicidad del estado inicial y el final. Se prohíbe la existencia de más de un vértice inicial o final. Sólo existe una situación de inicio y otra de terminación del proyecto.

c) Principio de designación unívoca. No pueden existir dos aristas que tengan los mismos nodos de origen y de destino. Normalmente, se nombran las actividades mediante el par de vértices que unen. Si no se respetara este principio, puede que dos aristas recibieran la misma denominación. La distribución beta es utilizada en este método ya que permite aproximar la duración de las actividades; esta distribución permite incorporar datos que no se distribuyen normalmente y, además, el tiempo atribuible a cada actividad puede acomodarse hacia alguno de los extremos en función de la existencia, o no, de algún atraso en la actividad. Se plantea que la duración del proyecto sigue una distribución normal. Se utiliza el siguiente planteamiento. te = (a+4m+b)/6 donde: te= tiempo valorado de actividad promedio. a = tiempo optimista de la actividad (probabilidad de 1 en 100 de terminar antes la actividad en condiciones normales). b = tiempo pesimista de la actividad (probabilidad de 1 en 100 de terminar después la actividad en condiciones). m = tiempo más probable de la actividad. Es necesario calcular la variabilidad de tiempos para las actividades y para el proyecto en su conjunto; para este efecto, se tiene:

En el caso de los tiempos asociados con la duración total del proyecto se emplean valores relacionados con la distribución normal; estos valores “Z” que constituyen el número de desviaciones estándar de la media deben ser calculados y luego localizados en las tablas que muestran los valores de la distribución normal a fin de determinar la probabilidad de que el proyecto pueda concluirse en el tiempo planeado.

TE = duración de la ruta crítica. TS = duración programada del proyecto. Z = probabilidad que debe ser localizada en la tabla que muestra los valores de la distribución normal. Diagrama de GANTT Es un esquema que incorpora, fundamentalmente, dos variables: actividades y tiempos. El diagrama de GANTT puede ser utilizado para representar gráficamente las actividades de un proyecto, planeación de las actividades, determinación de la ruta crítica, asignación de recursos, supervisión del progreso de las actividades. El procedimiento para generar un diagrama de GANTT implica lo siguiente. a) Enlistar el total de actividades que integran al proyecto y ordenarlas en función del momento en que habrán de ser desarrolladas. b) Estimar el tiempo necesario para el desarrollo de cada una de las actividades así como los recursos vayan a ser requeridos para tal efecto (financieros, humanos, tecnológicos, materiales, entre otros). c) Por último, es necesario construir el esquema considerando la inclusión de barras horizontales (una por cada actividad incluye el tiempo necesario para realizarla). No obstante, las bondades del diagrama de GANTT, se tienen ciertas limitaciones como la dificultad de representar gráficamente el cien por ciento de las actividades involucradas en un proyecto sumamente complejo, entre otras. Existen diferentes sistemas electrónicos que permiten elaborar estos diagramas de una forma rápida y sencilla. Tipos de costos Las categorías de costos más comunes que deben ser identificados en los proyectos, son: • Costos directos. Pueden identificarse fácilmente con el producto, servicio, proceso o departamento; por ejemplo, la mano de obra, los materiales, el equipo, entre otros. Estos son destinados completamente al desarrollo de cada actividad en específico, por tanto, el proyecto deberá generar flujos de efectivo suficientes para cubrirlos eventualmente. • Costos indirectos. No pueden identificarse o cuantificarse plenamente con una actividad en específico. Sin embargo, también constituyen salidas de efectivo; por tanto, la organización o dueño del proyecto deberá considerarlos.

• Costos indirectos de administración y generales. Son los costos de la organización que no están asociados directamente con algún proyecto en particular. Están presentes durante toda la vida del proyecto; por ejemplo los costos de organización para todos los proyectos y productos, como publicidad, contabilidad y alta administración, los cuales se ubican por encima del nivel del proyecto. • Costos semivariables. Son aquellos que tienen un componente fijo y un elemento variable, sufren alteraciones importantes cuando se presentan determinados cambios en el volumen de producción o venta. En cuanto a la estimación de costos, existe una amplia variedad de métodos que permite realizar esa actividad. Cada procedimiento posee ciertas ventajas y desventajas con respecto al resto; algunos poseen un amplio soporte estadístico y matemático, mientras que otros se orientan en estudios técnicos o de ingeniería. Por lo anterior, resulta conveniente utilizar más de un método a fin de aproximar las estimaciones lo más que se pueda a la realidad. A continuación, se describen algunos métodos para la estimación de costos: * Método de estimaciones de ingeniería industrial. Es también conocido como método de medición del trabajo; considera la relación entre los insumos y los productos en términos físicos. Por tanto, es muy útil cuando existe una relación física entre insumos y productos. * Método de distribución. Se utiliza cuando los proyectos siguen de cerca proyectos previos y similares en ciertos aspectos y costos; por tanto, es un método útil cuando se trata de proyectos en serie o muy similares en los que los datos históricos permiten inferir o asumir comportamientos futuros. * Método de consenso. Estima las funciones de costos considerando el análisis y opiniones acerca de los costos y sus causales recopilados en los diferentes departamentos de una empresa. Por su naturaleza es un método ágil, sin embargo, debe tenerse precaución a fin de no permitir subjetividades en las opiniones que emiten las personas involucradas en cada área. * Método de análisis de cuentas. Clasifica las cuentas de costos como variables, fijas o mixtas con respecto a las actividades identificadas; el método de consenso puede complementar al método de análisis de cuentas, incrementando la confiabilidad de las estimaciones. * Método de análisis cuantitativo. Es un método matemático; usualmente se utilizan el análisis de regresión simple y el método máximo – mínimo. En el primer caso, se debe identificar las variables, dependiente e independiente, así como establecer el período de tiempo histórico para la recolección de datos; finalmente se debe graficar y obtener la función de costos; la función de costos se obtiene a través del método de mínimos cuadrados, el cual se basa en la ecuación de la línea recta (y=a+bx) donde y representa los costos, a es el parte fija, b es la parte

variable y x es el volumen o cantidad de unidades producidas; este método es más útil cuando las observaciones, o datos, presentan una variación uniforme de desviaciones a lo largo de la línea de tendencia o promedio. Si el costo es fijo, el coeficiente de la pendiente b es de cero, si el costo es variable, la intersección a es igual a cero en la función de costos, y cuando se trata de costos que incorporaran componentes fijos y variables, los coeficientes (tanto del intercepto como de la pendiente de la recta) asumen valores positivos. En el segundo caso, se trata de un método simple, dado que utiliza únicamente los valores observados más altos o más bajos de la causante del costo dentro de un rango establecido. El objetivo principal, en términos financieros, de cualquier proyecto es maximizar los flujos de efectivo futuros traídos a tiempo presente o, alternativamente, obtener un valor presente neto lo más elevado posible. Para conseguir esto, los flujos de efectivo que genere el proyecto deben ser positivos, lo que necesariamente implica mayores entradas que salidas de efectivo; si las salidas de efectivo están asociadas con los costos entonces el análisis de costos es un aspecto relevante imprescindible en la planeación, tanto del proyecto en lo general como en cada una de las tareas o actividades que lo conforman. Recursos tecnológicos para la administración de proyectos En la medida en que se han modificado los paradigmas respecto a la importancia de la administración de proyectos también se han planteado soluciones cada vez más eficientes, precisas y oportunas. Sin duda, la tecnología provee de soporte a algunas fases de la administración de proyectos, que en la actualidad parecería imposible realizarlas sin el apoyo de herramientas computacionales; tal es el caso de la estimación de tiempos y costos. La tecnología permite desarrollar actividades relevantes como: • Coordinar equipos de trabajo a distancia. • Disminuir costos (optimización de recursos). • Perfeccionar los mecanismos de control. • Reducir tiempos de espera. • Entre otros. Las herramientas tecnológicas permiten automatizar procesos a fin de facilitar la administración de los proyectos.

5.4. Nivelación de recursos. La dificultad de las empresas para conseguir adecuar sus disponibilidades de recursos a las fluctuaciones de los distintos proyectos cuya ejecución acometen, convierte la limitación de recursos en el problema más capital de la programación de proyectos. Se presenta, a menudo, la imposibilidad de afrontar el comienzo de una actividad crítica debido a que los especialistas, los equipos o los medios financieros previstos como disponibles, no lo están. Esto provoca, en definitiva, el retraso en la fecha de terminación del proyecto. La búsqueda de una programación óptima en un proyecto, cuando existen recursos limitados, no resulta muy complicada en el caso de redes simples y con reducido número de tareas; pero, a medida que las redes se hacen más complejas, el problema se toma más difícil. La estimación de la duración, en cada una de las tareas de un proyecto, se debe hacer teniendo en cuenta la cantidad y la naturaleza del recurso o recursos necesarios para su ejecución. Los recursos pueden ser muy variados. Así, tenemos: materias primas de distintas clases, mano de obra de diversas especialidades, equipos, dinero, espacio y cualesquiera otros medios.Generalmente, el conjunto de actividades de un proyecto reclama distintas clases de recursos. De éstos, uno o varios desempeñan un carácter principal, lo que obliga a establecer sobre ellos un alto grado de planificación y control, en parangón con aquellos otros que se pueden conseguir con gran facilidad y reducido coste.Para su ejecución, en un momento dado, cada tarea consume una cantidad determinada de recursos. Los problemas de nivelación de recursos se plantean cuando, disponiendo de los medios necesarios, se desea que los recursos reclamados durante el tiempo de ejecución del proyecto —restricción a considerar— se mantengan a un nivel de carga uniforme. Al igual que sucede con la curva de intensidad en las actividades, también aquí podemos exceptuar un período inicial de empleo progresivo de recursos y un período final de utilización decreciente. En los problemas de nivelación, equilibrado o alisado de recursos, la carga debe aproximarse tanto como sea posible, por exceso o por defecto, al nivel fijado de disponibilidades. Resolución por el algoritmo de Burgess-Killebrew. Los norteamericanos A. R. Burgess y J. B. Killebrew dan un enfoque sistemático al problema de nivelación. En (A. R. BURGESS and J. B. KILLEBREW: Variation in ActivityLevelon a cyclic Arrow Diagram, "Journalof Industrial Engineering", vol. 13, núm. 2, March- April, 1S>62.) presentan un método en serie cuyas bases condensa J. F. Boss en el siguiente postulado: "La eficacia en la asignación de un recurso determinado, en función de una distribución ideal, varía en sentido inverso

a la suma —obtenida en cada unidad de tiempo, del principio al fin del proyecto— de los cuadrados de las diferencias entre las cargas totales que corresponden a las dos asignaciones." Partiendo de un proyecto con tareas programadas a una intensidad constante, el algoritmo de Burgess-Killebrew intenta establecer una curva de carga tan uniforme como sea posible. Para ello, y dado que la carga media no varía por el hecho de que una tarea se haya adelantado- o retrasado, es preciso minimizar la variancia de la carga. Esto se consigue minimizando la suma total de los cuadrados de las cargas de cada período de tiempo. Cómo llevar a cabo la nivelación de recursos. 1. Desarrollo de la estructura de desglose de trabajo: hay que comenzar por lo general y terminar por lo más específico. La dirección a seguir partiría de las etapas del proyecto para concluir en el detalle de los entregables. De cada nivel habrá que establecer la programación correspondiente, coste estimado y medios de monitorización y control. 2. Establecimiento de dependencias: hay que definirlas de forma que el trabajo se ejecute en el orden correcto y teniendo en cuenta que su origen puede ser variado. Las más frecuentes son las lógicas, que tiene que ver con el tipo de trabajo a realizar; las discrecionales, que reflejan las preferencias de la gestión a la hora de establecerlas; y, por último, las que provienen de agentes externos al proyecto. Sobre cada una de ellas hay que tratar de adquirir la visión más completa posible, puesto que, de otra forma, las decisiones que se tomen podrían afectar a los plazos al crear restricciones innecesarias. 3. Asignación de recursos: en este ámbito la asignación se refiere fundamentalmente a los de tipo humano y es cave para el siguiente paso, la nivelación de recursos. Se trata de designar responsabilidades que, en una primera fase de planificación, vendrán determinadas por roles. A medida que se vaya contando con más datos, cada uno de estos roles o perfiles se podrá identificar con una persona concreta, la responsable de la ejecución o supervisión de una tarea específica. La actualización y el consenso son fundamentales para evitar errores y/o malentendidos que puedan afectar al normal curso del proyecto. 4. Nivelación de recursos: la idea clave es buscar la coherencia. Su función principal es evitar retrasos y para lograrlo hay que identificar los tiempos no utilizados mediante el análisis de dependencias entre tareas. De esta forma se puede adquirir una ventaja importante que siempre estará en función de la precisión con que se haya elaborado el cronograma de actividades, los tipos de tareas, sus dependencias y limitaciones, y la capacidad de actualización de la información. En el momento de aplicar la nivelación de recursos, si aparecen conflictos en la disponibilidad se puede optar por retrasar ciertas tareas, cambiar sus dependencias con respecto a otra, si es posible; o asignar un recurso diferente.

5. Determinar la ruta crítica: la ruta crítica de un proyecto es la trayectoria más larga duración a través de un diagrama de red y el camino más corto para completar el proyecto. Las actividades que se encuentran incluidas en este grupo deben ser controladas con lupa por parte del Project Manager y siempre habrá de dárseles prioridad a la hora de aplicar la nivelación de recursos.

Desarrollo del método. Se comienza por elaborar el instrumento convencional de representación del proyecto: el grafo. A continuación, se establecen los calendarios de comienzo de actividades en sus fechas más tempranas o más tardías, en forma de diagramas de Gantt. Para ello, se parte de un listado en el cual se relacionan las tareas del proyecto, siguiendo un criterio determinado en el orden de precedencias. En el caso de que el calendario de partida se haya establecido a base de programar la ejecución de las actividades en sus fechas de comienzo más temprano, el algoritmo1 sigue los siguientes pasos: 1. Comenzar por el final del listado de tareas y tomar la primera actividad que posea margen disponible. Esta tarea se desplaza hacia la derecha, unidad por unidad de tiempo, determinando, cada vez, el efecto obtenido en la suma de cuadrados de carga. 2. Determinar, de todas las posiciones posibles de la tarea estudiada, aquella que, sin rebasar el margen disponible, totalice el valor más bajo en la suma de los cuadrados de carga. A valores iguales, se tomará aquél que sitúe la tarea lo más a la derecha posible. Corregir las "fechas límite" de terminación de las tareas precedentes a la examinada que hayan sido afectadas por el cambio. Esto será facilitado por el orden elegido al situar las actividades en el gráfico de Gantt. 3. Habiendo así encontrado para esta primera tarea una posición óptima, remontando la lista se pasa a la tarea más inmediata que disponga de margen. Esta tarea se somete a un tratamiento semejante al descrito para su antecesora, es decir, se desplaza hacia la derecha hasta el límite permitido por su margen, de forma que su ajuste represente una carga mínima. El proceso descrito se sigue con las demás tareas hasta llegar a la primera de la lista. De esta forma es imposible llegar a una tarea sin haber examinado previamente todas las que le siguen. El criterio de desplazar lo más a la derecha posible las tareas pretende dejar el mayor margen posible para su ajuste a las tareas precedentes. 4. Cuando se acaba el ciclo de cálculos se vuelve a comenzar de nuevo el proceso. Para ello se puede comenzar por el principio o por el final de la lista. Se finalizará cuando, tras un ciclo, ya no sea posible disminuir el valor del último criterio y se haya alcanzado un alisado satisfactorio.

Dado que el algoritmo es heurístico, resulta imposible saber si se ha logrado un alisado óptimo, a no ser que se haya alcanzado una nivelación uniforme. Por otra parte, es necesario tener en cuenta que el nivel de disponibilidades no debe ser rebasado. Si lo fuera, será preciso probar otras colocaciones, partiendo de distintas secuencias de actividades al comenzar el proceso1 iterativo. Se pueden obtener distintos resultados partiendo de un gran número de ordenaciones de tareas. El algoritmo de Burgess-Killebrew es muy sencillo. Para redes reducidas puede ser aplicado a mano o utilizando calculadoras convencionales de oficina. Sin embargo, para los problemas complejos se impone necesariamente el empleo de un ordenador electrónico. Esto no es un problema difícil, ya que Burgess y Killebrew han elaborado el programa de ordenador para su algoritmo. Fundamentalmente el algoritmo es aplicable para el caso de un solo recurso; pero también podría ser empleado para varios. El inconveniente estriba en que el alisado de un recurso suele destruir, frecuentemente, el alisado de otro. De cualquier forma, el principio general de aplicación del algoritmo es estudiar por orden prioritario, si se puede establecer, el nivelado de los distintos recursos. También puede que sea posible establecer algún otro tipo de relación entre el recurso principal y los demás, en cuyo caso el alisado se intenta para bloques de recursos, cual si se tratara de uno solo. Ejemplo: En la siguiente tabla se muestran distintas tareas a realizarse en determinados periodos de tiempo, para lo cual cuentan con un determinado periodo de inicio y de término. Supondremos, para simplificar, que cada una de las tareas del programa precisa para su ejecución una sola unidad técnica de un mismo recurso (un solo obrero y de una misma especialidad, por ejemplo).

Con esta información se construye un diagrama de red, como el de la siguiente figura:

Con los datos de la tabla anterior se confecciona un gráfico de barras o de Gantt. Se emplea para ello una escala horizontal representativa del tiempo y una barra de longitud conveniente para cada tarea.

El ordenar los datos en un diagrama como el anterior nos permite determinar rápidamente la fecha más temprana de comienzo de una actividad determinada. También el plazo mínimo de terminación del trabajo, suponiendo que no existan limitaciones relativas a la carga por intervalo de tiempo. La carga total de recursos del proyecto se eleva a 46. La carga media se calculará dividiendo este valor por el número de unidades de tiempo. Obtendremos así el valor 46 : 23 = 2. Vamos a tratar de reducir el valor 104, correspondiente a la suma de los cuadrados de las cargas diarias, a su valor "ideal" de carga uniforme: 2 2 x 23 = 92. Dado que el algoritmo de Burgess-Killebrew es heurístico, puede ocurrir que no se llegue a este valor de carga uniforme. Veamos los resultados que alcanzamos en el proceso de cálculo. En primer lugar, comenzaremos por desplazar, unidad por unidad, la tarea F. Se trata de la primera en la lista, comenzando por abajo, con margen disponible. El primer desplazamiento convierte la carga inicial del proyecto en la siguiente: 2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-3-3-3-3-3-3-1-1-1-1-1-1 La suma de los cuadrados de carga diaria se eleva a 102. Resulta, por tanto, ventajoso este desplazamiento. Siguiendo el procedimiento, podemos comprobar cómo del valor 102 pasamos al valor 100, del valor 100 al 98, de 98 a 96, de 96 a 94 y, por último, del valor 94 al valor 92, para el cual la distribución de carga es la siguiente:

2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2 Al primer intento hemos alcanzado el alisado óptimo; pero, de no haber sido así, habríamos de pasar a realizar cálculos con las actividades “G”, tal vez “D” —si fueran desplazadas “F” y “G”—, “C” y, posiblemente, “A”, aunque intuitivamente, en este caso, claramente se ve que con el desplazamiento de “F”, o bien “G”, a lo largo de 6 unidades de tiempo, habríamos alcanzado un alisado perfecto. La figura siguiente presenta el gráfico de Gantt correspondiente al alisadoóptimo.

Puede suceder que los planificadores no queden satisfechos del alisado conseguido partiendo de un programa con tareas dispuestas para su comienzo más temprano. No hay que olvidar, como indican sus creadores, que el algoritmo puede generar resultados distintos para un mismo programa. Es suficiente, para ello, partir de distintos planeamientos al comenzar la operatoria. Bibliografía Consultada: 

Ortigueira,M.. (Sin año). La programación de proyectos con recursos limitados. Noviembre 01, 2018, de Facultad de Ciencias Económicas de Málaga Sitio web: https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/2494712.pdf

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https://www.obs-edu.com/int/blog-project-management/herramientasesenciales-de-un-project-manager/nivelacion-de-recursos

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https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/es/SSG2D3_7.6.0.1/com.ib m.mbs.doc/scheduler/c_sched_opt_models.html

6.1 El proceso de simulación: concepto, elementos y fases. Concepto. Introducción a la simulación.

Introducción. Cuando alguien tiene la responsabilidad de conducir un sistema dado, como, por ejemplo: un banco, una ciudad, un sistema de transporte, etc., debe tomar continuamente decisiones acerca de las acciones que ejecutará sobre el sistema. Estas decisiones deben ser tales que la conducta resultante del sistema satisfaga de la mejor manera posible los objetivos planteados.

Para poder decidir correctamente es necesario saber cómo responderá el sistema ante una determinada acción. Esto podría hacerse por experimentación con el sistema mismo; pero factores de costos, seguridad y otros hacen que esta opción generalmente no sea viable. A fin de superar estos inconvenientes, se reemplaza el sistema real por otro sistema que en la mayoría de los casos es una versión simplificada. Este último sistema es el modelo a utilizar para llevar a cabo las experiencias necesarias sin los inconvenientes planteados anteriormente. Al proceso de experimentar con un modelo se denomina simulación.

Aplicaciones de la simulación. La simulación es conveniente cuando: · No existe una formulación matemática analíticamente resoluble. Muchos sistemas reales no pueden ser modelados matemáticamente con las herramientas actualmente disponibles, por ejemplo, la conducta de un cliente de un banco. · Existe una formulación matemática, pero es difícil obtener una solución analítica. Los modelos matemáticos utilizados para modelar un reactor nuclear o una planta química son imposibles de resolver en forma analítica sin realizar serias simplificaciones.

· No existe el sistema real. Es problema del ingeniero que tiene que diseñar un sistema nuevo. El diseño del sistema mejorará notablemente si se cuenta con un modelo adecuado para realizar experimentos.

Entre las posibles desventajas de la simulación se pueden citar: · El desarrollo de un modelo puede ser costoso, laborioso y lento. · Existe la posibilidad de cometer errores. No se debe olvidar que la experimentación se lleva a cabo con un modelo y no con el sistema real; entonces, si el modelo está mal o se cometen errores en su manejo, los resultados también serán incorrectos. · No se puede conocer el grado de imprecisión de los resultados. Por lo general el modelo se utiliza para experimentar situaciones nunca planteadas en el sistema real, por lo tanto no existe información previa para estimar el grado de correspondencia entre la respuesta del modelo y la del sistema real.

Tipos de simulación. · Identidad: Es cuando el modelo es una réplica exacta del sistema en estudio. Es la que utilizan las empresas automotrices cuando realizan ensayos de choques de automóviles utilizando unidades reales (Imagen 1).

(Imagen 1 ejemplo de una simulación identidad)

· Cuasi-identidad: Se utiliza una versión ligeramente simplificada del sistema real. Por ejemplo, los entrenamientos militares que incluyen movilización de equipos y tropas pero no se lleva a cabo una batalla real. (Imagen 2)

(Imagen 2, ejemplo de una simulación causi- identidad)

· Laboratorio: Se utilizan modelos bajo las condiciones controladas de un laboratorio. Se pueden distinguir dos tipos de simulaciones: Juego operacional: Personas compiten entre ellas, ellas forman parte del modelo, la otra parte consiste en computadoras, maquinaria, etc. Es el caso de una simulación de negocios donde las computadoras se limitan a recolectar la información generada por cada participante y a presentarla en forma ordenada a cada uno de ellos. Hombre-Máquina: Se estudia la relación entre las personas y la máquina. Las personas también forman parte del modelo. La computadora no se limita a recolectar información, sino que también la genera. Un ejemplo de este tipo de simulación es el simulador de vuelo. (Imagen 3)

Simulación por computadora.

El modelo es completamente simbólico y está implementado en un lenguaje computacional. Las personas quedan excluidas del modelo. Un ejemplo es el simulador de un sistema de redes de comunicación donde la conducta de los usuarios está modelada en forma estadística. Este tipo de simulación a su vez puede ser: · Digital: Cuando se utiliza una computadora digital. · Analógica: Cuando se utiliza una computadora analógica. En este grupo también se pueden incluir las simulaciones que utilizan modelos físicos.

Elementos · Entidades: Son los objetos que fluyen a través del sistema, podrían ser: clientes, productos, cajas, camiones, entre otros. · Atributos: Son las diferentes características que definen una entidad: tipo, edad, género, volumen, tiempo de inicio de un proceso. · Variables: Son aquellas que definen al modelo y sus estados como un conjunto: número de entidades en un proceso, número de entidades entrantes, número de entidades salientes, costo de proceso unitario. · Reloj de simulación: Variable que lleva el control de tiempo virtual de simulación, no se debe confundir con el tiempo real de ejecución, es decir mientras que en mi reloj de mano pasaron 5 minutos desde que se ejecutó la simulación, en el modelo el reloj de simulación podría haber avanzado días, meses o inclusive años. · Eventos: Diferentes tipos de acontecimientos que ocurren a través de la simulación, que hacen que el reloj de simulación avance, tales como: llegada de un paciente, daño de una máquina, inicio de operación de un trabajador, finalización de un proceso de fabricación. · Recursos: Objetos a los que se les asocia algún tipo de gasto o de consumo de los mismos para realización de tareas de operación o transporte: operarios, montacargas, maquinas, bandas de transporte.

Fases · Definición del sistema: Se necesita hacer un análisis preliminar para determinar la interacción del sistema con otros sistemas, las restricciones del sistema, las variables que se van a utilizar, y sus interrelaciones y los resultados que se desean obtener.

· Formulación del modelo: Para esta fase se necesita primero de una cuantificación de parámetros de las variables. El proceso inicia con la recolección de datos que se conoce como datos en bruto y con esto se determina el tipo de modelo a utilizar. · Preparación de datos: obtener la entradas y las salidas, relaciones cuantitativas y cualitativas. Los datos deben ser tratados para que se puedan realizar predicciones del comportamiento del sistema. Si nos quedamos con los datos como los obtenemos del sistema real, podemos caer en la simulación de la simulación del pasado · Traslación del modelo: con el modelo definido el siguiente paso es decir si utiliza algún lenguaje como el FROTAN, ALGOL, LIPS, etc., o se utiliza algún simulador para procesarlo en la computadora y obtener resultados deseados · Validación: A través de esta etapa es posible detallar deficiencias en la formulación del modelo o en los datos alimentados al modelo. Las formas más comunes de validar un modelo:   

La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación La exactitud con la que se predicen los datos La exactitud en la predicción del futuro

· Planeación estratégica: Significa decir que variables modificar, en cuanto hacerlo, como evaluar las salidas, etc. De acuerdo al problema a resolver · Planeación táctica: Implica la pregunta ¿cómo realizar las corridas necesarias de acuerdo a lo planificado en la estrategia? Debe definirse en este punto que es una muestra. ¿Una corrida? ¿Una parte? También debe definirse en qué momento puede comenzar a tomarse datos · Experimentación: Se realiza después de que este ha sido validado. La experimentación consiste en generar los datos deseados y realizar un análisis de sensibilidad en los índices requeridos · Interpretación: Se interpretan los resultados que arrojan la simulación y en base a esto se toma una decisión · Documentación: Dos tipos de documentación son requeridos para hacer un mejor uso del modelo de simulación, la primera se requiere a la documentación del tipo técnico, es decir, la documentación que el departamento de procesamiento de datos debe tener de modelo. La segunda se refiere al manual de usuario, con el cual se facilita la interacción y el uso del modelo desarrollado

Ejercicios Simulación de Montecarlo

La simulación de Monte Carlo es un método que emplea números aleatorios uniformemente distribuidos que es utilizado para resolver problemas donde la evolución con el tiempo no es de importancia. A continuación, se analizará un ejemplo para comparar una solución analítica con una solución obtenida por simulación.

Determinación del área de una figura Cuando se desea calcular el área de un círculo de radio r = 10 cm no existen mayores problemas, ya que tanto el área a como su perímetro p pueden evaluarse analíticamente con las siguientes fórmulas: 2 a =p r p = 2p r En este caso la solución es a = 314.16 cm2 y p = 62.83 cm. Sin embargo, cuando se desea determinar el área de una forma irregular, por ejemplo la superficie plana de Argentina, el problema debe necesariamente ser resuelto con un método numérico; es decir, simulación. La determinación del área del círculo utilizando la simulación de Monte Carlo implica la siguiente secuencia: 1. Crear un cuadrado de lado 2.r que encierre al círculo (Imagen 3). 2. Colocar n puntos al azar dentro del cuadrado. 3. Asignar a c el número de puntos que quedaron dentro del círculo. 4. Como la probabilidad de colocar un punto dentro del círculo es igual al cociente del área del círculo dividida el área del cuadrado, el área del círculo se puede estimar en función del área del cuadrado (fácilmente calculable) con: acirculo= (c/n) (acuadrado)= (c/n)(4r^2)

(Imagen 3)

Es importante notar que para un dado n, el resultado será distinto cada vez que se realice la simulación. Es decir, que el resultado será un número aleatorio. A medida que n aumente, la varianza del resultado disminuirá y el valor medio se aproximará a la solución analítica. Para un n = 100, el resultado de una simulación es 320 cm2; mientras que para n = 10000, un resultado es 313 cm2.

Variables discretas y continuas. Una persona viaje de una ciudad A a una cuidad B Duración uniforme de parámetros: (4,6) Simulador de la variable aleatoria: 4+ (6-4) R Probabilidad de que no viaje: 0.15 Probabilidad de que viaje: 0.85 P(X) 0.15 0.85 Días: llegada y salida.

P(X) 0.15 1

Aleatorio: número elegido aleatoriamente. Viaja (si/no): si el número aleatorio es mayor a 0.85 viaja si es meno no. Aleatorio: número elegido aleatoriamente solo si viaja. Duración: 4+ (6+4) número aleatorio Calcula: si viaja se pone 1 para al finar sumar el número de viajes

6.2 Las técnicas Montecarlo. ¿Qué es el método Montecarlo?

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El método Montecarlo es un método numérico que permite resolver problemas físicos y matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias.

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El método Montecarlo fue bautizado así por su clara analogía con los juegos de ruleta de los casinos, el más célebre de los cuales es el de Montecarlo.

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Formalmente un cálculo MC no es otra cosa que una integración. En general, para integrales unidimensionales pueden usarse otros métodos numéricos más optimizados. El método MC es, sin embargo muy útil para integraciones multidimensionales.

Importancia.

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Se basa en la existencia de problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente analíticos o numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilística artificial.

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El error ~ 1/√N, donde N es el número de pruebas y, por tanto, ganar una cifra decimal en la precisión implica aumentar N en 100 veces.

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La base es la generación de números aleatorios, Conseguir un buen generador de estos números así como un conjunto estadístico adecuado

sobre el que trabajar son las primeras dificultades con la nos vamos a encontrar a la hora de utilizar este método. •

No se emplea en proyectos pequeños debido a su complejidad y se realiza mediante computadora.

¿Cómo realizamos el método de Montecarlo?

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En cualquier proyecto hay dos elementos que tienen un comportamiento no determinista:

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Las tareas. Las cuales tienen un valor medio y una variabilidad de acuerdo a una distribución estadística, que permite relacionar un determinado valor de plazo o coste a un porcentaje de representatividad.

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Los riesgos; sujetos a una probabilidad de ocurrencia y a un impacto. Si tenemos un riesgo con una probabilidad de ocurrencia del 15%, y un impacto de 1000€ y 1 día, diremos que el 15% de las veces que se ejecute el proyecto, este va a durar un día más y costar 1000€ más, el 85% de las veces restantes no.

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Es posible calcular un valor determinado para cada tarea o riesgo mediante la generación de múltiples números aleatorios de 0 a 100, asemejando el número aleatorio al porcentaje de representatividad del valor de la tarea o a la probabilidad de ocurrencia del riesgo. Al final, esto permite calcular una duración o coste total del proyecto para cada valor aleatorio.

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Si repetimos este cálculo un número suficientemente alto de veces (sobre 1000 puede ser correcto) los cuales pueden representarse en un gráfico mostrando el número de veces que ha aparecido un determinado valor de plazo o coste. A partir de este grafico podemos determinar el porcentaje de las veces que este va a cumplir una determinada restricción.

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A partir de aquí se determina si una planificación es factible o no, para ello debemos mirar si el porcentaje de veces que se cumple la restricción es superior o inferior al margen de confianza

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Si es inferior significa que la planificación no es factible, y que por tanto deberemos modificar esta hasta conseguir que lo sea, o acabar determinando que el proyecto no es posible con las restricciones impuestas.

Generación de números aleatorios.

Existen numerosos algoritmos de generación de números (pseudo) aleatorios. En particular, las diferentes variantes de RANLUX, disponibles en todas las bibliotecas matemáticas modernas.

Software de simulación.

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Actualmente existen diferentes programas comerciales que permiten aplicar el método de Montecarlo, bien de forma independiente, o partiendo de la planificación realizada en Microsoft Project o Oracle Primavera.

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Obviamente lo más recomendable en proyectos grandes es poder integrar este análisis en la herramienta de gestión de proyectos que estemos utilizado, lo que facilita el trabajo y evita errores al tener de pasar información de una plataforma a otra.

6.3 Aplicaciones de la simulación en problemas de líneas de espera e inventarios. Problemas de Línea de Espera. Una línea de espera es el efecto resultante en un sistema cuando la demanda de un servicio supera la capacidad de proporcionar dicho servicio. Este sistema está formado por un conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, etcétera, mientras que las transacciones pueden ser: clientes, piezas, autos, barcos, etcétera. Tanto el tiempo de servicio como las entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace

necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de sistemas. Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia. Modelos de decisión para línea de espera basada en costo. (Figura 1) Se pueden analizar los resultados de colas en el contexto de un modelo de optimización de costos, en el que la suma de los costos de ofrecer el servicio y de esperar se reduzca al mínimo. La figura 1 representa un modelo característico de costo (en $ por unidad de tiempo), en el que el costo del servicio aumenta al incrementar el nivel del servicio. Al mismo tiempo, el costo de esperar disminuye al incrementar el nivel del servicio. El obstáculo principal para implementar los modelos de costo es que se puede dificultar la obtención de un estimado fiable del costo unitario de espera, en especial cuando el comportamiento humano influye sobre la función del caso.

Figura 1. Estructura de un sistema de línea de espera. Línea de espera de un solo canal. Cada cliente debe pasar por un canal, una estación para tomar y surtir el pedido, para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan más

clientes forman una línea de espera y aguardan que se desocupe la estación para tomar y surtir el pedido.

Modelo de línea de espera y programación lineal Distribución de llegadas. Para determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un período dado, se puede utilizar la distribución de Poisson. /= Media o cantidad promedio de ocurrencia en un intervalo e= 2.17828 X= cantidad de ocurrencias en el intervalo

Modelo de línea de espera y programación lineal El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez el servicio ha iniciado. Se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t. e= 2.17828 μ= cantidad media de unidades que pueden servirse por período

Problemas de inventarios. Los problemas de inventarios consisten en colocar y recibir en forma repetida pedidos de determinados tamaños a intervalos de tiempos establecidos. El objetivo final de cualquier modelo de inventarios es el de dar respuesta a dos preguntas:  ¿Qué cantidad de artículos deben pedirse?  ¿Cuándo pedir? La primera pregunta representa la cantidad óptima que debe ordenarse cada vez que se haga un pedido y puede variar con el tiempo, dependiendo de la situación que se considere. La segunda pregunta depende del tipo de sistema de inventarios. El sistema requiere revisión periódica, que no es otra cosa que la recepción de un nuevo pedido de la cantidad especificada por la cantidad del pedido en intervalos de tiempo iguales, por ejemplo pedir cada semana o cada mes. La cantidad y el punto de un nuevo pedido suelen determinarse normalmente, minimizando el costo de inventario total que se puede expresar como una función de estas dos variables. Podemos resumir el costo total de un modelo de inventarios general como función de sus componentes principales en la forma siguiente: (Costo total del inventario) = (costo de compra)+ (costo de preparación)+ (costo de almacenamiento)+ (costo faltante) Costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o puede ofrecerse con descuentos. El Costo de preparación representa el gasto fijo en que se incurre cuando se hace un pedido. Es independiente de la cantidad pedida. Para satisfacer la demanda en un periodo, el pedido de cantidades menores daráá́ origen a un costo fijo mayor durante el mismo, a menos que se satisfaga la demanda haciendo pedidos mayores (y por lo tanto menos frecuentes). El Costo de almacenamiento de productos en bodegas, normalmente aumenta con el nivel de inventario. El Costo de faltante es una penalización en la que se incurre cuando se termina la existencia de un producto que se necesita. Incluye la perdida potencial de ingresos y el costo, además de la pérdida de la buena imagen hacia el cliente. Las nomenclaturas de los costos:

El nivel de inventario óptimo corresponde al costo total mínimo de las cuatro componentes. Sin embargo, un modelo de inventario no necesita incluir los cuatro tipos de costos, ya sea porque algunos de los costos son insignificantes, o porque harán que la función de costo total sea demasiado compleja para el análisis matemático. Los modelos de inventarios abarcan dos clases de modelos deterministas: estáticos y dinámicos. Los modelos estáticos tienen una demanda constante en función del tiempo y en los modelos dinámicos, la demanda cambia en función del tiempo. La demanda probabilística tiene dos clasificaciones: el caso estacionario, en el cual la función de densidad de probabilidad de la demanda se mantiene sin cambio con el tiempo; y el caso no estacionario, donde la función densidad de probabilidad varía con el tiempo.

Herramientas informáticas aplicadas en la solución del problema.

Se ha diseñado una aplicación especifica usando Excel y @risk para el presente trabajo. Esta aplicación puede ser usada para cualquier modelo de inventario relacionado con la industria farmacéutica.

@risk.

Es una herramienta informática de gran capacidad que actúa añadiendo sus posibilidades e iconos a la hoja EXCEL de Microsoft. Básicamente utiliza prestaciones estadísticas distribuciones de probabilidad, fórmulas de estadística descriptiva, muestreo y simulaciones de Monte Carlo. @RISK utiliza la técnica de la simulación basándose en la hoja de cálculo para incluir y combinar todos aquellos factores de incertidumbre y riesgo que puedan afectar a la situación.

Sistema RISK para análisis de riesgos en problemas de inventario.

Características.

@RISK se añade directamente a la hoja EXCEL, aprovecha y potencia todas sus características y posibilidades. Analiza, combina, ejecuta y muestra todos los resultados. Las distribuciones pueden ser truncadas para incluir los parámetros o valores que se quieran utilizar y en muchas de ellas se pueden cambiar los percentiles para ajustarse mejor a los datos previos. Los análisis de simulación se efectúan en base a las técnicas de muestreo de Monte Carlo y Latin Hypercube. El programa admite cualquier número de iteraciones por cada simulación y cualquier número de simulaciones en cada análisis. Permite recálculos de cada hoja, señalar un número aleatorio como generador y ver los resultados y estadísticas en tiempo real mientras se van generando en la simulación. Proporciona una amplia variedad de gráficos para interpretar y representar sus resultados.

Problema (ejemplo). Los niños nacen es un estado poco poblado, con una frecuencia de un nacimiento cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribución exponencial. Determinar lo siguiente: a) La cantidad promedio de nacimientos por año. b) La probabilidad de que no haya nacimientos en cualquier día . c) La probabilidad de emitir 50 certificados de nacimientos en 3 horas, cuando se emitieron 40 certificados durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas. La tasa diaria de nacimientos se calcula:

Los nacimientos anuales en el estado son:

La probabilidad de que no haya nacimientos en algún día se calcula con la distribución de poisson:

Para calcular la probabilidad de emitir 50 certificados en 3 horas cuando se han emitido ya 40 certificados en las 2 primeras horas, equivale a tener 10 nacimientos en 1 hora. Como λ = 60/12= 5 nacimientos por hora, entonces:

Los cálculos de la distribución de poisson, y en realidad de todas las fórmulas de colas son tediosos, y requieren manejo especial para asegurar una exactitud de cómputo razonable. Bibliografía: SAGREDO, E. J. (s.f.). GUSTO POR MATE. Obtenido de: http://benasque.org/benasque/2005tae/2005tae-talks/213s3.pdf SULUB, M. R. (s.f.). UAM. Obtenido de: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/carlosp/html/pid/montecarlo.html VILLEDA, L. C. (s.f.). APRENDAMOS CIENCIA. Obtenido de: https://www.recursosenprojectmanagement.com/metodo-de-montecarlo/ cordero, Leonardo rojas. Recursos en proyecto. 27 de 3 de 2017. https://www.recursosenprojectmanagement.com/metodo-de-montecarlo/. MEXICO, UNIVERSIDAD AUTONOMA DE. METODO MONTECARLO. 22 de 5 de 2016. https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/carlosp/html/pid/montecarlo.html. Fishman G.S., 1978, “Conceptos y métodos en la simulación digital de eventos discretos”, Limusa, México. Fecha y hora de consulta:(14/1/2018) 08:09 p-m file:///C:/Users/fc/Downloads/1051_TecnicasIISimulacion.pdf Fecha y hora de consulta: (14/1/2018) 07:02 p-m

https://www.iol.etsii.upm.es/arch/elementossimulacion.pdf Fecha y hora de consulta: (14/1/2018) 08:15 p-m

https://www.youtube.com/watch?v=WJjDr67frtM Fecha y hora de consulta: (17/1/2018) 10:11 p-m https://es.slideshare.net/GOGA81/exposicion-del-simulacion-38382231 Fecha y hora de consulta: (17/1/2018) 06:01 p-m