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I.- Encuentre el máximo y mínimo (en caso de existir) de las siguientes funciones objetivo sujetas a las restricciones correspondientes a) F (x; y) = 40x + 50y ; s:a: 2x + 5y 50 5x + 2y 60 3x + 5y 55 x + y 18 x; y 0 No tiene soución. b) F (x; y) = 2x 3x 2y 12 3x + 2y 24 x 4y 20 x + 2y 4 x; y 0

A(4; 0) B(6; 3) C(4; 6) D(0; 5) E(0; 2)

8y ; s:a:

F (x; y) = 2(4) F (x; y) = 2(6) F (x; y) = 2(4) F (x; y) = 2(0) F (x; y) = 2(0)

8(0) = 8 W 8(3) = 12 8(6) = 40 8(5) = 40 8(2) = 16

Maximo= A(4; 0) Mínimo= C(4; 6) Y D(0; 5) c) F (x; y) = 3x + 4y H(x; y) = 12x 3y x + y 14 2x + 3y 36 4x + y 16

A = (6; 8)

s:a: x 3y

0

x; y

0

F fx; y) = 3(6) + 4(8) = 50 W M {nimo 1

B = (0:67:13:33) C = (0; 16) D = (18; 0)

F fx; y) = 3(0:67) + 4(13:33) = 55:33 F fx; y) = 3(0) + 4(16) = 64 F fx; y) = 3(18) + 4(0) = 54

Mínimo= x = 6 ; y = 8 Máximo= No tiene solución d) F (x; y) = 12x

F (x; y) = 12(0)

3y; x

2y

0

2x

y

0

x+y

0

x; y

3(0)

Mínino=X = 0 ;y = 0 Máximo= No tiene solución II.- Para abonar una parcela se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 dólares por kilogramo y que contiene un 10% de nitrógeno y un 30% de fósforo y otro producto N que contiene un 20% de nitrógeno y un 20% de fósforo, y cuyo precio es de 4 dólares por kilogramo. ¿Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? M N Insumo Nitrogeno 0:1 0:2 8 Fosforo 0:3 0:2 12 Costo 3 4 x1 =Producto M x2 =Producto N Función objetivo: G = 3x1 + 4x2 Restricciones: (1)0:1x1 + 0:2x2 (2)0:3x1 + 0:2x2 (3)x1 ; x2 0

8 12

2

0

A = (0; 60) B = (20; 30) C = (80; 0)

G = 3(0) + 4(60) = 240 G = 3(20) + 4(30) = 180 W G = 3(80) + 4(0) = 240

La solución óptima es 20 del tipo M y 30 del tipo N: III.- Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino ea siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Además el triple de la producción tle vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre menor o igual que 18 unidades. Hallar el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un bene…cio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un bene…cio de 8 dolares y cada unidad de vinagre 2 dolares.

Ganancia(dlls) x1 = V ino x2 = V inagre

V ino 8

V inagre 2

Función Objetivo: G = 8x1 + 2x2 Restricciones: (1)2x1 x2 + 4 (2)4x1 + 3x2 18 (3)x1 ; x2 0

A = (3; 2) B = (2; 0) C = (0; 6)

G = 8(3) + 2(2) = 28 W G = 8(2) + 2(0) = 16 G = 8(0) + 2(6) = 12

La solución óptima es 3 unidades de vino y 2 unidades de vinagre, para obtener el máximo bene…cio. IV.- Una empresa elabora dos productos, cada uno de ellos en una cantidad que es múltiplo de 1000. La demanda de ambos productos 3

conujuntamente es mayor de 3000 unidades y menor a 6000 unidades. Se sabe que la cantidad demandada de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble del otro. Para obtener los máximos bene…cios vendiendo toda la producción, ¿cuál debe ser la producción de cada uno de ellos si uno lo vende a un precio que es el triple que el del otro? x1 =Producto 1 x2 =Producto 2 Función objetivo: G = 3x1 + x2 Restricciones: Múltiplos de 1000: (1)3000 < x1 + x2 < 6000 (2) 12 x2 < x1 < 2x2 (3)x1 ; x2 0

A = (2000; 3000) B = (3000; 2000) C = (2000; 2000)

G = 3(2000) + (3000) = 9000 G = 3(3000) + (2000) = 11000 W G = 3(2000) + (2000) = 8000

La solución óptima es 3000 unidades del producto 1 y 2000 unidades del producto 2, para obtener los máximos bene…cios.

V.- Una persona desea invertir $5000 durante el próximo año en dos tipos de inversión. La inversión A reditúa 5% y la inversión B el 8%. La investigación de mercado recomienda una asignación de por lo menos 25% en A y cuando mucho 50% en B. Además, la inversión A debe ser por lo menos de la mitad de la inversión B. ¿Cómo debe asignarse los fondos a las dos inversiones? A B Reditua 5% 8% I. Mercado 25% 50% x1 =Inversión A x2 =Inversión B 4

Función objetivo: G = 0:5x1 + 0:08x2 Restricciones: (1)x1 0:25(x1 + x2 ) (2)x2 0:50(x1 + x2 ) 1 (3)x1 2 x2 (4)x1 + x2 5000 (5) x1 ; x2 0

A = (2500; 2500) B = (0; 0) C = (5000; 0)

G = 0:05(2500) + 0:08(2500) = 325 W G = 0:05(0) + 0:089(0) = 0 G = 0:05(5000) + 0:08(0) = 250

La solución óptima es destinar $2500 a la inversión A y $2500 a la inversión B, para obtener la mayor ganancia.

VI.- Un veterinario recomendó a uno de sus clientes que alimentara a su caballo lusitano durante tres meses con maíz, trigo y sorgo. Lamentablemente el dueño sólo puede conseguir estos tres alimentos mezclando dos costales que contienen estas cantidades en diferentes proporciones como se muestra en la tabla: Costal I Costal II M a{z 4kg 0kg T rigo 0kg 3kg Sorgo 1kl 1:5kl La cantidad de estos alimentos que deberá comprar durante los tres meses se encuentra estimada en la tabla: M ezcla M a{z 12 o más kg T rigo 6 o más kg Sorgo 9 o menos kg Al dueño le cuesta $30 el costal I y $40 el tipo II. ¿Cuántos costales deberá comprar al menor costo posible para cumplir con las indicaciones del veterinario?

VII.- Considere el siguiente modelo de PL: 5

Maximizar z = 5x + 4y sujeto a 6x + 4x 24 6x + 3y 22 : 5 x+y 5 x + 2y 6 x+y 1 y 2 x; y 0 En PL se dice que una restricción es redundante si su eliminación del modelo no modi…ca el espacio de soluciones factibles. Use Geogebra para identi…car las restricciones redundantes, luego demuestre que su eliminación no afecta al espacio de soluciones ni a la solución óptima. Función objetivo: z = 5x + 4y Restricciones: (1) 6x + 4y 24 (2) 6x + 3y 22:5 (3) x + y 5 (4) x + 2y 6 (5) x + y l (6) y 2 (7) x; y 0 Espacio original con las 6 restricciones:

Solución óptima: A = (0; 1) z = 5(0)y4(1) = 4 B = (1:2) z = 5(1) + 4(2) = 13 C = (2; 2) z = 5(2) + 4(2) = 18 D = (3; 1:5) z = 5(3) + 4(1:5) = 21 W E = (3:75; 0) z = 5(3:75) + 4(0) = 18:75 F = (0; 0) z = 5(0) + 4(0) = 0 La solución óptima es: x=3 y = 1:5 Si quitamos la restricción (1): 6

No afecta al espacio de soluciones ni a la solución óptima. Es redundante. Si quitamos la restricción (2);

Solución óptima: A = (0; 1) z = 5(0) + 4(1) = 4 B = (1; 2) z = 5(1) + 4(2) = 13 C = (2; 2) z = 5(2) + 4(2) = 18 D = (3; 1:5) z = 5(3) + 4(1:5) = 21 W E = (4; 0) z = 5(4) + 4(0) = 20 F = (0; 0) z = 5(0) + 4(0) = O Si afecta al espacio de soluciones pero no a la solución óptima. No es redundante. Si quitamos la restricción (3):

No afecta al espacio de soluciones ni a la solución óptima. Es redundante Si quitamos la restricción (4):

Solución óptima: A = f0A) B = (1; 2) C = (2:67; 2)

z = 5(0) + 4(1) = 4 z = 5(1) + 4(2) = 13 z = 5(2:67) + 4(2) = 21:35 W 7

D = (3; 1:5) z = 5(3) + 4(1:5) = 21 E = (3:75; 0) z = 5(3:75) + 4(0) = 18:75 F = (0; 0) z = 5(0) + 4(0) = O La solución óptima es; X = 2:67 y=2 Si afecta al espacio de soluciones y a la solución óptima. No es redundante. Si quitamos la restricción (5):

Solución óptima: A = (0; 1) B = (0; 2) C = f2; 2) D = (3; 1:5) E = (3:75; 0) F = (0:0) La solución óptima es: x=3 y = 1:5

z = 5(0) + 4(1) = 4 z = 5(1) + 4(2) = 13 z = 5(2) + 4(2) = 18 z = 5(3) + 4(1:5) = 21 W z = 5(3:75) + 4(0) = 18:75 z = 5(0) + 4(0) = 0

Si afecta al espacio de soluciones, pero no a la solución óptima. No es redundante.. Si quitamos la restricción (6);

Solución óptima: A = (0; 1) B = (1:33; 2:33) C = (2; 2) D = (3; 1:5) E = (3:75; 0)

z = 5(0) + 4(1) = 4 z = 5(1:33) + 4(2:33) = 15:97 z = 5(2) + 4(2) = 18 z = 5(3) + 4(1:5) = 21 W z = 5(3:75) + 4(0) = 18:75 8

F = (0; 0) z = 5(0) + 4(0) = O La solución óptima es: x=3 y = 1:5 Si afecta al espacio de soluciones, pero no a la solución óptima. No es redundante. Si quitamos la restricción (7):

Solución óptima: A = (0; 1) B = (1; 2) C = (2; 2) D = (3; 1:5)

z = 5(0) + 4(1) = 4 z = 5(1) + 4(2) = 13 z = 5(2) + 4(2) = 18 z = 5(3) + 4(1:5) = 21 W

La solución óptima es: x=3 y = 1:5 Si afecta al espacio de soluciones, pero no a la solución óptima. No es redundante. Restricciones redundantes: (1) 6x + 4y 24 (3) x + y 5 VIII.- Considere el modeloz = 5x + 4ysujeto a las restricciones 6x + 4y 24 (1) x + 2y 6 (2) x+y 1 (3) y 2 (4) x; y 0 a) Encuentre máximo y mínimo para z b) Agregue la restricción y 3 ¿Qué sucede con la solución? c) Elimine las restricciones (1)y (2): ¿Qué efectos puede apreciar? Función objetivo; z = 5x + 4y Restricciones: 6x + 4y 24 9

z + 2y 6 x + 2y 1 y 2 x 0 y 0 1-. 6x + 4y 24 6(0) + 4(6) = 24 24 = 24 y=6 6(4) + 4(0) = 24 24 = 24 X=4 2-. x + 2y 6 (0) + 2(3) = 6 6=6 y=3 (6) + 2(0) = 6 6=6 x=6 3-, x+y 1 (0) + l = l y=1 ( x) + (0) = 1 x= 1 4-, y 2 y=2 Grá…ca coordenadas: (4; 6) (6; 6) ( 1; 1) (0; 2) (0; 0)

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a) Encuentre máximo y mínimo para z Máximo (3; 1:5) z = 5(3) + 4(1:5) = 21 Mínimo (0; 0) z = 5(0) + 4(0) = 0 b) Agregue la restricción y > 3. ¿.Qué sucede con la solución? Si se agrega la restricción no hay forma de obtener el máximo y el mínimo dez, ya que no haz zona que cumpla todas las coudiciones.

c) Elimine las restricciones (1) y (2). ¿Qué efectos puede apreciar? Al eliminar las dos primeras restricciones 1-. 6x + 4y 24 y 2-. x + 2y 6 causa un cambio en la zona que cumple las condiciones y en los puntos para encontrar el valor máximo.

IX.- Considere la función a maximizarz = 2x1 + 4x2 sujeta a x1 + 2x2 5 x1 + x2 4 x1 ; x2 0 Describa cualquier hallazgo importante encontrado en el proceso de solución. En esta imagen muestra cómo pueden presentarse óptimos alternativos en el modelo de programación lineal cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria. Todopunto del segmento de recta BC representa un óptimo alternativo con el mismo valor objetivo z = 10.

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La integración 1 llega al óptimo x1 = 0, x2 = 25 y z = 10, que coinciden con el punto B. El cohe…ciente de x, no básica es cero, lo que indica que x, puede entrar a la solución básica sin cambiar el valor de z, pero causando un cambio en los valores de las variables. Eso es justo lo que hace la interacción 2, dejar que x1 entre la solución básica, con lo que se obliga a que salga x4 . Esto da como resultado un nuevo punto de solución en C(x1 = 3, x2 = 1, z = 10). El método símplex sólo determina los dos puntos esquina B y C. Se pueden determinar matemáticamente todos los puntos (x1 ; x2 ) en el segmento de recta BC como promedio ponderado no negativo de los puntos B y C. Así, dado 0 1 y que B : x1 = 0, x2 = 52 C : x1 = 3, x2 = 1 Todos los puntos del segmento de recta BC se expresan con x1 = (0) + (1 )(3) = 3 3 )(1) = 1 + 32 x2 = ( 53 ) + (1 Cuando = 0, (x1 ; x2 ) = (3; 1), que es el punto C. Cuando = 1; (x1 ; x2 ) = (0; 25 ), que es el punto B. Con valores de entre 0 y 1; (x1 ; x2 ) está entre B y C. En la práctica, los óptimos alternativos son útiles porque permiten escoger entre muchas soluciones sin que se deteriore el valor objetivo. Por ejemplo, en este cado, la solución en B indica que sólo la actividad 2 está en un nivel positivo, mientras que en C ambas actividades son positivas. Si el ejemplo representa un caso de mezcla de productos, podría ser bené…co, desde el punto de vista de competencia en ventas, fabricar dos productos en lugar de uno. En este caso, la solución C puede ser más atractiva. X.- Una compañía internacional del área de las medicinas desea fabricar un compuesto a base de dos productos I y II. El primero de ellos contiene 30% de proteínas, 1% de grasas y un 10% de azúcares. El producto II contiene un 5% de proteínas, 7% de grasas y 10 % de azúcares. Es importante que el compuesto tenga, al menos, 25g de proteínas, 6g de grasas y 30g de azúcares. El costo del producto I es de $0.6 por gramo y $0.2 por gramo para el tipo II. ¿Cuántos gramos de cada producto debe tener el compuesto para que el coste total sea el mínimo.

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