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PROLOGO I.

INTRODUCCIÓN En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodos numéricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, por ejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámico-estructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos de ecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas. OBJETIVOS -

II. II.1.

Desarrollar ejercicios de métodos numéricos aplicados en la industria alimentaria aplicando el método de Euler. Analizar e interpretar el método de Euler. FUNDAMENTO MÉTODO NUMÉRICOS

Se pueden definir a los métodos numéricos como las técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de manera que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas, o también como el grupo de conocimientos matemáticos relacionados con el diseño y análisis de algoritmos necesarios para resolver problemas de ciencia e ingeniería. Estos métodos se caracterizan porque: permiten dar más importancia a la formulación e interpretación de la solución, los cálculos involucrados están

relacionados

con

cantidades

discretas,

permiten

obtener

resultados aproximados y ayudan a identificar, cuantificar y minimizar los errores.

II.2.

DEMOSTRACION METODO DE EULER

El método de Euler rara vez se utiliza en la práctica para obtener la solución aproximada de un problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivación de la fórmula y de la determinación del error. Los métodos de orden superior utilizan las mismas técnicas, pero el álgebra que requieren es mucho más complicada.

Con el método de Euler se obtiene una solución aproximada de un problema de valor inicial como el que se muestra en la ecuación (1), en un conjunto finito de puntos.

(1) Para empezar, se determina la malla {t 0, t1,... , tN} de paso h, donde t0 = a y tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución. Para determinar la fórmula del método, se parte de un desarrollo de Taylor de la función solución y (t), alrededor de un punto de la malla, t i, suponiendo que la función y (t) posee derivadas primera y segunda continuas en (a, b): (2) Evaluando esta expresión en t = ti+1, para cualquier i, se tiene: (3) Pero como ti+1- ti = h, resulta: (4) Como y (t) satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(t i) = f(ti, yi), entonces reemplazando en la fórmula (4) resulta: (5) Si se elimina de la fórmula anterior el término del error, se puede escribir: (6) Resultando así la fórmula del método de Euler para aproximar la solución en un punto de la malla, teniendo una aproximación en el punto inmediato anterior. Como la condición en el punto a del problema de valor inicial da el valor inicial y (t 0)= a, se tiene entonces la solución

aproximada en todos los puntos de la malla. Si se llaman y i = y (ti), se tiene entonces la fórmula de Euler dada en la fórmula (7): (7) II.2.1. METODO DE EULER Si hacemos n = 2, observamos que el método de Taylor queda de la siguiente forma: y (t1;t0, y0) ≈ y1 = y0 + 1/1!f1(t0, y0)h + 1/2!f2(t0, y0)h2 y dado que f1 (t0, y0) = f (t0, y0) y f2(t0, y0) = ∂/∂t f(t0, y0) + f(t0, y0) ∂/∂y f(t0, y0), se puede reescribir como y (t1;t0, y0) ≈ y1 = y0 + f(t0, y0)h + ½(∂/∂t f(t0, y0) + f(t0, y0) ∂/∂y f(t0, y0))h2. Si dividimos el intervalo [t 0, tf] en n intervalos igualmente espaciados siendo el tamaño de paso h = (t f − t0)/n, el valor y (tf; t0, y0) con yn, que puede estimarse con la recurrencia yi = yi−1 + f(t0 + (i − 1)h, yi−1)h + 1/2(∂/∂t f(t0 + (i − 1)h, yi−1) + f(t0 + (i − 1)h, yi−1) ∂ ∂y f(t0 + (i − 1)h, yi−1)) h2 , Para i = 1,..., n. Si consideramos el problema de condiciones iniciales anterior y' = y, y(0) = 1, Tenemos que f (t, y) = y, por lo que ∂f/∂t (t, y)=0 y ∂f/∂y (t, y)=1, y así la recurrencia anterior se expresa de la forma yi = yi−1 + yi−1h + 1/2 yi−1h2 = (1 + h + h2/2) yi−1, Para i = 1,..., n. Tomando h = 0.1 (n = 10) y calculando obtenemos

y ahora los errores son ei = |ei∗0.1 − yi|, Para i = 1,..., 10, que nos da la siguiente tabla aproximada

Como vemos, el error decrece notablemente en comparación al obtenido al aplicar el método de Euler. Además, los errores para diferentes tamaños de paso son:

Como vemos, se mejora notablemente el error con respecto al método de Taylor, siendo éste además de orden dos, es decir, al dividir por 10 el tamaño de paso, el error es aproximadamente el del paso anterior al cuadrado.

Aumentando el orden del método de Taylor, seguimos disminuyendo el error producido. Sin embargo, el método de Taylor presenta el problema de que hay que derivar sucesivamente las funciones que determinan la ecuación o sistema de ecuaciones diferenciales, y esto frecuentemente no es tarea fácil. Además, en el caso del ejemplo anterior para la ecuación y0 = y, el incremento del orden no mejora el algoritmo dado que f m(t, y)=0 para m ≥ 3.

III. IV. V.

ANALISIS Y RESULTADO CONCLUSIONES REVISION BIBLIOGRAFICA