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• Rola Patiño

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Índice 1

Aritmética de punto flotante………………………………………..

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Aproximación numérica…………………………………………… 4 1.2 Errores: truncamiento, redondeo y su repercusión en los procesos…… 4 1.2.1 Error por truncamiento………. ………………………………... 4 1.2.2 Error por redondeo…………………………………………… 4 1.2.3 Cálculo de error…………………………………………….. 5 1.3 Incertidumbre e importancia del error humano…………………….. 5 1.4 Errores de redondeo y aritmética de punto flotante………………… 5 1.5 Exactitud y precisión: error absoluto y error relativo………………….. 6 1.5.1 Error absoluto………………………………………………... 6 1.1

1.5.2

Error relativo…………………………………………………....

6 2

Solución de ecuaciones no lineales en una variable……………….7

2.1

Método de Newton – Raphson……………………………………….7

1

2.2

3

Método de la secante………………………………………………..8

Sistemas de lineales…………………………………….9

ecuaciones

Método de solución: eliminación Gaussiana (GaussJordan)…………..10 3.2 Método iterativo de Jacobi…. ………………………………………..11 3.2 Método recursivo de Gauss-Seidel. …………………………………13 3.1

4 Regresión e Interpolación……………………………………………14 4.1 Regresión lineal mediante el modelo de mínimos cuadrados……………14 4.2 Método de interpolación de Lagrange………………………………….16 5 Derivación e numérica………………………………….16

integración

5.1 Derivación numérica………………………………………………....17

6 Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias………...18 6.1

Método

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de

Euler……………………………………………………..18 6.2 Métodos de Kutta……………………………………………..20

Runge-

Introducción Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

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Aritmética de punto flotante 1.1 Aproximación numérica Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas (tediosos cálculos aritméticos), técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés;

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la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número Ejemplos: –

3.1416 es una aproximación numérica de π ,

–

1.4142 es una aproximación numérica de √2, y

–

0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

1.2 Errores: truncamiento, redondeo y su repercusión en los procesos. En el análisis numérico, al error que existe entre el valor real y el obtenido, se le llama error de aproximación. Existen varios tipos de error, pero los más comunes son: 1.2.1 Error por truncamiento. Suponiendo que queremos calcular 24/7, sabemos que el resultado de este quebrado es 3.428571... Si truncamos a dos decimales, es decir 3.42 solamente, su expresión como quebrado sería 171/50, y esto, como se puede observar, está generando un error, que más adelante lo calcularemos. 1.2.2 Error por redondeo. Tomando el ejemplo anterior, si redondeamos a dos decimales, es decir 3.43 solamente, su expresión como quebrado sería 343/100, y esto nos genera un error, que al igual que en el caso anterior, más adelante calcularemos.

1.2.3 Cálculo de error Cuando obtenemos un valor por aproximación, independientemente del método utilizado, podemos calcular el error de dos formas:

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•

Error absoluto (EA).- Es la diferencia que existe entre el valor real (R V) y el valor aproximado (V A). Es decir: EA = | VR - VA |

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Error relativo.- Es la diferencia porcentual que existe entre el valor absoluto y el valor real. Y se calcula como: (EA/VR)* 100 = ((|VR −VA |)/VR)* 100 = % Error EA = | VR −VA |

1.3 Incertidumbre e importancia del error humano. Algunos autores mencionan dentro de la clasificación de errores inherentes, los yerros humanos, que se cometen al hacer la lectura de una medida, al transmitirla o al transcribirla; pero, en virtud de que estos errores de lectura, transmisión o transcripción pueden constituirse en pifias garrafales que quedan fuera de todo control, no es posible estimarlos en forma sistematizada. Por ejemplo, si al transcribir en un documento la densidad de un producto, se anota 1.381 en vez de 1.831, que es la medida leída, la pifia es imposible de manejar y predecir.

1.4 Errores de redondeo y aritmética de punto flotante. Los errores de redondeo se producen al realizar operaciones aritméticas en las que el resultado produce una mantisa cuyo número de dígitos difiere significativamente del número de dígitos de la mantisa de alguno de los valores numéricos involucrados en la operación. Al manejar un determinado número de cifras significativas en los cálculos, el resultado tiene que ser redondeado de alguna manera, sobrestimando o subestimando el valor resultante verdadero. Sea X el resultado de una operación aritmética, el cual puede ser expresado mediante notación matemática, en forma normalizada: F x 10n, donde F está formada por m cifras obtenidas en el resultado, de las cuales, n son enteras. Este valor se puede descomponer en dos sumandos, igualmente normalizados: el primero formado por t cifras significativas, las t primeras cifras del resultado después del punto decimal: f x 10n, y el segundo formado por las (m-t) cifras no

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significativas del resultado, g x 10n-t: X = F x 10n = f x 10n + g x 10n-t En virtud de que F, f y g son números normalizados, su valor absoluto puede tomar algún valor dentro del intervalo semiabierto [0.1, 1). F está formado por m dígitos, f está formada por t dígitos y g está formada por (m-t) dígitos. 0.1 ≤ |F| < 1; [0.1, 0.999...99] m dígitos

0.1 ≤ |f| < 1; [0.1, 0.999...99] t dígitos

0 ≤ |g| < 1; [0, 0.999...] (m-t) dígitos

1.5 Exactitud y precisión: error absoluto y error relativo. 1.5.1 Error absoluto Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. La relación entre un resultado exacto o verdadero X y el valor aproximado X* está dado por: X = X* + error (1.1) El que un error tenga signo positivo o negativo, generalmente no tiene importancia, de manera que el error absoluto se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado: E = |X – X*| (1.2) El error absoluto se expresa en las mismas unidades que X y no toma en cuenta el orden de magnitud de la cantidad que se está midiendo. El error relativo normaliza el error absoluto respecto al valor verdadero de la cantidad medida: e = |E/X| = |(X - X*)/X| (1.3) 1.5.2 Error relativo El error relativo es adimensional y puede quedar expresado así, en forma fraccional, o se puede multiplicar por 100 para expresarlo en términos porcentuales:

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e (%) = |E/X| x 100 (1.4) Las ecuaciones (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) suponen que se conoce el valor verdadero de X, lo que hace que los errores absoluto y relativo: E y e sean también verdaderos. Pero normalmente X no se conoce; no tendría sentido considerar una aproximación, si se conociese el valor verdadero. La mejor estimación posible del verdadero valor de X es su aproximación X* y se define entonces una estimación del error relativo como: e* = |E/X*| Pero el problema está en cómo estimar E, en ausencia de conocimiento del verdadero valor de X. Algunos métodos numéricos usan un esquema iterativo en los que se hace una aproximación con base en la aproximación previa y esto se hace varias veces, para obtener cada vez mejores aproximaciones: e* = | (valor actual - valor anterior)/valor actual | Los cálculos se repiten hasta que: e* < e0, donde e0 es un valor prefijado previamente. Los errores numéricos se clasifican, por su origen, en tres tipos: errores inherentes, errores de redondeo y errores por truncamiento, cada uno de los cuales merece un tratamiento por separado.

Solución de ecuaciones no lineales en una variable 2.1 Método de Newton – Raphson. El Método de Newton-Raphson asume que la función f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f(x) tiene una pendiente definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la curva de f(x) cerca del punto (x0, f(x0)) .En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f(x) o denominada raíz de f(x).

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f(x)

x2 x1 x0 Modelo general del método Newton – Raphson. Formula de Newton – Raphson:

xi+1 = xi – ((f(xi))/(f’(xi)))

Ejemplo: usar el método de Newton – Raphson para aproximar la raíz de f(x)= e-x – ln x comenzando con x0 = 1 y hasta que e (%)