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MENMEN-ES REV01

INGENIERÍA EN INFORMÁTICA MÉTODOS NUMÉRICOS

DIRECTORIO Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública Dr. Rodolfo Tuirán Gutiérrez Subsecretario de Educación Superior Mtra. Sayonara Vargas Rodríguez Coordinadora de Universidades Politécnicas

II

PÁGINA LEGAL Participantes Mtro. José Luis Ledezma Sánchez - Universidad Politécnica de Toluca Mtro. Cesar Fredy Lucas González - Universidad Politécnica de Toluca Mtro. Gilberto García González - Universidad Politécnica del Valle de México Mtro. Pedro Vargas García - Universidad Politécnica de Puebla Mtro. Alejandro Pérez Pasten - Universidad Politécnica de Sinaloa Mtra. Liliana Márquez Mundo – Universidad Politécnica de Morelos Mtra. Irma Yazmín Hernández Báez - Universidad Politécnica de Morelos

Primera Edición: 2011 DR  2011 Coordinación de Universidades Politécnicas. Número de registro: México, D.F. ISBN -----------------

III

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................ 1 PROGRAMA DE ESTUDIOS .......................................................................................................................... 2 FICHA TÉCNICA ............................................................................................................................................. 3 DESARROLLO DE LAS PRÁCTICAS Y PROYECTO ...................................................................................... 5 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN............................................................................................................. 14 GLOSARIO ................................................................................................................................................... 24 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................ 25

IV

INTRODUCCIÓN Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. A continuación consideramos algunos problemas típicos, ya formulados matemáticamente, para los cuales estudiaremos técnicas numéricas de solución. En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. Aplicamos a la solución de ecuaciones no lineales, los métodos de bisección, punto fijo y Newton Raphson y para las ecuaciones lineales los métodos de Gauss Jordan. Los métodos numéricos que resuelven los sistemas se pueden clasificar en directos e indirectos. Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos y los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un número finito, pero no definido de pasos. La aplicación idónea para programar éstos métodos es Matlab y el lenguaje de programación que se recomienda para este mismo fin es C.

1

PROGRAMA DE ESTUDIOS

2

FICHA TÉCNICA MÉTODOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Nombre:

Métodos Numéricos

Clave:

MEN-ES

Justificación:

Los procesos productivos dentro de una organización, deben de hacerse con estándares de productividad, los métodos numéricos generan un visión de con qué porcentaje de error, deben ser generados para ser aplicados en cualquier fase productiva, administrativa o de servicios, dentro de una organización.

Objetivo:

El alumno será capaz de aplicar los sistemas numéricos para la resolución de problemas de cálculo y aplicaciones en las ciencias e ingeniería, utilizando un lenguaje de programación o un software de cómputo numérico comercial. • •

Habilidades:

Competencias genéricas a desarrollar:

• •

Utilizar aplicaciones de análisis y procesamiento de datos. Elaborar programas de computadora usando algún método numérico para solucionar problemas. Utilizar técnicas de detección de errores. Creatividad, confidencialidad, administración de recursos, orden, limpieza, puntualidad, empatía, responsabilidad, trabajo en equipo, liderazgo, honestidad, analítico.

Solución de problemas, analizar problemas, pensamiento crítico e investigación.

Capacidades a desarrollar en la asignatura

Competencias a las que contribuye la asignatura

•

•

Programar sistemas de información • Desarrollar aplicaciones de software usando lenguajes de programación y mediante lenguajes especializados para considerando las características de eficientar los procesos de las diseño para automatizar los procesos. organizaciones. Programar sistemas de información • Desarrollar aplicaciones web mediante usando lenguajes de programación lenguajes especializados para eficientar Web y considerando las los procesos de las organizaciones. características de diseño para automatizar los procesos.

3

Unidades de aprendizaje

Estimación de tiempo (horas) necesario para transmitir el aprendizaje al alumno, por Unidad de Aprendizaje:

Total de horas por cuatrimestre: Total de horas por semana: Créditos:

HORAS TEORÍA HORAS PRÁCTICA No No presencial presencial presencial presencial

Análisis de error.

4

2

2

2

Métodos de solución de ecuaciones.

6

3

3

3

Métodos de Solución de Sistemas de ecuaciones

6

3

3

3

Interpolación, Aproximación Polinomial y Funcional.

6

3

3

3

Solución de Ecuaciones Diferenciales.

8

4

4

4

75 5 5

4

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA ERRORES DE CÁLCULO

Nombre de la asignatura:

Métodos Numéricos

Nombre de la Unidad de Aprendizaje:

Análisis de error Tipos de errores de Cálculo

Nombre de la práctica: Número:

1

Duración (horas) :

2

Al completar la unidad de aprendizaje, el alumno será capaz de: *Describir los métodos numéricos y los conceptos básicos (cifra significativa, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo). * Resolver los diferentes tipos de Error.

Resultado de aprendizaje: Requerimientos (Material o equipo): Actividades a desarrollar:

Hojas, libreta, lápiz, regla, plumas, calculadora.

1. Calcule el error absoluto y el error relativo en las aproximaciones de p mediante p*. a. p=π





, p*= 

b. p= e, p*=2.718 c. p=√
, p*=1.414

2. Suponga que p* debe aproximar a p con un error relativo a lo sumo 10-3. Determine el máximo intervalo en que debe estar p* para cada valor de p. a. 150 b. 900

3. Use una aritmética de redondeo a tres cifras para los siguientes cálculos. Calcule el error absoluto y el error relativo con el valor exacto determinado a por lo menos cinco cifras. a. 133+0.921

b. (121- 0.327)-119 c. -10π +6e -






5



4. El número e se puede definir como e=∑ ( ), donde n!=n(n-1) … (2)(1) para n≠ 0 y !

0!=1. Calcule el error absoluto y el error relativo en las siguientes aproximaciones de e: a. ∑  /! b. ∑   /!

5. Sea f(x)= f(0.1).

    

Use una aritmética de redondeo a cuatro cifras para evaluar

Evidencias a las que contribuye el desarrollo de la práctica: EP1. Reporte de práctica en la que se resuelvan diferentes problemáticas planteadas empleando errores de cálculo.

6

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA DE METODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

Nombre de la asignatura:

Métodos Numéricos

Nombre de la Unidad de Aprendizaje:

Métodos de solución de ecuaciones

Nombre de la actividad de aprendizaje:

Métodos de solución de ecuaciones por codificación

Número: Resultado de aprendizaje: Requerimientos (Material o equipo):

2

Duración (horas) :

2

Al completar la unidad de aprendizaje, el alumno será capaz de: * Resolver ecuaciones por métodos como: Bisección, Punto Fijo, Posición falsa, Newton-Raphson y Secante, así como su codificación en un lenguaje de programación. Hojas, libreta, lápiz, regla, plumas, calculadora, computadora, lenguaje de programación.

Actividades a desarrollar: 1. Codifica y ejecuta el siguiente algoritmo de Bisección para obtener una solución a f(x) =0 dada la función f continua en el intervalo [a,b], donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos: ENTRADA extremos a,b; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de error. Paso 1 Tome i=1; FA=f(a). Paso 2 Mientras i ≤ No haga pasos 3-6. Paso 3 Tome p=a+(b-a)/2; (Calcule pi) FP = f(p). Paso 4 Si FP = 0 o (b-a)/2 < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente.) PARAR. Paso 5 Tome i = i + 1. Paso 6 Si (FA x FP) > 0 entonces tome a = p; (Calcule ai , bi ) FA = FP Si no tome b = p. Paso 7 SALIDA (‘ El método fracasó después de N0, iteraciones, N0 = ‘ , N0); (Procedimiento terminado sin éxito) PARAR.

7

2. Aplique el programa realizado en el inciso anterior para comprobar las soluciones exactas dentro de 10-2 para x3 - 7x2 + 14x – 6 = 0 en cada intervalo. a. [0,1] Respuesta: p7 = 0.5859 b. [1, 3.2] Respuesta: p8 = 3.002 c. [3.2, 4] Respuesta: p7 = 3.419 3. Codifica y ejecuta el siguiente algoritmo de Iteración de Punto Fijo para obtener una solución a p = g(p) dada una aproximación inicial p0: ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de error. Paso 1 Tome i=1; Paso 2 Mientras i ≤ No haga pasos 3-6. Paso 3 Tome p = g(p0). (Calcule pi) Paso 4 Si │p-p0│ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente.) PARAR. Paso 5 Tome i = i + 1. Paso 6 Tome p0 = p. (Defina de nuevo p0) Paso 7 SALIDA (‘ El método fracasó después de N0, iteraciones, N0 = ‘ , N0); (Procedimiento terminado sin éxito) PARAR. 4. Aplique el programa realizado en el inciso anterior para comprobar la solución con una exactitud de 10-2 para x4 - 3x2 – 3 = 0 en [1,2]. Utilice p0 = 1. Respuesta: Con g(x) = (3x2+3)1/4 y p0 = 1, p6 = 1.94332 tiene una exactitud de 0.01. 5. Codifica y ejecuta el siguiente algoritmo de Posición falsa para encontrar una solución a f(x) = 0 dada la función continua f en el intervalo [p0,p1], donde f(p0) y f(p1) tienen signos opuestos: ENTRADA aproximaciones iniciales po,p1 tolerancia TOL; número máximo de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de error. Paso 1 Tome i=2; q0 = f(p0); q1 =f(p1).

8

Paso 2 Mientras i ≤ No haga pasos 3-7. Paso 3 Tome p = p1 – q1 (p1 – p0) / (q1 – q0). (Calcule pi) Paso 4 Si │p – p1│ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente.) PARAR. Paso 5 Tome i = i + 1. q = f(p). Paso 6 Si (q x q1) < 0 entonces tome p0 = p1; q0 = q1. Paso 7 Tome p1 = p; q1 = q. Paso 8 SALIDA (‘ El método fracasó después de N0, iteraciones, N0 = ‘ , N0); (Procedimiento terminado sin éxito) PARAR. 6. Aplique el programa realizado en el inciso anterior para comprobar el resultado del siguiente ejercicio: a. El polinomio de cuarto grado f(x) = 230x4 + 18x3 + 9x2 – 221x -9 tiene dos ceros reales, uno en [-1, 0] y el otro en [0,1]. Aproxime estos ceros con una exactitud de 10-6 por medio del método de la Posición Falsa. Falsa Respuesta: Para p0 = -1 y p1 = 0, tenemos p17 = -0.04065850 y para p0 = 0 y p1 =1, tenemos p9 = 0.9623984. 7. Codifica y ejecuta el siguiente algoritmo de Newton - Raphson para obtener una solución a f(x) =0 dada la función diferenciable f y una aproximación inicial p0. ENTRADA aproximación inicial p0; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de error. Paso 1 Tome i=1; Paso 2 Mientras i ≤ No haga pasos 3-6. Paso 3 Tome p = p0 - f(p0) / f’(p0). (Calcule pi) Paso 4 Si │p-p0│ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente.) PARAR. Paso 5 Tome i = i + 1. Paso 6 Tome p0 = p. (Defina de nuevo p0) Paso 7 SALIDA (‘ El método fracasó después de N0, iteraciones, N0 = ‘ , N0); (Procedimiento terminado sin éxito) PARAR.

9

8. Aplique el programa realizado en el inciso anterior para comprobar la solución del siguiente ejercicio: Sean f(x) = x2 -6 y p0 = 1. Aplique el método de Newton para encontrar p2. Respuesta: p2 = 2.60714 9. Codifica y ejecuta el siguiente algoritmo de Secante para encontrar una solución para f(x) =0 dadas las aproximaciones iniciales p0 y p1. ENTRADA aproximaciones iniciales p0, p1; tolerancia TOL; número máximo de iteraciones No. SALIDA solución aproximada p o mensaje de error. Paso 1 Tome i=2; q0 = f(p0); q1 =f(p1). Paso 2 Mientras i ≤ No haga pasos 3-6. Paso 3 Tome p = p1 – q1 (p1 – p0) / (q1 – q0). (Calcule pi) Paso 4 Si │p – p1│ < TOL entonces SALIDA (p); (Procedimiento terminado satisfactoriamente.) PARAR. Paso 5 Tome i = i + 1. Paso 6 Tome p0 = p1; (Redefina p0, q0, p1, q1). q0 = q1; P1 = p; q1 = f(p). Paso 7 SALIDA (‘ El método fracasó después de N0, iteraciones, N0 = ‘ , N0); (Procedimiento terminado sin éxito) PARAR. 10. Aplique el programa realizado en el inciso anterior para comprobar la solución del siguiente ejercicio: Sean f(x) = x2 -6 con p0 = 3 y p1=2. Encuentre p3. Aplique el método de la Secante.. Respuesta: p3 = 2.45454 Evidencias a las que contribuye el desarrollo de la práctica: EP1. Reporte de práctica sobre la codificación de programas que realicen los métodos de Bisección, Punto Fijo, Posición falsa, Newton-Raphson y Secante.

10

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA DE MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Nombre de la asignatura: Nombre de la Unidad de Aprendizaje: Nombre de la práctica:

Métodos Numéricos Métodos de solución de sistemas de ecuaciones Sistemas de Ecuaciones 3

Número: Resultado de aprendizaje: Requerimientos (Material o equipo): Actividades a desarrollar:

Duración (horas) : 2 hrs. Al completar la unidad de aprendizaje, el alumno será capaz de: *Resolver sistemas de ecuaciones utilizando los siguientes métodos: Matrices (multiplicación e Inversa); Iterativos (Jacobi,Gauss-Seidel); Iterativo secuencial; Sistema de Ecuaciones de Newton. Hojas, libreta, lápiz, regla, plumas, calculadora, computadora, lenguaje de programación.

1. Desarrolle un programa en un lenguaje de programación para resolver Ax = b dada una aproximación inicial x(0), utilizando el método iterativo de Jacobi. 2. Desarrolle un programa en un lenguaje de programación para resolver Ax = b dada una aproximación inicial x(0), utilizando el método iterativo de Gauss – Seidel. 3. Obtenga las dos primeras iteraciones del método de Jacobi para los siguientes sistemas lineales, usando x(0) = 0: a. 3x1 – x2 + x3 = 1 3x1 + 6x2 +2x3 = 0 3x1 + 3x2 + 7x3 = 4 b. 10x1 – x2 =9 - X1 + 10x2 – 2x3 =7 - 2x2 + 10x3 =6 Evidencias a las que contribuye el desarrollo de la práctica: EP1. Reporte de práctica en la que se resuelven diferentes problemáticas planteadas empleando métodos de solución de sistemas de ecuaciones por computadora.

11

DESARROLLO DEL PROYECTO TÉCNICA DE INTERPOLACIÓN: CURVA DE BEZIER.

Nombre de la asignatura: Nombre de la Unidad de Aprendizaje: Nombre de proyecto:

Número: Resultado de aprendizaje: Requerimientos (Material o equipo): Actividades a desarrollar:

Métodos Numéricos Interpolación, Aproximación Polinomial y Funcional. Curvas de Bezier. 4

Duración (horas) : 2 hrs. Al completar la unidad de aprendizaje, el alumno será capaz de: *Realizar aproximación de funciones usando los polinomios interpolantes de Lagrange, interpolación iterada de Neville, Curva de Bezier e Integración Numérica (Método del trapecio, Métodos de Simpson). Hojas, libreta, lápiz, regla, plumas, marcadores, rotafolio, computadora, lenguaje de programación.

1. Investigar y realizar el algoritmo para construir las curvas de Bézier, Bézier dado C0,…, Cn-1 en forma paramétrica, donde Ci está representada por: () () () () () () () () (xi(t),yi(t)) = ( +  t + 
t2 +  t3, ( + ( t + (
t2 + ( t3),  para 0 ≤ t ≤ 1, determinada por el extreme izquierdo (xi, yi), el punto guía de la izquierda (  ,  ), el  extremo derecho (xi+1, yi+1) y el punto guía de la derecha (  ,  ) para cada i= 0,1, …, n-1.

2. Realiza un programa donde se aplique la técnica de Bézier. Por ejemplo: Generar una curva que pase por 3 puntos dados:

3. Exponer ante el grupo su investigación y la aplicación desarrollada. Evidencias a las que contribuye el desarrollo de la práctica: ED1 Exposición de soluciones en la que se aplique la técnica de interpolación: Curva de Bezier.

12

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA DE PROGRAMACIÓN DEL MÉTODO DE EULER

Nombre de la asignatura: Nombre de la Unidad de Aprendizaje: Nombre de la práctica o proyecto:

Métodos Numéricos Solución de Ecuaciones Diferenciales Método de Euler 5

Número: Resultado de aprendizaje: Requerimientos (Material o equipo): Actividades a desarrollar:

Duración (horas) : 2 hrs. Al completar la unidad de aprendizaje, el alumno será capaz de: * Resolver Ecuaciones Diferenciales por los métodos de: - Un paso (Euler, Taylor y Runge-Kutta) y Pasos múltiples (Adams-Bashforth y Moulton). Hojas, libreta, lápiz, regla, plumas, marcadores, computadora, lenguaje de programación.

1. Codifica y ejecuta el siguiente algoritmo (Método Método de Euler) Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial y’ = f(t,y), a ≤ t ≤ b, y (a) = α, En (N + 1) números uniformemente espaciados en el intervalo [a,b]: ENTRADA extremos a,b; entero N; condición inicial α. SALIDA aproximación w a y en los (N + 1) valores de t. Paso 1 Tome h = (b – a )/ N; t = a; w= α; Salida (t,w). Paso 2 Para i = 1,2,…, N haga pasos 3,4. Paso 3 Haga w= w + hf(t,w); (Calcule wi). t = a + ih (Calcule ti). Paso 4 Salida (t,w). Paso 5 PARAR. 2. Aplique el programa realizado en el inciso anterior para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial. a. y’ = te3t – 2y, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con h =0.5 b. y’ = cos 2t + sen 3t, 0 ≤ t ≤ 1, y(0) = 1, con h =0.25 Evidencias a las que contribuye el desarrollo de la práctica: EP1. Reporte de práctica en la que se realice el programa del método de Euler.

13

14

LISTA DE COTEJO PARA REPORTE DE PRÁCTICA

Logotipo de la Universidad

ERRORES DE CÁLCULO DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN

Nombre(s) del alumno(s):

Matricula:

Firma del alumno(s):

Producto:

Nombre del Proyecto :

Fecha:

Asignatura:

Periodo cuatrimestral:

Nombre del Docente:

Firma del Docente:

INSTRUCCIONES Revisar los documentos o actividades que se solicitan y marque en los apartados “SI” cuando la evidencia a evaluar se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” ocúpela cuando tenga que hacer comentarios referentes a lo observado. Valor del reactivo

CUMPLE

Característica a cumplir (Reactivo) SI

5%

Desempeño. Entrega la evidencia a tiempo, con orden, limpieza y sin errores de ortografía.

10%

Análisis. Responde a las preguntas de una manera clara y concisa de acuerdo a los temas vistos en clase.

10%

Planteamiento del problema. Emplea las estructuras de solución adecuadas.

5%

Escenario de pruebas. Determina las condiciones para que funcionen las estructuras planteadas.

10%

Desarrollo de la solución. solución. El proceso de desarrollo cuenta con una secuencia lógica y estructurada.

5%

Eficiencia. La solución da como resultado el valor esperado.

5%

Estructura. Aplica el procedimiento o algoritmo adecuado para dar solución al problema planteado.

50%

Eficacia. El procedimiento o algoritmo resuelve el problema planteado.

100.% 100.% NOTAS: -

NO

OBSERVACIONES NA

CALIFICACIÓN: Los reactivos sombreados deberán ser cumplidos obligatoriamente para que se considere aprobada la evidencia.

15

LISTA DE COTEJO PARA REPORTE DE PRÁCTICA DE

Logotipo de la Universidad

METODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN

Nombre(s) del alumno(s):

Matricula:

Firma del alumno(s):

Producto:

Nombre del Proyecto :

Fecha:

Asignatura:

Periodo cuatrimestral:

Nombre del Docente:

Firma del Docente:

INSTRUCCIONES Revisar los documentos o actividades que se solicitan y marque en los apartados “SI” cuando la evidencia a evaluar se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” ocúpela cuando tenga que hacer comentarios referentes a lo observado. Valor del reactivo

CUMPLE

Característica a cumplir (Reactivo) SI

5%

Desempeño. Entrega la evidencia a tiempo, con orden, limpieza y sin errores de sintaxis.

10%

Análisis. Responde a las preguntas de una manera clara y concisa de acuerdo a los temas vistos en clase.

10%

Implementación. El desarrollo del código es el adecuado (optimiza líneas de código).

5%

Escenario de pruebas. Determina las condiciones para que funcionen las estructuras planteadas.

10%

Prueba de escritorio. escritorio. Realiza pruebas de escritorio para verificar que las condiciones del problema se cumplan.

5%

Eficiencia. El programa da como resultado el valor esperado.

5%

Estructura. Aplica el algoritmo adecuado para dar solución al problema planteado.

50%

Eficacia. El algoritmo resuelve el problema planteado.

100.% 100.% NOTAS: -

NO

OBSERVACIONES NA

CALIFICACIÓN: Los reactivos sombreados deberán ser cumplidos obligatoriamente para que se considere aprobada la evidencia.

16

CUESTIONARIO GUIA SOBRE MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES

Logotipo de la Universidad

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACION MATRICULA:

GRADO Y GRUPO:

NOMBRE DEL ALUMNO:

FECHA

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

PERIODO.

Métodos Numéricos Nombre del profesor: INSTRUCCIONES Conteste las siguientes preguntas:

1. Aplique el método de bisección para obtener p3 para f(x)=√ – cos x en [0,1]. 2. Aplique el método de iteración de punto fijo para determinar una solución con una exactitud de 10-2 para 2 sen πx + x = 0 en [1,2]. Utilice p0 = 1. 3. Aplique el método de Newton para obtener la solución con una exactitud de 10-4 para el siguiente problema: x3 – 2x2 – 5 = 0, [1,4] 4. Repita el ejercicio 3 utilizando: a) el método de la secante. b) el método de la posición falsa. 5. Los problemas relativos al dinero necesario para pagar una hipoteca de una casa 

durante un periodo fijo de tiempo requiere la fórmula A= [1[1- (1 + i )-n], denominada  ecuación de la anualidad ordinaria. En esta ecuación , A es el importe de la hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para n periodos. Supongamos que se necesita una hipoteca de 135,000 pesos por una casa a 30 años y que los pagos máximos que puede realizar el cliente son de 1,000 pesos mensuales. ¿Cuál será el interés más alto que podrá pagar?

17

LISTA DE COTEJO PARA Logotipo de la Universidad

REPORTE DE PRÁCTICA PARA LA PROGRAMACIÓN DE ALGUNO DE LOS MÉTODOS ITERATIVOS

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN

Nombre(s) del alumno(s):

Matricula:

Firma del alumno(s):

Producto:

Nombre del Proyecto :

Fecha:

Asignatura:

Periodo cuatrimestral:

Nombre del Docente:

Firma del Docente:

INSTRUCCIONES Revisar los documentos o actividades que se solicitan y marque en los apartados “SI” cuando la evidencia a evaluar se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” ocúpela cuando tenga que hacer comentarios referentes a lo observado. Valor del reactivo

CUMPLE

Característica a cumplir (Reactivo) SI

5%

Desempeño. Entrega la evidencia a tiempo, con orden, limpieza y sin errores de sintaxis.

10%

Análisis. Responde a las preguntas de una manera clara y concisa de acuerdo a los temas vistos en clase.

10%

Implementación. El desarrollo del código es el adecuado (optimiza líneas de código).

5%

Escenario de pruebas. Determina las condiciones para que funcionen las estructuras planteadas.

10%

Prueba de escritorio. escritorio. Realiza pruebas de escritorio para verificar que las condiciones del problema se cumplan.

5%

Eficiencia. El programa da como resultado el valor esperado.

5%

Estructura. Aplica el algoritmo adecuado para dar solución al problema planteado.

50%

Eficacia. El algoritmo resuelve el problema planteado.

100.% 100.% NOTAS: -

NO

OBSERVACIONES NA

CALIFICACIÓN: Los reactivos sombreados deberán ser cumplidos obligatoriamente para que se considere aprobada la evidencia.

18

CUESTIONARIO GUIA SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES

Logotipo de la Universidad

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACION MATRICULA:

GRADO Y GRUPO:

NOMBRE DEL ALUMNO:

FECHA

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

PERIODO.

Métodos Numéricos Nombre del profesor: INSTRUCCIONES Conteste las siguientes preguntas:

1. Dadas las matrices A=

2 3

−1 % 2

1 3 B= ( 2 −1

2. Dadas las matrices A=

2 3

−1 % 2

B=

0 1 % 4 −2

5 ) calcular AC. 1 1 3 C= ( 2 −1

5 ) calcular ABC 1

1 2 −1 3. Calcular la inversa de la matriz A= 2 1 0 −1 1 2 4. Obtenga las dos primeras iteraciones del método de Gauss – Seidel para los siguientes sistemas lineales, usando x(0) = 0: a.

3x1 – x2 + x3 = 1 3x1 + 6x2 +2x3 = 0 3x1 + 3x2 + 7x3 = 4

=9 b. 10x1 – x2 -X1 + 10x2 – 2x3 =7 -2x2 + 10x3 =6

19

GUIA DE OBSERVACIÓN PARA EXPOSICIÓN DE LA TÉCNICA DE INTERPOLACIÓN CURVA DE BEZIER BEZIER

Logotipo de la Universidad

INSTRUCCIONES: Anote en el cuadro correspondiente el número que se ajuste a la percepción que se tiene del trabajo realizado. 1. No competente 2. Básico umbral 3. Básico Avanzado 4. Independiente 5. Competente

No.

Acciones a Evaluar

Ponderación

Observaciones

Presentación 1

El alumno presenta a su equipo y/o a sí mismo.

2

Presenta el tema y/o ejercicio de su exposición.

8

Participación Los participantes responden las preguntas del facilitador. Las respuestas de los participantes fue de forma clara y concreta. Predomina la participación de un estudiante y no del grupo. Técnica Utilizaron información del tema para resolver la problemática planteada. El desarrollo del problema/ejercicio siguió una estructura adecuada. Los participantes conocen la lógica del sistema.

9

La solución del problema fue correcta.

3 4 5

6 7

Desempeño 10

Presentaron la solución del problema a tiempo.

11

La organización del o los participantes fue adecuada. Los participantes demostraron habilidades en el manejo del sistema.

12

20

LISTA DE COTEJO PARA REPORTE DE

Logotipo de la Universidad

PROYECTO DE CURVA DE BEZIER. BEZIER.

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN

Nombre(s) del alumno(s):

Matricula:

Firma del alumno(s):

Producto:

Nombre del Proyecto :

Fecha:

Asignatura:

Periodo cuatrimestral:

Nombre del Docente:

Firma del Docente:

INSTRUCCIONES Revisar los documentos o actividades que se solicitan y marque en los apartados “SI” cuando la evidencia a evaluar se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” ocúpela cuando tenga que hacer comentarios referentes a lo observado. Valor del reactivo

CUMPLE

Característica a cumplir (Reactivo) SI

5%

Desempeño. Entrega la evidencia a tiempo, con orden, limpieza y sin errores de sintaxis.

10%

Análisis. Responde a las preguntas de una manera clara y concisa de acuerdo a los temas vistos en clase.

10%

Implementación. El desarrollo del código es el adecuado (optimiza líneas de código).

5%

Escenario de pruebas. Determina las condiciones para que funcionen las estructuras planteadas.

10%

Prueba de escritorio. escritorio. Realiza pruebas de escritorio para verificar que las condiciones del problema se cumplan.

5%

Eficiencia. El programa da como resultado el valor esperado.

5%

Estructura. Aplica el algoritmo adecuado para dar solución al problema planteado.

50%

Eficacia. El algoritmo resuelve el problema planteado.

100.% 100.% NOTAS: -

NO

OBSERVACIONES NA

CALIFICACIÓN: Los reactivos sombreados deberán ser cumplidos obligatoriamente para que se considere aprobada la evidencia.

21

LISTA DE COTEJO PARA REPORTE DE PRÁCTICA PARA PROGRAMAR EL MÉTODO DE

Logotipo de la Universidad

EULER. DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN

Nombre(s) del alumno(s):

Matricula:

Firma del alumno(s):

Producto:

Nombre del Proyecto :

Fecha:

Asignatura:

Periodo cuatrimestral:

Nombre del Docente:

Firma del Docente:

INSTRUCCIONES Revisar los documentos o actividades que se solicitan y marque en los apartados “SI” cuando la evidencia a evaluar se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” ocúpela cuando tenga que hacer comentarios referentes a lo observado. Valor del reactivo

CUMPLE

Característica a cumplir (Reactivo) SI

5%

Desempeño. Entrega la evidencia a tiempo, con orden, limpieza y sin errores de sintaxis.

10%

Análisis. Responde a las preguntas de una manera clara y concisa de acuerdo a los temas vistos en clase.

10%

Implementación. El desarrollo del código es el adecuado (optimiza líneas de código).

5%

Escenario de pruebas. Determina las condiciones para que funcionen las estructuras planteadas.

10%

Prueba de escritorio. escritorio. Realiza pruebas de escritorio para verificar que las condiciones del problema se cumplan.

5%

Eficiencia. El programa da como resultado el valor esperado.

5%

Estructura. Aplica el algoritmo adecuado para dar solución al problema planteado.

50%

Eficacia. El algoritmo resuelve el problema planteado.

100.% 100.% NOTAS: -

NO

OBSERVACIONES NA

CALIFICACIÓN: Los reactivos sombreados deberán ser cumplidos obligatoriamente para que se considere aprobada la evidencia.

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CUESTIONARIO GUIA SOBRE ECUACIONES

Logotipo de la Universidad

DIFERENCIALES

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACION MATRICULA:

GRADO Y GRUPO:

NOMBRE DEL ALUMNO:

FECHA

NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

PERIODO.

Métodos Numéricos Nombre del profesor: INSTRUCCIONES Conteste las siguientes preguntas:

1. Aplique el método de Euler para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial. a. y’ = y/t – (y/t)2, 1≤ t ≤ 2, y(1) = 1, con h =0.1 b. y’ = 1 + y/t + (y/t)2, 1≤ t ≤ 3, y(1) = 0, con h =0.2 2. Aplique el método de Taylor de órdenes dos y cuatro para aproximar la solución de los siguientes problemas de valor inicial. a. y’ = y/t – (y/t)2, 1≤ t ≤ 1.2, y(1) = 1, con h =0.1 b. y’ = sen t + e-t, 0≤ t ≤ 1, y(0) = 0, con h= 0.5 3. Aplique el método de RungeRunge-Kutta de cuarto orden para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial y compare después los resultados con los valores reales. a. y’ = y/t – (y/t)2, b. y’ = 1 + y/t + (y/t)2,

1≤ t ≤ 2, 1≤ t ≤ 3,

y(1) = 1, con h =0.1; solución real y(t) = t/(1 + ln t). y(1) = 0, con h =0.2; solución real y(t) = t tan (ln t).

4. Aplique los métodos de Adams – Bashforth y Adams – Moulton para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial. En cada caso utilice valores iniciales exactos y después campare los resultados con los valores reales. a.

y’ = te3t – 2y, )

0≤ t ≤ 1,

+* e-2t b. y’ = 1 + y/t,

1≤ t ≤ 2,

)

)

y(0) = 0, con h= 0.2; solución real y(t) = * te3t - +, e3t +

y(1) = 2, con h =0.2; solución real y(t) = t ln t + 2t

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GLOSARIO Análisis numérico: numérico es el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función. Métodos numéricos: son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Exactitud: se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. Precisión: se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. Error: es la discrepancia entre el valor exacto y el calculado. Redondeo: es el proceso mediante el cual se eliminan decimales poco significativos a un número decimal. Truncamiento: Truncamiento: es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos. Error numérico numérico total: otal: es la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Algoritmo: es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Mathematica: es un programa utilizado en áreas científicas, de ingeniería, matemáticas y áreas computacionales. Considerado como un sistema de álgebra computacional, Mathematica es también un poderoso lenguaje de programación de propósito general. MATLAB: (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.

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BIBLIOGRAFÍA Básica Título: Métodos Numéricos para Ingenieros Autor: Steven C. Chapra / Raymond P. Canale Año: 2007 Editorial o Referencia: Mc Graw Hill Lugar y año de la Edición: México 2007, 5° Edición ISBN o Registro: 978-970-10-6114-5 Título: Análisis Numérico Autor: Richard l. Burden / J. Douglas Faires Año: 2009 Editorial o Referencia: Cengage Learning Lugar y Año De La Edición: México, 2009, 7° Edición. ISBN o Registro: 978-970-686-134-4 Título: Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Autor: Antonio Nieves / Federico C. Domínguez Año: 2007 Editorial o Referencia: Grupo Editorial Patria Lugar y Año de la Edición: México 2007, 3° Edición ISBN o Registro: 978-970-817-080-2

Complementaria Título: Métodos Numéricos con Matemática Autor: l.M. García Raffi / M.J. Pérez Peñalver / E.A. Sánchez Pérez / M. Figueres Moreno Año: 2007 Editorial o Referencia: Alfaomega Lugar y Año de la Edición: México 2007, 1° Edición ISBN o Registro: 970-15-0977-3 Título: Numerical Methods, Algorithms And Tools In C# Autor: Waldemar dos Passos Año: 2009 Editorial o Referencia: Crc Press Lugar y Año de la Edición: USA 2009 ISBN o Registro: 0849374790 Título: Métodos Numéricos Aplicados con Software Autor: Shoichiro Nakamura Año: 2002 Editorial o Referencia: Pearson, Prentice Hall Lugar y año de la Edición: México 2002, 1° Edición

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