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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS Y FISICAS CARRERA DE INGENIERIA CIVIL

APLICACIÓN DE LA FORMULA DE LA SECANTE Y LOS MÉTODOS DE NEWTON RAPHSON, BISECCIÓN Y SECANTE PARA DETERMINAR EL ESFUERZO DE UNA COLUMNA.

AUTORES: JIMÉNEZ RUÍZ ROSA CECILIA CARREÑO LOOR JOSÉ ALEXANDER SANCHO CARCHIPULLA WALTER JAVIER ALBARRACÍN MACIAS ARIEL DAMIÁN

DOCENTE: LCDA. BRIONES JOHANA

GUAYAQUIL-ECUADOR 2019-2020 CII

Introducción En el presente proyecto se abordará acerca de la fórmula de la secante para determinar el esfuerzo que se genera en una columna cargada excéntricamente. La teoría de las columnas cargadas excéntricamente se basa en solucionar problemas debido a pandeo que puede sufrir una columna, considerando que una carga P nunca está perfectamente centrada, es decir que su eje de acción no coincide con el eje de la columna, generándose una excentricidad (e) debido a ese detalle. La excentricidad viene a ser, la distancia entre la línea de acción de la carga P y el eje de la columna. En vista que, en la fórmula de secante aparecen diversos parámetros, para facilitar su aplicación y desarrollo en nuestro ejercicio asignado, se usarán los métodos numéricos con el fin darle una solución adecuada. Para ejecutar y visualizar los resultados, desarrollaremos el ejercicio asignado aplicando los métodos más convenientes para comparar su convergencia y lo plasmaremos en programas como Matlab con el cual visualizaremos dichos resultados y el gráfico de la función.

Objetivos Objetivo general Aplicar los métodos numéricos estudiados en clase para calcular el valor de la raíz es decir el máximo esfuerzo. Objetivos específicos 

Realizar programas de aplicación de los métodos en Matlab para verificar la eficiencia de cada herramienta.



Determinar el método más eficiente para el cálculo del esfuerzo.



Automatizar el proceso de cálculo de las raíces de una ecuación mediante un software de manera iterativo, usando el método de la Secante, Bisección y Newton-Raphson.

Justificación Estudios han demostrado que las obras realizadas por ingenieros civiles que se han desarrollado con un análisis previo para la reducción de excesivas cargas en las infraestructuras, han llegado a ser las obras más duraderas y resistentes en comparación con infraestructuras que se realizan sin ningún cálculo previo.

El desarrollo de este proyecto se lleva a cabo debido a que como estudiantes de la carrera de ingeniería civil surge la necesidad de abordar este tipo de contenido que permite efectuar cálculos necesarios para llegar a determinar cuál es el peso máximo que la estructura va a resistir antes de llegar a una deformación permanente la cual perjudicara en su totalidad la infraestructura (en nuestro caso “UNA COLUMNA CARGADA EXCENTRICAMENTE”).

Además, el proyecto se lo realiza con el fin de presentar varios de los métodos numéricos plasmados en lenguaje de programación en MATLAB, que nos permitirán verificar nuestros cálculos realizados de forma manual, para una correcta determinación de errores en las mediciones que vamos a realizar a lo largo de nuestra carrera profesional e incluso cuando ya seamos profesionales en el área de la ingeniería civil.

Debemos tener en cuenta que nuestro aporte será muy necesario, es por ello que aquella obra que realizaremos debemos llevarla a cabo tomando en cuenta toda la serie de factores negativos que se puedan presentar, hacer el cálculo correcto y plasmar la obra con todas las medidas correctas para que esta pueda permanecer estable a lo largo del tiempo.

Marco teórico COLUMNA. Una columna es un elemento sometido a compresión, lo suficientemente delgado respecto de su longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente rompa por flexión lateral (pandeo) ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: Largas e intermedias. A veces, un tercer grupo es el de los elementos cortos a compresión. CLASIFICACIÓN: 

Columnas largas



Columnas de longitud intermedia



Columnas con carga excéntrica



Columnas cortas con cargas excéntricas

ESTABILIDAD Si el área transversal A es tal que el valor del esfuerzo en la sección transversal es menor que el valor permisible y si la deformación cae en las especificaciones dadas, la columna se ha diseñado bien. Sin embargo, puede que al aplicar una carga a la columna ésta se pandee, es decir se ha diseñado mal.

K: factor de fijación de los extremos (mide el grado de limitación contra rotación de cada extremo) L. Longitud de la columna Le: Longitud efectiva de pandeo

ESTABILIDAD ELÁSTICA 

Inestabilidad debida a pandeo está presente en elementos que son:

- Cargados en compresión (directamente o indirectamente) - Largos o delgados - No arriostrados 

La inestabilidad puede ser:

- Local o global - Elástica o plástica - Por flexión o torsión

Metodología En el ejercicio encargado se aplicará la teoría de las columnas cargadas excéntricamente, el cual se basa en solucionar el problema debido a pandeo que puede sufrir una columna, teniendo en cuenta una carga P que nunca está perfectamente centrada, designando ℮ la excentricidad de la carga, es decir, la distancia entre la línea de acción de P y el eje de la columna, reemplazaremos la carga excéntrica dada por una fuerza centrada y un par 𝑀𝐴 de momento 𝑀𝐴 = 𝑃 ∗ 𝑒.

Es claro que sin importar lo pequeño que sea la carga P y la excentricidad e, el par 𝑀𝐴 causará alguna flexión en la columna. Cuando se incrementa la carga excéntrica, tanto la fuerza axial P como el par 𝑀𝐴 aumentan y ambos causan flexión adicional sobre la columna, Así considerado, el problema del pandeo no es determinar por cuanto tiempo una columna puede permanecer recta y estable bajo la acción de una carga que se incrementa, sino cuanta flexión puede permitirse bajo la acción de la carga variable, no se debe exceder el esfuerzo admisible y la deflexión 𝒀𝒎á𝒙 no debe ser excesiva. Primero escribiremos y resolveremos la ecuación de la curva elástica. 𝑀 = −𝑃; −𝑀𝐴 = −𝑃; −𝑃𝑒

Sustituyendo el valor de M en la ecuación diferencial de la elástica, escribimos

Trasponiendo el término que tiene “y” y haciendo 𝐾 2 = 𝑃/𝐸𝐼 como antes se hizo, escribimos:

Donde la solución general para esta ecuación de segundo grado es:

Donde el último término es una solución particular de la ecuación:

𝑑2𝑦 + 𝐾 2 𝑦 = −𝐾 2 𝑒 𝑑𝑥 2 Las constantes A y B se obtienen de las condiciones frontera mostrada en la siguiente figura:

Haciendo primero: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 en la ecuación 𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝐾𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝐾𝑥 − 𝑒, tenemos:

𝐵 = 𝑒 Haciendo luego 𝑥 = 𝐿, 𝑦 = 0, escribimos: 𝐴𝑠𝑖𝑛𝐾𝐿 = 𝑒(1 − 𝑐𝑜𝑠𝐾𝐿) Recordando que: 𝑠𝑖𝑛𝐾𝐿 = 2𝑠𝑖𝑛𝐾𝐿/2𝑐𝑜𝑠𝐾𝐿/2 y que: 1 − 𝑐𝑜𝑠𝐾𝐿 = 2𝑠𝑖𝑛2 𝐾𝐿/2 Y sustituyendo en la ecuación 𝐴𝑠𝑖𝑛𝐾𝐿 = 𝑒(1 − 𝑐𝑜𝑠𝐾𝐿), obtenemos, después de reducciones. 𝐴 = 𝑒 𝑡𝑎𝑛

𝐾𝐿 2

Sustituyendo A y B en la ecuación 𝐴𝑠𝑖𝑛𝐾𝐿 = 𝑒(1 − 𝑐𝑜𝑠𝐾𝐿), escribimos la ecuación de la curva elástica: 𝑦 = 𝑒(𝑡𝑎𝑛

𝐾 𝑠𝑖𝑛𝐾𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝐾𝑥 − 1) 𝐿

El valor de la máxima deflexión se obtiene para 𝑥 = 𝐿/2 en la ecuacion 𝑦 = 𝑒 (𝑡𝑎𝑛𝑠𝑖𝑛𝐾𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝐾𝑥 − 1). Tenemos:

𝑃

Pero como 𝑘 2 = 𝐸𝐼

escribimos:

Nótese que la expresión obtenida para 𝑌𝑚á𝑥 se vuelve infinita cuando:

Aunque la deflexión realmente no llega a ser infinita, sin embargo llega a ser inaceptablemente grande y no debería permitirse que P alcance el valor critico que satisfasga la ecuación √𝑃 𝐸𝐼 × 𝐿2 = 𝜋2 . Despejando P de esta ecuación tenemos: 𝑃𝑐𝑟= 𝜋2𝐸𝐼 𝐿2 Que es el valor obtenido para una columna con carga céntrica. Despejando EI de la ecuación Pc r = π2EI L2 y sustituyendo en √P EI × L 2 = π 2 , podemos expresar la deflexión máxima en la fórmula alterna. 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒 × [sec( 𝜋 2 √ 𝑃𝑃𝑐𝑟 )−1]

El esfuerzo máximo, σmáx ocurre en la sección de la columna donde el momento flector es máximo, o sea, eσmáxn la sección transversal que pasa por el punto C, y puede obtenerse sumando dos esfuerzos normales debidos, respectivamente, a la fuerza axial y al par de flexión ejercidos en dicha sección. Tenemos: 𝜎𝑚á𝑥 = 𝑃𝐴 + 𝑀𝑚á𝑥 𝐶𝐼 Del diagrama de cuerpo libre la porción AC de la columna, encontramos que: 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑃 × 𝑦𝑚á𝑥 +𝑀𝐴 = 𝑃(𝑦𝑚á𝑥 +𝑒)

Sustituyendo este valor en σmáx = P A + Mmáx C I y recordando que I = Ar2, escribimos: σmáx =

PA [1 + (ymáx + e)C r2 ] Sustituyendo el valor de ymáx obtenido en ymáx = e[sec(√P EI ×L2 )− 1] Escribimos: σmáx = P A [1+ eC r2 sec(√P EI ×L2 )] Una formula alterna para σmáx puede obtenerse sustituyendo el valor de σmáx de ymáx = e × [sec(π 2 √ P Pc r )−1] en σmáx = P A [1 + (ymáx+e)C r2 ] Por lo tanto tenemos: σmáx = PA [1+ eC r2

× sec( π2 √ P Pc r )] La ecuacion obtenida puede usarse para cualquier condición de los extremos, siempre y cuando se use el valor apropiado de la carga crítica.

Notamos que, puesto que σmáx no varua linealmente con la carga P, el principio de superposición no puede aplicarse para la determinacion del esfuerzp debido a la aplicación simultanea de varias cargas; debe determinarse ´rimero la resultante de las cargas y luego usar las ecuaciones:

UNIVERSIDAD

NACIONAL

“HERMILIO

INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA MÉTODOS NUMERICOS pág. 18 σmáx = P A [1 + eC r2 sec(√P EI ×L2 )] o σmáx = P A [1 + eC r2 × sec(π 2 √

VALDIZAN”

FACULTAD

DE

P Pc r )] Para determinar el esfuerzo correspondiente. Por la misma razón, cualquier factor de seguridad debe aplicarse a la carga y no al esfuerzo. Haciendo: I = Ar2 en la ecuación σmáx = P A [1+ eC r2 sec(√P EI ×L2 )] y despejando la relacion de P A , escribimos:

PA = σmáx 1+ eC r2 sec( 1 2 √ P EA × L r)

Donde la longitud efectiva se usa para hacer que la formula sea aplicable a varias condiciones en los extremos. Esta se denomina “formula de la secante”; define la fuerza por unidad de área, P/A, que causa un esfuerzo máximo especificado σmáx en una columna de una relacion de esbeltez efectiva Le/r, para un valor dado de la relación eC/r, donde e es la execentricidad de la carga

aplicada. Notamos que, puesto que P/A aparece en ambos miembros, es necesario resolver una ecuación trascendental por ensayo y error, para obtener el valor de P/A correspondiente a la columna dada y a las condiciones de carga dadas.

Caso

Determinar el esfuerzo máximo de una columna a través del método de newton Raphson y

Resolucion en MatLab