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• Antonio Encinas

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DEDICATORIA A mis padres por su confianza y constante apoyo hacia mi persona.

MÉTODO DE SORBRERELAJACIONES SUCESIVAS

AGRADECIMIENTO

A los docentes de la facultad y compañeros; por su aporte y asesoramiento en el desarrollo del presente trabajo.

APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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MÉTODO DE SORBRERELAJACIONES SUCESIVAS

INDICE

INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... 4 OBJETIVOS ................................................................................................................................ 5 MÉTODO DE SOBRERELAJACIÓN SUCESIVA (SOR) .................................................... 5 ALGORITMO ......................................................................................................................... 7 EJERCICIOS SOBRE RELAJACIÓN SUCESIVA ............................................................ 9 CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 12 RECOMENDACIONES ........................................................................................................... 13 BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA ..................................................................................... 14 ANEXOS .................................................................................................................................... 15 CÓDIGO DEL MÉTODO DE SOBRERELAJACIÓN SUCESIVA EN MATLAB ...... 15

APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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MÉTODO DE SORBRERELAJACIONES SUCESIVAS

INTRODUCCIÓN

El análisis numérico, aunque históricamente ha sido utilizado desde el principio de la civilización, solamente alcanzó un nivel de desarrollo suficiente en el siglo anterior, debido fundamentalmente a la aparición y desarrollo de las computadoras, como herramienta de apoyo. Básicamente, se puede definir el análisis numérico como “un conjunto de métodos que permiten resolver problemas de cálculo aritmético utilizando aproximaciones numéricas sucesivas hasta llegar a un nivel de exactitud deseable”.

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OBJETIVOS

Objetivos principales: 

 

Encontrar las aproximaciones de los valores de las variables de un sistema de ecuaciones lineales, por medio de la realización de varios cálculos, obteniendo así aproximaciones por cada etapa. Analizar, observar y entender el desarrollo del método de sobre-relajación sucesivo (SOR). Verificar que el método numérico funcione adecuadamente.

Objetivos secundarios:  

Distinguir y aplicar los diferentes métodos de interpolación polinómica en problemas específicos. Adquirir destreza en el uso del software de cálculo Excel, de manera que sea posible programar algoritmos numéricos y plantear y resolver problemas.

MÉTODO DE SOBRERELAJACIÓN SUCESIVA (SOR)

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Este método permite mejorar la convergencia usando relajación. La relajación representa una ligera modificación del método de Gauss-Seidel y ésta permite mejorar la convergencia en algunos casos. Después de que se calcula cada nuevo valor de x, ése valor se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados de las iteraciones anterior y actual. Luego de calcular un nuevo valor de x por el método iterativo de Gauss – Seidel, ese valor se modifica por un promedio ponderado de los resultados de las iteraciones hechas con Gauss – Seidel. Lo anterior se conoce como la técnica de SOR. Su forma general está dada de la siguiente manera:

Para hallar los valores de x en el sistema de ecuaciones, se debe emplear la función fundamental: Xi(k) = (1 – w) xi(k) + w xi(k-1) Para un sistema de 3 ecuaciones, sería:

Se debe reemplazar w por un valor del intervalo abierto (0, 2), para obtener un Nuevo sistema de ecuaciones. Luego se deben reemplazar los valores iniciales con el fin de empezar a iterar y hallar un error menos a la tolerancia deseada. Nota 1

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Si w = 1, el método es el mismo Gauss – Seidel. Si w pertence (0, 1), se tendrá un método de subrelajación que será útil cuando Gauss – Seidel no converja.

Nota 2 Si w pertenece (0, 2) se tendrá un método de sobrerelajación que será útil para acelerar la convergencia de Gauss – Seidel. Su forma matricial está dada de la siguiente manera:

Teorema Si A es definida positiva estrictamente, entonces los método de SOR generan una sucesión {x(k)}k=0∞ que converge para cualquier elección de w entre 0 y 2; y para todo x(0). Hay que tener en cuenta que w = 0 no se toma debido a que no se obtendrían mejoras a la aproximación inicial; tampoco se toma w ≥ 2 ya que la sucesión diverge.

ALGORITMO

1. Comprobar la convergencia si la matriz A es diagonal estrictamente dominante. |a11| > |a12| + |a12| … + |a1n| |a22| > |a21| + |a23| … + |a1n| . . . 2. Despejar la incógnita correspondiente a cada ecuación. 3. Establecer el valor semilla de las variables x (0) = 0, 4. Aplicar la relajación mediante la fórmula: Xi(k) = (1 – w) xi(k) + w xi(k-1) 4.1.Para la primera variable, se usan todos los valores obtenidos en la iteración anterior. Si es la primera iteración usar los valores semilla x (0) = 0, : 4.2.Para las variables posteriores se va usando el valor de variables ya obtenido en la misma iteración; y los que faltan calcular, los de la iteración anterior. 5. Se verifica el error relativo mediante: APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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𝑥 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 − 𝑥 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 | 𝑥 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 Y se detiene las iteraciones hasta cumplir con el Error máximo relativo requerido en el sistema de ecuaciones. |𝐸𝑟| = |

El método de Sobre relajación se puede escribir en forma de algoritmo de la siguiente manera:

Algoritmo Método de Sobrerelajación Sucesiva función Sobrerelajación (A, x0 ) //es una aproximación inicial a la solución// para k  1 hasta convergencia hacer para i  1 hasta n hacer 0 para j  1 hasta n hacer si j  i entonces  =  + aijxj fin para 𝑥𝑖 =

(𝑏𝑖 −𝜎) 𝑎𝑖𝑖

fin para comprobar si se alcanza convergencia fin para

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EJERCICIOS SOBRE RELAJACIÓN SUCESIVA Ejercicios 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método Sobre Relajación Sucesiva, si w=1.25 6 X1 +2.0 X2 -1 X1 +8.0 X2 1 X1 -1.0 X2

1 X3 2 X3 6 X3

= = =

22 30 23

w=

1.25

MATRIZ AUMENTADA 6 -1 1

2 8 -1

1 2 6

22 30 23

FUNCION FUNDAMENTAL

X

(k)

= (1 - w) xi(k) + w xi(k-1)

i

0 1 2 3 4 5 6 7 8

VALORES INICIALES x1 x2 x3 0 0 0 4.583333 5.4036458 4.962565 0.152113 1.8095546 3.896326 2.979589 3.4830704 3.922477 1.569974 2.8362667 4.074858 2.160133 3.0425609 3.956791 1.951235 2.995243 4.019971 2.010013 2.996513 3.992195 2.000576 3.0034008 4.00254

VALORES NUEVOS x1 x2 x3 4.583333 5.403646 4.962565 0.152113 1.809555 3.896326 2.979589 3.48307 3.922477 1.569974 2.836267 4.074858 2.160133 3.042561 3.956791 1.951235 2.995243 4.019971 2.010013 2.996513 3.992195 2.000576 3.003401 4.00254 1.99791 2.99803 3.99939

MÁXIMO ERROR RELATIVO 5.403646 4.43122 2.827476 1.409616 0.590159 0.208898 0.058778 0.010345 0.005371

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1.99791 2.9980295 9 10 2.001471 3.000913 11 1.999244 2.9996423 12 2.000323 3.0001168 13 1.999883 2.9999718 14 2.000034 3.0000018 15 1.999994 3.0000033 16 1.999999 2.9999972 17 2.000002 3.0000015 18 1.999999 2.9999993 19 2.000001 3.0000003 2 2.9999999 20 Por lo tanto, los valores son:

3.99939 4.000036 4.000074 3.999939 4.000034 3.999985 4.000006 3.999998 4 4 4 4

2.001471 1.999244 2.000323 1.999883 2.000034 1.999994 1.999999 2.000002 1.999999 2.000001 2 2

3.000913 2.999642 3.000117 2.999972 3.000002 3.000003 2.999997 3.000002 2.999999 3 3 3

4.000036 4.000074 3.999939 4.000034 3.999985 4.000006 3.999998 4 4 4 4 4

0.003561 0.002226 0.001078 0.000439 0.00015 3.99E-05 7.53E-06 4.33E-06 2.97E-06 1.75E-06 8.22E-07 3.25E-07

2 3 4

X1 X2 X3

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método Sobre Relajación Sucesiva con un w=1.3 -1 X3 -4 X3

= =

-1 8

4 X1 +4.0 X2 +10.0 X3

=

4

10 X1 +0.0 X2 4 X1 +12 X2

w=

1.3

MATRIZ AUMENTADA 10 4 4

0 12 4

-1 -4 10

-1 8 4

VALORES INICIALES 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

MÁXIMO

VALORES NUEVOS

x1

x2

x3

x1

x2

x3

ERROR RELATIVO

1 -0.3 -0.06751 -0.06078 -0.11671 -0.06031 -0.10611 -0.07149 -0.09691 -0.07849 -0.09176 -0.08222 -0.08907 -0.08415 -0.08768 -0.08515

1 1.13 0.4652268 0.9166591 0.6257535 0.8206532 0.6857807 0.7808274 0.7132331 0.7615148 0.7269567 0.7517159 0.7339692 0.7466922 0.7375699 0.7441108

1 -0.2116 0.376666 -0.03806 0.266716 0.044608 0.205187 0.08959 0.172632 0.113035 0.155787 0.125126 0.147113 0.131347 0.142652 0.134545

-0.3 -0.067508 -0.060781 -0.116713 -0.060313 -0.106107 -0.071494 -0.096905 -0.078486 -0.09176 -0.08222 -0.089068 -0.084155 -0.087678 -0.085152 -0.086964

1.13 0.465227 0.916659 0.625753 0.820653 0.685781 0.780827 0.713233 0.761515 0.726957 0.751716 0.733969 0.746692 0.73757 0.744111 0.739421

-0.2116 0.376666 -0.03806 0.266716 0.044608 0.205187 0.08959 0.172632 0.113035 0.155787 0.125126 0.147113 0.131347 0.142652 0.134545 0.140359

1.3 0.664773 0.451432 0.304772 0.222108 0.160579 0.115597 0.083042 0.059597 0.042751 0.030661 0.021987 0.015767 0.011306 0.008107 0.005813

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16 17 18 19 20

-0.08696 -0.08566 -0.0866 -0.08593 -0.08641

0.7394207 0.7427837 0.7403723 0.7421014 0.7408615

0.140359 0.13619 0.139179 0.137036 0.138573

-0.085664 -0.086596 -0.085928 -0.086407 -0.086063

0.742784 0.740372 0.742101 0.740862 0.741751

0.13619 0.139179 0.137036 0.138573 0.137471

0.004168 0.002989 0.002143 0.001537 0.001102

Por lo tanto, los valores son:

X1 -0.086063 X2 0.741751 X3 0.137471

11 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

MÉTODO DE SORBRERELAJACIONES SUCESIVAS

CONCLUSIONES  





El método de sobre-relajación reduce el número de iteraciones en los cálculos de soluciones de sistemas lineales por el método de Gauss-Seidel. Este método permite mejorar la convergencia usando relajación. La relajación representa una ligera modificación del método de Gauss-Seidel y ésta permite mejorar la convergencia en algunos casos. Después de que se calcula cada nuevo valor de x, ése valor se modifica mediante un promedio ponderado de los resultados de las iteraciones anterior y actual. Donde w es un factor ponderado que tiene un valor entre 0 y 2, si w tiene un valor entre 0 y 1, el resultado es un promedio que se conoce como subdelegación. Para valores λ de 1 a 2, se le da una ponderación extra al valor actual, a este tipo de relajación se le conoce como sobrerrelajación. Al llegar al resultado de las interacciones, se conoce que las interacciones se pueden reducir de acuerdo al valor de w, si un valor w da un menor número de interacciones quiere decir que ese valor es que tiene una sobre-relajación sucesiva (SOR).

12 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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RECOMENDACIONES



Es recomendable verificar la convergencia de un sistema de ecuaciones, para tener la seguridad que el resultado final entregado por el método es el correcto.



Se recomienda analizar el sistema a resolver, para escoger el mejor método numérico.

13 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

MÉTODO DE SORBRERELAJACIONES SUCESIVAS

BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA



Burgos, D. (2016). Métodos Iterativos Para Sistemas De Ecuaciones Lineales. Santiago, Chile: ANDROS Impresores.



http://wdb.ugr.es/~mdiezm/wp-content/uploads/Tema07.v0.2.pdf



https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvb WFpbnxwbjIwMTExfGd4OjcyN2JiZmQ5NDY2MjI4ZmE



https://sites.google.com/site/pn20111/metodos-para-la-solucion-de-sistemasde-ecuaciones-e-interpolacion/5-metodos-iterativos/5-1-1-gauss-seidel-conrelajacion/codigo-matlab



http://www.ual.es/~andrei/Practicas/practica12bis.pdf

14 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS E INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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ANEXOS CÓDIGO DEL MÉTODO DE SOBRERELAJACIÓN SUCESIVA EN MATLAB 

A continuación se muestra el código del método SOR en Matlab:

function [x] = sor() disp(‘==POR FAVOR,INGRESE LA MATRIZ QUE SE LE PIDA DE FORMA ORDENADA==’); n=input(‘CUANTAS ECUACIONES:’); A=input(‘INGRESE LA MATRIZ A:’); b=input(‘INGReSE LA MATRIZ B:’); maxiter=input(‘CUANTAS ITERACIONES DESEA HACER:’); x0=input(‘INGRESE VECTOR APROXIMACION:’); w=input(‘INGRESE ACELERADOR W:’); tol= 0.00001; [m n]= size(A); if m~=n, error(‘Matriz del sistema no cuadrada’), end if m~= length(b), error (‘sistema no coherente’),end x=zeros(size(b)); x2=x; if any(abs(diag(A))