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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECANICA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA

DINAMICA MÉTODO DE POTENCIAS VIRTUALES

NOMBRE:

DANIEL ARIAS

CURSO: 6 “A” FECHA: 08/Febrero/2017

(7051)

CONTENIDO 1.

INTRODUCCION ................................................................................................... 2

2.

MARCO TEORICO ................................................................................................ 3

2.1.

INTRODUCCION AL METODO ............................................................................. 3

2.2.

MOVIMIENTO VIRTUAL ....................................................................................... 3

2.3.

TIPOS DE MOVIMIENTO VIRTUALES ................................................................. 3

2.3.1. Movimientos virtuales compatibles con los enlaces ............................................... 4 2.3.2. Movimientos virtuales no compatibles con los enlaces .......................................... 5 2.4.

POTENCIA ASOCIADA A UN TORSOR DE FUERZAS SOBRE UN SOLIDO ..... 6

2.5.

DETERMINACION DE LA POTENCIA VIRTUALES ............................................. 7

2.5.1. Torsores de inercia de d’Alembert de un sólido rígido. .......................................... 7 2.5.2. Torsores de enlace sobre un solido rígido. ............................................................ 7 2.5.3. Campos de fuerzas uniformes sobre un sólido rígido. ........................................... 7 2.5.4. Elementos que introducen fuerzas entre sus elementos. ....................................... 8 2.5.5. Elementos que introducen un par .......................................................................... 9 2.6.

FUERZAS GENERALIZADAS .............................................................................. 9

2.7. PLANTEAMIENTO GLOBAL DEL MÉTODO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES. ................................................................................................................... 11 2.7.1. Virtuales .............................................................................................................. 11 3.

EJERCICIO DE APLICACIÓN ............................................................................ 14

4.

CONCLUSIONES ................................................................................................ 16

5.

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 17

1

1. INTRODUCCION El análisis de mecanismos, es de vital importancia para un Ingeniero mecánico, pero estos análisis en los mecanismos, en algunas ocasiones suelen tener bastante complejidad cuando son estudiados mediante métodos clásicos, como por ejemplo plantear las ecuaciones vectoriales que rigen al mecanismo, debido a la relativa complejidad se pueden acarrear errores indeseados que podrían ser catastróficos. En el presente trabajo, se pretender estudiar el método de las potencias virtuales, mediante un correcto estudio bibliográfico, lo cual permitirá tener una nueva opción cuando se necesite analizar el funcionamiento de un mecanismo. En el trabajo se expondrán formulas, teorías, y enunciados relacionados exclusivamente sobre el tema de potencias virtuales, además se expondrá al final de trabajo un ejercicio práctico, para comprender de mejor manera la aplicación de este método. OBJETIVOS Objetivo general Realizar un estudio bibliográfico sobre el método de potencias virtuales. Objetivos específicos 

Obtener un nuevo método que permita la resolución de problemas de mecanismos de forma más simple y efectiva.



Estudiar todos los conceptos necesarios que contemplan el método.



Determinar las fórmulas necesarias para la aplicación el método.



Poner en práctica lo estudiado, mediante el uso de un ejercicio de aplicación.

2

2. MARCO TEORICO 2.1.

INTRODUCCION AL METODO

Este método se basa en que, la sumatoria de las fuerzas sobre una partícula cualquiera P, y las fuerzas de inercia de d’Alembert f(P), es igual a cero, por lo que se puede escribir la siguiente expresión: 𝐹(𝑃) + 𝑓(𝑃) = 0 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓(𝑃) = −𝑚𝑎 Si a la expresión anterior la multiplicamos por un ventor de velocidad, obtenemos una ecuación en términos de potencia, denominando al vector de velocidad v*(P) velocidad virtual, obteniendo la siguiente expresión:

𝐹(𝑃). 𝑣 ∗ (𝑃) + 𝑓(𝑃). 𝑣 ∗ (𝑃) = 0 Esta fórmula puede generalizarse para el conjunto de partículas del sistema de esta forma:

𝛴[𝐹(𝑃). 𝑣 ∗ (𝑃) + 𝑓(𝑃). 𝑣 ∗ (𝑃)] = 0

Como es evidente en sistema estáticos, es decir que no están animados de movimiento las fuerzas de inercia de d’Alembert f(P) son iguales a cero, y por lo tanto la expresión anterior queda definida únicamente por el conjunto de fuerzas que inciden en el sistema.

2.2.

MOVIMIENTO VIRTUAL

El movimiento virtual "es un cambio infinitesimal del sistema de coordenadas que ocurre mientras el tiempo se mantiene fijo. Es llamado virtual en vez de real dado que ningún desplazamiento real puede ocurrir sin que el tiempo avance."[2] 2.3.

TIPOS DE MOVIMIENTO VIRTUALES

Existen dos tipos de movimientos virtuales los cuales son: 3



Movimientos virtuales compatibles con los enlaces



Movimientos virtuales no compatibles con los enlaces

2.3.1. Movimientos virtuales compatibles con los enlaces Este tipo de movimientos son empleados para obtener ecuaciones del movimiento, de las fuerzas y de los momentos desconocidos por accionamientos, por lo tantos este movimiento cumple con las restricciones cinemáticas impuestas por los enlaces o uniones del sistema, por lo tanto, la velocidad virtual asociada a las partículas de un punto se puede expresar de la siguiente manera: 𝑣 ∗ (𝑃) = 𝑣 ∗ (𝐴) + 𝑤 ∗ 𝑥 𝑟𝐵/𝐴

DONDE: 𝑤 ∗ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 Con los movimientos virtuales, las posibles incógnitas que pueden aparecer en las ecuaciones son las fuerzas desconocidas, y las fuerzas de inercia, además se aclara que las fuerzas de enlace no intervienen, ya que su potencia en este tipo de movimiento es nula. Para mejor compresión utilizaremos el siguiente ejemplo en el que empleamos un polipasto

Figura 01. Polipasto

4

En el sistema presentado la única masa considerable, es la masa del bloque G, y la fuerza necesaria que debe realizar el cilindro hidráulico es FC, además mediante las ecuaciones de ligadura se puede expresar que la velocidad virtual del punto G es 2v*, por lo tanto, la expresión básica en función de las potencias virtuales quedaría expresada así: 𝐹𝐶 . 𝑣 ∗ − 𝑚𝑔(2𝑣 ∗ ) = 0 Si el sistema pierde la condición de equilibrio, se ha de considerar las fuerzas de inercia de d’Alembert del bloque, de manera que la expresión quedaría así:

𝐹𝐶 . 𝑣 ∗ − 𝑚𝑔(2𝑣 ∗ ) − 𝑚𝑥̈ (2𝑣 ∗ ) = 0 2.3.2. Movimientos virtuales no compatibles con los enlaces En este caso para determinar las fuerzas de enlace, se necesita escoger movimientos virtuales que no verifiquen la restricción asociada a la fuerza por calcular, al romper el enlace. Al cortar el enlace aparece la potencia virtual en la ecuación y puede ser aislada. Se tomo el ejemplo anterior, pero con corte de uno de sus enlaces, para realizar la aplicación del concepto.

Figura 02. Polipasto

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Si de este ejemplo necesitásemos determinar la fuerza FA por el método de potencias virtuales, se debe romper en enlace, pero no olvidar la fuerza de reacción FA. Como el sistema tiene 2 grados de libertad, existen dos formas de expresar la ecuación 𝐹𝐴 . 𝑣 ∗ − 𝑚𝑔(2𝑣 ∗ ) − 𝑚𝑥̈ (2𝑣 ∗ ) = 0 𝐹𝐴 . 𝑣 ∗ − 𝐹𝐶 . 𝑣 ∗ = 0

2.4.

POTENCIA ASOCIADA A UN TORSOR DE FUERZAS SOBRE UN SOLIDO

Cuando se estudia mecanismos es frecuente representar sus miembros como si fueran cuerpos rígidos. Los sistemas de fuerzas que están sobre un cuerpo rígido, se pueden simplificar por medio de su torsor referido a un punto. Es así que la potencia de los distintos sistemas de fuerzas, tanto la potencia virtual como la real, se pueden determinar mediante la aplicación de su torsor. Por lo tanto, para un sistema de fuerzas el torsor estaría definido por: 𝐹𝑅 = 𝛴𝐹(𝑃) ̅̅̅̅𝑥 𝐹(𝑃) 𝑀𝑅(𝐵) = 𝛴𝐵𝑃 Si tomamos en cuenta el movimiento virtual de un solido rígido, la potencia virtual quedaría definida con las siguientes expresiones. Sabiendo que: ̅̅̅̅ 𝑣 ∗ (𝑃) = 𝑣 ∗ (𝐵) + 𝑤 ∗ 𝑥𝐵𝑃 Por lo tanto, la potencia virtual seria ̅̅̅̅̅ 𝑃 ∗ = 𝛴𝐹(𝑃). 𝑣 ∗ (𝑃) = 𝛴𝐹(𝑃). 𝑣 ∗ (𝐵) + 𝛴𝐹(𝑃). (𝑤 ∗ 𝑥𝐵𝑃) 𝑃 ∗ = 𝐹𝑅. 𝑣 ∗ (𝐵) + 𝑀𝑅(𝐵). 𝑤 ∗

Es importante aclarar que el concepto de torsor es aplicable a cualquier sistema de fuerzas sobre cualquier sistema mecánica, en cambio la expresión de la potencia del

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torsor solo es aplicable cuando se trata de un sólido rígido cuando no se rompa el sólido. 2.5.

DETERMINACION DE LA POTENCIA VIRTUALES

En el presente apartado se determinará el calculo de las potencias virtuales para diferentes casos concretos que se presentan a continuación: 2.5.1. Torsores de inercia de d’Alembert de un sólido rígido. La potencia virtual en función de las fuerzas de inercia, de un cuerpo rígido se calcula básicamente en base del torsor de estas, el cual esta definido de forma general. Por lo tanto, en el caso particular de movimiento plano, y si el movimiento virtual esta definido en el mismo plano, la potencia virtual del par torsor de inercia de las fuerzas de d’Alembert se expresa así: 𝑃 ∗ = 𝐼𝐺 . 𝛼. 𝑤 ∗ Donde: 𝐼𝐺 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝛼 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑤 ∗ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 2.5.2. Torsores de enlace sobre un solido rígido. La potencia asociada con las fuerzas existentes de un enlace, acciones y reacciones, se dice que es nula en los movimientos virtuales que son compatibles con el enlace, si se produjera la rotura del enlace, o por alguna otra razón, se calculara la potencia asociada a las fuerzas que actúan únicamente sobre uno de los solidos enlazados, ya que por lo general esta potencia no es nula. 2.5.3. Campos de fuerzas uniformes sobre un sólido rígido. Así como la atracción gravitatoria de la tierra, el torsor del sistema de fuerzas gravitatorias definido en el centro de inercia es una resultante la cual no es nula y un momento resultante nulo, por lo tanto, se puede escribir la siguiente expresión: 𝑃 ∗ = 𝑚. 𝑔. 𝑣 ∗ (𝐺)

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Donde la velocidad virtual estaría en función de la fuerza gravitatoria G. 2.5.4. Elementos que introducen fuerzas entre sus elementos. Este caso se presente cuando son parte del mecanismo analizado elementos tales como: muelles, amortiguadores y accionamientos de desplazamiento. Lo mas simple que se puede realizar en este caso es calcular la potencia virtual desde la referencia solidaria a uno de los dos miembros unidos por el elemento, ya que entonces solo se necesita el calcula de la velocidad virtual de aproximación o de alejamiento de los extremos.

Figura 03. Enlace roto

En este caso la potencia virtual estará definida por: 𝑃∗ = ±𝐹𝜌̇ ∗ Donde 𝜌 es la distancia entre los extremos del elemento. Como 𝜌̇ ∗ es positiva cuando la distancia 𝜌 aumenta, la potencia virtual es positiva únicamente si la fuerza se define positiva d repulsión, y es negativa se la fuerza se define positiva de atracción. Es así que por ejemplo para un resorte de comportamiento lineal de constante k, la fuerza de atracción entre los extremos función de la distancia 𝜌 entre ellos es: 𝐹 = 𝑇𝑂 + 𝑘(𝜌 − 𝜌𝑂 ) Donde 𝑇𝑂 es la fuerza de atracción para la distancia 𝜌𝑂 entre extremos, y la potencia asociada a las dos fuerzas, una en cada extremo, del resorte es 𝑃∗ = −(𝑇𝑂 + 𝑘(𝜌 − 𝜌𝑂 )) 𝜌̇ ∗ 8

2.5.5. Elementos que introducen un par En función del eje de la articulación, entre dos solidos rígidos unidos mediante un par de revolución: muelles amortiguadores torsionales, motores y actuadores rotativos. Las mas simple y directo de efectuar el calculo de la potencia virtual desde la referencia solidaria a uno de los miembros: 𝑃∗ = ±г𝑤 ∗ Donde 𝑤 ∗ es la rotación virtual relativa entre los dos miembros relacionados, entre el rotor y el estator en el caso particular de un motor. En este caso el signo dependerá de si г y 𝑤 ∗ tienen el mismo sentido o no. Si tomamos en este caso el ejemplo de un amortiguador torsional de comportamiento lineal de constante c, el par que introduce entre lo solidos rígidos que unen es: г = −𝑐𝑤 donde w es la velocidad angular relativa y de signo negativo, esto corresponde al motivo de que el par del amortiguamiento es puesto. En este caso, la potencia virtual asociada a los dos pares del amortiguador, cada uno actuante sobre un solidos quedaría expresada así: 𝑃 ∗ = −𝑐. 𝑤. 𝑤 ∗ 2.6.

FUERZAS GENERALIZADAS

Al realizar o efectuar un movimiento virtual compatibles con los enlaces asociados del cuerpo a una velocidad generalizada 𝑢𝑖 independiente, la expresión básica del método de las potencias virtuales se puede escribir así:

Los escalares que, estamos multiplicando por la velocidad virtual 𝑢𝑖 ∗ dan como resultado la potencia virtual del sistema, se denominan fuerzas generalizadas asociadas al movimiento virtual compatible con los enlaces definidos por el grado de libertad 𝑢𝑖 . 9

Es así que las fuerzas generalizadas se definen para cada uno de los diferentes tipos de fuerzas de los cuales provienen. Así, para una determinada velocidad generalizada se define la fuerza generalizada de las fuerzas gravitatorias, la fuerza de inercia de d’Alembert, la de un actuador, la de las resistencias pasivas, entre otras. Por lo tanto, el método de las potencias virtuales para movimientos compatibles con los enlaces se puede enunciar como: la suma de fuerzas generalizadas a un grado de libertad es nula. Obteniendo en función de lo anterior la siguiente expresión.

La velocidad de cada punto P de un sistema se puede determinar mediante la siguiente expresión:

Si se utilizan como velocidades generalizadas independientes a las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas independientes 𝑢𝑖 = 𝑞̇ 𝑖 , las expresiones de las fuerzas generalizadas, que ahora es usual asociar a las coordenadas y no a las velocidades, son:

Para los sistemas holonomos descritos mediante n coordenada generalizadas independientes 𝑞𝑖 , la velocidad de un punto P descrito por el vector de posición 𝑟(𝑃) es:

Por lo tanto, las fuerzas generalizadas asociadas a las coordenadas generalizadas empleadas se pueden determinar también con las siguientes expresiones:

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2.7.

PLANTEAMIENTO GLOBAL DEL MÉTODO DE LAS POTENCIAS VIRTUALES.

2.7.1. Virtuales Consideramos un sistema mecánico descrito por un conjunto {q i } de coordendaas geneeralizadas para el estudio del cual se utilizan como velocidades generalizadas sus derivadas temporales q i . Las coordenadas generalizadas no tienen que ser independientes, de manera que entre ella se pueden establecer mc ecuaciones de enlace geométricas y, si el sistema y son holonomo, se establecen también ecuaciones de enlaces adicionales entre sus derivadas. Si planteamos el conjunto de movimientos virtuales asociados a las coordenadas q i se puede vulnerar condición de y enlace y, por lo tanto, en las ecuaciones derivadas de las potencias virtuales pueden aparecer fuerzas y momentos de enlace. En el caso de que se emplee un conjunto de coordenadas virtuales pueden aparecer fueras y momentos de enlace. En el caso de que se emplee un conjunto de coordenadas describa la configuración de cada miembro por separado, se vulneran todas las ecuaciones de enlace. Si se prende, a establecer los movimientos virtuales, de las condiciones de enlace vulneradas, pero no de las fueras de enlace implicadas, todos los movimientos virtuales pasan a ser compatibles con los enlaces restantes y la expresión 7, considerando fuerzas de formulación conocida Fc y fuerzas desconocidas Fd –entre ellas las de enlace asociadas a los enlaces eliminados, es la que se muestra a continuación: F ∗ + Fc ∗ + Fd∗ = 0 El vector F ∗ ,por causa de la linealidad de la dinámica en lo referente a las aceleraciones, se puede escribir F ∗ = −M(q)q + g(q, q) Donde la matriz M, función de la configuración, en general no coincide con la matriz de inercia asociada al cálculo de la energía cinética. 11

– El vector F ∗ depende, en principio, del estado mecánico del sistema (q, q) y del tiempo Fc ∗ = h(q, t, q) – El vector Fd∗ , por causa de la linealidad de la dinámica en lo referente a las fuerzas, se puede expresar como Fd∗ = −A(q)F Donde el vector F contiene todas las fuerzas y los momentos desconocidos. Por otra parte, a partir de las ecuaciones geométricas de enlace, y las condiciones adicionales si el sistema es no holonomo, se obtiene ∅q q̈ = −∅̇q q̇ − ∅̇t Combinando los sistemas se obtiene un sistema global, algébrico diferencial, análogo al obtenido a partir del planteamiento vectorial de esta forma:

En este, las incógnitas son las aceleraciones y las fuerzas y los momentos desconocidos. El sistema tiene solución siempre que no existan enlaces redundantes, el sistema no se encuentre en una configuración singular y, si el sistema tiene resistencias pasivas de formulación función de las fuerzas de enlace, se haya previsto la determinación de estas prescindiendo de las condiciones de enlace adecuadas. Este planteamiento se puede sistematizar analíticamente de manera similar a las ecuaciones de Lagrange. Se inicia el procedimiento prescindiendo, a todos los efectos, de todas las ecuaciones de enlace para que el conjunto de coordenadas generalizadas {qi} sea independiente y el sistema holonomo. Puede llegar a prescindirse de todos los enlaces si el conjunto de coordenadas generalizadas describe la configuración de todos los miembros por separado. Con esta situación, la fuerza generalizada de inercia de d’Alembert se puede calcular a partir de la energía cinética del sistema con la siguiente expresión: 12

Donde el vector de fuerzas generalizadas de inercia se puede escribir´

A partir del planteamiento del conjunto de ecuaciones para todo 𝑞𝑖 y teniendo en cuenta que estos no son independientes se obtiene que:

Donde λ es el vector de multiplicadores de Lagrange. Cada multiplicador es asociado a una condición de enlace y la relación entre estos y las fuerzas de enlace se obtiene a partir de: ∅Tq λ = FE∗ Donde FE∗ es la fuerza generalizada correspondiente a los enlaces descritos por las ecuaciones: ∅(q) = 0.

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3. EJERCICIO DE APLICACIÓN

Dado el mecanismo de la figura constituido por una barra de longitud 4l y masa despreciable, en cuyo extremo sostiene un peso W mediante un par de fuerzas T y un muelle de constante elástica k y longitud libre s0. Se pide:



Par equilibrante para q= 60

Figura 04. Mecanismo

Aspectos clave del problema: 

Problema estático (sin aceleraciones)



Grados de Libertad F =1



Presencia de fuerzas conservativas (muelle y peso)



Ecuación que establece el equilibrio estático

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Fuerza aplicada por el muelle

Figura 05. Diagrama del mecanismo



Potencia Virtual



Velocidad virtual independiente y restantes

15



Operando en la expresión de Potencias Virtuales



Aplicando ahora el Principio de las Potencias Virtuales



Sustituyendo valores para q=60º 𝑇 = 898,67 𝑁. 𝑚

4. CONCLUSIONES 

El método de potencias virtuales, permite relacionar las componentes que necesitamos calcular de manera mas directa, y por lo tanto de forma más rápida y eficaz



El método se basa en que, la sumatoria de las fuerzas sobre una partícula cualquiera P, y las fuerzas de inercia de d’Alembert f(P), es igual a cero.



Se puede apreciar que mediante el empleo de este método se pueden calcular las condiciones requeridas de forma mas directa, y por lo tanto mas rápidamente.

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5. BIBLIOGRAFIA 6. 

Campos, J. (2014). StuDocu. Obtenido de Problemas Resueltos .Tema 7 Principio de las Potencias

Virtuales.:

https://www.studocu.com/es/document/universitat-politecnica-de-

valencia/mecanica/practica/practico-problemas-resueltos-tema-7-principio-de-las-potenciasvirtuales/299728/view 

Cardona

&

Costa,

S.

D.

(2001).

Obtenido

de

Teoría

de

máquinas:

https://books.google.es/books?hl=es&lr=&id=h9M4zVa8FYYC&oi=fnd&pg=PA13&dq=po tencias+virtuales+&ots=pOouFfjfyS&sig=mdgzg7i06zXGVltlNHgfwXg5Rxk#v=onepage& q=potencias%20virtuales&f=false 

Desplazamientos virtuales. (s.f.). Obtenido de Introduccion a la Mecanica Analitica: http://www.aero.upm.es/departamentos/fisica/PagWeb/asignaturas/mecanica2/transp/Mec2% 2005%20Intro%20Analitica%2002.pdf

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