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• Sebastian Vargas

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POTENCIAS ¿Qué es una Potencia? 1. Potencia de Exponente 0 2. Potencia de Exponente 1 3. Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente 4. Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente 5. División de Potencias de Igual Base y Distintos Exponentes 6. División de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente 7. Potencia de una Potencia 8. Potencia de Exponente Negativo Potencias de Bases 2 y 3.

Harold Leiva Miranda Profesor de Matemática H.L.M.

¿Qué es una Potencia?

Potencia es una expresión que consta de una BASE y un EXPONENTE. ¿Qué es una Base y un Exponente? BASE

a

b 4

2 8 (-5,3)  4    5

4

EXPONENTE

¿Qué significa una Potencia? Potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación recurrente.

2 n

4 m

=

2  2 2  2

El 2 se multiplica por si mismo las veces que indica el exponente 4.

=

n n … n

n se multiplica por si mismo las veces que indica el exponente m.







m veces

5

(-5,3) = (-5,3)  (-5,3)  (-5,3) (-5,3) (-5,3)  4    5

2

 4 =    5



 4    5

Ojo: El Exponente 1 no se escribe. Si la base no tiene exponente se asume que es 1.

Algo importante: Lectura de una Potencia. 2 2 x3 -Exponente 2, Cuadrado. Ej. 6 3 6 g -Exponente 3, Cubo. Ej. -En General se puede usar la palabra “ELEVADO A”. Paréntesis en una Potencia. 2 2 No es lo mismo   3 y  3   3    3  3 3 9 9

1 - Propiedad: Potencia de Exponente Cero.Excepción 0

2

=

0

m

1

1

=

0

2 - Propiedad: Potencia de Exponente Uno. 1

2

=

2

1

n

=

n

0

No Existe

3 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. Sabiendo que:

2

4

=

2  2 2  2 4 veces

¿Cuál será el resultado de?

3

2

4 

6

3 =3 = 3

4+2

33 3 3 3 3 = 33 33 3 3 4 veces

2 veces

En Total son 6 veces

En General b a

n n = n

a+b

Escribe o di un enunciado que describa la Propiedad

3 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente.

Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 5 3 8 2 2 5 3 a) 2  2  2 = d) 2  7  2  7 = 7 3 Ordene b)  4    4    4  =  5  5  5  =   5 5 1 -6 7 3 1 = 2  7 c)     1      =  2  2  2 Resultado Final

4 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente. Sabiendo que:

2

4

=

2  2 2  2 4 veces

¿Cuál será el resultado de? 2

2

53 5 5 2 veces



2

2

= (5  3) = 15

3  3 = (5  3)  (5  3) 2 veces

En Total son 2 veces

En General a a

a

m  n = (n • m) Escribe o di un enunciado que describa la Propiedad

4 - Propiedad: Multiplicación de Potencias de Distinta Base e Igual Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: a)

6

6



6

2



6

4

b)  1    2    1  =  5 

3

3

3

 4

3

c)  5    2    1  = 

3  3

d)

8

 3



3

5



4

7

3

6



Ordene

4

4

4

=

4

= =



56

4





30

Resultado Final



3

=

5 - Propiedad: División de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente. 4 4 Sabiendo que: 2 = 2  2 2  2 y 4  1 4 veces

¿Cuál será el resultado de? 4 veces 4

2

3 :3 =

4

3

─ 2

3

4

Más Rápido

3

=

─ =3 2

3

Lo anterior se puede separar así

3 3 3 3 ______________ 



3 3 2 veces 4-2

= 3

2



= =

3 _  3 1

En General

3 _ 3 1





a

3 3 3



b

3 = 3

2

a-b

n : n =n

5 - Propiedad: División de Potencias de Igual Base y Distinto Exponente.

Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 3

5

8 =

a) 2 : 2 : 2 5

b)

8  9 8

58  12 4 c) 3 5 = 5  12

d)

 2  12  1

4 2



10  2  e) 3 7 2  10 3

6

f) 915  9 25 

6 - Propiedad: División de Potencias de Distintas Bases e Igual Exponente. 4

2

Sabiendo que:

2 2 2 2

=







4 1 4

y

4 veces ¿Cuál será el resultado de? 4 veces 4

4

9 :3 =

4

9

─ 4

3

=

Lo anterior se puede separar así

9 9 9 9 ______________ 





3  3 3 4 veces

 9 9 ─4 =  3    3 4

Más Rápido



9 = _  3 3 = 3

4 4

3

En General

9 _ 3 3 a

9 _  _9  3 3 4  3  3 = 3 a

a

m : n = (m : n)

6 - Propiedad: División de Potencias de Distintas Bases e Igual Exponente. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 3

3

3

a) 5 : 10 : 2 b)

65  5 12

153  2 4 c) 3 4 = 5  12

=

d)

 4  12  1

4 4



103  26 e) 6 3  4 5 f) 325  9 25 

7 - Propiedad: Potencia de una Potencia. 4 Sabiendo que: 2 = 2  2 2  2 4 veces

¿Cuál será el resultado de? 2

2

2

(5 )

6

2

2

2•6

= 5

5 5 5  5 5

2



2

5

6 veces 12

5  5  5  5  5  5  5 5 5  5  5 5 = 5 12 veces

En General

a b

a•b

(m ) = m

12

= 15

7 - Propiedad: Potencia de una Potencia. Resuelve usando Propiedad de Potencia 2

a)

3

(3 ) 3

= 1

( )  2 c) ( 3  ) b)   2 

3

9

d)

=

e)

4

3

4

(2 )

=

=

(7 )  1 g) ( 4  ) f)

5

2

=

2

-4 -3

0

(4 )

2

=

h)

(  1 )

=

=

8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Ejemplos -4

2

0,6

-3

- 10

(-7)  4    5

-2

8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo.

¿Qué hace1 la propiedad? -4 - 44 2

__

=

2 -3

0,6

=

(-5)

4

1 __ 0,6

En General



m a   

3 __ 3

1  m

1 ___

= -7

=

2 a

ó

 m    n

a



 

n  m

a

8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Así podemos aplicar la propiedad varias veces sobre un mismo número. 2 1 1 __ __ 7 = = 7 = -2 -2 7 7 -2 -2 1 1 __ __ 7 = = 7 = 2 2 7 7 2

8 - Propiedad: Potencia con Exponente Negativo. Ejercicios: Cambiar el signo del exponente 6

4  3

1,12 

  5

1 4

6



1 1,12

3

3     2

6

3





1 6   5 

2     3

3

Observa lo siguiente

2  1024 10

2  9

512

2  27 

256

6

2 

64

2 

32

2 

16

2 

8

8

5

4

3

128

2  4 1 2  2 0 2 1 1 1 2  2 1 1 2 2  2 2 4 1 1 3 2  3 2 8 2

1 1 2  4 2 16 4

1 1 2  5 2 32 5

1 1 2  6 2 64 6

Observa lo siguiente

3 

59049

3 

19683

3  7 3 

6561

3 

729

35 

243

3 

81

33 

27

10

9

8

6

4

2187

3  1 3  0 3  2

9 3 1

1 1 3  4 3 81 1 1 5 3  5 3 243 4

1 3  3 1 1 6 1 1 3  6 2 3  2 3 729 3 9 1 1 3 3  3 3 27 1

Curiosidades 1) De los números naturales, excluidos el 1, son el 8 y el 27 los únicos cuyo cubo da exactamente dígitos que suman 8 y 27, respectivamente. 3

8  512 5 1 2  8

27 3  19683 1  9  6  8  3  27 3)

12  1 112  121 1112  12321 1111 2  1234321 11111 2  123454321

2) El número de días del año (365) es igual a la suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos.

10 2  112  12 2 100  121  144  350 Y de dos números consecutivos

132  14 2 169  196  350

LINKS http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=7169 http://webpages.ull.es/users/imarrero/sctm04/modulo2/3/mdeleon.pdf http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/potenc ias_desarrollo.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/co nmates/unid-5/potencias.htm http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/potencia/index.htm http://platea.pntic.mec.es/anunezca/Potencias/POTENCIAS.htm http://lubrin.org/mat/spip.php?rubrique52 http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=MATEMATICAS+-+PROBLEMAS,+EJERCICIOS,+ETC

POTENCIAS

Harold Leiva Miranda [email protected] Colegio Sek – Pacífico

H.L.M.