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POTENCIAS DEFINICIÓN DE POTENCIA Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de factores iguales. El factor recibe el nombre de base y el nº de veces que se repite se llama exponente y se escribe como superíndice.

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS a0 = 1

0n = 0

a =a

1 =1

a n ⋅ a m = a n + m  Igual base  a n n−m  m =a a

 a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n  Igual exponente  a n  a n  n =  b b

1

(a )

n m

¡RECUERDA! Si no se ajusta a una de esas fórmulas, se calcula la potencia y se opera. Ej: 2 2 + 32 = 4 + 9 = 13 Ej: 23 ⋅ 32 = 8 ⋅ 9 = 72 Ten en cuenta que operamos con números enteros:

n

= a n ⋅m

a par = positivo Base negativa  impar = negativo a

1. Calcula las siguientes potencias: b) 23 c) 42 a) 32 i) ( −1)

2011

p) 10 2

2 Ej: ( )

3 −2

1  Exponente negativo a − n = n a 

d) 24

e) ( −3)

j) 042

k) 1140

l) 10

q) −105

r) 100 4

s) ( −100 )

3

= 2 −6 −( −7) = 21 = 2 f) −32

g) 20110

h) 12011

m) (−10)3

n) −103

ñ) ( −5 )

o) (−5)3

t) 10−3

u) −10−1

v) 10 − 2

2

2. Expresa en forma de una única potencia las siguientes expresiones: a) 35 ⋅ 37 ⋅ 3 b) (75 ⋅ 7) : (7 2 ⋅ 73 ) c) ( 53 ⋅ 52 ⋅ 54 ) : ( 52 ⋅ 56 ) e) ( 35 )

0

g) ( 42 ) : ( 4 2 ⋅ 48 )

f) 27 ⋅ 57

5

3. Calcula el valor de las siguientes operaciones combinadas: 2 b) 7 ⋅102 − 5 ⋅ 9 2 c) 2 + 5 ⋅ ( 42 − 32 ) a) ( 8 − 4 ) ⋅ 43 e) ( 32 ) + 3 3

f) 7 ⋅ 22 + 53 − 52

: 2 −7 = 2 −6 : 2 −7 =

g) −42 + 32 ⋅ 2

d) ( 23 )

2

w) ( −10 )

−2

4

h) ( 36 ⋅ 3) : 34

d) 6 ⋅ 32 + 52 ⋅ 2 h) −3 + 102 : 5 + 42 ⋅ ( −1)

OPERACIONES CON POTENCIAS • Cumple la jerarquía de operaciones. • Opera el signo de las bases. • Factoriza las bases. • Aplica las propiedades de las potencias. 4. Calcula: a) 43 ⋅ 4 2 ⋅ 4 −4

b) 32 ⋅ ( −3)

Regla de los signos:

++=+ −−=+

3

e) 64 : 65

f) ( −2 ) ⋅ ( −2 )

( −7 ) 5 ( −7 )

j) ( −4 ) : ( −4 )

3

i)

3

3

3

2 c) ( −5 )    −5 2 g) 3 ⋅ 3

5

k)

5− 3 52

+−=− −+=−

3

( −) = + impar ( −) = − par

d) 23 ⋅ 2 −3 ⋅ 4−1 h) 44 ⋅ 4−5 ⋅ 4 ⋅ 40 l) 7 −3 ⋅ 7 −2

3

5. Simplifica las siguientes expresiones dando el resultado como potencias de a : a) ( a −2 )

b) ( a −2 )

−3

e) a −2 ⋅ a −3 i) a −7 : a 3

c) ( a −1 )

3

f) a −3 : a −5 j) a −5 ⋅ a 3 ⋅ a 2

−4

d) a 7 ⋅ a −5 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ a −3 ⋅ a 2

g) a 0 ⋅ a ⋅ a −1 k) a 2 + a −3 + a −4

h) a −7 ⋅ a −3 l) a 2 ⋅ a −5 ⋅ a −7 ⋅ a 3 ⋅ a 5 ⋅ a −3

6. Expresa como producto de potencias cuyas bases sean todas números primos: 3 2 0 b) 8 ⋅16 ⋅ 23 c) ( −25 ) ⋅ 52 a) ( −4 ) ⋅ ( −8 ) ⋅ ( −2 )

e) ( 4 ⋅10 )

f) ( −2 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ 6 

2

g) ( −4 ) ⋅ ( −5 ) ⋅10 

3

3

d) ( −7 ) ⋅ ( −7 ) ⋅ 73 4

h) ( −2 ) ⋅ ( −4 ) ⋅ 6  : 82 2

POTENCIAS DE BASE 10 • Exponente positivo: se pone 1 seguido de tantos ceros como indique el exponente. Ej: 10 4 = 10000 • Exponente negativo: se pone 1 en la posición decimal que indique el exponente. Ej: 10 −4 = 0 '0001

7. Expresa como potencias de 10 los siguientes números: a) 0 '01 b) 10000 c) 0 '0001 ⋅10−3 e)

0 '001 ⋅ (10−2 )

1004 ⋅ ( 0 '00001) f) 1 10 −2 ⋅ 1000

3

10−4

2

a)

e) i)

3

(5 )

2 −2

⋅ 32

b)

⋅ 34

g)

2 3

( 3 ⋅ 27 )

2 2

3

 2 −3   4  m)  −2  ⋅    3   27 

k) 2

( −5 ) f)

4 − 5 ⋅ 82

2 3

4

( −2 )

3

⋅ ( 45 )

−1

4

11. Completa los cuadros: a) 23 ⋅ = 25

( −8 2 )

5

g)

4

3

e)  

2

5

 ⋅ 

4

= ( −3 )

14

−1

12

f)

5

= ( −3)

73  : 7 = 1

252 1 : 154 27

( −2 ) ⋅ ( −4 ) 0 ( −8 )

c) ( −4 ) : 5

l)

( −3 )

g) 119 ⋅ (112 ) = 11 3

2

⋅ 94

27 −3

−5

3 −5 d) ( −6 )  ⋅ ( −6 )     

2

= ( −4 )

23 ⋅ 9−1

2

4

( −6 ) ⋅12−5 −3 ( −2 ) 3

h)

d) ( −3) = ( −3) ⋅ 3−1 −3

g) 32 + 33 + 35 = 310

6

h)

2 − 5 ⋅ ( −3 ) ⋅ 8

 54   25−1  o)  −3  :    7   49 

−2

3

f) ( 2 −5 ) = 2 −6

b) ( −3) :

d)

3

10. Justifica si son ciertas o no las siguientes igualdades: −4 −6 a) 9−1 = −9 b) ( −2 ) = 24 c) ( −3) = 3−6 e) 4 −3 = ( −4 ) ⋅ ( −4 )

10−2 ⋅10 −4 10−6 ⋅103

−2

3

2 c) 34 ⋅ ( −3)   

⋅ 255

( −5 )

302 ⋅15− 2 8

2

4

3

h)

2

 3−5   9−2  ñ)  2  :  3  4  2 

b) ( −3) ⋅ ( −34 )

a) ( −8 ) ⋅ 2−4

( −2 )

g)

3

⋅16

( 2 ⋅ 4)

⋅ 3− 4

 42   25−1  n)  −1  ⋅    5   64 

2

9. Calcula:

e)

3 2

34 ⋅ 3− 2 82 ⋅ 2 −3 j) 32 ⋅ 4−1

910

( 0 '001) ⋅1002 3 ( 0 '01)

(2 ) c)

3−5 ⋅ 27 ⋅ 4 ⋅ 2 −2 3−4 ⋅ 63

(3 ) f)

143 64 ⋅ 49

3

3

8. Simplifica:

( 5 ⋅ 3)

d) ( 0 '001) ⋅ ( 0 '0001)

−2

h) 85 ⋅ 87 = 1612

6

3 7 5 d) ( −5 )  : ( −5 ) = ( −5)   2 h) 5 : = 1