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• Karen Baldeon Carhuayal

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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA E.A.P INGENIERIA CIVIL

MARCO TEORICO 1.-Las series de potencias Una serie del tipo: a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +K+ an xn +K Ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes a0 , a1 , a2 ,K, an ,K. constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias. A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general: a0 + a1 ( x − a) + a2 ( x − a) 2 + a3 ( x − a)3 +K+ an ( x − a)n +K donde a es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable: x − a = x' En lo que concierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable. •

Convergencia de una serie de potencias

Investiguemos la convergencia de una serie de potencias de MacLaurin cualquiera. Asignando un valor numérico particular a la variable x , se obtiene una serie que convergirá o divergirá dependiendo del valor de la x . Vamos a demostrar que para cualquier serie de potencias existe un número finito o infinito r llamado radio de convergencia de la serie tal que si r > 0 , entonces para |x| < r la serie converge y para |x| > r , la serie diverge. Para x = r , es decir, para x = r y x = −r , la serie converge o diverge. El intervalo abierto] − r, r [recibe el nombre de intervalo o círculo de convergencia de la serie de potencias considerada. Si r = ∞, el intervalo de convergencia es toda la recta real. Por el contrario, si r = 0 , la serie de potencias converge sólo en el punto x = 0 y, hablando rigurosamente, no hay intervalo de convergencia. En muchos casos podemos determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias con la ayuda del criterio de convergencia de d’Alembert. A dicho efecto, construimos —en primer lugar— la serie compuesta por los valores absolutos de los términos de la serie, que será una serie de números reales positivos: a 0 + a x + a 2 x2 +a 3 x3 +K+

an xn +K

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Como mostramos en el Mathblock de “Series de números reales”, si la serie que acabamos de escribir converge, entonces la serie original será absolutamente convergente. Llamemos al (n+1)-ésimo término de la serie sn . Éste y el siguiente son iguales, respectivamente, a: sn+1=an+1|xn+1|

sn = an x n

Formemos, ahora, la razón entre ambos con el fin de aplicar el criterio de d’Alembert:

Supongamos que el límite cuando n → ∞ de esta razón existe y vale l . Es decir que: lim an+1 = 1 n→∞ an Luego, tenemos que:

los valores absolutos, también será convergente y además será absolutamente convergente. Por el 1 contrario, si x > l , entonces l x >1 y tanto la serie de valores absolutos como la original, divergirán. Por tanto, r = 1l ≥ 0 es el radio de convergencia de una serie de potencias y tenemos que:

an r = lim an+ n→∞ 1 Queda una pregunta sin resolver en el caso que r > 0 : ¿Qué sucede en los puntos de frontera dell intervalo de convergencia? Es decir, ¿qué sucede cuando x = r o x = − r ? Para analizar la convergencia o divergencia en estos puntos, analizaremos las dos series de números reales separadamente. Ilustremos este particular con un ejemplo sencillo. Tomemos la siguiente serie de potencias: x

x

2

+ 1

3

x

+ 2

x

n

+K+ 3

+K n

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Aquí los coeficientes n-ésimo y (n+1)-ésimo son: an =

1

1 a

y

n+1

n

=

n +1

Luego podemos determinar el radio de convergencia calculando el siguiente límite: 1 n +1

1

n r = lim = lim n→∞ 1 n→∞ n n +1

= lim 1 + n→∞ n

=1

Así pues, la serie en cuestión, converge para valores de la variable x en el intervalo ]− 1,1[. Veamos ahora qué sucede en los puntos extremos, es decir, en x = −1 y en x =1. En x =1, obtenemos la serie armónica: 1 + 12 + 13 +K+ 1n +K que sabemos, por el Mathblock “Series de números reales” que diverge. Por el contrario, cuando x = −1, la serie que obtenemos es alternada y converge: −1 + 12 − 13 +K+ (−n1)n +K En virtud del criterio de convergencia de Leibniz para series alternadas, sabemos que esta serie converge. Basta con darse cuenta que el límite del valor absoluto del término general tiende a cero: lim 1 = 0 n→∞ n Utilizaremos este mismo ejemplo para ilustrar el procedimiento de cálculo de la suma de una serie infinita de números reales (en este caso, alternada) a partir de integración y derivación de series de potencias. •

Derivación e integración de series de potencias

Si una función está representada por una serie de potencias ∞ f (x) = ∑a j ( x − a)j j =0

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en un intervalo abierto (a − r, a + r ), se puede demostrar que dicha función es continua en ese intervalo, y su integral en cualquier subintervalo cerrado puede calcularse integrando la serie término a término. En particular para todo x de (a − r, a + r ), tenemos: x

∞

x

∞

a

j

f (t)dt = ∑ a j ∫(t − a)j dt =∑ j +1 ( x − a)j +1 a j =0 a j =0

∫

Se puede demostrar que el radio de convergencia de las serie integrada es igual al de la serie original. ∞ Recíprocamente, se demuestra que para toda función f (x) = ∑a j ( x − a)j de j =0 convergencia (a − r, a + r ), entonces tenemos que:

de intevalo

1. la función derivada de dicha serie existe y es igual a: ∞ df (x) = f '(x) = ∑ ja j ( x − a)j −1 dx j =1 2. su radio de convergencia, r , es idéntico al de la serie f (x) . En el punto anterior vimos como la serie de números reales alternada: −1 + 12 − 13 +K+ (−n1)n +K converge. Vamos ahora a determinar su valor numérico. Empecemos considerando la siguiente serie de potencias 1 + x + x2 + x3 +K+ x n +K Esta serie corresponde a una serie formada a partir de la progresión geométrica de razón x , que converge para x 0. Entonces, n=0 •

f es continua en todo punto interior del intervalo de convergencia.

•

f es derivable en todo punto interior del intervalo de convergencia y, adem´as, +∞ X f ′(x) = nan(x − c)n−1 n=1 teniendo esta ultima´ serie radio de convergencia R (derivaci´on t ´ermino a t´ermino).

•

f es integrable en el intervalo de convergencia y, adem´as, Z

+∞ an n f (x)dx =+∞ n=0 Z (an(x − c) )dx = n=0 n + 1 X X

(x − c)n+1 + C

teniendo esta ultima´ serie radio de convergencia R (integraci´on t ´ermino a t´ermino). +∞ xn X Ejemplo 4.6 Consideramos la funci´on f (x) = n=1 n .

Hemos visto en un ejemplo anterior que el intervalo de convergencia era [−1, 1[. Entonces la funci´on derivada puede calcularse derivando t´ermino a t ´ermino: +∞ xn−1 +∞ n n =xn−1 n= 1 n=1 X X Sabemos, por la propiedad anterior, que el radio de convergencia para esta nueva serie contin´ua siendo R = 1. Veamos qu´e ocurre en los extremos del intervalo: f ′(x) =

+∞ ⇒

x=1

n= 1 X

x = −1

⇒

+∞ 1n−1 =1 que es divergente, n=1

X +∞ (−1)n−1 que es divergente. X n=1

As´ı pues, la serie derivada converge en ] − 1, 1[. Veamos ahora qu´e ocurre con la integraci´on. De nuevo, podemos integrar t´ermino a t´ermino. +∞ Z

f (x)dx = n=1 Z X

+∞ xn+1 xn n = n=1 n(n + 1) + C X

De nuevo sabemos que el radio de convergencia para esta nueva serie con-tin´ua siendo R = 1. Veamos qu´e ocurre en los extremos del intervalo: +∞ 1n+1 n=1 n(n + 1) x=1 ⇒ X +∞ 1

que es = n(n + 1) convergente; n= 1 X x= − 1 ⇒

(−1)n+1 +∞n(n + 1) n=1

que es convergente.

X As´ı pues, la serie integral converge en [−1, 1]. Nota: Observa en el ejemplo anterior que al derivar hemos perdido un punto del intervalo de convergencia, mientras que al integrar hemos ganado uno. En general, sin embargo, el resultado correcto es Al derivar una serie no se pueden ganar extremos del intervalo de convergencia.

Al integrar una serie no se pueden perder extremos del intervalo de convergencia. Ejercicio 4.10 Siendo f (x) la funci´on definida por las serie de potencias +∞ (−1)n+1(x − 5)n X , calcula el intervalo de convergencia de f (x), f ′(x) y n n5 n=1

Z f (x) dx,incluyendo el estudio de los puntos extremos. R (Sol.: I =]0, 10] para f y f ; I = [0, 10] para f ) ′

Ejercicio 4.11 Siendo f (x) la funci´on definida por la serie de potencias +∞

+∞

n+1x2n−1 (−1)n xn, calcula el intervalo de convergencia de f (x), f ′(x) y n=1 Zn=0 (n + 1)(n + 2) X X

(−1)

f (x) dx,incluyendo el estudio de los puntos extremos.

Z

(Sol.: I = [−1, 1] para f y R f ; I =] − 1, 1] para f ′ ) Ejercicio 4.12 Siendo f (x) la funci´on definida por las serie de potencias , calcula el intervalo de convergencia de f (x), f ′ (x) y 2n − 1 f (x) dx, incluyendo el estudio de los puntos extremos. R (Sol.: I = [−1, 1] para f y f ; I =] − 1, 1[ para f ′ ) Otras propiedades interesantes son las siguientes. +∞

+∞ an(x − c)n y g(x) = bn(x − c)n n=0 n=0 X X en el mismo intervalo I . Entonces, Teorema 4.4 Sean f (x) = definidas

+∞ 1. f (x) + g(x) =

(an + bn)(x − c)n, ∀x ∈ I n=0

X +∞ 2. αf (x) = α

n= 0

an(x − c)n =

+∞ αan(x − c)n, ∀x ∈ I n=0

X X En el caso de series de potencia centradas en c = 0, se cumple adem ´as

+∞ Teorema 4.5 Sea f (x) =

anxn definida en el intervalo I . Entonces, n=0 X

+∞

1. f (αx) =

+∞ an(αx)n = anαnxn, ∀x / αx ∈ I n=0 n=0 X +∞

2. f (xN ) =

X +∞

an(xN )n = anxN n, ∀x / xN ∈ I n=0 n=0

X X Ejemplo 4.7 Calcular una primitiva de la funci´on f (x) = ex2 . +∞

Soluci´on: Sabemos que ex

n

x

= n=0 n! X

anterior:

. Entonces aplicando la proposici ´on n

+∞ 2 (x ) = n= n! 0

ex2

X

+∞ 2n x

=

n=0 n! X

Ahora, integrando +∞ Z e

2

x

2

x

dx = n=0 X

Z

+∞

n x2n+1 dx = + C n! n=0 (2n + 1)n! X

+∞ 2n+1

x

En particular, F (x) =

(2n + 1)n!

X n=0

2 es una primitiva de ex .

• Desarrollo de funciones en serie de potencias Hemos visto que una serie de potencias define una funci´on en un intervalo I . Se aborda ahora el problema contrario. Dada una funci´on f (x) se trata de encontrar un serie de potencias +∞ X n=0

an(x − c)n

de manera que +∞ X

an(x − c)n n=0 para todo x del intervalo de convergencia. f (x) =

Evidentemente, tales funciones deben ser continuas e indefinidamente deri-vables en su intervalo de convergencia y esto permite deducir adem´as como deben ser los t´erminos de una serie de potencias cuya suma es una determi-nada funci´on f : +∞ X Teorema 4.6 Si f (x) =

an(x − c)n, ∀x ∈]c − R, c + R[ entonces, n=0 an =

+∞

f (n)(c) n!

f (n)(c) X A la serie (x − c)n la llamaremos serie de Taylor de f en c. n! n=0

• Desarrollos de Taylor Conviene recordar ahora el conocido teorema de Taylor que permite aproxi-mar una funci´on por un polinomio de grado n. Teorema 4.7 (Taylor) Sea f una funci´on continua y con derivada continua hasta el orden n en un intervalo I = [c − R, c + R] y derivable de orden n + 1 en ]c − R, c + R[. Si x ∈ I , existe un punto ξ entre c y x tal que ′

f (x) = f (c) + f (c)(x − c) +

f (n)(c) f ′′(c) 2 n 2! (x − c) + . . . + n! (x − c) n (x)

| f (n+1)(ξ) + (n + 1)! (x − c)(n + 1) | {z } Rn (x)

T{z

}

Los t´erminos Tn(x) forman un polinomio de grado n a lo sumo, llamado polinomio de Taylor, mientras que el ultimo´ t´ermino Rn(x) se llama el resto de Lagrange. Este teorema permite aproximar el valor de una funci´on mediante un poli-nomio.