• Author / Uploaded
• Okar

Citation preview

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DINÁMICA

MÉTODO DE POTENCIAS VIRTUALES “ANÁLISIS CINÉTICO”

Nombre: Oscar Nacimba A. Código: 7 026 Nivel: Sexto Docente: Ing. Geovanny Novillo

Octubre 2018 - Febrero 2019

INTRODUCCIÓN

Para evitar plantear un número elevado de ecuaciones cuando se requiere realizar un análisis dinámico, resulta de suma utilidad utilizar el método de las potencias virtuales ya que nos permite realizar este análisis de una forma más selectiva para aislar posteriormente lo que nos interesa del mecanismo en cuestión. Es decir, este método permite determinar la expresión de aquella fuerza o momento de enlace del mecanismo que interesa sin tener que plantear el estudio de todo el conjunto de fuerzas. En este método, aparece un vector asociado a la velocidad –velocidad virtual– que en otros ámbitos se asocia a un desplazamiento –desplazamiento virtual. En este caso, el método se denomina método de los trabajos virtuales. Por ejemplo, permite determinar directamente una ecuación del movimiento del mecanismo sin tener que emplear otras ecuaciones para eliminar acciones de enlace, como sucede a menudo al emplear los teoremas vectoriales. En el presente trabajo se analizara la forma de proceder para utilizar este método como por ejemplo para hacer un análisis de todas las fuerzas y los momentos de enlace del mecanismo. En este caso es más ventajoso plantear los teoremas vectoriales en cada miembro por separado y resolver el sistema de ecuaciones lineales que se obtiene, usualmente mediante métodos numéricos. Cabe recalcar que intentar determinar todas las fuerzas y los momentos de enlace aplicando el método de las potencias virtuales puede ser largo y complejo si no se sistematiza utilizando las ecuaciones de Lagrange.

GENERALIDADES

1. Fundamentos del método El método de las potencias virtuales parte del hecho que, en una referencia galileana, la suma de fuerzas sobre una partícula P, incluida la fuerza de inercia de d'Alembert Ƒ (𝑃), es igual a cero: 𝐹(𝑃) + Ƒ (𝑃) = 0 𝑐𝑜𝑛 Ƒ (𝑃) = – 𝑚 (𝑃) 𝑎(𝑃) Si se multiplica escalarmente esta ecuación vectorial por un vector arbitrario 𝑣 ∗ (𝑃), se obtiene una única ecuación escalar: 𝐹(𝑃) · 𝑣 ∗ (𝑃) + Ƒ (𝑃) · 𝑣 ∗ (𝑃) = 0 Al vector escogido se le da significado de velocidad, y entonces los términos de la ecuación escalar tienen significado de potencia. Este vector no tiene por qué corresponder a la velocidad real de la partícula, y por eso se denomina velocidad virtual (notación con *). La potencia obtenida así se denomina potencia virtual de las fuerzas que actúan sobre la partícula. Para el conjunto de partículas de un sistema mecánico se cumple ∑[F(P). v ∗ (P) + Ƒ(P). v ∗ (P)] = 0

(1)

Con esta expresión se enuncia lo siguiente: La potencia virtual del conjunto de fuerzas que actúan sobre un sistema mecánico, incluidas las fuerzas de inercia de d'Alembert, es nula. Escogiendo adecuadamente las velocidades virtuales se pueden obtener las ecuaciones del movimiento o las ecuaciones para la determinación de fuerzas y momentos desconocidos. En el análisis estático de sistemas mecánicos –estructuras y mecanismos en reposo, las fuerzas de inercia de d'Alembert son obviamente nulas y la ecuación 1 queda simplificada, ya que sólo incluye las fuerzas de interacción exteriores e interiores, y las fuerzas de inercia de arrastre si la referencia de estudio no es galileana.

2. Tipos de movimientos virtuales Hay dos tipos de movimientos virtuales: a) Compatibles con los enlaces Los primeros se emplean para la obtención de ecuaciones del movimiento y de las fuerzas y momentos desconocidos introducidos por accionamientos.

Son movimientos virtuales que cumplen las restricciones cinemáticas impuestas por los enlaces y las ecuaciones cinemáticas constitutivas de los miembros; en particular, las velocidades virtuales asociadas a las partículas de un sólido rígido verifican la expresión ̅̅̅̅ v ∗ (B) = v ∗ (A) + ω ∗ xAB

(2)

Donde: ω =Velocidad angular virtual del solido Por tanto, pueden ser tratados de la misma manera que los movimientos reales cinemáticamente posibles. Así, la velocidad de un punto P del sistema se puede expresar como: v(P) = ∑ni=1 bi (P)ui

(3)

bi (P)ui = Coeficientes para cada punto función de las coordenadas q i ui

= Velocidades generalizadas independientes (normalmente ui = q i

n

= Número de grados de libertad.

Y las velocidades virtuales de los movimientos virtuales compatibles con los enlaces se pueden expresar v ∗ (P) = ∑ni=1 bi (P)ui ∗

(4)

Donde: ui ∗ = Variables independientes o grados de libertad virtuales. Normalmente se escogen estos movimientos de manera que tan sólo dependan de un único grado de libertad ui ∗y entonces se consideran asociados a este ui . v ∗ (P) ⋮ui = ui

(5)

Con estos movimientos virtuales, las únicas incógnitas que pueden aparecer en las ecuaciones son las fuerzas desconocidas, diferentes de las de enlace, exteriores e interiores, y las fuerzas de inercia de d’Alembert. Las fuerzas de enlace no intervienen, ya que su potencia en este tipo de movimiento es nula. Para demostrarlo, se ha de analizar el contacto puntual, con y sin deslizamiento, como enlace básico, ya que cualquier otro tipo de enlace se puede considerar una superposición de éstos.

-

Contacto con deslizamiento

Cuando hay deslizamiento la fuerza de enlace sobre el sólido 2 tiene potencia nula al ser ortogonal a la velocidad del punto de aplicación J2 .

Fig2. Contacto con deslizamiento -

Contacto sin deslizamiento

Cuando no hay deslizamiento la fuerza de enlace sobre el sólido 2 también tiene potencia nula al ser nula la velocidad del punto de aplicación J2 .

Fig3. Contacto sin deslizamiento Si el grado de libertad descrito por ui es un grado de libertad no forzado, no gobernado por ningún accionamiento, la ecuación obtenida se denomina ecuación del movimiento para este grado de libertad. En sistemas de más de un grado de libertad, las ecuaciones del movimiento obtenidas no están en general desacopladas, es decir, cada una de ellas puede incluir diversos grados de libertad y sus derivadas. Si el grado de libertad es gobernado por algún tipo de accionamiento, se obtiene la expresión de la fuerza o del momento introducido por éste, para garantizar el control del grado de libertad. Cuando un grado de libertad es gobernado por más de un accionamiento –por ejemplo, los trenes automotores con tracción eléctrica tienen más de un motor–, la expresión que se obtiene corresponde al torsor de las acciones de todos los accionamientos y el valor de cada uno queda indeterminado.

b) Movimientos virtuales no compatibles con los enlaces. Se emplean para la determinación de fuerzas y momentos de enlace. Movimientos virtuales compatibles con los enlaces.

Para determinar fuerzas y momentos de enlace se han de escoger movimientos virtuales que no verifiquen la restricción asociada a la fuerza o al momento de enlace por determinar se dice que se rompe el enlace. Eso permite que la potencia virtual de la fuerza o el momento aparezcan en la ecuación y pueda así ser aislada. Dentro de lo que es posible, se ha de escoger el movimiento virtual de manera que sólo aparezca como incógnita la fuerza o el momento por determinar.

3. Puntualizaciones -

Hacer un movimiento virtual no quiere decir modificar el movimiento real del sistema ni, por tanto, el sistema de fuerzas de inercia de d’Alembert.

-

Si el sistema que se estudia presenta enlaces con resistencias pasivas, las fuerzas y los momentos que las describen tienen asociada, en principio, una potencia virtual no nula para los movimientos virtuales compatibles con los enlaces. Las resistencias pasivas en los enlaces a menudo se formulan en función de las fuerzas de enlace y eso obliga a determinar posteriormente estas fuerzas para obtener ecuaciones libres de fuerzas de enlace.

-

La potencia de una pareja de fuerzas de acción y reacción y, en consecuencia, la de todo el conjunto de fuerzas interiores de un sistema – conjunto de parejas de acción y reacción– no es cero, en principio, y es independiente de la referencia desde la cual se determina. Este hecho se ha de tener en cuenta tanto en la aplicación del método de las potencias virtuales como en la del teorema de la energía.

-

Son ejemplos de este hecho la potencia desarrollada por un motor y la potencia disipada por las resistencias pasivas, ambas no nulas en general e independientes de la referencia de estudio.

5. Ejemplo de aplicación

El mecanismo mostrado en la figura está diseñado para ejercer una gran fuerza sobre la barra horizontal en A para una operación de estampado. Si el cilindro hidráulico DE ejercer una fuerza axial de 800 N y 𝛼 = 80°. ¿Qué fuerza horizontal se ejerce sobre la barra horizontal en A? Si se pide resolver el problema mediante los siguientes métodos:

Se considera el mecanismo mostrado en la figura siguiente y se supone una velocidad ⃗ 𝑟𝑎𝑑/𝑠. angular de la barra 2, 𝜔 ⃗ 2= 1 ∗ 𝑘

Aplicando las ecuaciones del movimiento relativo se tiene que: ⃗ 𝐵3 =𝑉 ⃗ 𝐴3 + 𝜔 𝑉 ⃗ 3 𝑥 𝑟𝐴3𝐵3 Y además: ⃗ 𝐶2 = 𝜔 𝑉 ⃗ 2 𝑥 𝑟𝑂2𝐶2

Los vectores posicion vienen dados por: 𝑟𝑂2𝐶 = 250 ∗ 10−3 *[cos(80°)*𝑖 + sen(80°)*𝑗 ] = (0,0434*𝑖 + 0,2462*𝑗 )m 𝑟𝑂2𝐴 = 250 ∗ 10−3 *[cos(170°)*𝑖 + sen(170°)*𝑗 ] = (-0,2462*𝑖 + 0,0434*𝑗 )m 𝑟𝐴𝐵 = (-0,2462*𝑖 - 0,0434*𝑗 )m Por lo tanto, sustituyendo en la ecuaciones de velocidad anteriores, se tendra que: 𝑖 ⃗ 𝐶2 = | 0 𝑉 0,0434

𝑗 0 0,2462

⃗ 𝑘 1|= (-0,2462*𝑖 + 0,0434*𝑗 )m/s 0

Por otra parte: 𝑖 𝑉 𝐵3 ∗ 𝑖 = | 0 −0,2462

𝑗 0 0,0434

⃗ 𝑖 𝑘 | + | 0 1 0 −0,2462

𝑗 0 −0,0434

⃗ 𝑘 𝜔3 | 0

De donde se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑉 𝐵3 = -0,0434 + 0.0434*𝜔3

𝑉 𝐵3 = -0,0868 m/s

0 = -0,2462 – 0,2462*𝜔3

𝜔3 = -1,0 rad/s

La aplicación del principio de las potencias virtuales conducirá a la siguiente ecuación: ⃗ 𝐶2 + 𝐹 𝐻 * 𝑉 ⃗ 𝐵3 = 0 𝑃𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝐹 𝐶 * 𝑉 Donde: 𝐹 𝐶 = 800*[cos(145,3773°)*𝑖 + sen(145,3773°)*𝑗 ] = (-658,3291*𝑖 + 454,5359*𝑗 )N 𝐹 𝐻 = 𝐹𝐻 * 𝑖 N Y ⃗ 𝐷 = (-0,2462*𝑖 + 0,0434*𝑗 )m/s 𝑉 ⃗ 𝐴 = -0,0868*𝑖 m/s 𝑉 Efectuando los correspondientes productos escalares, se llegara a: 162,0806 + 19,2769 - 0,0868 * 𝐹𝐻 = 0 De donde se obtiene: 𝐹𝐻 = 2094,0565 N

CONCLUSIONES -

Se denomina movimiento virtual a la distribución de velocidades virtuales empleadas en una aplicación del método de las potencias virtuales.

-

Los movimientos virtuales se han de escoger de manera que, en principio, dependan de una única velocidad generalizada virtual –variable independiente.

BIBLIOGRAFÍA -

I FOIX, Salvador Cardona; COSTA, Daniel Clos. Teoría de máquinas. Univ. Politèc. de Catalunya, 2001. GUBERT, Xavier Ayneto. Mecánica del medio continúo en la ingeniería. Univ. Politèc. de Catalunya, 2006.