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• Manuel Sanchez Mendoza

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RESUMEN El presente informe trata sobre el Mètodo de Cross, este método consiste en aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista, este método está ideado para resolver problemas de estructuras reticulares. El cálculo para este método es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su

desarrollo

integraciones

complejas

ni

sistemas

de

ecuaciones

complicados. También no es necesario tener todas las fórmulas de memoria ya que existen tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.

INTRODUCCION En el Método de Distribución de Momentos cada articulación de la estructura que se va a analizar, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos fijos. Después cada articulación fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos desde el punto de vista matemático puede ser demostrado como el proceso de resolver una serio de sistemas de ecuaciones por iteraciones.

OBEJTIVOS OBJETIVO GENEREAL: 

Entender el método de Cross, de tal manera que nos permita determinar el valor de los momentos en los nudos o apoyos de los elementos hiperestáticos

OBJETIVOS ESPECÍFICO: 

MARCO TEORICO Antecedentes: El análisis estructural necesario para las grandes construcciones de estructuras de hormigón armado en 1950 era una tarea formidable. Esto es un atributo a la profesión de ingeniería, y para Hardy Cross, que aquí existen tan pocos fallos. Cuando los ingenieros tienen que calcular los esfuerzos y deflexiones en un marco estáticamente indeterminado, ellos inevitablemente vuelven a lo que fue conocido como "Distribución de Momentos" o "Método de Hardy Cross". En el método de distribución de momentos, los momentos en los extremos fijos de los marcos son gradualmente distribuidos a los miembros adyacentes en un número de pasos tales que el sistema eventualmente alcanza su configuración de equilibrio natural. Sin embargo, el método era todavía una aproximación pero podía ser resuelto a ser muy cercano a la solución real.

Método de Cross:

Es

un

método

de análisis

estructural para

vigas

estáticamente y

marcos/pórticos planos. En el método de Cross, para analizar cada articulación o nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. Después cada articulación fija se considera liberada secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de Cross en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración. El método de redistribución de momentos o método de Cross cae dentro de la categoría de los métodos de desplazamiento del análisis estructural. Implementación

En disposición de aplicar el método de Cross para analizar una estructura, debemos tener en cuenta lo siguiente.

Momentos de empotramiento en extremos fijos Momentos

de

empotramiento

en

extremos

fijos son

los

momentos

producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas. Rigidez a la Flexión La rigidez a la flexión es la propiedad que tiene un elemento que le permite resistir un límite de esfuerzos de flexión sin deformarse. La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el producto del módulo de elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.

Coeficientes de distribución Los coeficientes de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no equilibrados que se distribuyen a cada uno de los miembros. Un momento no equilibrado en un nudo, es distribuido a cada miembro concurrente en presenta cada uno de estos miembros.

Coeficientes de transmisión Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisión. Valores típicos: 

0,5 para nodos sin empotramiento

0 para nodos empotrados



Convención de signos Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la convención de signos usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo anti horarios.

Estructuras de marcos Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas utilizando el método de distribución de momentos. Ejemplo La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada.

La viga estáticamente indeterminada mostrada en la figura será analizada. 

Miembros AB, BC, CD tienen la misma longitud



Las rigideces a Flexión son EI, 2EI, EI respectivamente.



Cargas distancia



concentradas

de

magnitud

actúan

desde el soporte A.

Carga uniforme de intensidad

actúa en BC.

a

una



Miembro CD está cargado a la mitad de su claro con una carga concentrada de magnitud

.

En los siguientes cálculos, los momentos anti horarios son positivos.

1.-Momentos en Extremos Fijos

2.-Coeficientes de Reparto

Los coeficientes de reparto de las juntas A y D son

3.-Coeficientes de transmisión Los coeficientes de transmisión son 0.5 (porque la sección es constante), excepto para el factor de acarreo desde D (soporte fijo) a C el cual es cero. 4.-Distribución de Momentos

Números en gris son momentos balanceados; flechas (→ / ←) representan el acarreo de momento desde un extremo al otro extremo de un miembro

Articulac A ión

Articulació B n

Articula C ción

Articulac D ión

Coeficie ntes de 0 reparto

1

0.2727

0.727 3

0.6667 0.3333

0

Moment os en Extremo s Fijos

14.700

-6.300

8.333

-8.333 12.500

-12.500

Paso 1

-14.700 → -7.350 3.867 →

1.934

-2.034 ←

-4.067

1.479 →

0.739

-0.246 ←

-0.493

Paso 2

1.450

Paso 3 Paso 4 Paso 5

0.555

-2.034 → -1.017

-0.246 → -0.123

0

Paso 6

0.067

Paso 7 Paso 8

0.008

Paso 9 Paso 10 Suma de Momen tos

0

0.179 →

0.090

-0.030 ←

-0.060

0.022 →

0.011

-0.004 ←

-0.007

0.001

0.003

-11.569

11.56 9

-0.030 → -0.015

-0.004 → -0.002

-10.186 10.186

-13.657

5.-Resultados Momentos en articulaciones, determinados por el método de distribución de momentos:

La convención de signos usual en ingeniería es usada aquí, i.e. Los momentos positivos causan elongación en la parte inferior de un elemento de viga. Para propósitos de comparación, los siguientes son los resultados generados, usando un método matricial. Nota que en el análisis superior, el proceso iterativo fue llevado a >0.01 de precisión. El hecho de que el resultado de análisis de matriz y el resultado de análisis de distribución de momentos iguale a 0.001 de precisión es mera coincidencia. Momentos en articulaciones determinados por el método matricial:

Los diagramas completos de cortante y momento flector son como sigue. Nota que el método de distribución de momentos solo determina los momentos en las juntas. Desarrollando diagramas de momentos flectores completos requiere de cálculos adicionales usando los momentos determinados en las articulaciones y el equilibrio interno de la sección.

CONCLUSIONES



Se llegó a entender el método de Cross, para el cálculo de momentos en estructuras hiperestáticas.



DEC

Diagrama de esfuerzos cortantes.

DMF

Diagrama de momentos flectores.

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFIA

 R.C. HIBBELER,ANALISIS ESTRUCTRURAL, 8Va edición,2012  José L. CAMBA, Francisco CHACON, APUNTES DE ANALISIS ESTRUCTURAL I,1982  http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_distribuci %C3%B3n_de_momentos#Rigidez_a_la_Flexi.C3.B3n