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UNIVERSIDAD DE HUANUCO SEDE TINGO MARIA

INGENIERIA CIVIL

METODO DE HARDY CROSS

CURSO

:

DOCENTE

:

MECANICA DE FLUIDOS II

LIC. DIESTRA RODRIGUEZ, ALEXANDER

ALUMNO

:

SAYRE POTESTA, RODRIGO

CICLO

:

VII TINGO MARÍA – HUÁNUCO 2016

I.

INTRODUCCIÓN

Una red cerrada de tuberías es aquella en la cual los conductos o tuberías que la componen se ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados. Un circuito es cualquier trayectoria cerrada que puede recorrer una partícula fluida, partiendo desde un punto o nudo de la red, fluyendo por distintos tramos, hasta llegar al punto de partida. Las redes urbanas de distribución de agua potable, las redes de distribución de gas para usuarios urbanos, las redes de distribución de agua en distritos de riego, las redes de distribución de gas en sistemas de refrigeración, las redes de distribución de aceite en sistemas de lubricación y las redes de distribución de aire en sistema de ventilación, son ejemplos clásicos de conformación de redes cerradas de tuberías. Sin embargo, en esta oportunidad, el análisis se centrará en las redes de distribución de agua, cuya aplicación es de gran interés para los profesionales de las Ingenierías Hidráulica, Minas, Civil, Industrial, Agrícola y Sanitaria. Las redes urbanas de distribución de agua forman ramificaciones sucesivas de tuberías, siguiendo el trazado de las calles y vías de acceso, conformando circuitos o anillos cerrados, de manera que el agua, en un nudo de la red, puede venir por dos o más direcciones distintas, lo cual presenta la ventaja de no interrumpirse el suministro en los eventos de reparación o de mantenimiento. El análisis de una red cerrada de tuberías conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones no lineales, de solución muy laboriosa, que solamente es posible resolver por métodos de aproximaciones sucesivas, uno de los cuales es el Método de Hardy Cross

II.

EL MÉTODO DE HARDY CROSS

2.1 GENERALIDADES El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: 

Ley de continuidad de masa en los nudos;



Ley de conservación de la energía en los circuitos.

El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach. 2.1.1. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: 1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

Donde, Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo. qi : Caudal concentrado en el nudo i m : Número de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

Donde, hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij. n : Número de tramos del circuito i

2.1.2. DEMOSTRACION DEL METODO HARDY CROSS Considerando las tres condiciones que debe cumplir una red cerrada, el método propuesto por el profesor Hardy Cross consiste en suponer una distribución de caudales que cumpla con la condición 1, es decir:

Como no se cumple la condición 2 (

), el método consiste en

introducir una corrección única para todos los caudales de un circuito, de modo que se cumpla dicha condición, es decir la suma algebraica de las pérdidas de energía de todas las cañerías j de un circuito i sea igual a cero.

Esto equivale a decir que se debe cumplir que:

Desarrollando esta expresión en una serie de Taylor se tiene:

Utilizando sólo los primeros términos de la serie:

Despejando el caudal correctivo ∆Qi se tiene:

Donde:

Es la sumatoria de las pérdidas de energía de las cañerías j de un circuito cerrado i considerando una convención ya definida para los ∆Hji como para los Qji (

)

Por otra parte, como Qji y ∆Hji tienen un signo asociado a la convención elegida y es el mismo y se mantiene para todos los casos, su valor será siempre positivo. Luego, para evitar confusiones se utiliza el módulo:

2.1.3. EJERCICIOS RESUELTOS POR EL METODO DE HARDY CROSS EJEMPLO 1 En el sistema de tuberías en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para Q= 456 l/s, los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el método de Hardy Cross.

Solución: Se supone que los caudales Q30 y Q40 son iguales, respectivamente, a 150 l/s y 306 l/s los cálculos se realizan en la tabla que sigue (obsérvese que se ha puesto 306 l/s), procediendo así se calculan los valores de S mediante el diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego HL = S*L y a continuación se determinan

HL Q0

se notara que cuanto mayor sea

∑ HL

más alejados de los correctos estarán los caudales Q. (Los valores de Q se han elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores grandes de

∑ HL

y así ilustrar en el procedimiento).

Entonces, los valores de Q1 serán (150 - 27.8) =122.2 l/s y (-306 - 27.8 = -333.8) l/s. Repitiendo de nuevo el proceso de cálculo:

No es necesario hacer una nueva aproximación ya que el diagrama B no puede conseguirse una mayor precisión de 3l/s aproximadamente. Teóricamente, HL deberían ser igual a cero, pero esta condición se obtiene muy raramente. Se observa que el caudal que fluye por la tubería de 30cm era el 26,4% de 456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobación satisfactoria. EJEMPLO 2 Calcular los caudales en cada una de las conducciones del siguiente esquema de distribución de agua, aplicando el método de Hardy – Cross, donde a representa la resistencia hidráulica.

Para iniciar al lector en el cálculo de redes malladas por el método de HardyCross, hemos considerado oportuno dar calculado el término a que como hemos mencionado anteriormente:

Solución: Elijamos arbitrariamente los caudales indicados en la figura y apliquemos reiteradamente el método de Hardy – Cross

En el segundo tanteo, restamos a los caudales establecidos arbitrariamente DQ, teniendo en cuenta que la conducción BD es común a las dos mallas, por tanto debemos realizar la corrección de ambos DQ que en este caso serán: Malla I, tramo BD:

10 - 2,63 - 6,82 = 0,55

Malla II, tramo BD:

-10 – 2,63 + 6,82 = - 0,55

Cambios de signo que corresponden al criterio establecido según sea la malla I o II

Los caudales circulantes serán:

EJEMPLO 3 Para el sistema de tuberías mostrado, determine la distribución de flujo y las cargas piezometricas en las uniones mediante el método de solución de Hardy Cross. Suponga que las pérdidas son proporcionales a Q2.

Solución: Existen 5 uniones (J=5), ocho tubos (P=8) y dos nodos de nivel fijo (F=2). Por consiguiente el número de lazos cerrados es L= 8 – 5 – 2 + 1 = 2, más un seudolazo. Los tres lazos y las direcciones de flujo supuestas se muestran en la figura: ∆ QI =

−( ± W 4 ± W 3 ±W 2 ±W 1 ) −(Z A−Z B ) G 4 +G 3 +G 2+ G 1

∆ Q II =

−( ± W 2± W 8 ±W 7 ± W 6 ) G2 +G8 +G7 +G 6

∆ Q I II

El problema se resuelve en una hoja de Excel

=

−( ± W 3± W 5 ±W 8 ) G3 +G5 +G8

En la figura se muestran los valores de

QI

después de 4 iteraciones, junto

con las direcciones de flujo finales. Las velocidades de flujos están litros por segundo. Las cargas piezometricas se evalúan calculando la caída de energía a lo largo de trayectorias designadas, comenzando en un nodo de nivel fijo, en este caso el A: H C =H A −R1 Q 21=50−100 ( 0.319 )2=39.8m 2

2

H D =H C −R 2 Q2=39.8−5 00 ( 0.134 ) =3 0 .8 m

H E =H D−R3 Q23=30.8−2 00 ( 0.062 )2 =3 0.0 m 2

2

H F =H C −R 6 Q 6 =39.8−3 00 ( 0.185 ) =29. 5 m

H G=H D −R 8 Q28=30 .8−300 ( 0.072 )2=29. 2 m

Observe que en elemento 4 hay una perdida insignificante.

Ejemplo 4 Determínese los caudales en cada tubería de la red cerrada de la fig. todas las tuberías tienen una rugosidad absoluta de 0.03mm. Los caudales L concentrados de salida en los nodos están expresado en s .la viscosidad cinetica del agua en de

TUBERIA

1∗10−6

m s

.

L(m)

D(cm)

12

500

20

25

200

10

15

600

20

23

600

15

34

200

10

45

600

15

ECCIO 1 12

VISCOCIDA D 1E-06

25*

1E-06

15

1E-06

TUB

L(m D(cm RU(mm REYNOLD Q(M3/s) LAMBDA K ) ) ) S 500 20 0.03 0.1 6.37E+05 0.0139 1796 2805 200 10 0.03 0.02 2.55E+05 0.017 1 600

20

0.03

L(m D(cm RU(mm ) ) )

-0.1

6.37E+05

DQ=

-0.00399

0.0139

SUM

TUB

VISCOCIDA D

23

1E-06

600

15

0.03

0.02

1.70E+05

0.0172

34

1E-06

200

10

0.03

-0.03

3.82E+05

0.0163

54

1E-06

600

15

0.03

-0.07

5.94E+05

0.0146

25*

1E-06

200

10

0.03

-0.016

2.04E+05

0.0175

DQ=

1.71E-02

Q(M3/s

2157

REYNOLD LAMBDA S

K 1124 2 2687 9 9563 2883 9 SUM

HP(m 2(HP/Q) Qcorreg. ) 17.96 359.6 0.09601 0.01601 11.22 1122 * 431.5 -0.10399 21.57 1913.0 7.62 6 HP(m 2(HP/Q) Qcorreg. ) 4.5

449.7

0.0371

1612.7

-0.0129

1338.8

-0.0529

-7.4

923.7

0.00108 *

-

4324.9

24.19 46.86

73.95

ECCIO 2 12

VISCOCIDA D 1E-06

25*

1E-06

200

10

0.03

15

1E-06

600

20

0.03

TUB

TUB

VISCOCIDA D

23

L(m D(cm RU(mm ) ) ) 500 20 0.03

REYNOLD LAMBDA K S 0.096 6.11E+05 0.014 1805 4887 -0.001* 1.38E+04 0.0296 7 Q(M3/s

-0.104

6.62E+05

DQ=

7.39E-03

0.0139

2149 SUM

L(m D(cm RU(mm ) ) )

Q(M3/s

1E-06

600

15

0.03

0.0371 3.15E+05

0.0157

34

1E-06

200

10

0.03

-0.0129 1.64E+05

0.018

54

1E-06

600

15

0.03

-0.0529 4.49E+05

0.0151

9833

27.52

0.03

0.0063 8.03E+04 *

0.0202

3345 3

-1.33

421.9

SUM

19.88

2989.8

25*

1E-06

200

10

DQ=

REYNOLD LAMBDA S

HP(m 2(HP/Q) Qcorreg. ) 16.64 346.7 0.1034 0.00631 -0.06 106 * 446.9 -0.0966 23.23 -6.65 899.54

6.58E-03

K 1025 6 2971 4

HP(m 2(HP/Q) Qcorreg. ) 14.11

760.9

0.04368

-4.95

766.7

-0.00632

1040.3 -0.04632 0.00028 *

CCION TUB 12

VISCOCIDA D(cm RU(mm L(m) Q(M3/s D ) ) 1E-06 500 20 0.03 0.105

25*

1E-06

200

10

0.03

15

1E-06

600

20

0.03

TUB

REYNOLD LAMBDA K HP(m) 2(HP/Q) Qcorreg. S 6.67E+05 0.0139 1789 19.65 375 0.10483 5620 -0.001* 7.69E+03 0.034 -0.02 67.9 0.00058 7 * -0.095 6.06E+05 0.014 2169 412.9 -0.09517 19.65 DQ= 2.00E-05 SUM -0.02 855.81

VISCOCIDA D(cm RU(mm L(m) Q(M3/s D ) )

REYNOLD LAMBDA S

23

1E-06

600

15

0.03

0.0454

3.85E+05

0.0153

34

1E-06

200

10

0.03

-0.0046 5.84E+04

0.0215

54

1E-06

600

15

0.03

-0.0446 3.78E+05

0.0154

25*

1E-06

200

10

0.03

0.0006 *

0.0343

7.45E+03

K 1000 3 3556 1 1002 4 5664 9

HP(m) 2(HP/Q) Qcorreg. 20.63

908.5

0.04543

-0.75

326.2

-0.00457

19.93

893.9

-0.04457

0.02

86.3

0.00060 *

DQ=

1.00E-05

EN EL CONTORNO: ∑ hp=19.65+20.63−19.65−19.19−0.75=0.69 m