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CALCULO MULTIVARIADO

PRESENTADO POR: WISMAR ALEXANDER LOZANO cód. 1110496895 NELSON GIOVANI WILCHES cód.1049632359 CLAUDIA MILENA QUEVEDO MORA cód. 1014238112

TUTOR JOSE ADEL BARRERA

GRUPO 203057_16

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ABRIL 2018

Introducción El cálculo multivariado plantea la ejecución de ejercicios utilizando los conceptos de derivación e integración no solamente a curvas establecidas en el plano cartesiano sino el trabajo con "sabanas" que son las superficies descritas por funciones de varias variables y representadas en espacios de tres dimensiones. El presente trabajo se desarrolla enfocado en reconocer y aplicar las temáticas estudiadas en la unidad 2, donde podemos encontrar actividades dirigidas a relacionar en el contenido de derivadas Parciales, derivadas direccionales, elementos de línea y áreas, máximos y mínimos.

Actividades a desarrollar

1. Calcular las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales. 𝐷11 𝑧, 𝐷22 𝑧, 𝐷12 𝑧 = 𝐷21 𝑧 B. 𝒇(𝒙, 𝒚) =

𝒙𝒚 𝒙−𝒚

; (𝟐, −𝟐)

Hallamos la derivada parcial 𝑫𝟏𝟏 𝒛 Hallamos 𝐷1 𝑧

𝝏𝒇

𝑥𝑦

= 𝑥−𝑦 𝝏𝒙 𝝏𝒇

Sacamos la constante

𝑥

𝒚 𝝏𝒙 (𝑥−𝑦) 𝑦 𝑦 𝑦

𝑓 ′

Aplicamos la regla (𝑔) =

𝝏𝒇 𝝏𝒇 (𝑥)(𝑥−𝑦)− (𝑥−𝑦)𝑥 𝝏𝒙 𝝏𝒙 (𝑥−𝑦)2

𝑓 ′ ∗𝑔−𝑔′ ∗𝑓 𝑔2

Derivamos

𝟏∗(𝑥−𝑦)−𝟏∗𝑥 (𝑥−𝑦)2 (𝑥−𝑦)−𝑥 (𝑥−𝑦)2 −𝑦

𝑦 (𝑥−𝑦)2 𝑦2

− (𝑥−𝑦)2

Ahora hallamos 𝐷11 𝑧

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒙𝟐

𝝏

𝑦2

𝝏𝒇

= 𝝏𝒙 (𝝏𝒙) = − (𝑥−𝑦)2 𝑦2

𝝏𝒇

(− (𝑥−𝑦)2 ) 𝝏𝒙 𝝏𝒇

Sacamos la constante

−𝑦 2 𝝏𝒙 ((𝑥 − 𝑦)−2 )

Aplicamos la regla de la cadena 𝑢 = (𝑥 − 𝑦)

𝝏𝒇

𝝏𝒇

−𝑦 2 𝝏𝒙 (𝑢−2 ) 𝝏𝒙 (𝑥 − 𝑦) −𝑦 2 (−𝟐𝒖−𝟐−𝟏 ) ∗

𝝏𝒇 𝝏𝒇 (𝑥) − (𝑦) 𝝏𝒙 𝝏𝒙

𝟐

−𝑦 2 (− 𝒖𝟑 ) ∗ 𝟏 − 𝟎 −𝑦 2 (−

𝑑

Aplicamos la regla de la potencia 𝑑𝑥 (𝑥 𝑎 ) = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑎−1

Reemplazamos

𝟐 ) (𝒙 − 𝒚)𝟑

𝟐𝑦 2 (𝒙 − 𝒚)𝟑

Hallamos la derivada parcial 𝑫𝟐𝟐 𝒛 Hallamos 𝐷2 𝑧

𝝏𝒇 𝝏𝒚

=

𝑥𝑦

Sacamos la constante

𝑥−𝑦

𝝏𝒇

𝑦

𝒙 𝝏𝒚 (𝑥−𝑦) 𝑥 𝑥 𝑥

𝑓 ′

Aplicamos la regla (𝑔) =

𝝏𝒇 𝝏𝒇 (𝑦)(𝑥−𝑦)− (𝑥−𝑦)𝑦 𝝏𝒚 𝝏𝒚 (𝑥−𝑦)2

𝟏∗(𝑥−𝑦)−(−𝟏)∗𝑦 (𝑥−𝑦)2 (𝑥−𝑦)+𝑦 (𝑥−𝑦)2 𝑥

𝑥 (𝑥−𝑦)2 𝑥2 (𝑥−𝑦)2

Ahora hallamos 𝐷22 𝑧

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒚𝟐

𝝏

𝝏𝒇

𝑥2

= 𝝏𝒚 (𝝏𝒚) = (𝑥−𝑦)2

Derivamos

𝑓 ′ ∗𝑔−𝑔′ ∗𝑓 𝑔2

𝑥2

𝝏𝒇

( ) 𝝏𝒚 (𝑥−𝑦)2

Sacamos la constante

𝝏𝒇

𝑥 2 𝝏𝒚 ((𝑥 − 𝑦)−2 ) 𝝏𝒇

Aplicamos la regla de la cadena 𝑢 = (𝑥 − 𝑦)

𝝏𝒇

𝑑

𝑥 2 𝝏𝒚 (𝑢−2) 𝝏𝒚 (𝑥 − 𝑦) 𝑥 2 (−𝟐𝒖−𝟐−𝟏 ) ∗

Aplicamos la regla de la potencia 𝑑𝑥 (𝑥 𝑎 ) = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑎−1

𝝏𝒇 𝝏𝒇 (𝑥) − (𝑦) 𝝏𝒚 𝝏𝒚

𝟐

𝑥 2 (− 𝒖𝟑 ) ∗ 𝟎 − (−𝟏) 𝑥 2 (−

Reemplazamos

𝟐 ) (𝒙 − 𝒚)𝟑

𝟐𝑥 2 (𝒙 − 𝒚)𝟑

Hallamos la derivada parcial 𝑫𝟏𝟐 𝒛 𝝏𝟐 𝒇

𝝏

𝝏𝒇

𝑦2

= 𝝏𝒚 (𝝏𝒙) = − (𝑥−𝑦)2 Sacamos la constante 𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒇

𝑦2

− 𝝏𝒚 ((𝑥−𝑦)2 )

𝑓 ′

Aplicamos la regla (𝑔) =

−

𝝏𝒇 2 𝝏𝒇 (𝑦 )(𝑥−𝑦)2 − ((𝑥−𝑦)2 )𝑦2 𝝏𝒚 𝝏𝒚 ((𝑥−𝑦)2 )2

−

𝟐𝒚(𝑥−𝑦)2 −(−𝟐(𝒙−𝒚))𝑦 2 ((𝑥−𝑦)2 )2

−

𝟐𝒚(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) + 𝟐(𝑥 − 𝑦)𝑦𝑦 ((𝑥 − 𝑦)2 )2

−

𝟐𝒚(𝑥 − 𝑦)𝑥 − 𝑦 + 𝟐𝒚𝒚(𝑥 − 𝑦) (𝑥 − 𝑦)4

−

𝟐𝒚(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦 − 𝑦) (𝑥 − 𝑦)4

Derivamos

Factorizamos

𝑓 ′ ∗𝑔−𝑔′ ∗𝑓 𝑔2

−

𝟐𝒚𝒙(𝑥 − 𝑦) (𝑥 − 𝑦)4

−

𝟐𝒚𝒙 (𝑥 − 𝑦)3

Hallamos la derivada parcial 𝑫𝟐𝟏 𝒛 𝝏𝟐 𝒇

𝝏

𝑥2

𝝏𝒇

= 𝝏𝒙 (𝝏𝒚) = (𝑥−𝑦)2 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒇

𝑥2

( ) 𝝏𝒙 (𝒙−𝒚)𝟐

𝑓 ′

Aplicamos la regla (𝑔) =

𝝏𝒇 2 𝝏𝒇 (𝑥 )(𝑥−𝑦)2 − ((𝑥−𝑦)2 )𝑥 2 𝝏𝒙 𝝏𝒙 ((𝑥−𝑦)2 )2

𝟐𝒙(𝑥−𝑦)2 −(𝟐(𝒙−𝒚))𝑥 2 (𝑥−𝑦)4

𝑓 ′ ∗𝑔−𝑔′ ∗𝑓 𝑔2

Derivamos

Factorizamos

𝟐𝒙(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) − 𝟐(𝑥 − 𝑦)𝑥𝑥 ((𝑥 − 𝑦)2 )2 𝟐𝒙(𝑥 − 𝑦)𝑥 − 𝑦 − 𝟐𝒙𝒙(𝑥 − 𝑦) (𝑥 − 𝑦)4 𝟐𝒙(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑥 − 𝑦) (𝑥 − 𝑦)4 −𝟐𝒙𝒚(𝑥 − 𝑦) (𝑥 − 𝑦)4 −

𝟐𝒙𝒚 (𝑥 − 𝑦)3

𝑫𝟏𝟐 𝒛 = 𝑫𝟐𝟏 𝒛 −

𝟐𝒚𝒙 𝟐𝒙𝒚 =− 3 (𝑥 − 𝑦) (𝑥 − 𝑦)3

Reemplazamos (2, −2)

−

𝟐 ∗ −𝟐 ∗ 𝟐 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ −𝟐 =− 3 (2 − (−2)) (2 − (−2))3 −

−𝟖 −𝟖 =− 3 (4) (4)3 𝟖 𝟖 = 64 64 𝟏 𝟏 = 8 8

𝜋 𝜋

c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(2𝑥 − 𝑦); (4 , 3 )

Desarrollo: Sabemos que D1 representa la derivada con respecto a x y que D2 la derivada con respecto a y, por lo que tenemos que

𝐷11 𝑧 = 𝑓𝑥𝑥 𝐷22 𝑧 = 𝑓𝑦𝑦 𝐷12 𝑧 = 𝑓𝑥𝑦 𝐷21 𝑧 = 𝑓𝑦𝑥 Procedemos a resolver estas derivadas. Para la primera derivada tenemos: 𝐷11 𝑧 = 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) ∗ 2 = −2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) 𝑓𝑥𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 𝑦) ∗ 2 = −4𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 𝑦) Evaluamos en el punto dado: 𝜋 𝜋 𝑓𝑥𝑥 = −4𝑐𝑜𝑠 (2 ( ) − ) 4 3 𝜋 𝜋 𝜋 √3 𝑓𝑥𝑥 = −4𝑐𝑜𝑠 ( − ) = −4𝑐𝑜𝑠 ( ) = −4 ∗ = 2 3 6 2 𝑓𝑥𝑥 = −2√3

Ahora hallamos la siguiente derivada 𝐷22 𝑧 = 𝑓𝑦𝑦 𝑓𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) ∗ (−1) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) 𝑓𝑦𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 𝑦) ∗ (−1) = −𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 − 𝑦) Evaluamos en el punto dado: 𝜋 𝜋 𝑓𝑦𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 (2 ( ) − ) 4 3 𝜋 𝜋 𝜋 √3 𝑓𝑥𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 ( − ) = −𝑐𝑜𝑠 ( ) = − 2 3 6 2 𝑓𝑥𝑥 = −

√3 2

Ahora hallamos las derivadas cruzadas 𝐷12 𝑧 = 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) ∗ (2) = −2𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) 𝑓𝑥𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 𝑦) ∗ (−1) = 2𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 − 𝑦) Evaluamos en el punto dado: 𝜋 𝜋 𝑓𝑥𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 (2 ( ) − ) 4 3 𝜋 𝜋 𝜋 √3 𝑓𝑥𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 ( − ) = 2𝑐𝑜𝑠 ( ) = 2 ∗ 2 3 6 2 𝑓𝑥𝑦 = √3 Y además 𝐷21 𝑧 = 𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) ∗ (−1) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 𝑦) 𝑓𝑦𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 − 𝑦) ∗ (2) = 2𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 − 𝑦) Evaluamos en el punto dado: 𝜋 𝜋 𝑓𝑦𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 (2 ( ) − ) 4 3

𝜋 𝜋 𝜋 √3 𝑓𝑥𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 ( − ) = 2𝑐𝑜𝑠 ( ) = 2 ∗ 2 3 6 2 𝑓𝑥𝑦 = √3

Como era de esperar las derivadas cruzadas dan el mismo valor

e: 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒆−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒚; (𝟎, 𝟎) Dx = −e(−x)cosy Dxx = e(−x)cosy Dxx(0,0) = 1 X 1 = 1 Dyx = e(−x)seny Dy = −e(−x)seny Dyy = −e(−x)cosy ; (0,0) = −1 x 1 = −1 Dxy = e(−x)seny Dxy = Dyx = e(−x)siny ; (0,0) = 1x 0 = 0

2. Diferenciales

2.1 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±𝟎. 𝟏 milímetros. Las dimensiones de la caja son x, y, z, en centímetros, como

se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.

A. x = 40 cm; y= 15 cm y z= 10 cm

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 Así que: 𝑑𝑉 =

𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 = 𝑦𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Error: ±0.1 mm = ±0.01 cm. 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 = ±0.01 Error propagado: 𝑑𝑉 = (15)(10)( ±0.01) + (40)(10)( ±0.01) + (40)(15)( ±0.01)

𝑑𝑉 = ±𝟏𝟏. 𝟓 𝒄𝒎³ El volumen calculado de la caja: 𝑉 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = (40) ∗ (15) ∗ (10) 𝑉 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒎³ Error relativo ∆𝑉 𝑉

11.5

= 6000 ∗ 100

∆𝑉 = 𝟎, 𝟏𝟗% 𝑉

𝐃. 𝐱 = 𝟓𝟓𝐜𝐦 ; 𝐲 = 𝟐𝟓𝐜𝐦 & 𝐳 = 𝟏𝟔𝐜𝐦

El volumen de la caja es: V = x, y, z, y, por tanto

dV =

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz = yzdx + xzdy + xydz ∂x ∂y ∂z

Utilizando 0.1 milímetros = 0.01 centímetros, se tiene 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 = ±0.01, y el error propagado es aproximadamente: 𝑑𝑉 = (25)(16)( ±0.01) + (55)(16)( ±0.01) + (55)(25)( ±0.01) = ±26.55 cm3

como el volumen medido es: 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 = (55)(25)(16) = 22000 cm3 El error relativo es:

∆𝑉 26.55 = 𝑋100 = 0.12% 𝑉 22000 B: x = 60 cm; y= 25 cm y z= 20 cm

Sabemos que el volumen de un sólido con lados rectos está determinado por el producto de sus lados es decir: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 60 𝑐𝑚 ∗ 25 𝑐𝑚 ∗ 20 𝑐𝑚 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 30000 𝑐𝑚3 = 0.03 𝑚3 Así que los diferenciales asociados son: 𝑑𝑉 =

𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 = 𝑦𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Error: ±0.1 mm = ±0.01 cm. 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 = ±0.01 Error propagado será: 𝑑𝑉 = (25)(20)( ±0.01) + (60)(20)( ±0.01) + (60)(25)( ±0.01) 𝑑𝑉 = 32 𝑐𝑚3 Ahora calculamos el error relativo para la caja ∆𝑉 32 = ∗ 100% = 0.1066% 𝑉 30000

2.2 En los ejercicios evaluar 𝒇(𝟐, 𝟏) y 𝒇(𝟐. 𝟏, 𝟏. 𝟎𝟓) y calcular 𝚫 𝒛, usar el diferencial total 𝐝𝒛 para aproximar 𝚫𝒛.

A. 𝑓(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚

Derivamos: 𝜕𝑧 =3 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = −2 𝜕𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = (2,1) Se desplaza al punto 𝑓(2.1, 1.05) = (𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) 𝑥 + ∆𝑥 = 2.1 ∆𝑥 = 2.1– 𝑥 𝑑𝑥 = 2.1– 2 = 0.1 𝑦 + ∆𝑦 = 1.05 ∆𝑦 = 1.05– 𝑦 𝑑𝑦 = 1.05– 1 = 0.05

Entonces: ∆𝒛~𝒅𝒛 =

𝝏𝒛 𝝏𝒙

𝒅𝒙 +

𝝏𝒛 𝝏𝒚

𝒅𝒚

∆𝒛~𝒅𝒛 = 𝟑𝒅𝒙 − 𝟐 𝒅𝒚 ∆𝒛~𝒅𝒛 = 𝟑(𝟎. 𝟏) − 𝟐(𝟎. 𝟎𝟓) ∆𝒛~𝒅𝒛 = 𝟎. 𝟐 El cambio exacto está dado por:

∆𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) ∆𝑧 = 3(𝑥 + ∆𝑥) − 2(𝑦 + ∆𝑦) − (3𝑥 − 2𝑦) ∆𝑧 = 3(2.1) − 2(1.05) − (3 ∗ 2 − 2 ∗ 1) ∆𝑧 = 6.3 − 2.1 − (1.4 − 2) ∆𝑧 = 0.8 B. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 Solución: Las derivadas parciales con respecto a z son: 𝜕𝑧 = −2 𝜕𝑥 𝜕𝑧 = −2 𝜕𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2,1) Se desplaza al punto 𝑓(2.1, 1.05) = (𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) 𝑥 + ∆𝑥 = 2.1 ∆𝑥 = 2.1– 𝑥 𝑑𝑥 = 2.1– 2 = 0.1 𝑦 + ∆𝑦 = 1.05 ∆𝑦 = 1.05– 𝑦 𝑑𝑦 = 1.05– 1 = 0.05 Entonces el delta de z se puede aproximar al diferencial de z : ∆𝑧 ≈ 𝑑𝑧 =

𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

∆𝑧 ≈ 𝑑𝑧 = −2𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑦 ∆𝑧 ≈ 𝑑𝑧 = −2(0.1) − 2(0.05) ∆𝑧 ≈ 𝑑𝑧 = −0.3 El cambio exacto está dado por la siguiente relación: ∆𝑧 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)

∆𝑧 = 16 − (𝑥 + ∆𝑥)2 − (𝑦 + ∆𝑦)2 − (16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ) ∆𝑧 = 16 − (2.1)2 − (1 + 0.05)2 − (16 − (2)2 − (1)2 ) ∆𝑧 = (16 − 4.41 − 1.1025) − (16 − 4 − 1) ∆𝑧 = (10.4875) − (11) ∆𝑧 = −0.5125

E. 𝐟(𝐱, 𝐲) = 𝟒𝐱 𝟐 + 𝟒𝐲 𝟐

Por los datos dados podemos encontrar: ∆x = 0.1

;

∆y = 0.05 ; x = 2 ; y = 1

Calculamos ∆𝑧 usando la función original: ∆z = [4(x + ∆x)2 + 4(y + ∆y)2 ] − [4x 2 + 4y 2 ] ∆z = [4(x 2 + 2x∆x + ∆x 2 ) + 4(y 2 + 2y∆y + ∆y 2 )] − [4x 2 + 4y 2 ] ∆z = 8x∆x + 4∆x 2 + 8y∆x + 4∆y 2 ∆z = 2.05 Para aproximar la ∆𝑧 usamos la definición de diferencial total: dz = fx (x, y)dx + fy (x, y)dy =

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

Calculamos las derivadas parciales: ∂z = 8x ∂x

;

∂z = 8y ∂y

Aplicamos la definición para diferenciación total: dz =

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

dz = 8xdx + 8ydy dz = 8(2)(0.1) + 8(1)(0.05) dz = 1.6 + 0.4 dz = 2

3. Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.

A. 𝒇(𝒙, 𝒚) = (𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 Puntos críticos de la función 𝑓, derivamos: ∂𝑓 = 2(𝑥 − 1) = 2𝑥 − 2 ∂𝑥 ∂𝑓 = 2(𝑦 − 3) = 2𝑦 − 6 ∂y Igualamos términos a cero: 2𝑥 − 2 = 0 2𝑥 = 2 𝑥=

2 2

𝑥=1

2𝑦 − 6 = 0 2𝑦 = 6 𝑦=

6 2

𝑦=3 Punto crítico (1,3) La función dada posee un solo punto crítico, que además es un extremo mínimo en (1,3).

𝐵: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5 − (𝑥 − 3)2 − (𝑦 + 2)2

Solución: Hallamos las derivadas parciales de la función, e igualamos a cero, o verificamos en donde no existe la función y estos serán los puntos críticos, como la ecuación es polinomica la función está definida para todos los reales: Puntos críticos de la función 𝑓, derivamos: ∂𝑓 = −2(𝑥 − 3) = −2𝑥 + 6 ∂𝑥 ∂𝑓 = −2(𝑦 + 2) = −2𝑦 − 4 ∂y Igualamos los términos a cero: 6 −2𝑥 + 6 = 0 → 2𝑥 = 6 → 𝑥 = → 𝑥 = 3 2 −4 −2𝑦 − 4 = 0 → 2𝑦 = −4 → 𝑦 = → 𝑦 = −2 2 Luego el punto crítico de la función se encuentra en: (3, -2)

El valor de la función en ese punto es de: 𝑓(3, −2) = 5 − (3 − 3)2 + (−2 + 2)2 𝑓(3, −2) = 5 − (0)2 + (0)2 𝑓(3, −2) = 5 La coordenada en tres dimensiones para el punto crítico es (3,-2,5), la gráfica muestra el punto hallado

e). 𝒇(𝒙,𝒚) = −𝒙𝟐 −𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟔𝟒

𝜕𝑓

𝜕𝑓

Hallamos las primeras derivadas parciales de 𝑓𝑥 = 𝜕𝑥 𝑦 𝑓𝑦 = 𝜕𝑦 Para lo que tenemos que: 𝜕𝑓 𝜕(−𝑥 2 − 𝑦 2 + 10𝑥 + 12𝑦 − 64) = = −2𝑥 + 1 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕(−𝑥 2 − 𝑦 2 + 10𝑥 + 12𝑦 − 64) = = −2𝑦 + 12 𝜕𝑦 𝜕𝑦

En el caso en que las primeras derivadas parciales existan, notamos que un punto crítico (𝑎, 𝑏) se encuentra al resolver las ecuaciones 𝑓𝑥 = 0 𝑓𝑣 = 0 −2𝑥 + 10 = 0 −2𝑦 + 12 = 0 𝑥=5 𝑦=6

Entonces concluimos que existe un punto crítico en la coordenada (5, 6) Procedemos a hallamos las segundas derivadas 𝑓𝑥𝑥 = −2 𝑓𝑦𝑦 = −2 𝑓𝑥𝑦 = 0 Determinamos 𝐷(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥𝑥 )(𝑓𝑦𝑦 ) − (𝑓𝑥𝑦 )

2

𝐷(𝑥, 𝑦) = (−2)(−2)−(0)2 = 4 Como 𝐷(𝑥, 𝑦) > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥 < 0 𝑓(5,6) es un máximo relativo

4. Hallar tres números positivos x, y, z que satisfagan las condiciones dadas.

a. El producto es 27 y la suma es mínima. 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 = 27 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 Suma mínima: 𝑥+𝑦+𝑧 3+3+3=9 b) La suma es 32 y P = xy2z es máxima.

Desarrollo: Las ecuaciones planteadas son 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 32 𝑥𝑦 2 𝑧 = 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 Como la función dada es máxima quiere decir que su derivada es cero, derivamos con respecto a z 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 = 0 → 𝑦 = 2𝑥 Reemplazamos

𝑥 + 2𝑥 + 𝑧 = 32 → 𝑧 + 3𝑥 = 32 Si hacemos 𝑥 = 6 → 𝑧 = 14 𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑦 = 12

5. Después de que fue desarrollado un nuevo turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieron los datos experimentales siguientes de velocidad y en millas por hora a intervalos x de tiempo en segundos. Hallar un modelo cuadrático de regresión de mínimos cuadrados para los datos y estimar la velocidad para 30 segundos y 3 minutos. A. Tiempo, x

0

2

4

6

10

Velocidad, y

0

15

30

50

70

Ecuación lineal: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 n

Tiempo, x

Velocidad, y

𝑥∗𝑦

𝑥2

1

0

0

0

0

2

2

15

30

4

3

4

30

120

16

4

6

50

300

36

5

10

70

700

100

Total

22

165

1150

156

𝒂=

𝒏 ∑ 𝒙𝒚−∑ 𝒙 ∑ 𝒚 𝒏 ∑ 𝒙𝟐 −(∑ 𝒙)𝟐

𝒂=

𝟓 ∑ 𝟏𝟏𝟓𝟎 − ∑ 𝟐𝟐 ∑ 𝟏𝟔𝟓 𝟓𝟕𝟓𝟎 − 𝟑𝟔𝟑𝟎 𝟐𝟏𝟐𝟎 = = = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟓 𝟐 𝟐 𝟓 ∑ 𝟏𝟓𝟔 − (∑ 𝟐𝟐) 𝟏𝟐𝟏𝟔𝟖𝟎 − 𝟒𝟖𝟒 𝟏𝟐𝟏𝟏𝟗𝟔

𝒃=

∑𝒚 − 𝒂∑𝒙 𝒏

n es el número de datos n=5

𝒃=

∑ 𝟏𝟔𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟓 ∑ 𝟐𝟐 𝟏𝟔𝟓 − 𝟎. 𝟑𝟖𝟓 = = 𝟑𝟐. 𝟗𝟐𝟑 𝟓 𝟓

Reemplazamos: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦 = 0.0175𝑥 + 32.923 Hallar un modelo cuadrático de regresión de mínimos cuadrados para los datos y estimar la velocidad para 30 segundos y 3 minutos. 𝑥1 = 30𝑠 𝑦 𝑥2 = 3𝑚 = 180𝑠 Velocidad de 30 segundos: 𝑦1 = 0.0175𝑥1 + 32.923 𝑦1 = 0.0175(30) + 32.923 𝑦1 = 33.448 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠/ℎ

Velocidad de 3 minutos: 𝑦2 = 0.0175𝑥2 + 32.923 𝑦2 = 0.0175(180) + 32.923 𝑦2 = 36.073 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠/ℎ

b) Tiempo, x Velocidad, y

0 0

3 10

6 25

9 46

12 60

Desarrollo: Aplicamos las ecuaciones de regresión lineal para ajustar una recta. Para estimar los valores de m y b, se aplica el método de los mínimos cuadrados

∑ 𝑦 ∑ 𝑥 2 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑥𝑦 𝑛 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦 , 𝑏 = 𝑛 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)2 𝑛 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)2

𝑚=

Ahora reemplazamos los valores

𝑚=

𝑏=

𝑛 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦 5(1320) − (30)(140) 2400 = = = 5.333 𝑛 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)2 5(270) − (30)2 450

∑ 𝑦 ∑ 𝑥 2 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑥𝑦 (140)(270) − (30)(1320) −1800 = = = −4 2 2 2 𝑛 ∑ 𝑥 − (∑ 𝑥) 5(270) − (30) 450

La función de velocidad está determinada por la ecuación 𝑉(𝑡) = 5.333𝑡 − 4 Ahora hallamos la velocidad para t = 30 s y t = 180 s 𝑉(30) = 5.333(30) − 4 = 155.99 𝑚/𝑠 𝑉(180) = 5.333(180) − 4 = 955.94 𝑚/𝑠 d)

Tiempo, x

0

2

5

8

11

Velocidad, y

0

18

35

55

75

x

y 0 2 5 8 11

5

0 18 35 55 75

xy 0 16 175 440 825

5

5

X^2 0 4 25 64 121 5

∑ 𝑥𝑖 = 26

∑ 𝑦𝑖 = 183

∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 1456

∑ 𝑥𝑖 2 = 214

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

Creamos una tabla con 5 valores para la obtención de la recta de mínimos cuadrados. Teniendo en cuenta el teorema tenemos que: 𝑎=

𝑛 ∑5𝑖=1 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑5𝑖=1 𝑥𝑖 ∑5𝑖=1 𝑦𝑖 𝑛 ∑5𝑖=1 𝑥𝑖 2 − (∑5𝑖=1 𝑥𝑖 )

5

5

𝑖=1

𝑖=1

2

1 𝑏 = (∑ 𝑦𝑖 − 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 ) 𝑛 Reemplazando nos queda:

𝑎=

5(214) − 26(183) = 7.038461538 5(214) − (26)2

1 𝑏 = (183 − 7.038461548(26)) 5 1 𝑏 = (183 − 183) 5 𝑏=0 Entonces la recta de regresión DE mínimos cuadrados es: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 De donde tenemos que: 𝑓(𝑥) = 7.038461538𝑥 + 0

Por lo tanto, tenemos que en el tiempo x=30: 𝑓(30) = 7.038461538(30) + 0 = 211.115

De igual manera tenemos que cundo x= 180 será: 𝑓(180) = 7.038461538(180) + 0 = 1266.92

Conclusiones

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Para el correcto desarrollo de los ejercicios propuestos se requieren bases fundamentadas sobre las áreas de cálculo y algebra lineal.



Con el desarrollo de los problemas planteados se logro fortalecer la capacidad de generar conocimiento de forma grupal, al participar de forma activa en el grupo de trabajo.

Bibliografía 

García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 86-91). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1101367 5

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García, H. A. E. (2014). Cálculo de varias variables. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 89-91). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=1101367 5