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• Tomas Antonio Lazzo

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CERCHA ESPACIAL POR EL METODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ

1. Ingreso de datos 1.1 Nudos NUDO :=

1

2

3

1

0

0

0

2

5

0

0

3

Cada fila representa a un nudo, y las columnas son: Columna 1: coordenada X global del nudo Columna 2: coordenada Y global del nudo Columna 3: coordenada Z global del nudo

-1.71 4.069 2.349

4

0

0

4

5 6

1.2 Barras BARRA :=

1

2

3

1

1

2

1

2

1

3

1

3

1

4

1

4

2

3

1

5

2

4

1

6

3

4

1

Cada fila representa una barra, y las columnas son: Columna 1: nudo origen de la barra Columna 2: nudo extremos de la barra Columna 3: número de propiedad de barra Para barras que son res ortes ingresar su rigidez negativa en propiedades

7

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

1.3 Propiedades TIPO :=

1 1.8·10-3

1

Cada fila representa el tipo de sección transversal, las columnas son: Columna 1: Área de la sección transversal en m2 Columna 2: Módulo de elasticidad del material en ton/m2

2 2.1·107

2 3

1.4 Resortes en nudos Cada fila representa a un resorte que esta en un nudo, las columnas son: Columna 1: Nudo donde actúa el resorte Columna 2: lu (cos del ang entre eje x con eje u) Columna 3: mu (cos del ang entre eje y con eje u) Columna 4: nu (cos del ang entre eje z con eje u) Columna 5: Rigidez del resorte en tn/m RESAP :=

1 1

2

3

4

5

0

2

2. Rigidez de cada barra

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

2. Rigidez de cada barra Rigidez de barra, resorte y nudo

2.1 Propiedades, rigidez local, matriz de rotación y rigidez global para barra 1 Barra := 1 Propiedades: O := BARRA Barra , 1 = 1 E

Rigidez local:

KloBarra

E := BARRA Barra , 2 = 2

LongBarra = 5

RigBarra = 7560

O

KOO' = KEE' = −KEO' = −KOE'

 7560 0 0  = 0 0 0    0 0 0

Matriz de rotación:

RGL_x_uBarra

1 0 0 = 0 0 1    0 −1 0  T

Rigidez global:

KglBarra

Koo = RGL_x_u  Koo' RGL_x_u

 7560 0 0  = 0 0 0    0 0 0

2.2 Propiedades, rigidez local, matriz de rotación y rigidez global para barra 2 Barra := 2 Propiedades: O := BARRA Barra , 1 = 1 Rigidez local:

KloBarra

E

E := BARRA Barra , 2 = 3

LongBarra = 5

RigBarra = 7560

O

KOO' = KEE' = −KEO' = −KOE'

 7560 0 0  = 0 0 0    0 0 0

Matriz de rotación:

RGL_x_uBarra Rigidez global:

KglBarra

 −0.342 0.8138 0.4698  =  0.182 −0.4331 0.8828    0   0.9219 0.3874 T

Koo = RGL_x_u  Koo' RGL_x_u

 884 −2104 −1215  =  −2104 5007 2891     −1215 2891 1669 

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

2.3 Propiedades, rigidez local, matriz de rotación y rigidez global para barra 3 Barra := 3 Propiedades: O := BARRA Barra , 1 = 1 E

Rigidez local:

KloBarra

E := BARRA Barra , 2 = 4

LongBarra = 4

RigBarra = 9450

O

KOO' = KEE' = −KEO' = −KOE'

 9450 0 0  = 0 0 0    0 0 0

Matriz de rotación:

RGL_x_uBarra

0 0 1 = 1 0 0   0 1 0 T

Rigidez global:

KglBarra

Koo = RGL_x_u  Koo' RGL_x_u

0 0 0  = 0 0 0     0 0 9450 

2.4 Propiedades, rigidez local, matriz de rotación y rigidez global para barra 4 Barra := 4 Propiedades: O := BARRA Barra , 1 = 2 Rigidez local:

KloBarra

E

E := BARRA Barra , 2 = 3

LongBarra = 8

RigBarra = 4615

O

KOO' = KEE' = −KEO' = −KOE'

 4615 0 0  = 0 0 0    0 0 0

Matriz de rotación:

RGL_x_uBarra Rigidez global:

KglBarra

 −0.8192 0.4967 0.2868  =  0.2452 −0.1487 0.958    0   0.5185 0.8551 T

Koo = RGL_x_u  Koo' RGL_x_u

 3096 −1878 −1084  =  −1878 1139 657    379   −1084 657

Cercha espacial

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2.5 Propiedades, rigidez local, matriz de rotación y rigidez global para barra 5 Barra := 5 Propiedades: O := BARRA Barra , 1 = 2 Rigidez local:

KloBarra

E := BARRA Barra , 2 = 4

E

LongBarra = 6

RigBarra = 5903

O

KOO' = KEE' = −KEO' = −KOE'

 5903 0 0  = 0 0 0    0 0 0

Matriz de rotación:

RGL_x_uBarra

 −0.7809 0 0.6247  =  0.6247 0 0.7809    1 0   0 T

Rigidez global:

KglBarra

KOO = RGL_x_u  KOO' RGL_x_u

 3600 0 −2880  = 0 0 0     −2880 0 2304 

2.6 Propiedades, rigidez local, matriz de rotación y rigidez global para barra 6 Barra := 6 Propiedades: O := BARRA Barra , 1 = 3 Rigidez local:

KloBarra

E

E := BARRA Barra , 2 = 4

LongBarra = 5

RigBarra = 8021

O

KOO' = KEE' = −KEO' = −KOE'

 8021 0 0  = 0 0 0    0 0 0

Matriz de rotación:

RGL_x_uBarra Rigidez global:

KglBarra

 0.3629 −0.8635 0.3504  =  −0.1357 0.323 0.9366    0   −0.9219 −0.3874 T

Koo = RGL_x_u  Koo' RGL_x_u

 1056 −2513 1020  =  −2513 5981 −2427     1020 −2427 985 

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

4. Rigidez directa (acumulada en nudos)

 8444 −2104 −1215  Knudo1 =  −2104 5007 2891     −1215 2891 11119   14256 −1878 −3964  Knudo2 =  −1878 1139 657     −3964 657 2683   5037 −6495 −1279  Knudo3 =  −6495 12126 1121     −1279 1121 3033   4656 −2513 −1860  Knudo4 =  −2513 5981 −2427     −1860 −2427 12738  4. Matriz de rigidez de la estructura Rigidez de la estuctura

K=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

8444

-2104

-1215

-7560

0

0

-884

2104

1215

0

0

0

2

-2104

5007

2891

0

0

0

2104

-5007

-2891

0

0

0

3

-1215

2891

11119

0

0

0

1215

-2891

-1669

0

0

-9450

4

-7560

0

0

14256

-1878

-3964

-3096

1878

1084

-3600

0

2880

5

0

0

0

-1878

1139

657

1878

-1139

-657

0

0

0

6

0

0

0

-3964

657

2683

1084

-657

-379

2880

0

-2304

7

-884

2104

1215

-3096

1878

1084

5037

-6495

-1279

-1056

2513

-1020

8

2104

-5007

-2891

1878

-1139

-657

-6495

12126

1121

2513

-5981

2427

9

1215

-2891

-1669

1084

-657

-379

-1279

1121

3033

-1020

2427

-985

10

0

0

0

-3600

0

2880

-1056

2513

-1020

4656

-2513

-1860

11

0

0

0

0

0

0

2513

-5981

2427

-2513

5981

-2427

12

0

0

-9450

2880

0

-2304

-1020

2427

-985

-1860

-2427

12738

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

5. Vector de cargas 5.1 Cargas directas CDIR :=

1 1

2

3

Cada fila representa a un nudo con carga directa, y las columnas son: Columna 1: Nudo con cargas directas Columna 2: Fuerza en dirección X global Columna 3: Fuerza en dirección Y global Columna 4: Fuerza en dirección Z global

4

0

Cargas indirectas

5.2 Cargas indirectas (cargas en elementos, temperatura, desplazamientos) CIN :=

1

2

3

4

Cada fila representa a una barra con cargas indirectas, y las columnas son: Columna 1: Barra con cargas indirectas Columna 2: Nudo de la barra Columna 3: Fuerza en dirección X global Columna 4: Fuerza en dirección Y global Columna 5: Fuerza en dirección Z global

5

1

1

1 -22.68

0

0

2

1

2

22.68

0

0

3

4

2

0.333

0.306

0.412

4

4

3 -0.333 -0.306 -0.412

5

6

4

1.09 -0.498 -0.502

6

6

3

3.314 -1.515 -1.527

Cargas indirectas

1 1

0

1

2

0

2

0

3

0

3

0

4

0

4

23.013

5

0

5

0.3061

6

0.4123

7

2.9807

ϕiD = 6

Cercha espacial

1

ϕijF =

0

-22.68

7

0

8

0

8

-1.8208

9

0

9

-1.9393

10

0

10

1.0903

11

0

11

-0.4984

12

0

12

-0.5025

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

5.3 Cargas acumuladas en nudos (vector de cargas) 1 1

22.68

2

0

3

0

4

-23.013

5

-0.3061

ϕiA := ϕiD − ϕijF = 6

-0.4123

7

-2.9807

8

1.8208

9

1.9393

10

-1.0903

11

0.4984

12

0.5025

6. Rotación del nudo 3

El nudo 3 se desplaza en el plano 123, por lo que se deben llevar las rigideces, fuerzas y desplazamientos de este a dicho plano, para esto se define la matriz de rotación del plano 123, siendo el eje u el vector u13, el eje w será el vector normal al plano 123, y el vector v se obtiene con el producto vectorial de nxu.

 NUDO 3 , 1   −1.71    C3 :=  NUDO 3 , 2  =  4.069     NUDO   2.349  3,3  

 NUDO 1 , 1   0    C1 :=  NUDO 1 , 2  =  0     NUDO   0  1,3  

 −2  U13 := C3 − C1 =  4    2  U13 u13 := = U13

 −0  1   0

 NUDO 2 , 1   5    C2 :=  NUDO 2 , 2  =  0     NUDO   0  2,3  

 −7  U23 := C3 − C2 =  4    2  u := u13

 0  N := u13  u23 =  −0.287     0.497 

U23 u23 := = U23

N n := = N

 0   −0.5     0.866 

 −1  0   0 w := n

 −0.94  v := w  u =  −0.296     −0.171   −0.342 0.8138 0.4698  RGLx_u := augment ( u , v , w) =  −0.9397 −0.2962 −0.171    −0.5 0.866   0 T

Cercha espacial

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Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

Para hacer los cambios mencionados, se premultiplican las filas de la matriz de rigidez por la matriz de rotacion y se posmultiplican las columnas por la transpuesta de la matriz de rotacion, de la misma forma se modifica el vector de cargas y los desplazamientos del nudo. ϕ1     ϕ2    RGLx_u ϕ3    ϕ4   K :=

T   K11 K12 K13 RGLx_u K14 Δ1    T   K21 K22 K23  RGL K24   Δ2 x_u  =  RGL  Δ3  T  x_u  RGLx_u K31 RGLx_u K32 RGLx_u K33 RGLx_u RGLx_u K34       Δ4  T   K41 K42 K43  RGL K44 x_u  

ϕiA :=

KK no  3

ϕiA  ϕiA no  3

for i  1 .. rows ( NUDO ) kii  submatrix ( K , no 3 − 2 , no 3 , i 3 − 2 , i 3) kii  RGLx_u kii

(

fi  submatrix ϕiA , no 3 − 2 , no 3 , 1 , 1 fi  RGLx_u fi ϕiA

 fi1 , 1

Kno 3 −3 + j , i 3 −2  kiij , 1

ϕiA

 fi2 , 1

Kno 3 −3 + j , i 3 −1  kiij , 2

ϕiA

3  no−2 , 1

for j  1 .. 3

3  no−1 , 1 3  no , 1

Kno 3 −3 + j , i 3  kiij , 3

)

 fi3 , 1

ϕiA

for i  1 .. rows ( NUDO ) kii  submatrix ( K , i 3 − 2 , i 3 , no 3 − 2 , no 3) T

kii  kii RGLx_u for j  1 .. 3

Ki 3 −3 + j , no 3 −2  kiij , 1 Ki 3 −3 + j , no 3 −1  kiij , 2 Ki 3 −3 + j , no 3  kiij , 3 K

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

6.1 Matriz de rigidez modificada K=

1 1

2

8444 -2104

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1215

-7560

0

0

2586

-0

-0

0

0

0

2

-2104

5007

2891

0

0

0

-6153

-0

0

0

0

0

3

-1215

2891 11119

0

0

0

-3552

0

0

0

0

-9450

4

-7560

0

0 14256

-1878

-3964

3096

2168

-0

-3600

0

2880

5

0

0

0

-1878

1139

657

-1878

-1315

0

0

0

0

6

0

0

0

-3964

657

2683

-1084

-759

0

2880

0

-2304

2586 -6153

-3552

3096

-1878

-1084 14174

2939

-3905

1928

-4587

1861

7 8

-0

-0

0

2168

-1315

-759

2939

1687

-856

422

-1005

408

9

-0

0

0

-0

0

0

-3905

-856

4335

-2140

5092

-2066

10

0

0

0

-3600

0

2880

1928

422

-2140

4656

-2513

-1860

11

0

0

0

0

0

0

-4587

-1005

5092

-2513

5981

-2427

12

0

0

-9450

2880

0

-2304

1861

408

-2066

-1860

-2427 12738

6.2 Vector de cargas modificado 1 1

22.68

2

0

3

0

4

-23.013

5

-0.3061

ϕiA = 6

-0.4123

7

3.4123

8

1.93

9

0.7692

10

-1.0903

11

0.4984

12

0.5025

7 Cálculo de desplazamientos 7.1 Apoyos Cada fila representa un nudo apoyado, las columnas representan el comportamiento de cada grado de libertad, siendo la convención adoptada: • "1" para grados de libertad con desplazamiento restringido. • "0" para grados de libertad donde el desplazamiento es libre. Cada columna representa: Columna 1: Nudo donde existe apoyo Columna 2: "ΔX?" comportamiento del grado de libertad en la dirección X global Columna 3: "ΔU?" comportamiento del grado de libertad en la dirección Y global Columna 4: "ΔZ?" comportamiento del grado de libertad en la dirección Z global

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

APOYO :=

1

2

3

El nudo 3 se desplaza en el plano 123, por lo que sus grados de libertad están referid os a ese p lano, siend o su estado: • Δu = libre (0) • Δv= libre (0) • Δw= restring ido (1 )

4

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

3

3

0

0

1

4

7.2 Matriz de rigidez modificada Para el calculo de desplazamientos modificamos la matriz de rigidez de la estructura, bajo la hipótesis de que un desplazamiento es nulo (restringido) si se tiene una rigidez infinita (muy grande), dicho esto reemplazamos las rigideces de los grados de libertad restringidos por infinito: Km :=

Km  K for i  1 .. rows ( APOYO ) no  APOYO i , 1 dx  APOYO i , 2 dy  APOYO i , 3 dz  APOYO i , 4 Kmno 3 −2 , no 3 −2  ∞ if dx = 1 Kmno 3 −1 , no 3 −1  ∞ if dy = 1 Kmno 3 , no 3  ∞ if dz = 1 Km

Km =

1

2

3

4

-1215

-7560

0

0

2586

-0

-0

0

0

0

00000000000000000000000000000000 2 -2104 2891

0

0

0

-6153

-0

0

0

0

0

000000000000000000000000000000000000000 3 -1215 2891

0

0

0

-3552

0

0

0

0

-9450

0000000000000000000000000000000000000000000000 4 -7560 0 0 -1878

-3964

3096

2168

-0

-3600

0

2880

657

-1878

-1315

0

0

0

0

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 6 0 0 0 -3964 657 -1084

-759

0

2880

0

-2304

2939

-3905

1928

-4587

1861

1687

-856

422

-1005

408

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 -0 0 0 -0 0 0 -3905 -856 -2140

5092

-2066

00000000000000000000000000 1 -2104

5

6

0000000000000000000000000000000000000000000000000000 5 0 0 0 -1878 7

2586 -6153

8

-0

-0

-3552

3096

-1878

0

2168

-1315

7

-1084 14174 -759

2939

8

9

10

11

12

10

0

0

0

-3600

0

2880

1928

422

-2140

4656

-2513

-1860

11

0

0

0

0

0

0

-4587

-1005

5092

-2513

5981

-2427

12

0

0

-9450

2880

0

-2304

1861

408

-2066

-1860

Cercha espacial

CIV 3306

-2427 12738

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

7.3 Desplazamiento de los nudos ϕ = K Δ

De la ecuación general del método de la rigidez tenemos: Δ := Km

−1

Ordenado para cada nudo:

 ϕiA =

Δi :=

1 1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

0

7

1.2151·10-4

8

1.1529·10-3

9

0

10

-2.447·10-4

11

2.6748·10-4

12

5.1373·10-9

f ( x , y)  0 Δi  matrix ( rows ( NUDO ) , 4 , f ) for i  1 .. rows ( NUDO ) dx  Δi 3 −2 dy  Δi 3 −1 dz  Δi 3 Δii , 1  i

Δii , 2  dx Δii , 3  dy Δi

Δii , 4  dz

Columna 1: Numero de nudo Columna 2: "ΔX" desplazamiento en dirección X global Columna 3: "ΔY" desplazamiento en la dirección Y global Columna 4: "ΔZ" desplazamiento en la dirección Z global Δi =

1

2

3

4

1

1

0

0

0

2

2

0

0

0

3

3 0.000122 0.001153

0

4

4 -0.000245 0.000267

0

El nudo 3 se desplaza en el plano 123, por lo que sus desplazamientos están referidos a ese plan o, siendo estos: • Δu, Δv, Δw

Desplazamientos calculados con SAP2000 v19.1.0

Table: Joint Displacements Joint

OutputCase

CaseType

1 2 3 4

DEAD DEAD DEAD DEAD

LinStatic LinStatic LinStatic LinStatic

Table: Joint Displacements U1 U2 U3 m m m 0 0 0 0 0 0 0,000121 0,001155 -2,711E-20 -0,000245 0,000268 -8,09E-11

R1 Radians 0 0 0 0

R2 Radians 0 0 0 0

R3 Radians 0 0 0 0

Como se observa no hay diferencias significativas

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

7.4 Reacciones del estado desplazable 1 1

0.3142

2

-0.7476

3

-0.4316

4

3.7568

5

-1.744

ϕiRδ := K Δ = 6

-1.7115

7

3.4123

8

1.93

9

0.4243

10

-1.0903

11

0.4984

12

0.5025

7.5 Reacciones totales Se obtienen superponiendo los estados fijo y desplazable: ϕiRR = −ϕiA

En el estado fijo: En el estado desplazable:

ϕiRδ =

 ϕij j

Acumulando: Reemplazando:

ϕiR = ϕiRδ + ϕiRR ϕiR = ϕiRδ − ϕiA

Solo se toman en cuenta las componentes de ϕiR y ϕiA en las direccion es restringidas

1 1

-22.3658

2

-0.7476

3

-0.4316

4

26.7698

5

-1.4379

ϕiR := ϕiRδ − ϕiA = 6

Cercha espacial

-1.2992

7

0

8

0

9

-0.3449

10

0

11

0

12

0

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

Reacciones de nudo

Columna 1: Nudo donde existe apoyo Columna 2: "FX" fuerza en la dirección X global Columna 3: "FY" fuerza en la dirección Y global Columna 4: "FZ" fuerza en la dirección Z global • Reacciones del estado desplazable ϕiRδi =

•

1

3

4

1

1

0.3142 -0.7476 -0.4316

2

2

3.7568

3

3

0

-1.744 -1.7115 0

0.4243

Reacciones del estado fijo

ϕiAi =

•

2

El nudo 3 se desplaza en el plano 123, por lo que sus reaccio nes están referido s a ese pla no, siendo estas: • Fu, Fv, Fw

1

2

3

4

1

1

22.68

0

2

2 -23.013 -0.3061 -0.4123

3

3

0

0

0

0.7692

Reacciones totales

ϕiRi =

1

2

3

4

1

1 -22.3658 -0.7476

-0.4316

2

2 26.7698 -1.4379

-1.2992

3

3

0

0 -0.3449

Reacciones calculadas con SAP2000 v19.1.0 Table: Joint Reactions Joint

OutputCase

CaseType

1 2 3

DEAD DEAD DEAD

LinStatic LinStatic LinStatic

Table: Joint Reactions F1 F2 Tonf Tonf -22,3669 -0,745 26,7706 -1,4404 0 0

F3 Tonf -0,4301 -1,3004 -0,3454

M1 Tonf-m 0 0 0

M2 Tonf-m 0 0 0

M3 Tonf-m 0 0 0

Como se observa no hay diferencias significativas

8. Comparación de resultados con SAP 2000 v19.1.0 Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

8. Comparación de resultados con SAP 2000 v19.1.0

Las diferencias que se observan son mínimas, y se deben al redondeo del vector de cargas, por lo que los resultados obtenidos con el método de la rigidez y con el programa SAP2000 son iguales, comprobando la veracidad del método.

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

R3 Radians 0 0 0 0

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.

o nes están

M3 Tonf-m 0 0 0

Cercha espacial

CIV 3306

Aux. Tomás Antonio Lazzo T.