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“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”

CENTRO PREUNIVERSITARIO

ARITMÉTICA Y ALGEBRA

TEORIA DE CONJUNTOS CICLO INVIERNO 2017-II

Calcular: n  P  A  B   , siendo A y B subconjuntos de U. A) 1 B) 9 C) 16 D) 4 E) 32

01. Considerando el conjunto M. Halle el valor de: P  N 2

2





Siendo: M  1 ;2 ;1;2;1;  

N=# de proposiciones verdaderas. P=# de proposiciones falsas. Además: I. 1 ;1; 2  M II. 1; 2  M III. 1;   M IV.   P(M ) V.

06. Siendo A y B dos conjuntos finitos tales que: n  A  2n  B  ; n  A  B   3n  A  B  .

Calcular: A) 3 D) 6

1;   P(M )

VI. 1;2;1;    P(M ) A) 10 B) 26 C) 17 D) 25 E) 14

  

A) VVV D) FVV

B) FFV E) VFV

C) VVF

c

( A Indica el complemento de A, A y B están contenidos en un mismo conjunto universal) c A)  A  B   B

  C)  A  B    A  B  D)  A  B    A  B   A c c B)  A  B   A  B

09. En el CEPU-UNJBG se realiza una encuesta a 200 de sus postulantes a las carreras de ingeniería, sobre sus preferencias a alentar a los equipos de futbol: Alianza Lima (A), Universitario (U), Garcilazo (G), luego de estudiar la muestra, la reconocida estadista Juana la Loba infiere: n  AU G   n  A U  G   80

c

c

C) 5

08. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas, A, B y C, se observó que 40 leen A y B, 50 leen A y C y 60 leen B y C. ¿Cuántas personas leen solo dos revistas? A) 25 B) 50 C) 60 D) 72 E) 75

03. ¿Cuál de estas expresiones es incorrecta?

c

B) 4 E) 7

07. En un ciudad a la cuarta parte de la población no le gusta la carne ni las verduras, a la mitad de la población le gusta la carne y a los 5/12 les gusta las verduras. ¿A qué fracción de la población le gusta la carne y las verduras? 1 1 2 A) B) C) 6 3 3 1 2 D) E) 5 4

02. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. P 1;2  P 3;4   II. P 1;2  P 1;2;3

III. P  

n  A  B n  B A

c

c

c E)  A  B    A  Bc    Ac  B 

04. Dados dos conjuntos P y Q, la suma de sus cardinales es 90 y el cardinal de la intersección de los mismos es 5. Si el cardinal de la diferencia entre Q y P es igual a la octava parte del cardinal de la diferencia simétrica entre P y Q, halle el cardinal de la reunión de P y Q. A) 70 D) 100 B) 85 C )9 3 E) 12

n  A  U    A  G   U  G    30  n  A  U  G 

Si 70 de los encuestados no son de los equipos de futbol en mención. ¿Cuántos prefieren alentar a los tres equipos? A) 5 D) 20

B) 10 E) 25

C) 15

10. En un concejo internacional de medicina se debatió el problema de la eutanasia planteándose una moción. 115 europeos

05. Si: n  A  B   11 ; n  P(A)  n  P( B)  192 . 1

Práctica 01

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

votaron a favor de la moción, 75 cardiólogos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos votaron a favor. si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en el evento? A) 210 B)330 C)270 D)240 E)300

e igual a 1/5 de los que solo aprobaron un examen. ¿Qué tanto por ciento del total de los alumnos aprobaron el curso si para ello es necesario aprobar por lo menos 2 exámenes? A) 30% B) 42% C) 36% D) 40% E) 47%

11. Dados los conjuntos A, B y C. x  C  x  A  x  B . Además:  n A  C  a

 3n  1  B  Z / 0  n  7  2  Calcular: n  P  A  B    B  A  

15. Si: A  x es impar / 6  x  11

 nB C  b  n  A  B  c

A)

 n  A  B  d

D)

Halle n  C  en función de a, b, c y d abcd a bc d A) B) 3 2 c  d a b abcd C) D) 2 2 a bc d E) 3

2 20 2 26

B) E)

2 22 2 28

C)

2 24

16. Durante un examen se observó en un aula que 15 alumnos miraban al techo y no usaban lentes, 10 usaban lentes y resolvían el examen. El número de alumnos que usaban lentes y miraban al techo era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si en el salón había 85 alumnos. ¿Cuántos resolvían su examen? (considere que los que no resolvían su examen miraban al techo) A) 20 B) 25 C) 24 D) 30 E) 36

12. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de fruta de manzana, fresa y piña es el siguiente:  60% gustan manzana.  50% gustan fresa.  40% gustan piña.  30% gustan manzana y fresa.  20% gustan fresa y piña.  10% gustan manzana y piña.  5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan alguno de los jugos de frutas mencionados? A) 5% B) 20% C) 50% D) 12% E) 10%

17. Para estudiar la calidad de un producto se consideran 3 defectos: A, B y C como los más importantes. Se analizaron 100 productos con el siguiente resultado: 33 productos tienen el defecto A. 37 productos tienen el defecto B. 44 productos tienen el defecto C. 53 productos tienen exactamente un defecto.  7 productos tienen exactamente tres defectos.    

13. Si los cardinales de los conjuntos A, B y C son números enteros consecutivos. Además. n  P  A   n  P  B    n  P  C    448 , entonces

¿Cuántos productos tienen exactamente dos defectos? A) 53 B) 43 C) 22 D) 20 E) 47

el valor de: E  n  A  n  B   n C  , sabiendo que A, B y C son disjuntos. A) 21 B) 22 C) 20 D) 23 E) 24

14. Se rindieron 3 exámenes para aprobar un curso y se observó que el número de los que aprobaron los tres exámenes es igual al número de los que los desaprobaron e igual a 1/3 de los que aprobaron sólo 2 exámenes 2

Práctica 01

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Conjunto Producto: También llamado producto cartesiano. A  B = {(a;b) / a  A  b B} Par ordenado Ejemplo: A = {1 ; 4 ; 5} B = {8 ; 11} A  B ={(1;8) ; (1;11) ; (4;8) ; (4;11) ; (5;8) ; (5;11)}

TEORIA DE CONJUNTOS NOCIÓN DE CONJUNTO Conjunto: Concepto primitivo que no tiene definición, pero que nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos elementos del conjunto. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento del conjunto, se dirá que pertenece (  ) a su conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece (  ) a dicho conjunto. Ejemplo: A = {4; 9; 16; 25} 16  A 21  A 4 A 10  A CARDINAL DE UN CONJUNTO Es la cantidad de elementos de un conjunto y se denota: n(A), así en el ejemplo anterior n(A) = 4

Conjunto Potencia: Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de otro conjunto A y se denota por P(A). Ejemplo: A = {2 ; 8} P(A) = {  ;{2} ; {8} ; {2 ; 8}} Observación: La cantidad de subconjuntos de un conjunto A es igual a 2n (A) Ejemplo: A = {3 ; 5 ; 9} ; n(A) = 3 Entonces hay 23 = 8 subconjuntos que son:  ; {3} ; {5}; {9}; {3; 5} ; {3; 9} ; {5; 9} y {3; 5; 9} "A todos los subconjuntos de A, excepto A se les llama subconjuntos propios"

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO a) Por extensión o en forma tabular: Es cuando se indican los elementos del conjunto. A = { * ; ; # ; ......; } b) Por compresión ó en forma constructiva: Es cuando se indica alguna característica particular y común a sus elementos. A = {f(x)/ x cumple alguna condición} Diagrama de Venn - Euler: Figuras geométricas planas cerradas que se utilizan para representar a los conjuntos, gráficamente. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión (  ) Se dice que un conjunto A está incluido en B; si todos los elementos de A, están en el conjunto B. Es decir : A  B   x  A  x  B Igualdad Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Es decir : A=B A  B  B  A

CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto de los Números Naturales (N) N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; .......} Conjunto de los Números Enteros (Z) Z = {........ ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; .........} OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Unión: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x  A v x  B”, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unión de A y B, es decir: A U B = {x/x  A v x  B} Representación: A) Simbólica: x  (A U B)  x  A v x  B B) Gráfica:

PRINCIPALES CONJUNTOS Conjunto Vacío: Aquel que no tiene elementos, también se le llama nulo y se denota  o { }

A

Conjunto Unitario: Aquel que tiene un solo elemento, también se le llama singleton.

B

Conjunto Universal: Conjunto referencial que se toma como base para el estudio de otros conjuntos contenidos en él y se denota por U. A U B=

Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo: E = {1, 3, 5} y G = {2, 4, 6 } son conjuntos disjuntos

Propiedades: 1. Idempotencia: 2. Identidad: 3. Conmutativa: 4. Asociativa: 5. Adición:

Conjuntos Comparables: Cuando uno de ellos está incluido en el otro. Conjuntos Equivalentes: Cuando tienen la misma cantidad de elementos. A es equivalente a B entonces: n(A) = n(B)

AUA=A AU=A ;AUU=U AUB=BUA A U (B U C) = (A U B) U C A  (A U B) ; B  (A U B)

2. Intersección: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x 3

Práctica 01

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA  A  x  B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la intersección de A con B, es decir: A  B = {x/x  A  x  B} Representación: A) Simbólica: x  (A  B)  x  A  x  B B) Gráfica: A

A  B={x/x  (AB)  x  (AB)} Representación: A. Simbólica: x(A  B)  x(AB)  x (AB) B. Gráfica:

B

A

B

AB= AB=

Propiedades: 1. AB  BA 2. (AB)C = A  (BC) 3. A = A 4. AA =  5. (AB)C = (AC)  (BC) 6. AB = (A-B)U (B-A) 7. AB = (A U B)-(AB)

Propiedades: 1. Idempotencia: AA=A 2. Identidad: A   =  ;A  U = A 3. Conmutativa: AB=BA 4. Asociativa: A  (B  C) = (A  B)  C 5. Distributiva: a) A(BUC) = (A  B) U (A  C) b) AU(B C)= (A U B)  (A U C) 6. (A  B)  A ; (A  B)  B 7. Si A y B son disjuntos entonces A  B = 

5. Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. El complemento de A se denota por A’, o por A c, o por Ā A’ = {x/x  A}

3. Diferencia: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional “x  A  x  B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre A y B. Notación: La diferencia entre A y B se designa por A – B. A – B = {x/x  A  x  B} Representación: A) Simbólica: x  (A – B)  x  A  x  B B) Gráfica: A

Representación: A) Simbólica: x  A’  x  A   (x  A) B) Gráfica: A

A’=

B A – B=

Propiedades: 1. A – B = A  B’ 2. A – A =  3. A -  = A 4.  - A =  , U – A = A’ 5. A – B = B - A  A = B 6. (A - B) - C  A - (B - C) 7. (A - B)  A

Propiedades: 1. (A’)’ = A (Complemento del complemento) 2. A U A’ = U (Tercer excluido) 3. A  A’ =  (Contradicción) 4. (Leyes de De Morgan) (A U B)’ = A’  B’ (A  B)’ = A’ U B’ 5. U’ =  ; ’ = U

4. Diferencia simétrica: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional “x  (AB)  x  (AB)”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la diferencia simétrica entre A y B. Notación: Se designa la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B por A  B. 4

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ARITMÉTICA Y ALGEBRA

NUMERACION Y 4 OPERACIONES CICLO INVIERNO 2017-II

01. Calcule la suma de las cifras de N al ser expresado en base diez, siendo:

08.

02. Si:

B) 9 E) 12

A) 250 D) 64

C) 8

ab B) 13 E) 15

C) 8

10. Si:

03. Si al expresar “E” en base “n” la suma de cifras es 17, donde: 5

3

Calcule la suma de cifras de E al expresarlo en base “ n 2 ” A) 90 B) 60 C) 45 D) 30 E) 80



Calcular: A) 0 D) 3

C) 13







mn p B) 1 E) 4

C) 2

positivos hasta el número ab1 , se han utilizado una cantidad de cifras que es igual a un número de 3 cifras consecutivas crecientes. Calcular A) 2 B) 5 D) 4 E) 7

" a  b" C) 6

13. Se divide un numero de dos cifras entre la suma de sus cifras. Se invierte el orden de las cifras del número y se divide el nuevo número otra vez entre la suma de sus cifras (en ambos casos se obtiene divisiones exactas). Se observa entonces que la diferencia de los cocientes es igual a la diferencia de las dos cifras del número original, y que el producto de tales cocientes es el propio número original. ¿Cuál es este número?. Dar como respuesta la diferencia de cifras del número original A) 3 B) 5 C) 7 D) 1 E) 6

c  b 3 (a  2) (a  3) c  2  3  2  C) 180

07. Se tiene el siguiente número capicúa:

B) 11 E) 14

B) 9 E) 12

12. Para escribir todos los números enteros y

06. ¿Cuántos números de la forma

A) 10 D) 13

ab

y mnp  pnm  3**

2015

(c  2b)4(3c)(b  c) a . ¿Cuál mayor valor de " a  b  c" ?

C) 71

aa  bb  3388



05. Si un número del sistema octal termina en 66. ¿Cuáles son las tres últimas cifras al escribir dicho número en el sistema cuaternario? A) 213 B) 231 C) 321 D) 312 E) 612

B) 150 E) 275

forma

11. Si: CA mnp  CA pnm  1190

N  1212015  1. 04. Dado: Indique la suma de cifras de N, cuando se escribe en la base 2016. A) 8120450 B) 8120451 C) 8120452 D) 8120453 E) 8120454

Existen? A) 48 D) 240

la

existen?

B) 84 E) 41

Calcular: A)11 D) 10

E  3n  3n  2n  3n  2; n  2 6

de

09. Si a la suma de 35 números impares y consecutivos se le resta 42, entonces la cifra de la unidad del resultado final es: A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

aaa ( a  2 )  637( a  3)  bb75(8)

Calcular: A)12 D) 14

números

abc(a  b  c)(8)

N  aa ( b )  ab( c )  (d  1)3d ( 6 )  bc0( d )

A)11 D) 10

¿Cuántos

es el

C) 12

14. Sea la P.A.:

4a 6; 1

; 68b; 6c(b  2); 70d

Práctica 02

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

PRINCIPIOS 1. DEL ORDEN: Toda cifra en un numeral, tiene orden, por convención, se enumera de derecha a izquierda.

donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es 68b Halle ( a  b  c  d ). A) 26 B) 24 D) 25 E) 13

C) 30

Por ejemplo: 2016

15. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en el sistema octal? A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325

1er. orden (unidades) 2do. orden (decenas) 3er. orden (centenas) 4to. orden (millares) 2. DE LA BASE: Todo Sistema posicional de numeración tiene una base, que es un número natural mayor que la unidad, el cual indica la cantidad de unidades necesarias para pasar de un orden al orden inmediato superior. En forma sencilla, la base nos indica la forma como debemos agrupar.

16. ¿Cuantos números impares de tres cifras existen, tal que la suma de sus tres cifras sea un número impar? A) 220 D) 175 17. Si:

B) 225

C) 275

3. DE SUS CIFRAS: Las cifras son números naturales que siempre son menores que la base. En base "n" las cifras pertenecen al conjunto: {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...... ; (n - 1)}

E) 200

mnpq  4a 2q ( 7 ) y ademas:

ma

ma

        

" k " veces

Algunos Sistemas de Numeración

 ma60

ma

Calcular “k” A) 275 B) 325 D) 220 E) 225

ma

C) 472

18. ¿Qué valor debe tomar “ a ” para que al convertir N a la base decimal, este termine en cifra tres?

N  444 ...44 a     442 cifras

A) 0 D) 6

B) 4 E)5

Base

Nombre del Sistema

Cifras utilizadas

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . . n

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptaniario Octanario y octal Nonario o nonal Decimal Undecimal Duodecimal . . Enesimal

0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,, . . 0,1,2,3,4, . . ., n – 2, n – 1

Características de un Sistema de Numeración a) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor de base y con las combinaciones de ellas pueden formar todos los números posibles de dicho sistema. b) El Mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base. c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1. d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema.

(7)

C) 3

NUMERACION NUMERACIÓN Parte de la aritmética que se encarga de la forma correcta de expresar y representar a los números. NÚMERO Es un ente matemático que nos permite cuantificar a los objetos que nos rodean.

REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO * Numeral de 2 cifras base 10

NUMERAL Es la representación simbólica del número. Romanos: I ; V ; X ; L ; C ; D ; M Hindúes - Árabes: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 SISTEMA DE NUMERACIÓN Conjunto de reglas y principios convencionales para representar un número.

ab  10; 11; 12; ...; 99

* Numeral de 3 cifras base 5

abc (5)  100(5) ; 101(5) ; 102(5) ; ...; 444(5) 

2

Práctica 02

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA NUMERAL CAPICÚA: Aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos del numeral son iguales.

representación aparente le corresponde menor base y viceversa”

Ejemplo : a; aa; aba; abba; abcba; etc.

Ejemplo: “ley de los signos" 1) Si: UNJBG (x)  CEPU (y)

CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA

Como: UNJBG  CEPU Se cumple: x  y

Se representa tres casos

2) Sea:

Caso I: De base “n” a base 10: En este caso se calcula el número de unidades que posee dicho número, para esto es suficiente aplicar la “descomposición polinómica” del número y efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo: Convertir 2016(7) a la base 10

(k  1)(k  1)............(k  1)(k  1) (k) =

k n 1

" n " cifras

PROGRESIÓN ARITMÉTICA En General:





a1 , a2 , a3 , ... , an 1 , an

2016(7)  2  73  0  7 2  1 7  6 2016(7)  699

r

Caso II: De base 10 a base “n” Se efectúa empleando el método de “divisiones sucesivas”, para lo cual se divide el número dado “n” (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que “n” se divide este nuevamente entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que “n”. El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda. Ejemplo: Convertir 699 a la base 7 699 7 693 99 7 6 98 14 7 1 14 2

r

r

Se deduce que: I. RAZÓN (r): Es la diferencia de dos términos consecutivos de la progresión aritmética.

r  ak  ak 1 II. TÉRMINO ENÉSIMO ( a n ): La siguiente fórmula se utiliza para hallar un término cualquiera de la progresión.

an  a1  (n  1)r "n" es el lugar que ocupa el término que se quiere calcular. III. NÚMERO DE TÉRMINOS (n)

0

n

699  2016(7) Caso III: De base “n” a base “m”(n, m  10) En este caso primero se convierte el número de base “n” a la base 10 y el resultado se convierta a la base “m”

an  a1 1 r

Donde: an : término de lugar n a1 : primer término r : valor de la razón

PAGINACIÓN Al imprimir un libro, periódico, etc. antiguamente se utilizaba en la tipografía por cada letra o símbolo un tipo de imprenta.

Ejemplo: Convertir 413(8) a la base 5 Primero: 413(8) a la base 10 413(8) = 4 . 82 + 1 . 8 + 3 = 267 Luego: 267 a la base 5

Para un libro de "P" páginas el número de cifras o tipos de imprenta utilizado es :

N  de cifras  ( P  1)n  111...111

267 5 265 53 5 2 50 10 5 3 10 2 0

" n " veces

n  Número de cifras de "P" CUATRO OPERACIONES PROPIEDAD: Si a > c y además: Se cumple que : abc ( n )  Se cumple que : x  z  y  n 1 cba ( n ) a  c  x 1

413(8) = 2032(5) Propiedades: Si un número es expresado en dos sistemas de numeración se cumple que: “a mayor

xyz ( n ) 3

Práctica 02

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA COMPLEMENTO ARITMÉTICO Sea N un numeral de k cifras de la base B

CA  N B   1000...000 k cifras

 NB (B)

DIVISION Dados dos números naturales a y b ( b  0 ) , se define división (Operación inversa a la multiplicación) de a entre b y se denota

a si existe un c tal que: a  b  c . b

Ahora si c no es entero, debe existir un r < b tal que a  b  c  r I. DIVISIÓN ENTERA EXACTA:

D 0

d c

D  d c

cociente

divisor Dividendo

II. DIVISIÓN ENTERA INEXACTA: II.1) Por defecto:

D r

Cociente Por defecto

d c

D  d c  r

divisor

residuo

Dividendo

II.2) Por exceso

D r

d c+1

Cociente por exceso

D  d  (c  1)  r

Residuo por exceso

divisor Dividendo

PROPIEDADES 1. El residuo de una división entera es siempre menor que el divisor.

Residuo < Divisor Como consecuencia: Residuo máximo = divisor Residuo mínimo = 1

1

2. La suma del residuo por defecto y el residuo por exceso de una división entera es igual al divisor.

rr d 3. Los cocientes por defecto y por exceso de una división son dos números consecutivos.

4

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ARITMÉTICA Y ALGEBRA

DIVISIBILIDAD CICLO INVIERNO 2017-II

01. Halle el valor de " b " si:

o

08. Si: 4abc  23 8 , ¿Cuál será el residuo

o



abca  5

de dividir abc4 entre 23?

o



cabc  9 o



bcab  7

A) 3 D) 7

B) 4 E) 8

C) 6

B) 6 E) 8

B) 10 E) 13

C) 11

09. Calcule:

abd  e . Si: o

 abccde  9 ,

02. Si el numeral 2a22a222a2222a...a Tiene 90 cifras y es divisible por 9, hallar el mayor valor de “ a ”. A) 3 D) 4

A) 9 D) 12

o

C) 2



ab(9  c)(9  c)de  99



ab  de  51

A) 63 D) 66

o

B) 64 E) 67

C) 65

03. ¿Cuántos números de cuatro cifras son 7

o

y terminan en cifra 1? A) 128 D ) 131

B) 129 E) 132

10. Sabiendo que n  N y además x  5 Calcular el residuo de dividir E entre 5, si:

C) 130

E  x100 n  4 x 200 n  9 x300 n 

04. De los 4350 primeros números naturales, cuántos son divisibles entre 29 pero no entre 3? A) 60 B) 85 C) 88 D) 100 E) 120

A) 0 D) 3

B) 1 E) 4

o

¿Cuantos de sus términos no son 9 ?

múltiplos de

A) 1775 D) 1778

A) 1245 D) 1255

C) 1777

a 2 es:

B) 1250 E) 1260

12. Si: n1(9)  n2(9) 

B) 1 E) 6

C) 1252 o

 n8(9)  n

,Determine la suma de todos los posibles valores que puede tomar “ n ”.

06. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen, tales que sean iguales a 7 veces la suma de sus tres cifras? A) 0 D) 4

C) 2

11. Si: N  ab1ba es múltiplo de 44 entonces la cantidad de números de cuatro cifras que son múltiplos de ( b  5 ) pero no

05. En: 3  56 ; 4  56 ; 5  56 ; ...; 2000  56

B) 1776 E) 1779

 144 x1200 n

A) 15 D) 16

C) 3

B) 17 E) 19

C) 18

13. En el sistema de base siete la cifra de las

07. ¿Cuántos números de 6 cifras que empiezan con 2 y terminan en esta misma cifra, son múltiplos de 3, 7 y 11 simultáneamente? A) 39 B) 43 C) 47 D) 48 E) 51

unidades del número A) 3 D) 4

1

B) 1 E) 0

145925 C) 2

es:

Práctica 03

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

DIVISIBILIDAD

14. Calcular el resto que se obtiene al dividir N entre 5 el número:

N 7

UNT 2017( 4)

A) 5 D) 4

I. NÚMEROS DIVISIBLES: Dos números enteros a y b son divisibles si:

PROFE 2017

B) 2 E) 3

a b 0 c

C) 1

; c  entero

a  b.c

En la cual diremos que "a" es múltiplo de "b" y lo denotaremos: o

ab

15. Luis vive en un país donde solo hay billetes de 12, 17 y 29 unidades. Si un día Luis compra en una tienda un televisor que vale 422 unidades monetarias, pagando su valor exacto con 25 billetes. ¿Cuántos billetes de 12 unidades uso en el pago,, si el número de billetes de cada denominación es mayor que 1? A) 10 D) 15

B) 12 E) 16

También se utilizan la notación: a  b.k  k  Z Nota: 0

12  12.k

entero II. NÚMEROS NO DIVISIBLES: a y b no son divisibles si la división de a por b es inexacta. 0 0 37 7 37  7 2  7 5 2 5 2  residuo por defecto 5  residuo por exceso

C) 13

16. Si: O

 xy  4 xy



yx

0 ; 12 ; 24 ;.... 12 ;  24 ;  36 ;....

III. OPERACIONES CON MULTIPLOS

O

yx6  x5  10 y  x

1.

0

0

0

0

0

0

n n  n

Hallar el máximo valor de: “ x  y ” A) 11 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5

2.

n n  n

3.

n.n  n

17. Si:

4.

0

 aabcd  175 34  bcaadd (8)  13 5

0

k

0 0  n  a  n  ak  1.   

C) 15

0 k k 0 n a   2.  n  a      n0  a k 

18. Hallar el residuo de dividir “ S ” entre 7:

S  51  52  53    51031 B) 6 E) 5

0

(n a).(n b)  n a.b

IV. BINOMIO DE NEWTON APLICADO A LA DIBISILIDAD

Calcular: " a  b  c  d "

A) 1 D) 4

0 0 n  n     0

5.

o

B) 13 E) 17

0

k

o

A) 12 D) 16

0

par

impar

V. TEOREMA DE ARQUIMIDES: 0

Sea: a.b  n , si a y n no tienen divisores comunes, excepto la unidad (primos entre sí)

C) 3

0

entonces:

bn

VI. PROPIEDAD ESPECIAL: 0

x r

N

0

y r 0

z r 2

0

N  MCM ( x, y, z )  r

Práctica 03

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA VII. ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL: Es una ecuación algebraica cuyas variables son enteras:

10. Divisibilidad por 13: o

a b c d e n m  13

Ax  By  C

1

4



VIII. RESTOS POTENCIALES: Son los diversos residuos que se obtienen al dividir las diferentes potencias de una misma base entre un cierto número llamado módulo. Ejemplo: Calcule los restos potenciales de 10, respecto al módulo 7.

 100  7  1  o  101  7  3  o  102  7  2   o 3 10  7  6   o 4 10  7  4   o  5 10  7  5 

o

12. Divisibilidad por 99: o

1 (10) 1 (10) 1

X. PROPIEDAD ESPECIAL: o

gaussiano  6

10

n e

abcde( n ) 

o

 7 1

gaussiano

o 2

n  de( n ) o 3

n  cde( n ) o 4

n  bcde( n )

PRINCIPALES CRITERIOS: o

o

1. Divisibilidad por 2: abcd  2  d  2 o

o

2. Divisibilidad por 4: abcd  4  cd  4 o

o

3. Divisibilidad por 8: abcd  8  bcd  8 4. Divisibilidad por 3: o

o

abcd  3  a  b  c  d  3 5.

Divisibilidad o

por

9:

o

abcd  9  a  b  c  d  9 6. Divisibilidad por 5: o

abcde  5  e  0  e  5 7. Divisibilidad por 25: o

o

abcde  25  de  25 8. Divisibilidad por 11: o

o

a b c d e  11  a  b  c  d  e  11     

9. Divisibilidad por 7: o

a b c d e k 7 

o

a b c d e  99  a  10b  c  10d  e  99

Se observa que existen 6 restos diferentes (1; 3; 2; 6; 4; 5) A dicha cantidad de restos diferentes se le llama “GAUSSIANO”

o

o

1 (10) 1 (10) 1

o

1 2



a b c d e  33  a  10b  c  10d  e  33

IX. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son ciertas reglas prácticas que aplicados a las cifras de un numeral permiten determinar su divisibilidad respecto a un cierto número.

3

1

 o

10  7  1

2

4 3

 a  4b  3c  d  4e  n  m  13 11. Divisibilidad por 33:

o

6

3 1

3

1

 o

 2a  3b  c  2d  3e  k  7

3

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ARITMÉTICA Y ALGEBRA

NUMEROS PRIMOS – MCD Y MCM CICLO INVIERNO 2017-II

08. Calcular “ n ”, si:

01. Cuantos divisores tiene N , si N es la cantidad de divisores de 800000 A) 8 D) 54 02.

B) 9 E) 60 Si

los

B2

4 n 3

C) 36

A) 40 D) 60

números

.3

 21x 7 x 9 x  MCM  ; ;   630  5 10 5  .

A  24.30 n y

MCM abc; (a  1)(b  5)(c  5)  1116

Calcule

y

b

P  a  9b 2

2

C) 6

63A; B  12096 MCD91A;13B  104

Calcular el menor valor posible de: (A+B) A) 86 B) 87 C) 88 D) 89 E) 85

P tal que: ( a  2b) es el

11. Si:

y además menor número de dos cifras. Dar como respuesta la suma de cifras de A) 3 B) 7 C) 5 D) 6 E) 4

B) 3 E) 2

10. Si: MCM

son números naturales,

calcule un número primo

bc a

A) 4 D) 1

03. ¿Cuántos números naturales de tres cifras existen tales que tengan 6 divisores enteros? A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 E) 15

a

C) 35

09. Si:

2 n 3

tienen la misma cantidad de divisores, el valor de “ n ” es: A) 4 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7

04. Si:

B) 50 E) 70

A  222...222 600 cifras (3)

P.

B  888...888 200 cifras (9)

05. si un número entero se divide entre 9, su cantidad de divisores disminuye en ocho. ¿Cómo variara el número de divisores si se multiplica por 27? A) Disminuye en 3 B) Aumenta en 9 C) Aumenta en 12 D) Aumenta en 18 E) Disminuye en 6

Calcular el

MCD  A; B  en base 81, dar

como respuesta la suma de sus cifras. A) 4000 D)

150

81

B) 3200

1

E)

100

81

C) 2400

1

12. Si:

MCDab; ba   9 y MCDac; bc  30 Calcular el MCM de ab y ba

06. Calcular “ n ”, si: N  175.245 tiene 28 divisores que no son múltiplos de 35. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 n

A) 252 D) 945

B) 235 E) 360

C) 234

13. Halle “ n ” si al numero 7 14406 primos con el.

07. La diferencia de 2 números es 44 y la diferencia entre su MCM y su MCD es 500. ¿Cuál de los siguientes números es uno de ellos? A) 24 B) 72 C) 48 D) 73 E) 80

A) 5 D) 4

1

B) 6 E) 8

C) 7

n

le preceden

Práctica 04

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

6 es un número compuesto debido a que tiene más de dos divisores: 1 , 2 , 3 y 6.

14. Si la descomposición canónica de N es

a (b a )   a  1  b a   b  4  b

( a 1)

y tiene 571

divisores compuestos, entonces “ a  b ” es:

3. NÚMERO SIMPLE: Es aquel número entero positivo que no tiene más de dos divisores.

A) 10 D) 12

4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI): Son aquellos que tienen como único divisor común a la unidad. A dichos números, también se les llama primos relativos o coprimos.

15.

B) 7 E) 15

C) 9

N  48  64m  27 n

Si:

tienen

5. DIVISOR PROPIO: Son todos los divisores de N, menores que N. Ejemplo: Los divisores propios de 12 son: 1, 2, 3, 4 y 6.

136

51x7 y , el cual es divisible por 77. Halle " m  n " divisores más que el número

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA: Todo número entero positivo se puede descomponer como el producto de potencias de sus factores primos, esta descomposición es única y se conoce como descomposición canónica.

C) 3

16. Al calcular el M C D de los números y cd 6 por el método del algoritmo de Euclides, se obtuvieron por cocientes 2; 3; 1 y

a2b

5. Calcule A) 17 D) 21

Ejemplo: Descomponer canónicamente el número: 360.

"a  b  c  d " B) 18 E) 20

360 180 90 45 15 5 1

C) 19

17. Sabiendo que N  25  26  27  ...124 tiene " n " divisores. ¿Cuántos divisores tendrá Sabiendo que A) D)

28 25n 27 n 25

18. Si:

B) E)

125N ?

27 25n 28n 25

C)

25n 27

2 2 2 3 3 5

360  2  2  2  3  3  5 360  23  32  5 descomposicion canonica

ESTUDIO NÚMERO

DE 

LOS

DIVISORES

DE

UN

 

Sea N  a b c una descomposición canónica. 1. Cantidad de Divisores de un Número:

CD( N )  (  1)(   1)(  1)

 3n  4 n  4  MCD  ; 8. 3   2

2. Cantidad de Divisores compuestos de un Número:

CD(compuestos)  CD(N)  CD( primos )  1

Calcular cuántos pares de números existen tal que su MCM sea “n”, sabiendo que “n” es el menor número entero positivo posible. A) 6 B) 5 C) 2 D) 7 E) 8

3. Suma de los Divisores de un Número:

 a 1  1  b  1  1  c 1  1  SD( N )       a  1  b  1  c  1  4. Producto de los Divisores de un Número:

NUMEROS PRIMOS

PD( N )  N

1. NÚMERO PRIMO: Es aquel número entero positivo que posee sólo dos divisores: la unidad y el mismo número. Ejemplo: 3 es un número primo debido a que tiene sólo dos divisores: 1 y 3. Son números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ......

CD( N )

INDICADOR DE UN NÚMERO (FUNCION DE EULER) 

 

Sea N  a b c una descomposición canónica. La cantidad de números menores o iguales que N y PESI con N se puede calcular utilizando la expresión:

( N )  a 1  a 1 b 1 b 1 c 1  c 1

2. NÚMERO COMPUESTO: Es aquel número entero positivo que tiene más de dos divisores. Ejemplo:

TEOREMAS ADICIONALES 2

Práctica 04

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

II. MÚLTIPLO COMÚN: Es aquel entero que contiene a otro un número entero y exacto de veces.

TEOREMA DE WILSON: Si p es un número primo. o

( p  1)!  p  1

Ejemplo: Los múltiplos positivos de 6 y 9 son:

Ejemplo:

o

o

(5  1)!  5 1

6 ={6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; …}

TEOREMA DE EULER: Si a y b son PESI:

9 ={ 9 ; 18 ; 74 ; 36 ; 45 ; …}

o

Los múltiplos comunes a 6 y 9 son: { 18; 36; 54; ....} Entonces se llama Mínimo Común Múltiplo al menor de los múltiplos comunes positivos. En consecuencia el M.C.M (6 ; 9) = 18

o

 ( p)

 p 1

a

Ejemplo: Sea a = 3 y p = 8. Se cumple: o

3 (8)  8 1 o

34  8 1

MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.D. Y M.C.M. 1. Por descomposición simultánea Se colocan los números uno a la derecha del otro y luego se traza una línea vertical, comenzando a extraer los factores primos comunes, cuando los números no contengan factores comunes, o sea, sean P.E.S.I. el producto de dichos factores comunes será el M.C.D. Para el M.C.M. se sigue extrayendo los factores no comunes hasta que quede la unidad y el producto de los factores primos comunes y no comunes será el M.C.M.

TEOREMA DE FERMAT: Si a y p son PESI y p es un número primo.

a

p 1

o

 p 1

Ejemplo: Sea a = 4 y p = 3 se cumple: o

431  3 1 o

42  3 1

2. Por descomposición canónica: El M.C.D. de varios números viene a ser el producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente; mientras que el M.C.M. viene a ser el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

MCM - MCD INTRODUCCIÓN Al considerar el conjunto de los enteros positivos, una de las partes de la Teoría de Números, es el cálculo del M.C.D. y el M.C.M. de varios números. Se sabe que ya antes de nuestra era, Euclides aportaba (en su obra Elementos) el algoritmo de la división que nos da la obtención del M.C.D.

3. Por divisiones sucesivas (Algoritmo de Euclides) Fundamento Teórico: En toda división inexacta el M.C.D. del dividendo y el divisor es numéricamente igual al M.C.D. del divisor y el residuo que origina esta división: Procedimiento: Dados dos enteros A y B con A > B

NOCIONES PRELIMINARES I. DIVISOR COMÚN: Se llama divisor común de un conjunto de números enteros, a aquel número entero positivo que se encuentra contenido en todos ellos una cantidad entera y exacta de veces.

q1 q2 q3 A B r1 r2 r1 r2 r3

Ejemplo: Los divisores de 12 ; 18 y 30 son: D(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} D(18) = {1; 2; 3; 6 ; 9; 18} D(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Como Ud. observará los divisores comunes son: 1; 2; 3 y 6.

qn 1 qn rn  2 rn 1 rn 1 0

cocientes MCD residuos

PROPIEDADES DEL M.C.D Y M.C.M 1. Si A y B son P.E.S.I.  MCD( A; B)  1 2. MCD( A; B)  MCM ( A; B)  A.B

Entonces llamaremos Máximo Común Divisor al mayor de los divisores comunes. En consecuencia el M.C.D. (12; 18; 30) = 6 MCD : El Máximo Común Divisor de dos o más números enteros (por lo menos uno distinto de cero) cumple dos condiciones. I) Es un divisor común positivo. II) Es el mayor posible Ejemplos: M.C.D ( 8 ; 12) = 4

3. Sean los números entonces se cumple:

N  n p  1 y M  nq  1

MCD( N ; M )  n MCD ( p;q )  1 4. Si a varios números los dividimos entre su M.C.D. los cocientes obtenidos serán P.E.S.I. 5. Si un conjunto de enteros se reemplazan dos o más de ellos por su M.C.D. o su M.C.M. entonces 3

Práctica 04

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA el M.C.D. o el M.C.M. del conjunto de dichos enteros no se altera. 6. Si un número es múltiplo de otros, será múltiplo del M.C.M. de aquellos números. 7. Si el MCD( A; B)  n y MCM ( A; B )  m entonces se cumple:

MCD( Ak ; B k )  nk MCM ( Ak ; Bk )  mk 8. Si a varios números los multiplicamos o dividimos por un mismo número entero, el M.C.D. y el M.C.M. de ellos quedarán multiplicados o divididos por dicho entero.

4

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ARITMÉTICA Y ALGEBRA

FRACCIONES, RAZONES PROPORCIONES Y PROMEDIOS CICLO INVIERNO 2017-II

01. Halle la fracción de menores términos 447 que sea equivalente a tal que la suma 1192

24 de la media proporcional, entonces la 5 razón de la proporción es (razón >1): es

o

de sus términos sea 9 y la diferencia de los

A) 8 D) 6

o

mismos sea 55 . Dé como respuesta el denominador. A) 372 B) 432 C) 496 D ) 792 E) 649

a a1 a2 a3     n  0,5 b1 b2 b3 bn Calcular “ n ” en la expresión siguiente:

A) 10 D) 12

B) 9 E) 13

n

b    n   2046  an  C) 11

08. La razón armónica de los enteros 6 positivos a y b es y la razón aritmética 7 entre ella es 6. La media aritmética de a y b es:

La fracción propia reductible ( p  1)( p  1) genera n cifras en el  p6  p  1    p  4  2 p   3  periodo y m cifras no periódicas. Calcular: n  m A) 8 B) 2 C) 5 D)6 E) 9

A)

1 2

D) 4

B) 1 E)

C)

3 2

7 2

09. El producto de la MA, MG y MH de dos números es  2 10  y la mayor diferencia entre dos de las medias es 9. Calcule la diferencia de los números. 3

N origina un decimal ab

periódico puro de la forma: 0.(b  2)(b  1)b , entonces el valor de: N  a  b es: A) 20 B) 29 C) 30 D) 31 E) 35

A) 35 D) 30

B) 40 E) 25

C) 45

10. A un grupo de 40 números, cuyo promedio aritmético es 84, se le suprimen los 5 primeros y los 5 últimos números, y a los restantes se le disminuye en 2 unidades cada uno. Calcule el promedio aritmético de los números que quedan si el promedio aritmético de los números suprimidos es 27. A) 87 B) 101 C) 97 D) 103 E) 100

05. En una proporción geométrica de números naturales, el producto de los antecedentes es 116 y el producto de los consecuentes es 464. El mayor valor que puede tomar la suma de los términos de la proporción es: B) 225 E) 153

3

2

 b1   b2   b3         a1   a2   a3 

03.

A) 351 D) 315

C) 7

07. Si:

a 02. Dos números están en la razón , b a sabiendo que genera un número decimal b periódico puro con 2 cifras en el periodo y que a  b  16 . Halle la suma de dichos números si se sabe que su diferencia es 180. A) 1560 B ) 480 C) 1430 D) 1200 E) 2000

04. Si la fracción

B) 9 E) 5

C) 275

11. De una muestra de n personas, el promedio de las edades de los casados es m años, de los solteros es u y el promedio de las edades de todas las personas es t años. ¿Cuántas personas son solteras?

06. En una proporción geométrica continua se cumple que la diferencia de los extremos 1

Práctica 05

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

n(t  m) um mu (t  m) C) um nu (t  n) E) um

n(u  m) t m nu (t  m) D) um

A)

17. La MG , de ab y mn es12 b . Si al primer número se le disminuye en 9 unidades y al otro se le aumenta en 8 unidades, entonces la nueva MG será 12 b  1 . Halle la MA de

B)

ab y mn , sabiendo que a  b  m  n . Además n y b son diferentes de cero.

12. Una vendedora de frutas compra manzanas a razón de 6 manzanas por S/.7, luego vende los 3/5 del número de manzanas que compró a razón de 3 por S/.5 y lo demás a razón de 4 por S/.7. ¿Cuántas manzanas compró si su utilidad fue de S/.832? A) 1100 D) 1000

B) 800 E) 1560

A) 41 D) 52,5

c(a  7)a origina un decimal de la forma ca(a  2)

C) 900

0, abca

B) 18 E) 5

A) 10 D) 20

 1 451  1

A) 6 D) 8

B) 7 E) 3

C) 18

NÚMERO RACIONAL Es aquel número que puede expresarse como:

14. Halle la última cifra del desarrollo decimal de 79

B) 14 E) 25

FRACCIONES

C) 15

3  N

a bc .

Calcular:

800 31! 21!

A) 17 D) 13

C) 30,5

18. Si la fracción irreductible:

13. ¿Cuántas cifras tiene la parte no periódica de la siguiente fracción?

F

B) 31 E) 22

a b

Donde a  Z  b  Z El conjunto de los números racionales se denota con la letra Q. *

a  Q   / a  Z  b  Z *  ; Z *  Z  0 b 

5353 C) 9

Ejemplos:

4 7 18 0 24 ; ; ; ; ; ... 3 4 6 8 15

15. Se tiene 2 toneles de distinto tamaño, cuyos contenidos están en la relación 25/11. Se pasa del primer tonel al segundo tantos litros como hay en este último y luego se hace la misma operación hacia el otro tonel y así sucesivamente hasta que el tonel más pequeño queda con 160 litros. Calcule con cuántos litros quedaron en el otro tonel. A) 100 B) 240 C) 180 D) 200 E) 310

NÚMERO FRACCIONARIO Es aquel número racional que no es entero. Ejemplos:

2 4 1 29 87 ; ; ; ; ; ... 5 3 7 3 13

FRACCIÓN Una fracción es un número fraccionario de términos positivos. Ejemplos:

2 7 6 19 43 ; ; ; ; ; ... 5 9 12 3 169 CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

16. En la serie: Sea la fracción

a a b b   2 k b abc c 2

2

f 

a (b  0) b

I. Por la comparación de sus términos:

Dónde: a, b, c y k  Z y a  b  60 Calcule: " c  k " A) 1 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5

a) Propia:

a ab b a f  ab b

f 

b) Impropia:

II. Por grupos de fracciones: a) Homogéneas: Cuando todas las fracciones de un 2

Práctica 05

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA grupo tienen el mismo denominador.

0, abcd 

5 9 11 ; ; 7 7 7

b) Decimal Inexacto Son números decimales inexactos aquellos que tienen una cantidad de cifras decimales ilimitada.

b) Heterogéneas: Cuando todas las fracciones de un grupo no tienen el mismo denominador

5 7 3 ; ; 8 7 11

b.1 D. I. Periódico Puro: Se dice que es Periódico Puro cuando la parte decimal consta de una cifra o un grupo de cifras que se repetirá indefinidamente (a estas cifras que se repiten se les denomina periodo) y se las indica con un arco encima.

III. Por los divisores comunes de sus términos: a) Reductibles:

f 

a es reductible  a y b no son PESI b

Origen: Una fracción irreductible originará un decimal Periódico Puro cuando el denominador sea diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5. Ejemplos

b) Irreductible:

f 

a es irreductible  a y b son PESI b

1) 0, 666... 2) 0,454545... 3) 1,296296... Obs. El número de cifras del periodo está dado por la cantidad de cifras del menor número formado por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción generatriz. Descomposición Canónica de los números de cifras 9 Para un fácil manejo del cálculo del número de cifras de un decimal periódico puro, es recomendable recordar la siguiente tabla de nueves:

FRACCIONES EQUIVALENTES Son aquellas fracciones que tienen el mismo valor; por ejemplo:

1 40  2 80 NOTA: Sea

a una fracción irreductible, para hallar b

una equivalente bastara multiplicar por un entero a ambos términos.

9  32 99  32.11

NÚMEROS DECIMALES Números decimales es la expresión en forma lineal de una fracción, que se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de una fracción irreductible.

999  33.37 9999  32.11.101 99999  32.41.271

CLASES DE NÚMEROS DECIMALES Los números decimales se clasifican en 2 grandes grupos: Números decimales limitados o exactos, e ilimitados o inexactos.

Numero decimal

999999  33.7.11.13.37 Conversión de D.I. Periódico Puro a fracción: Fracción Generatriz La fracción generatriz de un D.I. Periódico Puro está dado por el número formado por las cifras del periodo, dividido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.

 Dec. Exacto Periódico puro Dec. Inexacto    Periódico mixto

0, abc 

a) Decimal Exacto Si el número tiene una cantidad limitada de cifras decimales. Ejemplos:

1) 0, 28

2) 1,375

abcd 10000

abc 999

b.2. D. I. Periodo Mixto: Una expresión decimal es periódica mixta cuando después de la coma decimal el periodo se inicia después de una cifra o grupos de cifras. Al grupo inicial anterior al periodo se le llama parte no periódica.

3) 0,225

Origen: Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando el denominador esté conformado por sólo factores 2, factores 5 o ambos.

Origen: Una fracción irreductible dará origen a un decimal inexacto periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias de 2 y/o 5 y además, algún otro factor necesariamente diferente:

Obs.: El número de cifras decimales de un decimal exacto estará dado por el mayor exponente de 2 ó 5 que tenga el denomina-dor de la fracción irreductible.

Obs. La cantidad de cifras no periódicas del decimal inexacto periódico mixto está dado por la regla para el número de cifras decimales de un decimal exacto, y el número de cifras del periodo está dado por la regla del número de cifras de un D.I. Periódico Puro. Conversión de un D.I. Periódico Mixto a fracción: Fracción Generatriz La fracción generatriz de un D.I.P. Mixto estará dado por el número formado por la parte no periódica, seguida de la parte periódica, menos la parte no

Conversión de decimal exacto a fracción: Fracción Generatriz La fracción generatriz de un decimal exacto será igual al número formado por las cifras decimales, dividida entre la unidad, seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número decimal. Ejemplo:

3

Práctica 05

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA periódica, todo entre el número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tengan la parte no periódica.

Se cumplen las siguientes propiedades:

a1  a2  a3  ...  an k b1  b2  b3  ...  bn a1  a2  a3  ...  an  kn II. b1  b2  b3  ...  bn I.

2954  29 2925 13   9900 9900 14 2 nueves 2 ceros

0, 2 9 5 4 

RAZONES Y PROPORCIONES

III.

RAZÓN: Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división. RAZÓN ARTIMÉTICA: Ejemplo: Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivamente, al comparar sus volúmenes.



20 l

15 l

antecedente

Obs: Donde "n" nos indica el número de razones.

PROMEDIOS 1. Promedio Aritmético o Media Aritmética (M.A.)

2. Promedio Geométrico o Media Geométrica (M.G.)

 5l

MG  n a1  a2  a3  ...  an 3. Promedio Armónico o Media Armónica (M.H.)

valor de la razón

MH 

RAZÓN GEOMÉTRICA: Ejemplo: Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son: 80m2 y 48m2 y así obtenemos:

antecedente  80m 5 valor de la razón consecuente  48m2 = 3 

MA 



PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones de una misma especie. PROPORCIÓN ARITMÉTICA

c



MA(a, b)  MH (a, b)   MG (a, b) 

a  d :Términos extremos b  c : Términos medios

  

NOTA: "Cuando los medios son diferentes, la proporción se llama discreta, pero cuando los medios son iguales se llama continua"

Proporción aritmética

PP 

a b  bc

d : 4ta proporcional cb :: media proporcional 3ra proporcional

Datos:

a b  b c

PP 

a1; a2 ; a3 ;

; an

a1 p1  a2 p2  a3 p3  ...  an pn p1  p2  p3  ...  pn

NOTA: Cuando no nos mencionen qué tipo de promedio se ha tomado y sólo se diga promedio de ..............,consideraremos al Promedio Aritmético.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Sean:



6.12  4.14  3.15  2.13  13, 2666... 6 43 2

; pn Pesos: p1 ; p2 ; p3 ; El Promedio Ponderado (P.P.) es:

d :4ta proporcional b : media proporcional c : 3ra proporcional

a1 a2 a3    b1 b2 b3

2

En general:

Proporción Geométrica a c  b d

2ab ab

PROMEDIO PONDERADO (P. P.) Es un caso particular del promedio aritmético, donde una o más cantidades se repiten dos o más veces. Aplicación: El número de créditos indica las veces que se repite cada nota. Entonces el promedio ponderado es: Cursos N° de créditos Notas Matemática I 6 12 Química I 4 14 Física I 3 15 Geomecánica 2 13 Determine su promedio. Resolución: El número de créditos indica las veces que:

d

Términos extremos

a b  c d

MH 

MH  MG  MA

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:

a c = b d

MG  ab

2. Para dos cantidades a y b se cumple:

Términos medios



ab 2

PROPIEDADES 1. Para "n" cantidades se cumple:

Razón geométrica

b

n 1 1 1 1    ...  a1 a2 a3 an

PARA DOS CANTIDADES a y b

2



a1  a2  a3  ...  an n

MA 

consecuente

a

a1m  a2 m  a3m  ...  an m  km m m m m b1  b2  b3  ...  bn

an k bn 4

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN”

CENTRO PREUNIVERSITARIO MAGNITUDES PROPORCIONALES REGLA DE TRES Y PORCENTAJES

ARITMÉTICA Y ALGEBRA

CICLO INVIERNO 2017-II

01. La eficiencia de un obrero es DP a los años de experiencia e IP a la raíz cuadrada de su edad. Si a los 25 años con 1 año de experiencia hacia una obra en “n” horas. ¿Cuánto tiempo menos demorara ahora que tiene 36 años y trabaja continuamente en la misma actividad? 9n 3n A) B) C) 10n 10 20 11n 8n D) E) 10 5

se decide trabajar 5h/d, sin embargo, luego de 20 días más se decide terminar la obra 15 días antes del plazo establecido. ¿Cuántos obreros se deben incorporar, si trabajan todos 8h/d? A) 1 B) 2 C) 8 D) 4 E) 5 06. Una obra se empezó con “n” obreros y a partir del segundo día se fue despidiendo un obrero cada día, hasta que no quedo ningún obrero, pero se terminó la obra. Determinar en cuantos días se realizó el trabajo, si en el primer día se hizo la novena parte de toda la obra. A) 17 B) 16 C) 15 D) 19 E) 18

02. La presión (P) del viento sobre las alas de un ave varia proporcionalmente con el área de las alas (Área = A) y con el cuadrado de la velocidad (V) del viento. La presión sobre un área de un pie cuadrado es de una libra cuando la velocidad es 16 millas/h. Determinar la velocidad del viento en millas/h, cuando la presión sobre una yarda cuadrada es de 36 libras. (1 yarda= 3 ft) A) 10 D) 40

B) 12 E) 32

07. Al tostar café se pierde el 20% de su peso, Un tendero vende café tostado a S/. 46 el kg ganando el 15% sobre el precio de costo, ¿a qué precio en soles se ha comprado el kg de café sin tostar? A) 30 B) 32 C) 40 D) 48 E) 50

C) 64

08. Un comerciante compra una artículo en S/. 1600. ¿Qué precio debe fijar para su venta, para que al hacer un descuento del 20% aun obtenga una ganancia del 15%? A) 2200 B) 2300 C) 2400 D) 9100 E) 2600

03. El siguiente cuadro muestra los valores de las magnitudes A y B que guardan cierta relación de proporcionalidad. Valores de la magnitud A Valores de la magnitud B Calcular A) 124 D) 160

2

x

8

98

3

24

y

21

09. En un teatro que tiene capacidad para 200 personas, cierto día a media función ingreso una cantidad de personas pagando 50% menos y quedo completamente lleno, pero se afectó la recaudación en un 20%, al otro día cuando se inició la función solo había 5/6 de la cantidad inicial del día anterior y a media función, se rebajaron las entradas en un 60%. Calcule el mínimo porcentaje en que se afectaría la recaudación de este día. A) 50% B) 20% C) 30% D) 60% E) 40%

x y B) 134 E) 192

C) 128

04. 8 costureras pueden entregar un pedido en 20 días. Si después de 5 días de trabajo se retiran 3 costureras. Con cuantos días de retraso se entregara el pedido. A) 10 B) 8 C) 12 D) 6 E) 9

10. Se vende una joya en determinadas condiciones de proporcionalidad, de donde se tiene que:  Para un peso de 19 g su precio es de

05. Cuarenta obreros pueden culminar una obra en 60 días trabajando 4h/d. Luego de 10 días, ocho de ellos renuncian, por lo que 1

Práctica 06

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

S/. 2 527  Para un peso de 23 g su precio es de S/. 3 703 Calcule el precio para un peso de 30 g.

¿Para cuantos días menos alcanzarían los víveres si las 3 personas van al campamento? A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2

A ) 4 703 D ) 5 936

15. Una persona compra 200 maletas y las vende ganando 10%. Con el importe de la venta compra 80 lámparas y las vende ganando el 10%. Con el importe de esta última venta compra 2 464 corbatas al precio de S/. 198 las seis docenas. Calcule cuánto cuesta cada maleta. A) 23 B) 28 C ) 40 D) 27 E) 22

B) 6 300 E) 6 703

C) 4 979

11. Un grupo de obreros en 12 días han avanzado los 2/5 de una obra, si a partir de ese momento trabajan 5 obreros menos por lo que la obra se culmina con 2 días de retraso. ¿Cuántos obreros trabajaban inicialmente? A) 50 D) 36

B) 32 E) 45

C) 40

16. El alcance que tiene un proyectil al ser lanzado es D.P. a la fuerza de lanzamiento, I.P a la resistencia del medio en el cual fue lanzado y a su vez, I.P. al tamaño del proyectil. Si dos cuerpos A y B se lanzan desde dos armas cuyas fuerzas de lanzamiento están en la relación de 5 a 3, siendo el tamaño del segundo proyectil 2 veces más que el primero y el medio en el que fue lanzado el primer proyectil ofrece 3 veces más la resistencia del medio del segundo proyectil, calcule la relación de los alcances de ambos proyectiles. A) 2/5 B) 3/4 C) 4/3 D) 5/3 E) 5/4

12. En el último examen de admisión a la UNI, se observó que de N postulantes, el 20% eran hombres y de éstos el 3 por 10 trabajan, pero se observa que de éstos últimos al 2 por 5 les gusta Aritmética. Calcule N, si se sabe que hay 36 hombres que trabajan pero no les gusta Aritmética. A) 1600 B) 1500 C) 1000 D) 2 400 E) 2 500 13. El gráfico adjunto muestra las relaciones de proporcionalidad de dos magnitudes A y B.

17. Un ejército de 200 soldados, tiene víveres para 40 días a razón de 3 raciones diarias. Pero al cabo de 20 días reciben 40 soldados con víveres para 30 días a razón de 40 raciones diarias. Si se juntan los víveres y consumen a razón de 2 raciones diarias, calcule para cuantos días alcanzaran los víveres. A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

A A

(d ; c  2)

PP

b

R R

c 12

O O

SS

Q Q

e 6

B B

a

2a

d

3a

18. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó S/. 4 sabiendo que se va a hacer una rebaja del a % de dicho precio y aun así se gana el a % del precio costo, sabiendo además que el precio fijado es un número entero y 16  a  25 ? A)5 B) 7 C) 6 D)8 E)9

Si el área del triángulo rectángulo

u 2 , calcule a bc d e .

sombreado es 80 A) 129 D) 134

B) 84 E) 64

C) 80

14. Nueve personas deciden ir de campamento y llevar víveres para 8 días. Si antes de partir 3 personas deciden también ir de campamento pero no tienen víveres. 2

Práctica 06

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

a.b  x.c  x  MAGNITUDES PROPORCIONALES

REGLA DE TRES COMPUESTA Es cuando se comparan más de dos magnitudes es decir al menos 3 magnitudes (6 valores correspondientes) Método de las proporciones: I. Trasladar la información a la hoja de cálculo.

MAGNITUD Propiedad de la materia o de un fenómeno físico o químico suceptible de variación, es decir puede aumentar o disminuir. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Suponga que dos magnitudes están relacionadas de modo que al duplicar el valor de una de ellas, el valor de la otra también se duplica; al triplicar la primera, la segunda también queda multiplicada por tres, etc. Siempre que sucede esto, decimos que existe entre ambas magnitudes, una relación de proporción directa.

A DP B 

II. Se ubica la magnitud de la incógnita, la cual se compara con c/u de las otras magnitudes (deberá considerar que las otras magnitudes que no intervienen permanecen constantes) III. En caso que la comparación determine que las magnitudes son DP, cambie la posición de los valores, escribiéndolos como una fracción.

Valor de A Constante  Valor de B

IV. En caso que la comparación determine que las magnitudes son IP, mantenga la posición original de los valores (en fracción).

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

V. La incógnita se determina del siguiente modo:

IP

A IP B  Valor de AValor de B   Constante A A1

REGLA DE TRES INTRODUCCIÓN Una de las aplicaciones de proporcionalidad más antigua es la Regla de Tres que resulta al comparar dos o más magnitudes. Cuando cuatro cantidades forman una proporción y una de ellas es desconocida, la operación que tiene por objeto determinar esta incógnita en función de las cantidades conocidas lleva el nombre de Regla de Tres Simple.

a b

DP

x A1 C D1  . . B A C1 D PORCENTAJES TANTO POR CUANTO El 5 por 8 de una cantidad, significa dividir dicha cantidad en 8 partes iguales y tomar 5 de ellas. Ejemplo: El 5 por 8 de 120. 120 lo dividimos en 8 partes iguales, tomando 5 de ellas o sea:

2da magnitud

 120  5 5   .120  75 8   8

x c

Es decir, el A por B de N es:

a x a.c  x b c b

A .N B

Cuando B = 100 se lee A por 100 de N y se denota por A% de N y se escribe:

2. Inversa: Cuando las magnitudes comparadas son Inversamente proporcionales: Esquema: a x

D D1

Se cumple:

Si son magnitudes directamente proporcionales se cumple:

1ra magnitud

C C1

B x

DP

REGLA DE TRES SIMPLE Es cuando se comparan dos magnitudes proporcionales. Pueden ser directas o inversas. 1. Directa: Cuando las magnitudes comparadas son directamente proporcionales. Esquema:

1ra magnitud

a.b c

A .N 100

2da magnitud

Ejemplo: El 20% de 75 es:

b c

20 .75  15 100

Si son magnitudes inversamente proporcionales se cumple :

Tanto por ciento expresado en fracción: 3

Práctica 06

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

10 1  100 10 25 1 25%   100 4 50 1 50%   100 2 100 100%  1 100 10% 

Un número racional en tanto por ciento:

3 3  .100%  75% 4 4 6 6  .100%  120% 5 5 Observación: Es muy frecuente aplicar Regla de Tres Simple para problemas de tanto por ciento. ASUNTOS COMERCIALES 1)

G  PV  PC

2)

P  PC  PV

3) Generalmente, al realizar un negocio, que nos va a dar una utilidad, ocasiona gastos (movilidad, alquiler, viáticos, etc.), entonces se cumple:

Gbruta  Gneta  gastos 3. Al precio fijado para la venta de un artículo se le llama Precio de Lista al cual casi siempre se le hace una rebaja y por consiguiente se cumple:

PV  PL  R Importante: Generalmente, los aumentos se realizan sobre el precio de costo; mientras que los descuentos se hacen sobre el precio de lista.

4

ARITMETICA

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO TEORIA DE EXPONENTES Y POLINOMIOS CICLO INVIERNO 2017-II 1. Si: b a  5 y a  b  Calcular: M  ab a) 57 2. Si: 𝑥

1 2

a1

b) 50

2𝑥 6

9. Si x  Z y además se tiene que: 2 .9 x

 ba

Encuentre el valor de 2 .

b1

d) 62

b) √2 3 e) √3

a) 4

e) 64

= 3, 𝑥 > 0 Calcular 𝐸 = (𝑥

6 𝑥𝑥

)

√3

c) 1

𝑥 a) 1 4. Si: 𝒙

b) -1 𝒙𝒙+𝟓

d) 3

e) -4

= √𝟑, halle el valor de:

b) 3

d) 7

e) 9

5. Sean P y Q dos polinomios de variable x, tales que: GA ( P)  GA (Q) ; GA [ P  Q]  10

 P( x)   Q( x)   2. Entonces, determine el   2 2 GA ( P .Q)

y GA  3

a) 42

b) 48

6. De la igualdad:

c) 52 2x

d) 54

e) 60

x  1  x x 1 .

b) 2

c) 4 1 x 2

7. Resolver: 4 x  3

1 x 2

3

b) 12

c) 6

d) 3

e) 6

 22 x 1.

el

9

 x2



 x2

4 3

b) VFV d) FVV

e) 2√2

a  0

a) a  R b) a  0,3] c) a  [3;0  d) a  3,3  e) a  R   3,3  n

2

12. P( x)  xn 16  3x( n1)  5x2n2  ....  mxb 1 es completo y ordenado en forma ascendente con 4 n n términos con n  0 ; 𝑏 > 0. Hallar M=b+m a) 19

b) 15

c) 22

d) 35

e) 32

13. Si P(x;y) es un polinomio completo y homogéneo de grado 2, indique el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. Q( x; y )  P( x  y; x  y ) es homogéneo II. H ( x; y)  x 2  y 2  P( x; y) es homogéneo III. Q( x; y )  P( x;0)  P( y;0) es homogéneo Son correctos: b) Solo II y III e) I, II y III

c) Solo I y III

P( x)  a( x  2)2  b( x  3)2  (2 x  3)2  c es idénticamente nulo. Entonces, determine el valor de: E  c a  b

d) 3

e) 5

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

15. Si P es un polinomio homogéneo, completo y ordenado (con respecto a la variable x), definido por:

P( x; y)  x m5 y n3  x m4 y n2  x m3 y n1  .... Tal que GR ( x)  10 y GR( y )  15 , entonces el valor de mn es: a) 30

b) 35

c) 40

d) 45

16. Hallar “n” si el grado de: 𝒏

𝒏𝒏

a) VVV c) FFV e) VVF

d) 4

11. ¿Para qué valores de “a” la siguiente ecuación:

a) 0

polinomio 𝑷(𝒙) = (𝟏 + 𝟐𝒙)𝒏 + (𝟏 + 𝟑𝒙)𝒏 la suma de coeficientes excede en 23 al término independiente, según ello establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El polinomio P(x) es de grado 2. II. La suma de coeficientes es 25. III. El término cuadrático de P(x) es 12x 2

8. En

c) 16

14. Si el polinomio:

Calcule el valor de: 4x a) 10

b) 4 + √2

a) Solo I d) Solo I y II

1 Calcule el valor de: A  x 2  2 x a) 1

e) 1/8

𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅/4𝑥 = 3(2√𝑥+𝑥 ) + 41+√𝑥 }

2n

𝒙+𝟓+𝒙+𝟓

𝒙𝟑𝒙

c) 5

d) 5

Tiene solución real?

𝟑

𝑴=𝒙 a) 1

= 𝑥 − 12

c) 3

10. Determinar la suma de los elementos del conjunto:

2

c) 2

b) 6

a) 8

3. Hallar la suma de las raíces al resolver la ecuación: 13−𝑥 2 +𝑥

 24,

x

c) 58

a) √3 d) 3

x 1 x 1

𝑷(𝒙) = (𝒙

e) 50

𝒏

+ 𝒙 + 𝟏)

𝒏𝒏

. (𝒙 + 𝟐)𝒏

Es 272. a) 16

b) 4

c) 1

d) 2

e) 272

𝒏𝒏

TEORIA DE EXPONENTES Y POLINOMIOS

Teoría De Exponentes

𝑥 3√𝑥−3𝑥+1

17. Si se verifica: 3𝑥 = (3√𝑥 + 1) ; ¿Qué podemos afirmar del equivalente de

3x   3x  ? 1

a) Es par c) Es irracional e) Es negativo

b) Es impar d) Es una fracción

2

Exponente cero

a 0  1 ; a  R  0 2

18. Si P( x; y)  (a  1) x2a1 y a 1  (a 2  1) x a 2 y a es un polinomio homogéneo, entonces el número de términos que le falta para ser completo es: a) 30

b) 28

c) 26

d) 24

e) 21

19. Resolver: P( x)  x n  bx n1  ....  w, es de coeficientes enteros y una de sus raíces es





2  3 3 . . Luego la suma de los coeficientes

de P(x) es: a) -24

b) -14

c) 12

d) -12

e) -34

20. Si x e y verifican la igualdad xy  x  y  1 , halle el valor de: ( x y ) 3 xy

   

a) 1

b) 2

c)

2

d) 4

Nota 00 indeterminado Exponente Fraccionario 𝑛

𝑚

𝑎𝑚 = √𝑎𝑛 ; ∀𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑛 ≥ 2 TEOREMAS 1. Producto de bases iguales 𝑎𝑛 . 𝑎 𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 2. Producto de bases diferentes e igual potencia 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 = (𝑎𝑏)𝑛 3. División de bases iguales 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−𝑚 ; 𝑎 ≠ 0 𝑎𝑚 4. División de bases diferentes e igual potencia 𝑎𝑛 𝑎 𝑛 ( ) ;𝑏 ≠ 0 = 𝑏𝑛 𝑏

1

 y 1 4 x 1  x 1  4 y 1 

Exponente Negativo 1 𝑎−1 = ; ∀𝑎𝜖𝑅 − {0} 𝑎

e) 8

5. Exponente Negativo 1 𝑎−𝑛 = 𝑛 ; 𝑎 ≠ 0 𝑎 6. Exponente Fraccionario 𝑚

𝑛

𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 7. Potencia de potencia (𝑎𝑛 )𝑚 = (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑛.𝑚 8. Potencia negativa con un cociente

a   b

n

b   a

n

9. Raíz de Raíz 𝑛 𝑚

√ √𝑎 =

𝑛.𝑚

√𝑎

10. Producto de raíces con igual índice 𝑛 𝑛 𝑛 √𝑎. √𝑏 = √𝑎. 𝑏 Si n es par  a  0 y b  0

POLINOMIOS DEFINICIÓN: Es una expresión algebraica en la cual los exponentes de la variable o variables son números enteros no negativos. Ejemplos:

P( x, y)  4 x7 y5  9 x8 y10 Q( x, y)  4 x 2 y 5  9 x y y 6 no es polinomio R( x, y)  3x7 y 5  7 x 8 y 6  x 5 no es polinomio

TEORIA DE EXPONENTES Y POLINOMIOS POLINOMIO DE UNA VARIABLE Es aquella expresión algebraica de la siguiente forma:

P( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ....  an Donde: 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 : Coeficientes 𝑎𝑛 : Coeficiente principal 𝑎0 : Término independiente GRADO DE UN POLINOMIO

1. Grado relativo(G.R) Es representado por el valor del mayor exponente de la variable en referencia.

2. Grado absoluto(G.A) a. Para un monomio Se obtiene sumando los exponentes de las variables. Ejemplo 1 Sea P( x, y)  4nx7 y 5 𝐺. 𝐴. (𝑃 ) = 7 + 5 = 12 b. Polinomio de 2 o más términos El grado absoluto está dado por el mayor grado de los monomios que intervienen. Ejemplo 2 Sea P( x, y)  4nx7 y 5  9 x8 y10  𝐺. 𝐴. (𝑃) = 18 POLINOMIOS ESPECIALES

1. Polinomio ordenado Si los exponentes de una variable presentan un orden ya sea ascendente o descendente respecto a esa variable será ordenado.

P( x)  2 x3  7 x6  9 x10 2. Polinomio completo Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el mayor hasta el grado cero. 3. Polinomio homogéneo Es homogéneo cuando cada término tiene el mismo grado absoluto. TEOREMA 1 Dado un polinomio P(x): I. Suma de coeficientes

 Coef .P( x)  P(1) II. Término independiente

T .I .P( x)  P(0) TEOREMA 2 Si P ( x; y ) es un polinomio homogéneo de grado " n " ; se cumple:

p( .x; . y)   n .P( x; y) TEOREMA 3 Dado el polinomio P(x) completo se cumple:

# de t er min os  G. A. P( x)  1

ARITMETICA

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES CICLO VERANO 2016-II

1. Si:

3

1  7 , calcule el valor numérico de: x 1 E x x

x

a) 18

3

b) 19

c) 16

d) 14

e) 12

2. Si: x 3  1  0 y x  1 , calcular:

A

b) 0

c) -1

d) 1

e) -2

1 1 1 a  b  c  abc y 2  2  2  2 a b c ab bc ca Hallar el valor de: 2  2  2 c a b b) 3

m1

c) 1

d) 0

 xm  2   x  1

b) Solo II e) I, II y III

e) -3

2

c) Solo III

4x  2x  x 1 x 1 a) 165

b) 163

7. Un

c) 164

d) 161

e) 162

2 x 21  3x17  2 x5  x  3 x2  x  1

b) 6 x  6 e) 2x  1

c) x  6

polinomio P ( x ) de sexto grado al ser 5

b) 2

x20  ax  b es exacta ( x  1)2

a) 41

b) 36

c) 24

d) 39

e) 42

10. Halle el grado absoluto del undécimo termino

b) 32

c) 28

d) 30

e) 34

(5 x  1)99  (5 x  1)99 es de x la forma a(25 x 2  1) n ; calcular el valor de (n  4a ) .

11. Un término del CN:

a) 9

b) 12

c) 18

d) 22

e) 30

12. Si residuo de la división división:

x 299  1 se divide entre: x5  x 4  x3  x 2  x  1   x 2  x  1 . Calcular el valor del cociente en

a) 18

b) 54

c) 72

d) 325

e) 650

13. Calcule el valor de (m+n) si se sabe que la división:

dividido por ( x  1) , arroja un cociente entero g ( x ) y un residuo 3x  2 . Si g ( x ) tiene como coeficiente principal al número 7 y la suma de los coeficientes de p ( x ) es 325. Determine el termino independiente de g ( x ) a) 1

e) 6

79

6. El resto de la división: a)  x  6 d) 6x  1

d) 5

esta última división cuando x  3 2

5. Determine la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir: 80

c) 3

Determine el valor de a+b.

a) 25

Cuáles de los siguientes enunciados son correctos: I. Los coeficientes del cociente son enteros impares. II. Es una división algebraica exacta. III. La suma de los coeficientes es m 2 a) Solo I d) I y III

b) 2

x y yz zx   z x y

x3n2  y5n1 en el cociente notable al dividir: . x 2  y n 5

4. Con respecto a la división algebraica:

x

Halla el valor de: A 

9. Si la división:

3. Sean a, b y c números diferentes de 0, tales que:

a) -1

x  y  z  6   xy  yz  xz  xyz

a) 1

( x  1)3 ( x  1)3  x2 x

a) 2

8. Sean x, y, z números reales tales que:

c) 3

d) 4

e) 5

3x5  mx3  nx 2  x  2 x2  3 Deja residuo 5x 10 a) 11

b) 5

c) 1

d) 7

e) 4

14. Si: a  b  c  1 y a 3  b3  c 3  4 Entonces el valor de:

1 1 1   es: a  bc b  ac c  ab a) 1

b) -1

c) 3

d) -1

e) -2

15. Indique el término independiente de un polinomio de tercer grado que al ser dividido entre ( x  1) , ( x  2) , ( x  4) de el mismo resto 20 y además que sea divisible por ( x  1). a) 4

b) 36

c) 18

d) 10

e) 14

PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES 16. Hallar el resto de la división inexacta:

( x  2)82  4( x  2)63  5( x  2) 24  3( x  2)3  7 x2  4x  5 a) x  2 d) x  1

b) 2x  1 e) x  1

c) 2 x 1

17. Calcular el valor de:

E  32 1  3  22  1 24  1 28  1 ....  264  1 a) 24

b) 16

c) 32

d) 8

e) NA

18. En el cociente notable que se obtiene de:

x 4 m  x 4b el décimo término contando a partir x 2  x 3 del final es independiente de x. ¿Cuántos términos racionales enteros contiene dicho cociente notable? a) 6 19. Si

b) 9

c) 7

d) 8

e) 10

xz z2   1, hallar z  y ( x  y)( z  y) 2

2

 zx  x y  z y        y   z   x 

2

b) 3 e) 12

a) 0 d) -1

c) 1

20. Calcular el resto en la siguiente división:

( x  1)15  32 x5  x3  3x 2  7 2 x3  6 x 2  10 x  2 a)-5x+6

b)5x

c)4x+1

d)3x+2

e) 8x+3

21. Hallar el término independiente de un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que de cómo residuo “2x” al dividirlo por ( x  1) 2 y de cómo residuo “3x” al dividirlo por ( x  2)3 . a) -8

b) -32

c) 24

d) -27

e) 66

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO FACTORIZACION, MCD Y MCM CICLO INVIERNO 2017-II

1. Indique la suma de coeficientes de un factor primo de: A( x)  ( x  3)( x  5)( x  2)( x  4)  49

a) 1 d) -13

b) -1 e) -15

c) 15

2. Factorizar: A( x; y)  2 x 2  15 y 2  7 xy  22 y  6 x  8

La suma de los factores primos es: a) 2x–3y+2 b) 3x+2y–2 c) 2x+y–1 d) 3x+2y e) 2x–3y 3. Dado el polinomio: A( x; y; z )  x 2  x  y 2  y  z 2  z  2 yz

Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) x  y  z  1 b) x  y  z c) x  y  z  1 d) x  y  z e) x  y 4. Determinar el grado del MCM de los polinomios: A( x)  x 2  15 x  36 , B( x)  x2  9 y C ( x)  x3  6 x 2  63x  108

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

5. Señale la suma de coeficientes de un factor primo de: P( x)  x13  2 x8  x7  2 x 2  4

a) 8 d) 6

b) 5 e) 4

c) 3

6. Factorizar M ( x)   x3  1  x2 ( x2  4), dando la suma de los coeficientes de sus factores primos: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

ARITMETICA

7. Indique el grado del factor primo que tenga menos términos en: Z ( x)  1  x  x 2  x3  x 4  x5   x5 2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 3

c) 5

8. Cuál de las siguientes expresiones no es termino de un factor primo de: P( x; y)  2 x 2  6 x 2 y 2  4 x3 y  4 xy 3  1  y 4

a) d)

b) e)

 x2 2x 2

c)

2xy

y2

 y2

9. Hallar el MCD de los siguientes polinomios en R: P( x )  2 x 4  x 3  3 x 2  3 x  9 Q( x)  10 x3  9 x 2  17 x  6

Dar como respuesta la suma de coeficientes a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo del siguiente polinomio: 10 2 P  x   x  16x  32 . a) -3 d) -5

b) -2 e) -6

11. Luego

c) -8

de

factorizar P( x; y)  x  x y  y , señale la suma de los coeficientes de uno de los factores primos. 5

4

5

2

a) 2 d) 5

b) 3 e) -1

12. Al

c) 4

factorizar el polinomio P  4 x  81y 4 y evaluar uno de sus factores para x  y  2 . 4

FACTORIZACION, MCD Y MCM

a) 8 d) -2

b) -8 e) 34

c) 22

a) 2x d) 3x

13. Determine uno de los factores primos del polinomio P( x, y, z )  x 4  y 4  z 4  2 x 2 yz  y 2 z 2

a) c) e)

b)

x 2  y 2  z 2  yz

x 2  y 2  z 2  yz

d)

x2  y 2  z 2  yz

x2  xyz  y 2

x2  y 2  z 2  xyz

14. Hallar el independiente de primo del

término un factor polinomio

P  x   6 x4  4 x3  3x2  15x  5

a) -5 d) -4

b) 5 e) 3

c) -2

15. Luego de factorizar. polinomio en R P( x)  x 7  x 5  x 4  x 3  x 2  1 Se obtiene un factor primo doble, el cual es: a) x+1 d) x 1

b) e)

x2  x  1

c)

El

x2  x  1

x2  1

16. Sabiendo que el máximo común divisor de los polinomios: P( x )  2 x 3  x 2  3 x  m Q( x)  x3  x 2  n

Es x 2  x  2 Halle el valor de: a) 3/4 d) 5/2

E

b) 4/3 e) 10/3

1 1  m n

c) 2

17. Luego de factorizar el polinomio: A( x)  x5  x 4  2 x 2  2 x  1. De cómo respuesta la suma de los términos lineales de los factores primos.

b) x e) 0

18. Luego de polinomio:

c) -2x factorizar

el

A( x, y, z )  (3x  y  5z )5  (2 z  y  2 x)5  (3z  x)5 .

Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. Un factor primo es 2x+y–2z. II. La suma de dos factores primos es x–3z. III. Un factor primo es 3x+y+5z. IV. La suma de los coeficientes de un factor primo es 3. a) VVVV d) VFFV

b) VVFF c) FVFF e) FVFV

ARITMETICA

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO FRACCIONES Y RADICACION CICLO INVIERNO 2017-II

(m  2) x  (2m  3n  1) y  3n 8x  4 y  7 toma un valor constante “k” para todos los valores de “x” e “y”, entonces este valor constante es:

1. Reducir:

8. Al

E  4 17  12 2  4 17  12 2 a) 2 d) 5

b) 0 e) 4

c) 1

a) -1/9 d) 3

2. Al simplificar la expresión:

T a) 1 d)

3 3  3 3 3 6 b) 2

2 2

c)

2

e) 2 3

b) 4  2 e) 5  2

a) -2 d) 1

b) 15 e) 16

5. Hallar el valor de: R  a) 1/56 d) -1/56

c) 5  2

a) 1 d) 7

2 x 3 para x=1. x 2  49

c) -6

b) 1 e) 4

c) 2

12. Al simplificar 3 60 3  42 6 , , uno de sus radicales simples es:

c) 0

a)

5

d)

7

2 e) 11 b)

c) 2 3

13. Hallar el verdadero valor de: 3 x2  5 x2 A 1 4 x  2 Para x= –1.

c) -1

8 15 4 d) 15

a)

7. Reducir:

7 113  72 2  22 2 2 2 1 a) 3 b) 25 d) 6 e) 15

b) 2 e) 14

a) 0 d) 3

11  29  13 29 y n 11  29  13 11  13 Determine el valor de: E  m2  m2 n 2  n 2  2m2 n  2mn 2  2mn b) 1 e) 3

c) -1

11. Sabiendo que A, B y C son los numeradores de las fracciones parciales en que puede ser descompuesta la fracción: 4x  2 3 x  x2  2x Hallar A+B+C

6. Si: m 

a) 2 d) -2

b) 2 e) 0

6 es: 2  2  4 2

c) 12

b) -1/28 e) 

c) 2

10. El denominador racional de:

4. Al racionalizar la expresión: 3 4 3 T 6 2 5 Se obtiene: a  b  c Calcular: a+b+c. a) 14 d) 13

b) 1/4 e) 1

9. Simplifique la expresión.   1 1 a 1 a 1   1     2  2 a 1  a  1  a  a  1 a  1 a si 0  a  1.

3. Al racionalizar la expresión: 23 L 5  11  6 2  17  12 2 Se obtiene a) 3  2 d) 4  2

efectuar:

c) 12

1

b)

4 15

e) 0

c)

8 15

FRACCIONES Y RADICACION

PRÁCTICA 10

x3  nx 2  19 x  n  4 x3  (n  1) x 2  23x  n  7 es reductible, simplificarlo y dar como respuesta la suma de sus términos.

14. Se sabe que:

a) x  4 d) 2 x  3

RADICALES DOBLES Son radicales de la forma:

a) Radical de la forma A  B Donde A y B son dos expresiones racionales y positivas y A  B

15. Hallar el verdadero valor de: 1 3 R  , para x=1 1  x 1  x3 a) 1 d) 2

b) 0 e) -2

1ra Forma (Propiedad)

A B 

c) -1

AC AC  2 2

Donde; C 

b) 3 9  1 e) 2  3 12

A2  B

2da Forma (Método práctico)

16. Al racionalizar la expresión: 10 M 3 2  12  3 18 Se obtiene: a) 2  3 5 d) 1  3 12

A  B  x  y  2 x. y = x y Donde; 𝑥 > 𝑦

c) 1  3 9

Radical de la forma 17. Resolver:



5



x  2 x  1  10 3x  1  2 2 x 2  x   2  

a) 11 d) 41

b) 21 e) 51

c) 31

18. Simplificar 16  80  112  140 , , uno de los radicales simples es: a) 7 d) 2

b) 11 e) 3

19. Luego de descomponer:

c) 13

1 en x  2x  2x2  x 4

3

suma de fracciones parciales, dar la suma de sus numeradores. a) 3 d) 0

b) 2 e) -1

c) 1

20. Si ax  by  cz  0 , simplificar:

A

ab( x  y)2  bc( y  z )2  ac( z  x)2 ax 2  by 2  cz 2

a) a+b d) a+b+c

b) b+c e) 1

A m B

TRANSFORMACION DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES

c) 9  x

b) 2 x  9 e) 4 x  3

n

c) a+c

2

3

a b

a  b  x  y ; donde: w  3 a2  b



3



4 x3  3wx  a



y  x2  w

ARITMETICA

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO ECUACIONES - INECUACIONES CICLO INVIERNO 2017-II 1 1 1 indicando luego   x  3 x  2 16 la suma de raíces:

1. Resolver:

a) 37 d) -43

b) -37 e) 86

b) 12 e) -15

c) 10

c) 3/4

4. Determinar el valor de b  c  t. Si la ecuación de primer grado en x. b 2 c  x    1 x  t  x 2 , 2b  t 4 3  Tiene por raíz el número -1. b) 39 c) 42 d) 43 e) 45

5. Determine el conjunto solución: x 1 0 3 2 x  8 x  14 x  12 a) 2;1

b) 6; 1

d) 2;3

e) 1;6

b) 2;12

d) 4

e)  2;12 

con

c) 7 x 1  0 es de la 2x  3

b) 3/2 e) 0

c) 5/2

e

c) 2; 12

b) 〈−∞; −2〉 c) 〈−6; −2〉 e) ϕ

veracidad (V) o la falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. I. S tiene dos elementos enteros. II. S tiene solo elementos negativos. III. S   a) VVV b) FVF c) FVV d) FFV e) FFF 11. Determine el conjunto solución de la ecuación: 2 x  2  x 1  x  3 b) 5 e) [4;  

c) 6

12. Determine el conjunto solución de la inecuación x  x  2  2 x

7. Determinar los valores reales que admite “a”, tal que una de las raíces de la ecuación: 3x 2  4 x  12a  9ax  0 Es mayor que 6. a) 〈−∞; −6〉 d) 〈6; +∞〉

b) 6 e) 9

9. El conjunto solución de:

a) 4 d) [3;  

c) 3; 1

6. Resolver: ( x  7)2  2  x  7 15  0 indicar el conjunto solución: a) 

a; b  c; d 

10. Con respecto al conjunto solución S de la ecuación: x  1  x  7  6 determine la

El valor de x es:

a) 37

a) 5 d) 8

a) 1 d) 2/3

 x  2 x  1  1  x  1     1  x  1   3 x  2 x  1    b) 1/2 e) 5/4

solución

forma a; b] [b; a . Hallar a+b

3. Al resolver la ecuación:

a) 1/4 d) 1

conjunto

la inecuación: se obtiene como

a  b  c  d . Determinar a+b+c+d.

c) 36

2. Si una de las raíces de la ecuación x3  (2k  1) x  3k  0 es 2. Hallar el producto de las otras raíces. a) 15 d) -12

8. Al resolver 2 x  3x  6  x  6

a)  1;   d)  2;  

b)  0;   c)  1;   e)  3;  

13. Determine la suma de sus raíces de la ecuación x 2  (m  2) x  m  1  0 , sabiendo que la suma de sus cuadrados es el mínimo valor posible. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

x 2  16 x2  14. Luego de resolver: , la x 1 x4 solución es de la forma 𝑎⁄𝑏. Hallar a+b

a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

ECUACIONES - INECUACIONES

15. Indique el intervalo al cual pertenece el valor de m, para que la inecuación: 4  x  4 x2  m , se cumpla x  R x2  x  1 a)  2;  

b)  1;  

d)  3;9 

e)  5;  

16. Resolver la inecuación: a) [0;3  d)  0;1 

b) [0;3] e) [0; 2]

c) ; 313

x  2x  x x 1 1

c)  0; 2 

( x1  1)  ( x2  3)  ( x3  4)  0 Hallar la cantidad de valores que puede tomar a. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Más de 3 3

3

18. Determine la ecuación cuadrática cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 3x 2  2 x  1  0 a) 9 x 2  9 x  2  0 c) 9 x 2  9 x  2  0 e) 9 x 2  9 x  2  0

b) 9 x 2  9 x  2  0 d) 9 x 2  9 x  2  0

19. Resuelva la inecuación exponencial. 2 2 1  x  x x 3 2 e indique el intervalo de solución: a) [0;   d) [0;log3 2 

Ecuación Lineal o de primer grado Es de la forma ax  b  0 y su solución es x  b / a Ecuación cuadrática o de segundo grado Es de la forma ax 2  bx  c  0 y su solución se obtiene de dos formas: Factorización: (mx  n)( px  q )  0 , entonces

17. Las raíces de la ecuación x3  ax  a  0 son x1 , x2 y x3 . Si se cumple que: 3

ECUACIONES Una ecuación es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignado a su incógnita.

b) [0;1  c)  1;   e)  1;log3 2 

las soluciones son: x1  n / m  x2  q / p Por formula general: x 

b  b2  4ac 2a

Propiedades de las raíces: x1 y x2 x1  x2  

b2  4ac c b ; x1 x2  ; x1  x2  a a a

Discriminante de una ecuación cuadrática   b 2  4ac  Si   0  Presenta dos raíces reales y diferentes: x1  x2  Si   0  Presenta dos raíces reales e iguales: x1  x2  Si   0  Presenta dos raíces Imaginarias y conjugados x1  x2 Formación de una ecuación cuadrática: Si x1 , x2 son raíces, entonces la ecuación cuadrática es: x 2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0 VALOR ABSOLUTO  x, si x  0 Definición: x     x, si x  0 Ejemplo: 8  8 , 21  21 Teoremas x  se cumple: 1. x  0 ; x  R 2.  x  x 3.

2

x  x 2 ; x  R

4. x2  x Ecuaciones con Valor Absoluto 1. a  0  a  0 2. a  b  b  0  (a  b  a  b) 3. a  b  a  b  a  b

ECUACIONES - INECUACIONES Inecuaciones con Valor Absoluto 4. a  b  b  0  (b  a  b) 5. a  b  b  0  (b  a  b) 6. a  b  a  b  a  b 7. a  b  a  b  a  b 8. a  b  (a  b)(a  b)  0 9. a  b  (a  b)(a  b)  0

DESIGAULADADES Propiedades: 1) x  R, x 2  0 2) Si x  y  n  0  nx  ny a c b 1 d 3) x    b d a x c INTERVALOS Abierto:  a; b  x  R / a  x  b Cerrado: [a; b]  x  R / a  x  b

TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO P( x)  ax 2  bx  c  0, x  R  a  0    0 TEOREMA DEL TRINOMIO NEGATIVO P( x)  ax 2  bx  c  0, x  R  a  0    0 Donde;

a, b, c  R

ARITMETICA

“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO RELACIONES Y FUNCIONES CICLO INVIERNO 2017-II 1. Sea la función f definida en Z, así: f  (2;5), (3; a ), (2; a  b), (3; 4), (b;5)

d) x  2 e)  x  2 8. Hallar el rango de la función: 2   x  4, si x  3 f  x    2 x  5, si x  3

Hallar a.b a) -14 d) -6

b) 14 e) 18

c) 6 x 1  4  x 2x  6

2. Sea la función: f ( x) 

Hallar: Dom( f ) a) [1;3   3; 4] b) [1; 4] c)  1; 4  d)  1;3   3; 4  e)  3 / 2;3 / 5 

a) [4;  

b) [3;  

c)  2;  

d) [1;  

9. Si: f ( x) 

c

b)  1;5  e) { }

10. Dada la función c)  3;  

Dom( f )

4. Sea la función: f ( x)  4 x  x 2 Determine Ran( f ) Dom( f ) a) [0;1]

b) [0; 2]

d) [1; 2]

e) [0; 2]

e) [0;  

2  x  3, hallar  Dom( f )

a) [1;5] d) [ 1;5 

3. Hallar el rango de la función: f ( x)  4  6 x  x 2 a) R b)  ; 3  d)  ;5] e) NA

c) ( x  4)

b) x  4

a) x  4

2

f ( x) 

c)  1;5]

1 x 1 2

Halle

Ran( f ).

a) 

b) 1

d) 0

e) R

c) 0;1

11. Sea f ( x)  2 x  n y g ( x)  x 2  mx  4 dos funciones cuyas gráficas se muestran. Sí m, n  Z , calcular la suma de las

c) [1;1]

5. Sea la función f : R  R definida por

coordenadas de P. y

f  (0;0),(1;1),(2;3),(3,5);(4, 2) g  (6;5),(2;0),(3;6),(5,1);(4,8) Determine la suma de los elementos del rango de fog . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

x P -8

6. Si las funciones f y g son tales que: g ( f ( x))  x  2 Determine g ( x ) sabiendo

a) -6 d) -12

que f ( x)  x  6 x  12 x  8 3

2

b) g ( x)  3 x  2 c) g ( x)  3 x  1 d) g ( x)  x  2 e) g ( x)  3 x las

funciones

g ( x  5)  x 2 halle T 

c) -10

12. Si el rango de la función f , definida por x 1  3 f ( x)  ; es 1 . Indique el menor 1 x  3 elemento entero del dominio de f . a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

a) g ( x)  x3  1

7. Dada

b) -8 e) -15

f ( x  2)  x

y

( fog )( x)  ( gof )( x) 2

1

ARITMÉTICA: RELACIONES Y FUNCIONES 13. Sean las funciones: f ( x)  x2  2 x  3, x  3; 2] g ( x )  5  3 x, x  [1; 4] Halle el dominio de fog. b) [0;8  e) [3;18 

a) [0,16  d) [2;18]

c) [1;8 / 3 

14. Se define la función máximo entero: f ( x)  x  n  n  x  n  1; n  Z x6 Si el domino de la función g ( x)  es 3 [5;10], calcular el rango Ran( g ).

a) 1; 2

b) 0;1;2

d) 1;0

e) 1;0;1

c) 0;1

15. Sea f una función definida por: 8x f ( x)  2 x 4 b) [4; 4] c) [2; 2] e) [4; 3] [3; 4]

a) [0; 4] d) [ 3;3] 16. Dada

la

f  x   x2  x  6 .

función

Determinar Dom( f ) a) [2; 2] d)  0;  

17. Determine la inversa de la función: f ( x)  4 x  x , x  [0;1]

 4  x  , x  0 4  x  , x  3 4  x  , x  4 4  x  , x  [0;3] 2

a) f * ( x)  2  4  x , x  0 b) f * c) f * d) f * e) f

*

2

2

2

2

18. Sea f la función definido por:

f ( x)  x 2 

x2  x  2  x  2  x2 x  x2  x2 x 2

Determinar el Dom( f ) a) [0; 2 > d) 〈−1; 4〉

Definiciones Producto Cartesiano El producto cartesiano de A y B se denota de la siguiente forma. A  B  (a; b) / a  A  b  B Relación Una relación R de A en B es un subconjunto de AxB. Es decir, R  AxB Función Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x;y), tales que para cada elemento x  Domf le corresponde un solo elemento y  B. Función Real de Variable Real Sea f una función, tal que f : A  B , f es una función de variable real si: A  R  B  R. Ejemplo A

f

B a b c

3

“ f ” es función

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION Dado una función f : A  B / y  f ( x)

Dom( f )  x  A /( x, y)  f  Ran( f )   y  B /( x, y)  f  Nota: El dominio de la función son los valores que pude tomar “x” y el rango son los valores que toma "𝑓(𝑥)" FUNCIONES ELEMENTALES 1) Función lineal Forma general: f ( x)  ax  b y y=f(x)

2

Ran( g )

b) < −1,0] e) 〈−1; 1〉

FUNCIONES

1 2

Ran( f )

b) [3; +∞ > c) [1; +∞ > e)  3;  

 ( x)   2  ( x)   2  ( x)   2  ( x)   2 

PRACTICA 12

c) 〈2; 4〉

x Dom(f)=R Rag(f)=R

ARITMÉTICA: RELACIONES Y FUNCIONES 2) Función raíz cuadrada Forma: f ( x)  x

Criterios para calcular el Dominio

y

x x

8 8

Dom(f)=[0;+ > Rag(f)=[0;+ >

3) Función Constante Forma: f ( x)  k y=f(x)

( f .g )( x)  f ( x).g ( x) Dom( f .g )( x)  Dom( f )

Dom(f)=R Rag(f)=R

4) Función cuadrática Forma: f ( x)  ax 2  bx  c , se puede escribir como f ( x)  a( x  h)2  k , donde al par ( h; k ) se le llama vértice de la parábola. Caso 1 f(x)

Rag(f)= k; >

8

]

k

Dom(f) = R

x

Nota Sea la función de segundo grado f ( x)  ax 2  bx  c  a( x  h)2  k , donde: b h y 𝑘 = 𝑓(ℎ) 2a Caso particular f ( x)  x 2 y y=f(x) x

Dom( g )

Producto escalar (c. f )( x)  c. f ( x) Dom(c. f )  Dom( f )

Composición de Funciones ( fog )( x)  f ( g ( x))

Dom( fog )  x  Dom( g )  g ( x)  Dom( f ) ( gof )( x)  g ( f ( x))

V(h;k) h

ALGEBRA DE FUNCIONES

Producto de Funciones

x

y

a) Si f ( x)  P( x) , donde P ( x)  0 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥/𝑃(𝑥) ≥ 0} P( x) b) Si f ( x)  , donde Q( x)  0 Q( x) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥/𝑄(𝑥) ≠ 0}

Suma y resta de funciones ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) Dom( f  g )( x)  Dom( f ) Dom( g )

y

a >0

PRACTICA 12

Dom( gof )  x  Dom( f )  f ( x)  Dom( g ) FUNCION INVERSA Si: f  ( x; y) / y  f ( x)  x  Dom( f ) es una función biyectiva, entonces f posee inversa, definida por: f *  ( y; x) / y  f ( x)  x  Dom( f )