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M AT E M ÁT ICA I

U N IV E R S ID A D N A C IO N A L D E L A L T IP L A N O - P U N O

Las   proposiciones,   según   el   tipo   de   conectivo que llevan, pueden ser:

PROPOSICIONES  LÓGICAS PROPOSICIÓN   LÓGICA: Es toda oración o frase  a la cual se le puede asignar un valor  veritativo: verdadero (V) o falso (F). Se les asigna una letra minúscula   p, q, r, s, t,.... que viene a ser la variable proposicional.  Ejemplo: p: El año 2008 es un año bisiesto. (V) CONECTIVO:  Llamado   también   conector, es una letra o palabra tal como “y”, “si y solo si”,   “entonces”,   etc.   Que   sirve   para   unir   o enlazar dos o más proposiciones entre sí. Nota:  La   palabra   “no”   es   un   conectivo especial que no enlaza proposiciones si no que se   aplica   directamente   sobre   la   proposición, modificando su valor de verdad. CLASES DE PROPOSICIONES: 1. Proposición simple, elemental o atómica: Es   aquella   proposición   que   no   puede descomponerse en otras o que no posee ningún conectivo lógico. Ejemplo: t:  31 es número primo. 2.   Proposición   compuesta,   coligativa   o molecular: Son aquellas  que se obtienen de asociar   proposiciones   simples,   mediante conectivos lógicos. Ejemplo: s: 2 es número par y primo. OPERADORES   LÓGICOS:  Son   signos artificiales   que   representan   a   los   conectivos.

-1-

1. Negación:  “~p ” o ”p” Se lee: “es falso que p ”  o  “ no p ”  p V F

~p F V

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2. Conjunción: “ pq ” o “ p  q ” Se lee: “y” , “pero”,  “sin embargo”, “no  obstante”, “aunque”, “además”, ”también”, “al igual que”, “así como”, “a la vez” etc. p V V F F

q V F V F

pq V F F F

q V F V F

pq V V V F

4. Disyunción Exclusiva: “p  q”  Se   lee:   “O...o...”,   “O   bien...o   bien”,   “O   es que...o es que...”, etc. p

q

V V F F

V F V F

p   q F V V F

p V V

q V F

p  q V F -2-

V V

q V F V F

p  q V V F V

  7. Bicondicional:  “pq” o “pq” Se lee: “p  si y solo si q” , “p si y solamente si  q”, “p es una condición necesaria y suficiente  para q”, “p siempre y cuando q”, “p es idéntico a q”, “p es equivalente a q”, “p es q”, “p entonces  y solo entonces q”,”p siempre que y solo cuando  q”, etc. p V V F F

5. Condicional ó Implicación: “p q” o  “p  q“ Se lee: “si  p entonces  q”,  “p implica q”,  “p  por lo tanto q”, “p de modo que q”,  “p por  consiguiente q”, “p es obvio que q”, etc.

V F

6. Replica Material:  “pq”   Se lee:  “si”, “siempre”, “si es que”, “debido a que”,   “dado   que”,   “puesto   que”,   “ya   que”, “porque”, “ya que”, “cuando”, “si”, etc.

p V V F F

3. Disyunción Inclusiva: “pq”  Se lee: “ p  ó  q  ó ambas” p V V F F

F F

q V F V F

p  q V F F V

8. Binegación: p  q  ~p~q  ~(pq) Se lee: “ni p ni q”, “no p y no q” p V V F F

q p  q V F F F V F F V

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9. Incompatibilidad: p ¡ q   ~p  ~q  ~(p  q) Se lee: “p es incompatible con q”, “no p o no  q”, “no es cierto que p y que q” p V V F F

q V F V F

p | q F V V V

f) Tercio Excluido: p  (~p)  V g) Contradicción: p  (~p)  F g) Involución o Doble negación: ~ ~p  p h) ~ V  F ; ~F  V i) De Morgan : ~(p  q)  (~p)  (~q) ~(p  q)  (~p)  (~q)

LEYES DE LA LOGICA PROPOSICIONAL

j) Condicional : p  q  (~p)  q ~(p  q)  p  ~q

a) Idempotencia: p  p  p p  p  p

k) Absorción : p  (p  q)  p p  (~p  q)  p  q p  (p  q)  p p  (~p  q)  p  q

b) Conmutativa: p  q  q  p p  q  q  p pq  qp 

l) Bicondicional:   pq  (pq)  (qp) pq  (pq)   (~p  ~q)

c)   Asociativa:  (p  q )  r  p  (q  r) (p  q )  r  p  (q  r) (pq)r  p(q r) d) Distributiva: p  (q  r )  (p  q)  (p  r) p  (q  r )  (p  q) (p  r) p  (q  r)  (p  q) (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) e) Elemento Neutro: p  F  p p  F  F p  V V p  V  p

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m) Transposición : p  q  ~q  ~p p  q  ~q  ~p    

n) p  q  ~ (pq) p  q  (pq)  (~p~q) CUANTIFICADORES Definimos   dos   nuevas   proposiciones relacionadas   con   ciertas   expresiones   p(x) llamadas   funciones   proposicionales   que   se convierten en proposiciones lógicas cunado la variable x toma algún valor proposicional. 1.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL:   (para todo) x: P(x),   x /P(x),  x  P(x) Se lee: “para todo x tal que se cumple  p(x)”. Ejemplo: x: x2  + 2X + 5 0 x: x + 1 = x

    2.

cumple p(x)”, “para al menos un x tal que se  cumple p(x)”. Ejemplo: x  N: x2  0 x  N: x + 3 = 5 NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES.

~  x: P(x)    x: ~P(x)  ~  x: P(x)    x: ~P(x) Ejemplo: Negar la siguiente proposición x  N: x + 3  5 Solución: ~  x  N: x + 3   5  x  N: x + 3  5 Ejemplo: Negar la siguiente proposición x  N: x2  = 9 Solución: ~  x  N: x2  = 9      x  N: x2   9 EJERCICIOS RESUELTOS

Para mejor interpretación se escribe el  dominio. Ejemplo: x  : x2  + 2X + 5 0 x  : x + 1 = x CUANTIFICADOR  EXISTENCIAL.   (existe por lo menos uno) x: P(x),  x /P(x), x  P(x) Se lee: “existe por lo menos un x, tal que  se cumple p(x)”, “existe un x tal que se  cumple p(x)”, “para algún x tal que se 

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1.

Simplificar la siguiente proposición: [(p  q)  p]  q a) p  q           b) p  q       c)  p  d)  q       e) q Solución: [(p  q)  p]  q   [   (p  q)  p]  q  [p  q  p]  q  F  q   q 2.

El   equivalente   de   la   siguiente proposición:   “19   es   primo;   porque   19   es primo o 40 es par, y 40 es par” es:

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a) b) c) d) e)

Si 19 es primo, entonces 40 no es par primo

Si   40   es   par,   entonces   19   no   es Si 19 no es primo, 40 no es par 40 es par o 19 es primo 19 es primo ya que 40 no es par

Solución: Formalizando: p=19 es primo           q=40 es par Simbólicamente tenemos:    p  q   q   p Por la absorción resulta:   q  p ,  “Si 40 es par, 19 es primo”. Por condicional:   q  p ,  “40 no es par o 19 es primo”. Por la transposición:    p  q ,   “Si 19 no es primo, 40 no es par”. 3.

¿Cuáles de las  siguientes. Proposiciones son  equivalentes?: II. “El café es agradable, a menos que se le añada azúcar III. “El café es agradable si no añadimos azúcar” IV. “Si añadimos azúcar, el café es agradable” V. “Si añadimos azúcar, el café no es agradable” a) I, II y III  b) I, II y IV       c) II y IV d) II y III        e) N.A.

  Solución: Simbolizando las proposiciones, tenemos: p = el café es agradable q = se le añade azúcar Luego, las proposiciones serán equivalentes a: I.   p  q II.  q  p    q   p  q  p III. q  p  q  p  

IV. q  p  q   p   p  q    , Ninguna proposición es equivalente a otra 4.  Si   la   proposición     ~   (pq)(qp)   es verdadera, entonces los valores de verdad de p y q serán respectivamente: a) FV     b) VF    c) FF    d) VV    e) NA Solución: Por las tablas de verdad tenemos: ~(pq)(qp)       V         V             V    i) ~(pq)  V        ii)  (qp)  V Así: i) (pq)  F          ii) q F  y pF 5. Hallar la validez de la siguiente inferencia: P1: todos los ingenieros son buenos P2: los escritores son caprichosos P3: Joaquín es Ingeniero P4: ningún caprichoso es bueno P: Joaquín  no es escritor a) Falsa         b) Valida         c) Contradictorio  d) Contingente         e) Ninguna es verdadera Solución: Por   diagramas   de   Venn   encontramos   que   el conjunto   de   ingenieros   y   el   de   escritores   son disjuntos, y al ser Joaquín un elemento del 1er conjunto,   no   puede   pertenecer   al   conjunto   de escritores.   En   Consecuencia,   La   inferencia   es VÁLIDA.

  Buenos

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Caprichosos Escritores

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es verdadera, entonces los valores de verdad de p y q serán respectivamente: a) FF     b) VV    c) FV    d) VF    e) N.A 6. Si el esquema: ( p  q )  ( p  r ) tiene el valor de verdad falso, hallar el valor de verdad de los esquemas: I.   [( p  q )  ( q  ~r )]  ( p~r) II.  ( p  ~q )  ( ~r  q ) III.  ~( q  r )   ( p  q ) a)FFF    b)VFV      c)VVF    d)FFV    e)VVV

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si la proposición ( p ~q ) ( ~r s ) es falsa. Hallar el valor de los siguientes esquemas moleculares. a) ( p  q )  [ ( p  q ) ~ q ] b) ( ~r  q  )  [ ( ~q   r )  s ] c) ( ~p  ~q )  ~q a) FVF    b) FFF   c) VVV   d) VVF     e) FFV 2. Dada la siguiente proposición: ( p  q )  ( p  q ) ¿Cuál es el conectivo que debe ir entre los paréntesis en lugar del rectángulo para que la proposición sea una tautología? a)       b)      c)       d)        e)  3. Simplificar: ~[ ~( p  q )  (~p  ~q ) ] a)  pq     b) pq    c) qp    d) ~p     e) ~q 4. De   las   siguientes   formulas   ¿cuáles   son lógicamente equivalentes? I.   ( p  ~q )   ( ~p  q  ) II. ( p  q )   ( p  q  ) III. ( ~p  q )  p  a) I      b) II      c) III     d) I y III      e) III y II 5. Si la proposición: ~( p  q )  ( q  p )

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7. ¿Cuál de las siguientes proposiciones  es una tautología? I    (p  q)  (q  p) II   (p  q)  (~p  ~q) III  (p q)  (q p) IV  (pq)  (~p~q) a) I        b) II        c) III      d) IV         e) N.A 8. Dadas las proposiciones: I  (~pq)p II (pq) (pq) III  (p  ~q) (~p  q) ¿Cuáles son lógicamente equivalentes? a) II y I                b) I y III      c) II y III    d) I, II y III     e) N.A 9. El equivalente de: « No es posible que, si no estudias ingresas », es: a) Ingresas o no estudias b) Estudias y no ingresas c) No estudias o no ingresas d) Es falso que, estudias e ingresas e) Ni estudias ni ingresas 10. Determinar el valor de verdad   4  2 

1 1  2 3

  0 0  1  7 2  49  (1  7)  6  x  1  x  3

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a)VVV    b)VFF   c)FVV   d)FFV    e) VFV

d) ~q  ~p     e) NA

11 Si la proposición: (~p  q)[(p  r)  t] es falsa hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I   (~p  t)  [~q  r]  II  (~q  ~r) [~t  (p  q)] III ~[(~p)  ~q] (r   ~t) a)VVV      b)FFF      c)VFV    d)FFV   e)VVF

17 Simplificar: ~[~(p  q)  ~q]  q a) p     b) q     c) ~q      d) ~p      e) p.q

12 La proposición ~ (p  q) ¿es equivalente a cual de estas proposiciones? I  [(~p) q ]  [qp] II [(~p)q]  [(~q) p] III [(~p) (~q)]  [pq] a) I       b) II      c) III      d) IV     e) N.A 13 Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales que: (p  ~r)  (sw) es verdadera  (V) (~w  ~s) es falsa (F) Hallar el valor de verdad de las        siguientes proposiciones.        I  (p  q)  r  s        II  (s ~w) (r  ~p)        III [t  (w  ~p]   ~(p  r) a)FFF   b)VFV  c)FFV   d)VVF   e)VVF  14 Si P ={0, 1, 2, 3, 4, 5} determine el valor de   verdad   de   cada   una   de   las   siguientes proposiciones.   p:  x  P / x  3  2  x  1  7 q:  x  P / x  1  5  x  2  1 r:  x  P / x  2  3  x  1  0 a)VVF    b)FFF   c)FVF  d)VFF  e)VVV

18 Simplificar: [((~p)  q)  (r  ~r)]   ~q a) p     b) q      c) ~q     d) ~p     e) p  q 19 La proposición  [(p  ~q)  q]   p es una : a) Contradicción   b) Contingencia c) Tautología     d) Conjunción      e) N.A.      20 La proposición ~ [(~ p~ q)  (qp)]  es una: a) Contradicción   b) Contingencia c) Tautología     d) Conjunción    e) N.A. 21 Sea   U={0, 2, 4, 6, 12, 14, 16} y las  proposiciones: 310  3 x  9; p:  x  U / 3 x  32 q:   x  U / x 8 .x 9  1

Hallar el valor de verdad de la        siguiente  proposición: K = (p  q)        a) F           b) V            c) N.A 22 Sea A={1, 2, 3, 4, 5} y las proposiciones p: x  A /( x  2  6)  ( x  5  8) r: x  A /, y  A / x  y  2 Hallar el valor de verdad de cada         proposición. a) VV   b) VF   c) FF   d) FV   e) N.A 23.

15 Simplificar: [p  ~(q  p)]  ~q a) p  ~q        b) p q       c) ~p  q        d) ~p  ~q      e) p  ~q

Dadas las 

proposiciones : p: Alejandro es artista q: Alejandro es un buen estudiante  r: Alejandro es cirujano        Simbolizar:

16 Reducir: [(p   q)  q] p a) ~qp           b) ~qp       c) qp  -7-

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“Si   no   es   el   caso   que   Alejandro   sea   un artista   y   un   buen   estudiante   entonces   es cirujano o no es artista “ a) ~(p  q)(r  ~p) b) (p  q)(r  q) c) ~(p  q)  (r  ~q) d) (p  q)(r  ~q) e) ~(p  q)(r  ~q) 24.

Indicar   ¿Cual   de   los siguientes enunciados es una proposición? I  ¿Qué edad tienes? II  x+2 >6 III  ¡Viva el Perú ! IV  Eduardo es un niño V  Prohibido fumar a) I y II     b) II y IV    c) III y IV    d) I y V   e) N.A 25.

¿Cuál de las siguientes proposiciones es atómica? I    El terreno es fértil y fructífero II   Si estamos en diciembre llegará la  navidad. III  La Luna no es satélite de la tierra IV  Carlos Marx, el materialista es autor de la Iliada. V  Cristóbal Colón era ateo salvo que  ideólogo  a) I       b) II       c) III     d) IV     e) V 26.

Simbolizar   « Si   no   es el caso que Raúl sea comerciante tal como próspero   industrial,   luego   es   ingeniero   o no es comerciante ». a) (~pq) (r~q)     b) (~pq) (r~s) c) ~(pq) (r~s)      d) ~(pq) (rs) e) ~(pq) (r~p)

-8-

27.

Determinar   la simbolización  de « son músicos  y cantores. Si Juan y Amparo cantan » a) (pq) r            b) (pq) (rs) c) (pq) (rs)        d) (pq)  (rs) e) (pq) r 28     ¿Cuál   de   las   siguientes   proposiciones     es equivalente a? “Es obligatorio pagar 100 soles y ser miembro activo para escuchar el concierto” I   Pagar 100 soles y ser miembro o       no escuchar el concierto II  Pagar 100 soles o ser miembro y      no escuchar el concierto. III No escuchar el concierto o pagar      100 soles y ser miembro. a) I    b) II    c) III    d) N.A.   e) Todas  29. Si ~ [(rq)(rp)] es verdadera y además q es falsa. Hallar el valor de verdad de:  A= r (~p~q)                   B= (r~p)(q p) a) VV   b) FF    c) VF    d) FV   e) N.A. 30. ¿Cuál de las proposiciones no corresponde a la formalización de pq? I Eres humano, entiéndelo II Pienso luego existo III Como bailé me cansé IV Triunfaré ya que estudiaré V Eres hombre, piensa en las consecuencias. a) I      b) II      c) III      d) IV     e) V  31. El equivalente de « Daniela es feliz si  escucha chismes », es: a) Daniela no escucha chismes si es feliz. b) Daniela escucha chismes y no es feliz c) Daniela no escucha chismes o es feliz d) Daniela escucha chismes o no es feliz e) Daniela no escucha chismes y es feliz

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32.

El   equivalente   de   la   proposición   « Si estudia   y   trabaja,   se   formará   bien » ; resulta : a) No estudia o no trabaja o se formará bien. b) No estudia ni trabaja y se formará bien. c) Estudia y no trabaja sin embargo se formará bien. d) Si estudia se formará bien, auque trabaje e) No es el caso que, ni estudie, ni trabaje, o se formará bien. RESPUESTAS CORRECTAS 1 b 7 c 13 e 19 c 25 d 31 c

2 b 8 c 14 e 20 a 26 e 32 a

3 b 9 e 15 a 21 a 27 b

4 d 10 d 16 c 22 d 28 d

5 a 11 a 17 b 23 a 29 c

6 e 12 b 18 c 24 b 30 a

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CONJUNTOS IMPORTANTES

TEORIA  DE   CONJUNTOS CONJUNTOS Es   la   colección,   agrupación   de   objetos llamados   elementos.   Los   conjuntos   se denotan   con   las   letras   mayúsculas:   A,   B, C,... etc. y para representar a sus elementos se utilizan letras minúsculas: a, b, c,..., etc. Se usa también letras con subíndices: x1, x2 , x3 , ... .  El   símbolo    denota   pertenece,   es   decir, xA si, y sólo si  x es un elemento  de A. En cambio  xA  significa que x no es un elemento de A. DETERMINACIÓN  DE  UN CONJUNTO a) Por extensión: Se enumera cada uno de los elementos del conjunto, se escribe entre llaves, separados por comas.  Ejemplo:       A={1, 2, 3, 4, 6, 12} b)  Por   comprensión:  Cuando   se   da   una propiedad   que   caracteriza   a   todos   los elementos del conjunto.  Ejemplo: A= {los divisores de 12} B={ x2/xZ x  5} C= {x4/ x (x­2)(x+2)(4x­3)=0}

a) Conjunto nulo o vacio: Es aquel que no tiene elementos. Se denota por la letra griega . También se escribe:  = { } = {x  /  x  x } b) Conjunto unitario: Es el conjunto que tiene uno y solo un elemento. B= { xN /  5 c) se cumple:

abc   cba  donde y  9 y x  z  9  xyz  3. Dado   un   número   de   cuatro   cifras   abcd donde a>d, se cumple:

abcd    dcba  Se cumple que  pqrs  p  q  r  s 18 ó p  q  r  s  27 si q  r

- 25 -

Dados la suma (S) y la resta (D) de dos números naturales a y b donde   a>b, el número mayor y menor se calcula respectivamente: a

SD 2

b

S D 2

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COMPLEMENTO ARITMÉTICO. (C.A):   DIVISIÓN El   C.A de un número positivo es la que le falta a dicho número para ser igual a la unidad del orden inmediato superior al mayor orden del número. Ejemplo:  C.A  (25) =  100 ­ 25 = 75 C.A  (1) = 10 – 1 = 9 Nota: En general si N tiene m cifras: C.A (N) = 10m – N MULTIPLICACIÓN

a : Multiplicando  a  b  P b : Multiplicador Factores Pr oducto  : Operador LEYES FORMALES Clausura :  a, b, (ab) Conmutativa :  a, b, ab=ba Modulativa: 1/ a , a.1 = 1.a = a Asociativa:     a, b, (ab) c = a(bc) Monotonía:

ab ab cd cd  a.c  b.d  a.c ? bd - 26 -

D: Dividendo  D  d  q d : Divisor d  0    Opr. de la divisiónq: Cociente 

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LEYES FORMALES

Propiedades:

Monotonía:

1) r + re = d,      

a b a b cd cd a b a b   c d c d

2) rmax = d ­ 1    3) rmin = 1     4) q = qe + 1

ab ab cd cb a b a b    ? c d c d CLASES DE DIVISIÓN 1. División exacta: Es aquella  en la cual el  dividendo contiene al divisor un número  entero de veces en forma exacta. D=dq   2. División inexacta o  Euclidiana:  a) Por defecto: Cuando el dividendo contiene al   divisor   “q”   veces,   sobrando   “r”   unidades, donde r > 0 D=dq+r b) Por exceso:  Cuando el dividendo contiene al divisor   una vez más de lo normal   (q+1), apareciendo un residuo por exceso (re) que se obtiene de: D=d(q+1) – re

- 27 -

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EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la suma de las cifras de un número de 4 cifras, sabiendo que, al ser multiplicado por 43   se   obtiene   como   suma   de   sus   productos parciales un número que termina en 7303. a) 13    b) 15    c) 17    d) 19    e) 21

3.  La   diferencia   entre   los   complementos aritméticos de un número de tres cifras y otro de   dos   cifras   es   493.   Si   la   suma   de   dichos números es 557. Indicar el número mayor.  a) 538   b) 407  c) 497  d) 482   e) 582   Solución: Sean los números:  abc  y   mn Diferencia   de   complementos   aritméticos:

1000  abc   100  mn   493

Solución: Sea  N  abcd , de modo que 43N: 

900  abc  mn  493

 

abc  mn  407

Ahora por dato:    abc  mn  557 Entonces tenemos el sistema de ecuaciones:

43

Productos

Parciales

. . . .  3* . . . . . .  4*

abc  mn  557 abc  mn  407

 Resolviendo:   abc

 482    y    mn  75        

4.  La   diferencia   de   dos   números   es   832,   su cociente es 17 y el residuo el más grande posible. Hallar la suma de los números.    a) 881  b) 993  c) 934  d) 890 e) 930

Suma: 3* abcd  + 4* abcd  = …7303 7* abcd      = …7303 Entonces: a = 5,  b = 3, c = 2,  d = 9  La suma de las cifras es 19. 2.  Al   extraer   la   raíz   cúbica   de   N   se   obtuvo residuo   máximo   y   este   fue   330.   Hallar   el residuo al extraer la raíz cuadrada de N. a) 31    b) 32    c) 33    d) 34    e) 35 Solución: N = k3 + 330 Entonces: 330  = 3k (k + 1)  k =10 Luego: N = 103 + 330 = 1330 1330 = 362 + 34  Residuo

- 28 -

Solución: A  B  832           (1)           A        B                                                           (B­1)       17 A = 17(B) + B ­ 1     A = 18B – 1                      (2)                                 Reemplazando (2) en (1)               18B – 1 ­ B = 832              17B = 833                   B = 49 Remplazando el valor de B en (1):     A = 881   Entonces:  A + B = 930    

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5. Hallar un número entero que dividido entre 82   de   como   resto   por   defecto   el   duplo   del cociente por exceso y como resto por exceso el triple del cociente por defecto. a) 1346    b) 1300    c) 1350  d) 1460   e) 1489 Solución: Recordando que en la división inexacta hay dos tipos de residuo.

D = dq + r  D = 52q + 31 ...... (1) D + d + q = 984   D + 53 + q = 984 D + q = 932 ................................(2)  Reemplazando (1) en (2): 52q + 31 + q  = 932  q = 17 Reemplazando en (1) D = 52 (17) + 31 = 915 7. Se cumple: “mup – emt = pum”, además 

RESTO POR DEFECTO  D = DQ + R

e ­ t =3 y C.A.(u) = t. Hallar la suma de las  cifras de “mupet”

Resto por exceso    D = d(q+1) – re

a) 27     b) 28      c) 29     d) 30     e) 31

Por otro lado se cumple que  r + re = d 

Solución: Ordenando “mup – emt = pum”

Sabemos que: d = 82

mup – pum = emt

En nuestro problema A = 82q + 2(q+1)   y   A = 82(q+1) – 3q

Luego: m = 9,  e + t = 9 Resolvemos el sistema de ecuaciones

Igualando segundos miembros: 82q + 2(q+1)   =  82(q+1) – 3q 82q + 2q+ 2   =  82q + 82 – 3q     5q = 80 Donde:        q =16 Remplazando  en A=1346

e + t = 9 e ­ t =3 Donde e = 6,     t = 3 Sabemos que C.A.(u) = t.

6.  Al dividir dos números por defecto y por exceso   se   tiene     como   residuo   31   y   21 respectivamente.   Si   la   suma   del   dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el dividendo. a) 875 b) 915    c) 905   d) 895  e) 865

C.A.(u) = 3 entonces u = 7 Restando las unidades “p – m” Sabemos que  m  p entonces 10 + p – m = t

Solución: r = residuo por defecto re = residuo por exceso r + re = d  31 + 21 = 52= d

10 + p – 9 = 3 

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Entonces:     p = 2 La suma es  9+7+2++6+3 = 27 8. La suma de los números de cuatro cifras  abcd + dcba  ¿es múltiplo de qué número? a) 19     b) 17     c) 13    d) 11 Solución: Descomponemos polinómicamente los  números: abcd = 1000a + 100b +10c +d dcba = 1000d + 100c +10b +a Sumando los segundos miembros: 1001a + 110b + 110c + 1001d Hallando factor común: 1001(a+d) + 110(b+c) Descomponiendo en factores primos: (7x11x13)(a+d) + (2x5x11)(b+c) 11(7x13)(a+d) + (2x5)(b+c) Luego abcd + dcba  = múltiplo de 11

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

a) 35       b) 45       c)  55     d) 25    e) 65

Si a + b + c  = 13  y  ab  bc  97 . Hallar: a + b – c a) 3        b) 4       c) 5       d) 7      e) 2

Hallar  “x”          Si   abc  b0a  ac  cb 1x17        a) 5        b) 3        c) 0        d) 2     e) 4 2.

3.

Hallar   un  número   de   4  cifras,   tal   que   al restarle el quíntuple de su C.A se obtenga 1246 de resultado.  Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 15    b) 16    c) 17    d) 18     e) 13

4.

Si 

9a  9b  9c 12  Calcular:

abc  bca  acb  cab  bac  cba

9.

Hallar U+N+A  sí:  NUA +NAU + UN = UNA a) 12       b) 11       c) 15     d) 13      e) 14

10.

La   diferencia   de   2   números   es   832   su cociente   es   17   y   el   residuo   el   más   grande posible. Hallar la suma de los números. a) 830  b) 530  c)730   d)630   e) 930

11.

La suma de dos números naturales es 1043, su   cociente   es   27   y   el   resto   es   el   mayor posible. Halle el dividendo. a) 927       b) 1027      c) 1050       d) 907       e) 1007.

12.

Al   dividir   abc   entre   bc se  obtiene   11  de cociente y 80 de residuo. Halle  abc   a) 982        b) 872      c) 762     d) 652        e) 542 

a) 2552       b) 3556       c) 2558       d) 3552 e) 5332 La   suma   del   minuendo,   sustraendo   y diferencia de una sustracción es 19456 y el minuendo es el cuádruple del sustraendo, hallar el sustraendo. a) 2432     b) 1216      c) 368        d) 608 e) 3040 6. Si   a,   b   y   c   son   números naturales ¿Cuál es el menor valor de a+b+c si se sabe  que a >5, b >9, c >19? a) 33    b) 34    c) 35   d) 36    e)  37          5.

7.

Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 6 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la diferencia de sus cifras. a) 10      b) 1      c)  12    d) 13    e) 4

8.

Aumentando en 9 los dos factores de un producto,   el   resultado   aumenta   en   549. Hallar   el   mayor   de   los     factores,   si   la diferencia de ellos es 18.

- 31 -

13. Un cierto número multiplicado por 2, por 3 y por 7, da tres nuevos números cuyo producto es 55902. ¿Cuál es este número? a) 14    b) 12    c) 13    d) 11   e) 15 14.

El   producto   de   dos   números   es   768,   al agregar   14   unidades   al   multiplicando   el producto sería 1216; hallar el multiplicador. a) 28      b) 32      c) 24     d) 36     e) 44

15.

En   una   multiplicación,   el   multiplicando es 15. Si al multiplicador se le aumenta 5 y al multiplicando se le disminuye 5, entonces el producto se reduce en 145. Hallar el producto original. a) 585    b) 570    c) 600    d) 565    e) 555

16.

El producto de 2 números es 2856. Si al multiplicador   se   le   agrega   13   unidades,

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resulta   como   producto   3740.   Hallar   la suma de los números. a) 110    b) 115    c) 130    d) 120    e)  127 17.

18.

19.

Aumentando 7 a cada uno de los dos factores de una multiplicación, el producto aumenta   en   364.   Hallar   el   producto original, si la diferencia de sus factores es 5. a) 492    b) 512    c) 485    d) 500    e) 490 Se da para multiplicar  57 y 36. Si al multiplicando   se   le   multiplica   por   3. ¿Cuántas   unidades   es   necesario   restar   al multiplicador   para   que   el   producto   no varíe? a) 12    b) 23  c) 22    d) 24   e) 11 Hallar dos números cuyo producto es 480, sabiendo que al sumar 15 unidades al multiplicador, el producto aumenta a 930. Dar como respuesta la suma de cifras del multiplicador. a) 5     b) 6     c) 7    d) 8     e) 9

20.

Uno de los factores de un producto es doble del otro. Si a cada uno de ellos se le suma 2 unidades, el producto aumenta 100 unidades. ¿Cuáles son los factores? a)  8 y 24       b)  18 y 39    c) 15 y 30 d) 16 y 32    e)  8 y 16

21.

Si: N 375 = ... 625;  N  427 = ... 021. Hallar las tres últimas cifras de N  156 a) 235    b) 234    c) 188    d) 366     e) 422

22.

Un   alumno   efectuando   la multiplicación   de   124   por   un   cierto número, halló por producto 5332, pero uno de sus compañeros le hace la observación que él ha tomado un 3 por un 5 en la cifra

- 32 -

de las unidades del multiplicador. ¿Cuál debe ser el producto verdadero? a)  5090    b)  5580      c)  5610     d) 5360 e)  5520 23.

Se van a cortar servilletas de una pieza de género. Dando a cada uno 72 cm de longitud, sobra un pedazo de 16 cm, en tanto que, si se les da 4 cm más, no sobra tela, pero salen 3 servilletas   menos.   Hallar   la   longitud   de   la pieza de tela. a)  44,08 m      b)  43, 26 m      c)  45,16 m d) 48,50 m      e)  n.a.

24.

¿Cuál es el menor número de 5 cifras que multiplicado por 24, nos da el producto cuyas cifras son todos ochos? a)  37370     b)  37017    c)  47047 d)  27027     e)  37037

25.

Hallar   el   número   de   cuatro   cifras   que multiplicado por 53 termine en 4 987. a)  3679      b)  3678      c)  3769 d)  3967      e)  3968

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26.

170, el cociente disminuiría en 3 unidades y el residuo se volvería mínimo. Hallar B. a) 45    b) 43    c) 37    d) 51    e) 39

Hallar  x + y si:  x y x y x y  = 13 . x . y . xy 2 a) 11    b) 12    c) 10   d)  9    e)  8

27.

Si   N    6   termina   en   2   356,   ¿cómo termina N  14? a)  2163     b)  7452     c)  2115 d)  2165     e)  2164

28.

Un   alumno   tiene   que   multiplicar   un número por 30; pero se olvida de poner el cero a la derecha del producto; por lo que obtiene   un   resultado   que   difiere   del verdadero en 5 751. Hallar dicho número. a) 639    b) 1 917  c) 213  d) 219    e)  426

29.

Se tiene el producto: A    15    18. Si aumentamos 7 unidades a cada uno de los factores   el   producto   aumenta   en   4   970. Hallar “A”. a) 8     b) 6     c) 16     d) 4     e) 9

30.

A un número se le multiplica por 3, se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae raíz cúbica, obteniéndose 9. ¿Cuál es dicho número? a) 12     b) 24     c) 36      d) 18      e) n.a.

31.

Hallar   la   cifra   de   las   centenas   de   un número entero que al ser multiplicado por un número de 3 cifras da como producto parciales 1311, 874 y 1748. a) 5       b) 3       c) 6       d) 4       e) 7

32.

Hallar  a +  b si al dividir   ab5   entre b7  da como cociente 22 y residuo 21. a)  9    b) 10    c) 11    d) 12    e) 13

33.

Al dividir A entre B se obtiene residuo máximo. Si el dividendo se disminuyera en - 33 -

34.

La   suma   de   los   4   términos   de   una división   entera   inexacta   es   600.   Hallar   el dividendo si el cociente es 12 y el resto, la mitad del divisor. a) 525    b) 475    c) 460    d) 495    e) 574

35.

La   suma   de   dos   números   es   930,   su cociente es 17 y el resto de su división es el mayor   posible.   Hallar   la   diferencia   de   los números. a) 832    b) 841    c) 842    d) 852    e) 862

36.

En   una   división   le   falta   15  unidades   al residuo para ser máximo; pero, sería mínimo al   restarle   18   unidades.   Determinar   el dividendo de la división si el cociente es el doble del residuo. a) 920       b) 989       c) 1180      d) 1330     e)  1349

37.

En una división inexacta, el dividendo es 508   y   el   cociente   es   13.   ¿Cuántos   valores puede tomar el divisor? a)  1      b)  2       c)  3      d)  4      e)  5

38.

La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 36 veces el residuo y la diferencia de los mismos es 22 veces dicho residuo.   ¿Cuál   es   el   cociente   de   dicha división? a)  8      b)  6       c)  4       d) 11      e) 14

39.

El cociente de la división de un número entero   entre  otro  número  entero  es   20 y  el resto   es   18.   Si   se   suman   el   dividendo,   el divisor,   el   cociente   y   el   resto,   la   suma obtenida es 1001. ¿Cuál es el dividendo? a) 824    b) 871    c) 918    d) 965   e) 1012

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40.

El cociente y el resto de una división inexacta son 18 y 9 respectivamente. Pero si al dividendo se le aumenta 49 unidades, el cociente sería 22 y el resto 6. Hallar la suma del dividendo y divisor primitivos. a) 251    b) 253    c) 257    d) 254    e) 256

42.

En   la   división   de   abcde   entre   37   se obtuvieron   4   residuos   máximos.   Hallar   el valor de a + b + c + d + e. a) 33   b) 35   c) 37    d) 31   e) 29

43.

En la siguiente operación: abcd

41.

¿Cuántos   números   positivos   cumplen con   la   condición   de   que   al   ser   divididos entre   25   se   obtiene   un   resto   igual   al séxtuple del cociente respectivo? a)  2    b)  3    c)  4    d)  5    e)  6

- 34 -

cd 74

33

Encontrar: a + b + c + d a) 24   b) 28   c) 26    d) 27   e) 29 44.

En   una   división   entera   inexacta,   el divisor es 24 y el resto 6. ¿Cuál es la máxima cantidad   que   se   le   puede   aumentar   al dividendo de manera que el cociente aumente en 3? a) 66 b) 43 c) 67     d) 89    e) 88

45.

La   suma   de   los   4   términos   de   una división es 479. Si se multiplica al dividendo y al divisor por 6, la nueva suma de términos es 2789. Hallar la suma de todos los valores que   puede   tomar   el   dividendo   de   dicha división. a) 854    b) 481    c) 428    d) 894    e) 468

46.

En una división entera inexacta el resto es 13; si al dividendo se le multiplica por 4 y al divisor por 2, entonces en la nueva división el resto es 16. ¿Cuál es el divisor original? a) 16 b) 18 c) 20    d) 17     e) 24

47.

¿Cuánto se debe sumar al dividendo de una división cuyo divisor y residuo son 15 y 6,   para   que   el   cociente   aumente   en   3   y   el resto sea máximo? a) 48 b) 50 c) 53     d) 57     e) 62

48.

El   cociente   y   el   resto   en   una   división inexacta   son   4   y   30   respectivamente,   si   se

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suman   los   términos   el   resultado   es   574. Hallar el divisor. a) 438    b) 430    c) 108    d) 102    e) 170 49.

El cociente de una división es 11 y el resto   es   39.   Determinar   el   dividendo sabiendo que es menor que 500 y que su cifra de unidades es cero. a) 490    b) 480    c) 470    d) 460    e) 450

50.

Calcular   la   suma   de   cifras   de   cierto número de 3 cifras que al ser dividido entre su   complemento   aritmético   nos   dé   como cociente 5 y residuo el máximo posible. a) 15 b) 17 c) 18     d) 19     e) 20

51.

El residuo de la división de un cierto número   entre   13,   es   11;   pero   si   dicho número   se   divide   entre   11,   el   cociente aumenta   en   1   y   el   residuo   anterior disminuye en 1. ¿Cuál es ese número? a) 50 b) 37 c) 63    d) 76      e) 69

52.

Uno de los factores de un producto es el triple del otro. Si cada uno de ellos se le resta 2 unidades el producto disminuye en 108   unidades,   ¿Cuál   era   el   menor   de   los susodichos factores. a) 10 b) 12 c) 14    d) 22     e) 24

Soluciones: 1 c 7 b 13 d 19 c 25 a 31 d

2 e 8 a 14 b 20 d 26 c 32 c

3 d 9 b 15 a 21 c 27 e 33 b

4 d 10 e 16 a 22 b 28 c 34 a

5 a  11 e 17 d 23 a 29 d 35 a

6 d 12 a 18 d 24 e 30 d 36 e

- 35 -

37 c 43 e 49 a

38 c 44 d 50 e

39 c 45 a 51 d

40 e 46 b 52 c

41 c 47 c

42 c 48 d

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- 36 -

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DIVISIBILIDAD



Se llama divisibilidad a la parte de la teoría de los números que estudia   las condiciones que debe reunir un número para que sea divisible por otro. MÚLTIPLO:  Un   número   A   es   múltiplo   de otro   cuando   A   contiene   a   B   cierto   número entero  y exacto de veces. DIVISOR:  Se   dice   que   B   es   divisor   de   A cuando   está   contenido   un   número   entero   y exacto de veces. Sea A y B 2 números enteros:  Si  A  B 0 k    

A es múltiplo de B B es divisor de A A contiene a B B es factor de A A es divisible entre B  NOTA: Expresar 201 en función de  7  201= 7 +5



A B  n  Si  A =n   B=n   A  B  n  A B  n   Si A= n   Ak=n  SI A = n + r1,   B = n + r2 Entonces: A+B=( n + r1)+( n + r2)= n + r1+ r2 A­B=( n + r1) ­ ( n + r2)= n + r1­ r2 AB=( n + r1)( n + r2)= n + r1 r2 Ak=(n+r1)k= n + r1k  Si AB = n   A = n  ó   B  = n

D     d

Si D  n r    q            r  n d  n DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

Observaciones:



PRINCIPIOS RELATIVOS A  DIVISIBILIDAD 

 Si un número divide al dividendo y al divisor de una   división inexacta divide también   al residuo.

AZ   BZ+  (módulo), kN  Notación:  A  B  Se lee: 



El   cero     no   es   divisor   de         ningún número.

(a + b)k = a + bk

Un   número   negativo   puede   ser múltiplo de otro positivo. El   divisor   (módulo)   tiene   que   ser   un número  positivo. El     cero     es   múltiplo   de   todo número, excepto   de si  mismo.

- 37 -

a  b k (Si k es par) (a – b)  =  a  b k (Si k es impar) k

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(a + b)k = a+1 (a+ b)k = a+1 Nota: Este artificio se utiliza especialmente en los problemas en los cuales se pide dividir y hallar el residuo, siendo dividendo la potencia de un número entero.

Criterio 25=52     

ef 

Criterio 125 = 53 

000 def  125

CRITERIO DE DIVISIBILIDAD     Consideremos el número N=  abcdef   

Criterio 2=21       

2

Criterio 4=2        

Criterio 8=23      

f

o

ef 

par

25

 

Criterio 3:  a +b +c +d +e +f =3 Criterio  9:  a +b +c +d +e +f = 9

00

Criterio 11: f + d + b – a –c ­e = 

4 Criterio 7:     

000 def  8

Criterio 5= 51      

00

0 f 5

0  11

a

b

c

d

e

f













2

3

1

2

3

1

0 f + 3e  + 2d – c ­ 3b ­ 2a =   7 a

b

Criterio13:   





3

1

4

c

d

e

f







4

3

1

   f ­ 3e ­ 4d – c + 3b + 4a =  

0  13

EJERCICIOS RESUELTOS

- 38 -

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U N IV E R S ID A D N A C IO N A L D E L A L T IP L A N O - P U N O �

1.  Si   8VALE 3RY 4  17  2,   halle   el   residuo por   exceso   al   dividir   entre   17   el   numeral VALE1RY 0 .(0 cero) a) 3  b)  4  c) 5   d) 6   e) 7 Solución:      8VALE 3RY 4  17  2, …(1) o

       VALE1RY 0  17  r  …(2)   Si de (1) se resta  (2) o

800002004 =  17  r  2     o

Entonces  se tiene que  17  7  17  r  2 , Igualando 7 = r+2 Entonces r = 5 2.­ Andrés desea adquirir 2 prendas de vestir cuyos costos por unidad son S/.7 y S/. 3 cada una. Si quiere invertir S/. 102 en la compra, ¿Con   cuántas   opciones   de   compra   tiene Andrés?   Considere   que   invierte   todo   su dinero.  a) 1     b) 2     c) 3     d) 4      e) 5

Solución: Sea: a + b + c = 30   … (I) También:  3000a  + 6000b + 10000c = 200000 3a + 6b + 10c = 200  …. (II) Multiplicando por 3 la ecuación (I): 3*(I): 3a + 3b + 3c = 30 …. (III) Efectuando, (II) – (III):  3b + 7c = 110

Solución: Las dos prendas que sean  x, y  : 7 x  3 y  102   o

x = 12,  y = 20     7(12) + 3(6) =102 Luego , tiene 4 opciones de comprar. 3.  Se   decide   repartir   como   premio   200000 dólares entre los 30 jugadores que conforman el plantel de un equipo de fútbol. Si las cantidades a repartirse a cada jugador solo puede ser $3000, $6000 y $10000 hallar la repartición que permita que   haya   el   mayor   número   de   jugadores   que reciba   3000   dólares.   Para   esta   repartición ¿Cuántas reciben 6000 dólares? a) 2    b) 3    c) 4   d) 5    e) 6

�

o

7(9) + 3(13) =102

Con 7c divisible por 7:

o

7x  3  3  

0

o

o

0

3b +  7  = 110 =  7  + 5

o

Entonces  7 x  3 3 ,  7 x  3  

0

0

Se tiene que  7 �3, x  3  

Entonces: 3b  =  7  + 5 =  7  + 12

Si se tiene que  7 x  3 y  102

Además: b =  7  + 4

o

o

0

 x = 3,     y = 27      7(3) + 3(27) =102 x = 6,      y = 20     7(6) + 3(20) =102

Como “a” es el mayor posible, “b” y “c” son los  menores, b = 4;    c = 14    a = 12 b = 11;  c = 11    a = 8

x = 9,      y = 13     

Luego el valor máximo de “a” es 12 - 39 -

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U N IV E R S ID A D N A C IO N A L D E L A L T IP L A N O - P U N O

 b = 4 4.  Si   el   número   de   naranjas   que   tiene   un vendedor se cuenta de 15 en 15, de 18 en 18 y de   24   en   24   siempre   sobra   11.   Hallar   el número de naranjas si es el menor posible. a) 320  b) 351  c) 371  d) 391  e) 357

6. Determine el residuo de dividir  entre 5 el  300 680 valor R:  R=  4011101  1003236 a) 1  b) 6  c) 2    d) 4      e) 7 Solución: 300 680 R=  4011100  1  1003235  1 0

Solución: Sea “n” el número de naranjas que tiene el  vendedor:



R =   5 1 0

300

0    5 1  

680

0

R= 5 1  5 1 Por lo tanto residuo es 2

o

n  MCM (15;18;24) 11

MCM(18; 24) = 72 MCM(15; 72) = 3 * MCM(5; 24) MCM(15;18; 24) = 3 * 5 * 24 = 360 o

Entonces:  n  360 11  371 , como “n” es  mínimo.  n = 371 5.  A   una   fiesta   de   carnaval   asistieron   105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad   de   niños   era   la   sétima   parte   de   las mujeres que asistieron y los hombres que no bailaban  eran  la  octava   parte  de  las   mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailaban? a) 34      b) 56     c) 22     d) 12      e) 28 Solución: N  M  H  105 N 

HnoB 

0 M   M  7 7

0 M   M  8          8

Solución: N + D + C=120   * Cnb  D 3 D N                    D es m3, m5 y m4 5 Dvb  D 4 D = m60     Por * D= 60  Cnb  20, N 12, Dvb 15  de * C= 120­ 72= 48  Cb = 28  Db = 28 Por lo tanto  Dnb = 60 – 28 = 32

0

Entonces:  M  56   56,112,... Luego, el número de mujeres es:  M = 56 Niños 

7. En una fiesta donde habían 120 personas entre damas   caballeros   y   niños,   el   número   de caballeros  que no bailaban en un momento era igual a la tercera parte del número de damas, el número de niños era la quinta parte del número de damas y la cuarta parte del número de damas fue   con   vestido   blanco   ¿Cuántas   damas   no bailaban en ese momento? a) 35    b) 36     c) 37      d) 38     e) 32

56 8 7

8. Calcule la suma de cifras de un número  comprendido entre 70000 y 80000 que es  igual a 45 veces el producto de sus cifras. a)31   b) 24   c) 27   d) 28   e) 29

H  105   56  8  41

HsiBailan  41  7  34 MsiBailan  34 MnoBailan  56  34  22

- 40 -

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Solución: Dado que está comprendido entre 70 000 y 80 000 es de la forma:  7abcd . Por condición,  7abcd =45x7xaxbxcxd

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3. Hallar el menor número de la forma  ab5b6 , sabiendo que es múltiplo de 88. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 20 B) 23 C) 28   D) 30   E) 32

o

Se observa que  7abcd = 5; d  5 Entonces   7abcd es   impar;   a,   b   y   c   son impares o

=  3 2 x5 x7 xaxbxcx5  25; c  7 Reemplazando: 7abcd = 3 2 x5 2 x7 2 xaxb 7abcd =11025xaxb 7abcd =77175 Piden: Suma de cifras = 7+7+1+7+5 =27 7abcd

5. Hallar “a” si el número  4a7258  es divisible por 11. A)  8 B)  4 C)  5     D)  6     E)  7 6. Hallar a + b + c, si:   3a26  =  7          19b82  =  11  14c 6c  =  9 A) 14 B)  16 C) 17  D) 18   E)Más de 18   7. Hallar a + b – c, si:  abc  =  45   y   ca  =  8 A)  6 B)  7 C)  8    D)  9     E)  5

9. Hallar el residuo de dividir:  68 UNA98  entre  11 ? a) 2 b) 1 c) 8 d) 7 e) 3 Solución:  Por restos Potenciales tenemos.

8. Hallar “a”, si:  6547a9075  = 1  3  5  ....  n A)  2 B)  9 C)  0      D)  8   E)  6  9. Si:  5a10b  =  72 . Hallar ab. A) 32 B) 24 C) 48 D) 36 E) 24

0

68 UNA98  11 x  0  11 2    0

11 2

 2

UNA 98

0

10 8

2

0

UNA 98

0

 11 x 0

UNA 98

 11 x

0

 11 x

10. Hallar   el   mayor   número   de   la   forma 5a4a72b   que   sea   múltiplo   de   56,   y   dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 31 B) 32 C) 33    D) 34    E) 36

0

 11 x 0

210.28  11 x 0

4. ¿Cuántos  números  de la forma   3a3b   son múltiplos de 36? A)  1 B)  5 C)  4    D)  3    E)  2

0

11 3  11 x x3

11. Hallar (m + n + p) si el número  4m13np  es divisible por 1125. A) 17 B) 18 C) 19     D) 20   E) 21

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Cuántos números de la forma   5ba8b7 son múltiplos de 7? A) 15 B) 28 C) 30 D) 20     E) 10  2. Si:  1abababa  =  77 ., halla a  b. A)  3 B)  5 C) 9  D)  6     E)  8

- 41 -

12. Si  aba  es divisible por 77, hallar la suma de sus cifras. A) 12 B) 13 C) 14    D) 15   E) 18

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13. Hallar   el   mayor   número   de   la   forma aabb2 , sabiendo que es múltiplo de 72. Dar como respuesta  a + b. A)  6 B)  9 C) 10    D) 17   E) 16

23. Hallar un número de 3 cifras que sea igual a 18 veces la suma de sus cifras. A) 162 B) 324 C) 486    D) 648   E) 810

14. Si:  abcd  = 135 (a + b + c + d), hallar a  b. A)  1 B)  2 C)  9     D)  6   E) 12

24. ¿Cuántos múltiplos de 9 de 3 cifras existen tales que su cifra central sea igual a la suma de las laterales? A)  6 B)  7 C)  8    D)  9     E)  10

15. Si el número  2a35b8  es divisible por 63, hallar (a + b) A)  3 B)  4 C)  9     D) 17    E) 24 16. Hallar la suma de todos los valores de “a”  tales que:  6a2a3  3 A) 11 B) 15 C) 12     D) 10   E) 14 17. ¿Cuántos   números   de   la   forma:   a2b6 son   divisibles   por   8   y   tienen   todas   sus cifras distintas? A)  5 B)  6 C)  9      D)  4      E)  8 18. ¿Cuántos   números   de 4  cifras   diferentes, son divisibles por 25? A) 243 B) 121 C) 326 D) 204 E) 242 19. Hallar el máximo valor de a + b + c, si:   abc  6   y   cba  5 ,   siendo   a,   b   y   c distintos entre sí. A) 21 B) 22 C) 23 D) 18    E) 27 20. Hallar   el   mayor   valor   de   5b47a sabiendo que es divisible por 36. A)  56475     B) 55476    C) 52479 D)  59472     E)  N.A.  21. Hallar b – a ,si:  a83b5  1125 A)  3 B)  2 C)  1    D)  4    E)  6 22. Si: 13! =  6xx70 x08ab , hallar a + b + x A)  4 B) 1 C) 3    D)  2    E)  N.A.

- 42 -

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25. ¿Cuántos   números   de   la   forma   ab15c  son  88 ? A)  5 B)  6     C)  7    D)  8     E)  N.A. Soluciones 1 e 7 c 13 d 19 b 25 d

2 c 8 b 14 b 20 d

3 b 9 a 15 c 21 a

4 b 10 e 16 b 22 d

5 d 11 c 17 c 23 a

6 c 12 b 18 e 24 d

- 43 -

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NUMEROS PRIMOS NÚMERO PRIMO ABSOLUTO:  Es aquel número que tiene sólo 2 divisores que es el mismo número y la unidad. Ejemplo: 3 NÚMERO COMPUESTO:  Son   aquellos   números   que   tienen   más   de   2 divisores. Ejemplo: 12 NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):  Llamados   también   primos   relativos;   se denomina   así   al   conjunto   de   números   que tienen como único divisor común la unidad. Ejemplo: 15 y 7 (divisor común: 1) TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA  ARITMÉTICA:  Todo entero positivo mayor que la unidad, se  puede descomponer como el producto de  factores primos diferentes entre sí, elevados a  ciertos exponentes, esta descomposición es  única y se le denomina “DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA” Ejemplo: Expresar 540 en su descomposición canónica. 540 2 270 2 135 3     540=22.33.5 45 3         donde 2, 3 y 5 son 15 3         números primos    5   5         absolutos diferentes   1

CANTIDAD DE DIVISORES DE UN  NÚMERO ENTERO Sea  N  a   b   c    Donde  a, b, c   son números primos infinitos.  La cantidad de divisores de N es: Cd ( N )  (  1)(   1)(  1) 

Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de  540. Se pone el número en función de sus factores  primos, 540 = 22  33  5 Se toma los exponentes; se les suma 1  y se  multiplican; el resultado es la cantidad de  divisores, es decir: Cd(540) = (2+1)(3+1)(1+1) = 24 TABLA DE DIVISORES Hallar los divisores de 540: Solución:   Como 540 = 22  33  5

3 3 : 1; 3; 3 2 ;3 3  2 2 2 : 2, 2 5 : 5  Divisores 1

3

9

27

2 4

2 4

6 12

18 36

54 108

5

5 10

15 30

45 90

135 270

20

60

180

540

Por Lo tanto, 540 tiene 24 divisores. SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO  COMPUESTO Sea  N  a   b   c    Luego la suma de todos los divisores de N estará  dado por la fórmula:

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Sd ( N ) 

a  1  1 b  1  1 c  1  1 . .  a 1 b 1 c 1

PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N Pd ( N ) 

N

Cd ( N )

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CONCEPTOS ADICIONALES

a)

1. DIVISOR PROPIO: Los divisores propios de   un   número   entero   positivo,   son   todos aquellos divisores menores que el mismo. Ejemplo: Los   divisores   de 15  son  :  1;  3; 5;  15  y sus divisores propios son: 1; 3; 5 2. NÚMEROS PERFECTOS:  Son aquellos números cuya suma de sus divisores propios es igual a él mismo Ejemplo: 28  divisores   propios:   1;   2;   4;   7;   14   que sumando estos números son 28 3.   NÚMEROS   DEFECTUOSOS:  Son aquellos   números   que   cumplen   con   la condición que la suma de sus divisores propios son menores que él mismo. Ejemplo: 35  divisores propios: 1; 5 y 7 donde : 1+ 5 + 7 1. A)  6   B)  5    C)  7   D)  8    E)  4 6. SI   el   número   P   =   72×72×72×........(n factores)   tiene  117  divisores. ¿Cuál   es  el valor de “n”? A) 1    B)  2    C)  3      D)  4    E)  5 7. Hallar “n” si el número 25×45n  tiene 117 divisores. A) 5    B) 6    C) 7    D) 8    E) 9 8. Sean A = 3×21n y B = 98n. Hallar “n” si los números  de divisores  de A  y B están en relación de 2 a 3. A) 2    B) 3    C) 4    D) 5    E) 6 9. Al   multiplicar   por   33   al   número   A   = 21×11n se duplica su número de divisores. ¿Cuál es el valor de “n”? - 47 -

14. Hallar   “n”   si   se   sabe   que   9×12n    tiene   33 divisores más que 13×12n/2 A) 2 B) 4 C) 6     D) 10    E) 8 15. Determine   el   número   de   divisores compuestos que tiene 68000. A) 48 B) 44 C) 45    D) 36    E) 37

16. La  cantidad  de  divisores  compuestos  que tiene: 1212 – 128 es: A)  2001      B)  2307      C)  2323 D)  2440      E)  2441 17. Si  ab  es un número primo mayor que 13 el número de divisores del número  ab0ab  es: A) 16 B) 12 C) 14    D) 18    E) 24 18. Si 10x . 21 tiene 100 divisores, el valor de “x” es: A)  3    B)  4    C)  5    D)  6    E)  7

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19. ¿Cuántos ceros debe colocar a la derecha de 144 para que el número resultante tenga 135 divisores? A)  4 B)  5 C)  6    D)  7    E)  8 n 20. Si 24  . 14 tiene 200 divisores compuestos, dar el valor de “n”. A)  4 B)  5 C)  6    D)  7    E)  3 21. Si   N   =   4x+3  +   4x  tiene   72   divisores compuestos, dar “x”. A)  6 B)  7 C)  8    D)  9    E) 10 22. El   número   15x  .  243  tiene   700  divisores, dar “x”. A)  4 B)  5 C)  6    D)  7    E)  8 23. Hallar   la   suma   de   todos   los   divisores compuestos de 600. A) 1860      B) 1850      C) 1849 D) 1810    E) 1812 24. ¿Cuántos   divisores   compuestos   tiene   el número 1500? A) 21 B) 20 C) 19    D) 18    E) 16 25. Si   aabb   tiene 21 divisores, calcular “a + b”, si se sabe que uno de sus divisores es el número ocho. A) 10 B) 12 C) 11    D) 16    E)  9 26. ¿Cuántos   divisores   tiene   el   número ababab  si se cumple que el número tiene 4   divisores   primos   y   también   ab   es primo? A) 12 B) 20 C) 24    D) 30    E) 36 27. Encontrar un número de la forma  abc  que posee 9 divisores y además: b = a + c Hallar: “a2 + b2 + c2” A) 96 B) 48 C) 54    D) 98    E) 72

- 48 -

28. Si   el   cuadrado   de   “N”   tiene   15   divisores, ¿cuántos divisores tiene “N”? A)  3 ó 5      B)  6 ó 5        C)  6 ó 4 D)  8 ó 6      E)  8 ó 4 29. Hallar n 60 4

 

n  126 3

cuántos 

n 70 2

 

divisores

 

tiene:

,  sabiendo   que  es   cuadrado

perfecto   y   que   “n”   es   el   menor   número posible. A) 320 481     B) 204 524 C)125 481      D) 302 841   E) N.A. 30. ¿Cuántos divisores tiene 6n  9n+1? A)  (n+1)2               B) (n+1) (3n+1) C)  (n+1) (3n+2)     E)  2(n+1)2 D)  3(n+1)2 Soluciones: 1 a 7 b 13 b 19 a 25 c

2 e 8 c 14 b 20 b 26 c

3 c 9 b 15 b 21 d 27a

4 e 10 b 16 e 22 c 28 d

5 a 11 d 17 a 23 c 29 d

6 d 12 d 18 b 24 b 30 d

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MÁXIMO COMUN  DIVISOR (MCD) EL MCD DE VARIOS NÚMEROS  NATURALES ES OTRO NATURAL QUE  CUMPLE DOS CONDICIONES:  Es divisor común de los números dados  Es el mayor posible. Ejemplo:  Busquemos   todos   los   divisores   de 12 y 30 por separado. 301, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 121, 2, 3, 4, 6 Divisores comunes: 1, 2, 3 y  6 MCD(12, 30) = 6 DETERMINACIÓN DEL MCD 1. POR FACTORIZACIÓN  INDIVIDUAL: ­ Descomponemos los números dados en  sus factores primos. ­ Extraemos los factores solo comunes con  su menor exponente. ­ El producto de estos factores comunes es  el MCD buscado. Ejemplo: Hallar el MCD de 120, 350 y  240 120= 2335 350= 2527 240= 2453 MCD(120, 350, 240)=25=10 2. POR   FACTORIZACIÓN SIMULTANEA:  Se escriben los números en fila, luego se dividen   simultáneamente   del   menor   al mayor   factor   primo   común   a   dichos números,   hasta   que   los   cocientes   sean PESI. - 50 -

Ejemplo: Hallar el MCD de 120, 350 y 240 120

350

240

2

60

175

120

5

12

35

24

        Luego      MCD(120, 350, 240 ) =  25 = 10 3. DIVISIÓN SUCESIVA O ALGORITMO  DE EUCLIDES  Ejemplo: Hallar el MCD de 1534 y 403 Se divide el número mayor entre el menor y  se colocan estos en el algoritmo siguiente: 1534  403      325  3 Q 3 1534 403

1 325

4 78

6 13

R 325 78 13 0 El procedimiento termina cuando el residuo es cero y el último divisor 13 es MCD. Luego : MCD (1534, 403)=13 PROPIEDADES DEL MCD. 1. Todos   los   divisores   comunes   de   varios números son también divisores del MCD de ellos. 2. Si A y B son PESI,  Entonces MCD(A,B) =1 3. Si A es múltiplo de B,  Entonces el MCD(A,B) =B. 4. Si se multiplican  o dividen varios  números por   una   misma   cantidad,   su   MCD   también queda   multiplicado   o   dividido respectivamente por esa misma cantidad 5.    Si se dividen a varios números entre su  MCD, los cocientes obtenidos son números  PESI (primos entre si).

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6.

Sean A y B números y su MCD = d Si 

A  d

B    d

y   son PESI.

Despejando: A = d  y  B = d MINIMO COMUN MÚLTIPLO (mcm)

120

36

30

2

60

18

15

2

30

9

15

2

15

9

15

3

5

3

5

3

5

1

5

5

1

1

1

Mcm (120, 36, 30 ) = 23325 = 360 El mcm de varios números naturales es aquel número natural que cumple 2 condiciones.  Es múltiplo común de todos.  Es el menor posible. Ejemplo: Sean los números 4 y 6 44, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36.... 66, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ....... Múltiplos comunes: 12, 24, 36, 48,.. mcm (4 , 6) = 12 DETERMINACIÓN DEL MCM. 1. POR FACTORIZACIÓN  INDIVIDUAL:  Luego de descomponer  en sus factores primos, se toman a todos  los factores, afectados de sus mayores  exponentes. Ejemplo: Sean los números A, B y C  descompuestos en sus factores primos. A= 233554 B= 22335572 C= 2453113 Luego mcm (A, B, C)= 24355572113  2. POR   DESCOMPOSICIÓN SIMULTANEA: Se dividen los números dados simultáneamente a todos o algunos de ellos, del menor al mayor factor primo hasta que se obtengan cocientes iguales a la unidad. Ejemplo: Hallar el mcm de 120, 36 y 30

- 51 -

PROPIEDADES DEL mcm. 1. Todos los múltiplos comunes de varios  números dados son también múltiplos del  mcm. 2. Sean A y B PESI, entonces el mcm de ellos es su producto. 3. Si A es múltiplo de B, entonces el mcm de ellos es el mayor, en este caso A. 4. Los cocientes de dividir el mcm de números positivos   entre   cada   uno   de   ellos,   son siempre PESI. 5. Si se multiplican o dividen varios números por   una   misma   cantidad,   su   mcm   también queda   multiplicado   o   dividido respectivamente por esa misma cantidad 6. El   producto   de   dos   números   es   igual   al producto de su MCD por el mcm de ellos. 7. Si recordamos la propiedad del MCD. A =  MCD  y  B=MCD donde   y   son  PESI. Luego mcm = MCD. . 8. El mcm es el menor número que contiene  exactamente a varios números dados. EJercicios RESUELTOS 1.

La   suma   de   2   números   es   1200, determinar   el   mayor   de   ellos   sabiendo   que los cocientes  obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides son: 3, 1, 4 y 5. a) 918     b) 984     c) 948    d) 848    e) 988

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A+B=126 SOLUCIÓN: Disponiendo los datos: 3     

1

3

d

0

Por propiedad  son PESI 5 d

A  9

A  B        donde   y    9 9

B  9

Entonces A  B  9  9  9(   ) 126    14

En el sector rayado se colocarán los números a los que se les calcula el MCD; luego operando de derecha a izquierda:  5d + 0 =5d  5d*3 + d = 16d  16d*1 + 5d = 21d  

Del Problema:   79d + 21d  = 1200                                   100d  = 1200      d =  12 El número mayor: 79*12 = 948 

 13 11 9

 1 3 5

Entonces cumplen 3 parejas 4. Hallar el valor de n en los números A = 12.45n y  B = 12n. 45 para que el mcm tenga 90  divisores. 3 1 3 5 a) 1      b) 2       79d 21d 16d 5d d c) 3      d) 4        16d 15d d 0 e) 5         Solución: Poniendo A, B en sus factores primos        A= 32n+1225n        B= 3n+222n5

2. Si el MCD de 45A y 63B es igual a 36.  Hallar el MCD de 25A y 35B. a) 21  b) 32  c) 20    d) 15   e) 25 SOLUCIÓN: 9 MCD (5A, 7B) = 36 MCD (5A, 7B) = 4 Por Lo Tanto MCD (25A, 35B) =20

Entonces el mcm (A,B)=22n32n+15n   CD = (2n+1)(2n+1+1)(n+1) = 90  CD = (2n+1)(n+1)2 = 45   n = 2         5. El producto del MCM por el MCD de   ab  y abab  es 17069. Halle (a+b). a) 1   b) 2    c) 3    d) 4       e) 5 Solución:

3. ¿Cuántas parejas cumplen que su MCD sea  9 y su suma sea 126? a) 1     b) 2     c) 3     d) 4     e) 5 SOLUCIÓN: MCD(A,B)= 9

- 52 -





M.C.M.   ab; abab   x M.C.D.  ab; abab  17069 Sea el M.C.D.   ab; abab   d

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Propiedad

a) 142 y 44 c) 144 y 42 e) 140 y 44

ab  q      d abab  p d

4. Si “x” e “y” son 2 números primos; el mcm

M.C.M.   ab; abab  

es   igual   a:  

p.q.d .

afirmar: a) 2y= x y = x/2

 M.C.M.   ab; abab   X M.C.D.

 ab; abab   17069 p.q.d . d  17069

17069 1313 101

b) 142 y 42 d) 140 y 42

x2  y2   entonces   podemos 2

b) y = x  e) y/2 = x

c) y = 2x d)

5. La suma de 2 números es 224 y su MCD es 28. Hallar el mayor número. a) 196 b) 168 c) 186 d) 198 e) 188 6. Dos números son tales que su M.C.D. es 17 y su   suma   es   102.   ¿Cuál   es   el   mayor   de   los números? A) 102 B) 85 C) 68    D) 51   E) 60 

13 13 101

17069 = 132.101.1   p x  q x  d   =  101 x 1 x 132  Única  combinación EJercicios propuestos

7. ¿Cuántos   pares   de   números   suman   476   y tienen como M.C.D. a 28? A) 1 B) 6 C) 8    D) 13    E) 16 

1. Hallar 2 números enteros sabiendo que su suma   es   341   y   su   mcm   es   28   veces   su MCD. a) 217 y 124   b) 227 y 114      c) 207 y 134   d) 237 y 104     e) 247 y 94

8. Si “A” y “B” son dos números naturales tales que   su   M.C.D.     es   5   y   su   m.c.m.   es   320. Hallar el producto de los números “A” y “B” A) 1600        B) 1200         C) 2000  D) 1000        E) 1500

2. Hallar   3   números   enteros,   tales   que   su suma sea 432, su producto 2 694 384 y su MCD es 18. a) 106, 128 y 198      b) 108, 136 y 188   c) 108, 129 y 195  d) 109, 125 y 198 e) 108, 126 y 198 3. Hallar 2 números enteros, sabiendo que su producto es 420 veces su MCD y que la suma de sus cuadrados es 21364. - 53 -

9. El   producto   de   dos   números   es   560   y   su suma es 12 veces el M.C.D. de los números. ¿Cuál es el valor de su m.c.m.? A) 120 B) 220 C) 320 D) 180 E) 140 10. Hallar dos números enteros sabiendo que su producto   es   30   veces   su   M.C.D.   y   que   la suma de sus cuadrados es 87 veces su M.C.D. .   Dar   como   respuesta   el   menor   de   los números. A) 10 B) 6 C) 15    D) 27    E) 25

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D) 288 11. Se tiene dos  números de tres  cifras  cada uno, de tal manera que uno de ellos es el complemento   aritmético   del   otro.   Si   el m.c.m. de los dos números es 1875. Hallar la diferencia de los dos números. A) 100 B) 50 C) 200 D) 125 E) 250 12. Hallar la diferencia de dos números, uno con   21  divisores   y  otro  con  10  divisores tal que su M.C.D. sea 18. A) 432 B) 288 C) 378 D) 414 E) 452 13. Hallar   dos   números   cuya   diferencia   de cubos   es   219456   y   cuyo   M.C.D.   sea   12. Dar la cantidad de divisores del mayor. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 14. La suma de los cuadrados de dos números es 832 y su M.C.D. es 8. La suma de los números será: A) 8 B) 40 C) 60    D) 20    E) 80 15. El producto de dos números es 3500 y la suma   de   su   m.c.m.   y   su   M.C.D.   es   360. Uno de los números no es: A) 50 B) 70 C) 10    D) 350   E) 14  16. Hallar dos números enteros sabiendo que su suma es 581 y su m.c.m. es 240 veces su M.C.D. . Dar como respuesta el mayor de ellos. A) 560 B) 280 C) 350 D) 420 E) 630 17. Hallar la diferencia de 2 números enteros sabiendo   que   su   MCD   es   48   y   su   suma 288. A) 96 B) 192 C) 240 - 54 -

E) 144

18. ¿Cuántas parejas de números son tales que su MCD sea 9 y su suma sea 45? A)  4 B)  3 C)  2    D)  1    E)  5 19. El   producto   de   dos   números   es   5915   y   el MCD   de   ellos   es   13.   Hallar   el   mayor   si ambos son menores que 100. A)  65 B)  91 C) 142 D)  78 E) 133 20. Determinar dos números tales que su MCD es   11   y   la   diferencia   de   sus   cuadrados   es 2904. Dar el número de soluciones: A)  0 B)  1 C)  2    D)  3    E)  4 21. La suma de dos números es 667 y el cociente de su MCM y su MCD es 120. Dar el mayor de ellos. A) 232 B) 435 C) 572 D) 115 E) 552 22. Si a, b son dos naturales positivos y se sabe que: MCD (a, b) = 5  y  MCM (a, b) = 320. Hallar el producto de los números a y b. A) 800 B) 1600 C) 1200 D) 1500 E) F.D. 23. La   suma   de   dos   números   es   igual   a   99. Sabiendo   además   que   su   máximo   común divisor   es   9,   ¿cuántos   pares   de   números cumplen tales condiciones? A)  10 B)  8 C)  5    D)  3   E) N.A. 24. El   producto   de   dos   números   es   3402   y   su MCD   es   9.   ¿Cuántos   pares   de   números cumplen con dicha condición? A)  1 B)  2 C)  3    D)  4    E)  5 25. Los   cuadrados   de   dos   números   difieren   en 3375 y su MCD es 15. Hallar la suma de los números.

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A) 144 D) 150

B) 225 E) 425

C) 175

26. ¿Cuántos números menores que 80 tienen con 360 un MCD igual a 4? A)  6 B)  2 C)  3 D)  5   E)  4 27. Hallar A  B, si A + B = 150 y MCM (A, B) = 180. A) 5400 B) 360 C) 9000 D) 6000 E) 7200 28. Siendo la suma de 2 números igual a 85 y su   MCM   igual   a   102,   determinar   su diferencia. A) 20 B) 17    C) 15    D) 31    E) 28 29. La suma de 2 números es 39 y su MCM es 40 veces su MCD. ¿Cuál es su diferencia? A)  8 B)  9 C) 12    D)  6    E)  7 30. Dos números son entre sí como 40 es a 75; además su MCM es 1080. Halle la suma de dichos números. A) 230 B) 225 C) 216 D) 207 E) 184 31. Hallar  la suma de dos números  sabiendo que   su   MCD   es   144   y   que   tienen respectivamente 33 y 35 divisores. A)  11664       B)  20800      C)  9216 D)  5280         E)  20880 32. ¿Cuántas parejas de números existen cuyo MCM sea igual a 180 veces su MCD? A)  16 B)  24 C)  32    D)  4    E)  8 33. Sabiendo que el MCM de N, N+1 y 3N es 546. Hallar el MCM de N+2  y  2N+1. A)  80 B) 105 C) 135 D) 225 E) 315

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34. El producto de dos números es 11 340 y su MCM   es   630.   ¿Cuáles   son   estos   números? Dar su suma. A) 158 B) 218 C) 220 D) 198 E) 216 Soluciones: 1 a 7 c 13 d 19 b 25 b 31 e

2 e 8 a 14 b 20 c 26 a 32 d

3 d 9 e 15 e 21 e 27 a 33 c

4 b 10 b 16 a 22 b 28 b 34 e

5 a 11 e 17 b 23 c 29 b

6 b 12 d 18 c 24 d 30 d

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NÚMEROS  RACIONALES

b) Fracción Impropia:  a a impropia   1  a  b b b

Los   números   racionales,   llamados   también fracciones o quebrados son el conjunto Q de la forma: m  Q   / m, n  Z , n  0 n 

Ejemplo: 1, 0, 0.333..., 

3 4 ,   , etc. 2 2

FRACCIÓN:  Es todo número racional de la forma:  a  numerador   terminos de la fracción b  denominador 

Donde:  a, b   Ejemplo: 



ab

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a, b  0

5   6

El   denominador   6   representa   la   cantidad   de partes   en   que   dividimos   la   unidad   y   el numerador 5 representa la cantidad de partes que se ha tomado la unidad

CLACIFICACIÓN DE FRACCIONES 1. POR   COMPARACIÓN   DE   SUS TÉRMINOS: a) Fracción Propia:   a a propia   1  a  b b b

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2 1 ,   , ... 3 2

2. POR SU DENOMINADOR: a) Fracción ordinaria o común: Es aquella  cuyo denominador es diferente de una  potencia de 10. Ejemplo: 8 4 17 , , ,..... 3 7 25

FRACCIONARIOS

b)  Fracción   Decimal:  Es   aquella   cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplo: 3 17 4321 , , ,.... 10 100 10000

3. POR   COMPARACIÓN   DE   LOS DENOMINADORES:  a)    Homogénea:  Cuando   tienen   el   mismo denominador. Ejemplo: 6 100 , , 7 7

2347 ,.... 7

b)    Heterogénea:  Cuando   tienen denominadores diferentes. Ejemplo: 1 , 8

8 , 9

4 ,..... 3

4. FRACCIONES EQUIVALENTES:  Dos   fracciones  

MCD Y mcm DE NÚMEROS 

a c y   son  equivalentes   si b d

se cumple que ad = cd. Ejemplo: 2 4 3 6  =   ,   =  ,  ...... 3 6 5 10

1. El MCD de varias fracciones irreductibles se obtiene   dividiendo   el   MCD   de   los numeradores   entre   el   mcm   de   los denominadores. Ejemplo: 15 5 3 , y 4 9 8 MCD (15,5,3) 1  MCD   mcm( 4,9,8) 72

Hallar el MCD de 

2. EL mcm de varias fracciones irreductibles se obtiene   dividiendo   el   mcm   de   los numeradores   entre   el   MCD   de   los denominadores Ejemplo: 15 5 3 , y 4 9 8 mcm(15,5,3) 15  mcm    15 MCD ( 4,9,8) 1

 Hallar el mcm de 

NÚMEROS DECIMALES Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador Ejemplo: 2  0.666..... 3

5. FRACCIÓN IRREDUCTIBLE:  Son aquellos cuyos términos son PESI. Ejemplo:

FRACCIÓN   GENERATRIZ:  Es   la   fracción irreducible cuya división de términos origina un número decimal. - 57 -

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CLASES DE NÚMEROS DECIMALES 1. DECIMAL EXACTO: Es aquel decimal  que tiene un número exacto de cifras. Ejemplo: 1  0,25 4

Nota:  Una   fracción   da   lugar   a   un   número decimal exacto, si en el denominador aparecen solo factores que son potencias de 2 o de 5 o de   ambos   y   el  número   de   cifras   decimales estará dado por el mayor exponente de   esos factores. Ejemplo: 1 1  0,25  0,25 ,   2 x2 4 1 1  0,1  ,   0,1 10 2 x5

Fracción   generatriz:  Es   la   fracción   que   se forma   escribiendo   en   el   numerador   la   parte decimal   del   número   decimal   y   en   el denominador la unidad seguida de tantos ceros como   cifras   decimales   tenga   el   número decimal. Ejemplo: 0,25 

25 1   100 4

2. DECIMAL   INEXACTO:  Es   aquel decimal que tiene un número ilimitado de cifras decimales. Ejemplo: 2  0.666..... 3

El decimal inexacto puede ser: a)  Decimal   Inexacto   Periódico   Puro:  Es aquel número cuya parte decimal aparece una

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o un grupo de cifras llamado PERIODO que se repite   indefinidamente   después   de   la   coma decimal. Ejemplo: 0,666...  0, 6

Una   fracción   irreducible   originará   un   decimal periódico   puro   cuando   el   denominador   sea diferente de un múltiplo de 2 y/o múltiplo de 5. Ejemplo: 2  0.666.....  0, 6 3

Nota: El número de cifras del periodo está dado por   la   cantidad   de   cifras   del   menor   número formado por cifras 9 que contengan exactamente al   denominador   de   la   fracción   generatriz (fracción que genera un número decimal)

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Ejemplo:

de   2   o   5   y   además,     algún   otro   factor necesariamente diferente. Ejemplo:

Al denominador lo 2   0, 6 contiene 9, entonces 3  tiene una cifra en el periodo

1 1  0.0666.....  ,   0.0666..... 15 3 x5

Fracción   generatriz:  Es   la   fracción   que   se forma   escribiendo   en   el   numerador   la   parte decimal del número decimal al cual se le resta la parte   no   periódica   y   en   el   denominador   se escribe   tantos   nueves   como   cifras   decimales tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como   cifras   tenga   la   parte   no   periódica   del número decimal. Ejemplo:

Al denominador lo contienen 10   0, 90 99, entonces el periodo 11  tiene 2 cifras. Fracción   generatriz:  Es   la   fracción   que   se forma   escribiendo   en   el   numerador   la   parte decimal   del   número   decimal   y   en   el denominador   tantos   nueves   como   cifras decimales tenga el número decimal. Ejemplo: 0, 6 

6 2   9 3

b)  Decimal   Inexacto   Periódico   Mixto:  Es aquel decimal cuyo periodo empieza luego de una cifra o grupo de cifras después de la coma decimal;  a esta cifra o grupo de cifras  se le llama PARTE NO PERIÓDICA. Ejemplo: 0,5222... 5 es la parte no periódica y 2 es el periodo Nota:  Una fracción irreducible dará origen a   un   decimal   inexacto   periódico   mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran potencias

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0,06  =

06  0 6 1     90 90 15

EJERCICIOS RESUELTOS 1.   La   suma   de   dos   fracciones   impropias irreductibles es 3. Si la suma de los numeradores, mas la suma de los denominadores es 15. Señale el producto de los numeradores más el producto de los denominadores, si es el mayor posible. a) 27   b) 29    c) 23    d) 17    e) 18 Solución: Sean las fracciones irreductibles a/b, c/d: a c    3 Sólo si b  d b d 

Luego: a + c = 3b (a  c)  ( b  d)  15    Además     3b

2b

Resolviendo,   b = 3 = d           a + c = 9 Entonces: Los valores de “a” pueden ser: a = 1, 2, 4, 5, 7, 8 Los valores de “b” pueden ser:

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b = 8, 7, 5, 4, 2, 1 Los números que hacen el Mayor valor del  producto son:  a * c = 4 * 5 = 20

7k                          12k

7 k  70

7

Del enunciado:  3(12k )  12   12(7 k  70)  7(3)(12k )          7(k  10)  7(3)(k )                           k  10  3k                k = 5         

Hallamos:   a * c + b * d = 20 + 3*3 = 29 2.   Una   vendedora   lleva   paltas   al   mercado   y vende   la   mitad   de   las   que   tenía   más   media palta;   deja   encargada   la  mitad   de  las  que  le quedaban más media palta; Obsequia la mitad del nuevo resto más media palta y todavía le sobran   3.   ¿Cuántas   paltas   llevo   al   mercado sabiendo que no partió ninguna palta? a) 35     b) 19    c) 31   d) 27    e) 17 SOLUCIÓN: Sea “P” el número de paltas;  ­ Vende la mitad más ½ palta           Queda: P 1                 2 2

­ Encarga la mitad más ½ palta               Queda: 1P 1 1    2 2 2 2

­ Obsequia la mitad más ½ palta           Queda: 1 1  P 1  1 1     3 2  2  2 2  2  2 Luego 

Sea la fracción:  

P7  3           8

De donde: P = 31 2.   Hallar   una   fracción   equivalente   a   7/12, sabiendo que si al término menor le sumamos 70 para que el valor de la fracción no se altere entonces el otro término debe triplicarse. a) 28/40       b) 42/72   c) 56/96     d) 35/60        e) 21/36 SOLUCIÓN:

- 60 -

7(5)

35

La fracción buscada es:    12(5)  60     3. Hallar el valor de “b” si se cumple que: a b   0, (a  1)(a  b)           11 9

a) 3       b) 2      c) 5     d) 7      e) 4 SOLUCIÓN:        

a b (a  1)(a  b)                         11 9 99

9a  11b (a  1)(a  b)  99 99

    9a  11b  10(a  1)  (a  b)     10b  2a  10              a = 5,   b = 2        4. ¿Cuántas fracciones propias existen tal que al dividirlo entre su inversa se obtiene siempre una fracción decimal exacta de 2 cifras? a) 6       b) 7      c) 8      d) 9        e) 10  SOLUCIÓN: Recordando   que:   Una   fracción   da   lugar   a   un número   decimal   exacto,   si   en   el   denominador aparecen solo factores que son potencias de 2 o de 5 o de ambos y el número de cifras decimales estará   dada   por   el   mayor   exponente   de   esos factores Una fracción es decimal si su denominador es de potencia 10. a En el problema   es propia,  b

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Es decir,  a  b a b a2     b a b2 como   es   una   fracción   decimal   exacta   de   2 cifras decimales   b =10 por lo tanto  a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  Luego, hay 9 fracciones propias que cumplen la condición del problema. 5.  ¿Cuántas fracciones equivalentes a 68/119 existen, tal que sean de la forma ab / ba? a) 9     b) 6     c) 4      d) 12   e) 10

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(2 /13) + 2x = (41 / 52) – x 3x = (41 / 52) – (2 / 13) x = 11 / 52 Reemplazando el valor de x en (2) a / b = (41 / 52) –  (11/ 52) a / b = 30 / 52 = 15/26 7. Hallar la suma de: 3/10 + 5/10 + 3/100 + 5/100 + 3/1000 + 5/1000  + ... a) 8/9      b) 5/9     c) 8/10     d) 5/10  e) 5/8    SOLUCIÓN: Sumar fracciones con igual denominador: 3/10 + 5/10 = 8/10  3/100 + 5/100 = 8/100 3/1000 + 5/1000 = 8/1000  ... Luego: 8/10 + 8/100 + 8/1000 + ... Convirtiendo las fracciones a decimales: 0.8 + 0.08 + 0.008 + ... = 0.888... Convirtiendo a fracción: 0.888... = 8/9

SOLUCIÓN: 68 / 119 = 4 / 7  4 / 7 = ab / ba  4 ba = 7 ab 40b + 4a = 70a + 7b  33b = 66a  b = 2a Tabulando: a 1 2 3 4 b 2 4 6 8 Entonces:  68 /11912/2124/42 36/6348/84 Luego existen 4 fracciones equivalentes 6. Hallar la fracción entre 2/13 y 41/52 cuya distancia   al   primero   sea   el   doble   de   la distancia al segundo. a) 11/52       b) 15/26      c) 33/52 d) 11/26      e) 15/52 SOLUCIÓN: Graficando los datos del problema 2/13  _____________|______  41/52 2x    a/b  x

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Qué parte de 3/4 es 2/3?. A) 8/9 B) 9/8 C) 2/3 D) 3/2 E) 5/6 2. Hallar   una  fracción   equivalente   a  2/3   cuyo producto de términos sea 150. A) 4/6       C) 15/10      E) 8/12 B) 10/15   D) 5/30 3. ¿Cuántas fracciones impropias e irreductibles con   denominador   15   existen   que   sean menores que 7/4? A)  5 B)  6 C) 11

(2 / 13)´+ 2x = a / b ........................(1) (a / b) + x = 41 / 52  a / b = (41 / 52) – x ........................ (2) Igualando  (1) = (2)

- 61 -

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D) 10

E)  7

4. ¿Cuántas  fracciones  propias menores  que 73/93   cuyos   términos   son   enteros   y consecutivos existen? A)  1 B)  2 C)  3 D)  4 E)  5 5. Restar 

1 1 1 1  de  : de   restar  ; sumar 5 4 6 7

estas   diferencias;   restar   las   mismas, multiplicar   los   resultados;   dividir   los mismos: dividir estos números resultados. ¿En cuántos ceros termina el denominador del resultado final? A)  1 B)  2 C)  3 D)  4 E) En ninguno 6. Una vasija llena de agua contiene  sal en disolución.   En   una   primera   operación   se extraen   los   4/7   de   su   volumen   y   se completa   con   agua.   A   continuación   se extraen los 7/11 del contenido y se vuelve a llenar con agua, finalmente se retiran los 5/16   del   volumen   completándose   el contenido con agua. Si al final quedan aún 27   gr.   de   sal,   ¿cuánto   de   sal   había   al principio? A) 320 gr.  B)1 350 gr.  C) 252 gr. D)  360 gr.   E)  745 gr. 7. Se tienen tres obreros que hacen una obra: A puede hacer 

1  de la obra en 30 días; B 3

1   de la obra en 18 días; C 4 1 puede hacer     de la obra en 24 días. Si 5

puede hacer  

los  tres  trabajan   juntos,  ¿en  cuántos   días harán  A)  4 D)  7

1  de la obra? 6

B)  5 E)  8

C)  6

- 62 -

8. Un apostador pierde 

2  de su capital, luego 3

2  del resto, en un tercer juego duplica 5 4 lo   que   quedaba   para   finalmente   perder   7

gana 

del   último   total.   ¿Qué   fracción   tendría   que ganar para volver a su capital inicial? 3 5 2 D)  3

3 2 1 E)  5

A) 

B) 

C) 

1 4

9. Dos obreros A y B pueden hacer una obra en 2 11/12 días, B y C podrían hacerla en 4 8/19 días y A y C podrían hacerla en 3 9/17 días. ¿En cuántos días podría hacerla B trabajando solo? A)  3 B)  5 C)  7 D)  9 E) 12 10. Calcular: S = 

1



1



1

  

4 28 70 12 10 A)  B)  29 31 16 13 D)  E)  33 41

1 868

15 C)  7

11. Maritza gastó los 3/5 de lo que no gastó. Si finalmente gastó los 3/5 de lo que le queda, ¿cuánto gastó? A) 3/8 B) 1/4 C) 3/4 D) 5/8 E) N.A. 12. De   un   depósito   lleno   de   agua   se   extrae   la sexta parte. ¿Qué fracción del resto se debe volver a sacar para que quede sólo los 3/5 de su capacidad inicial? A) 18/5 B) 22/25 C) 18/25 D) 7/30 E) 7/25

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13. Un jugador en un primer juego pierde 1/3 de su dinero, vuelve a jugar y pierde los 3/5 de lo que le quedaba. ¿Qué parte del dinero   que   tenía   originalmente   le   ha quedado? A) 4/15 B) 2/15 C) 4/7 D) 23/25 E) N.A. 14. Un   enfermo   toma   una   tableta proporcionada por su médico cada 3/4 de hora. Si éste atiende al paciente durante 9 horas,   ¿cuántas   tabletas   le   dará,   si   debe darle una tableta desde el comienzo hasta el final de su trabajo? A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E)  9 15. En una oficina 1/3 de los trabajadores son mujeres, 1/2 de las mujeres son casadas y 1/3 de las casadas tienen hijos. Si los 3/4 de los hombres son casados y los 2/3 de los casados tienen hijos, ¿qué parte de los trabajadores no tienen hijos? A) 11/18 B) 13/15 C) 11/15 D) 13/18 E) N.A . 16. Una canica cae al suelo y se eleva cada vez a los 2/3 de la altura anterior. Después de haber rebotado 3 veces se ha elevado 32 cm   de   altura.   ¿Desde   qué   altura   cayó   al principio? A) 1,08 m    B) 1,62 m   C) 0,72 m    D) 1,48 m E)  N.A. 17. Si   un   jugador   pierde   1/4   de   su   dinero, luego pierde 3/5 del resto y luego los 2/7 del nuevo resto. Si luego gana la mitad de los   2/3   de   los   6/5   de   lo   que   estaba perdiendo,   ¿qué   fracción   del   dinero   que tenía   originalmente   resulta   perdiendo finalmente? A)  37/70      B)  33/70      C)  11/35 - 63 -

D)  3/14        E)  22/35 18. De un barril lleno de vino, se bebe la quinta parte. ¿Qué fracción del resto se debe tomar José para que queden los 4/7 de su capacidad inicial? A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7 D) 4/7 E) 5/7 19. Una   persona   ha   avanzado   los   3/19   de   su recorrido.   ¿Qué   fracción   de   lo   que   le   falta debe recorrer para que le falte 9/16 de lo que le faltaba? A) 4/5 B) 9/32 C) 3/8 D) 5/16 E) 7/16 20. Se retira de un cubo los 2/3 de su contenido menos 20 litros. En una segunda operación se saca los 2/5 del resto y por último los 42 litros. ¿Cuál era el contenido del cubo? A) 140 l B) 120 l C) 180 l D) 150 l E) 210 l 21. Determine   la   suma   de   todas   las   fracciones propias   irreductibles,   menores   que  15 cuyo denominador es el menor número que posee 8   divisores   y   su   numerador   es   un   cubo perfecto. A) 16,5 B) 18,5 C) 19,5 D) 15 E) 15,8 22. Un tejido pierde en cada lavada 1/20 de su largo y 1/19 de su ancho. Determinar cuántos metros   cuadrados   de   esta   tela   deben comprarse   para   que   después   de   2   lavadas quede: 40,50 m2. A) 45 B) 46 C) 48 D) 50 E) 60 23. A un alambre de 95 m de longitud se le han dado 2 cortes de manera que la longitud de cada trozo sea igual al anterior aumentado en su mitad. ¿cuál es la longitud del trozo más largo?

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A) 25 D) 55

B) 30 E) 40

C) 45

D) 25

24. En una oficina los 2/3 de los trabajadores son mujeres, 1/4 de ellas son casadas y 4/5 ellas tienen hijos. Si los 2/3 de los hombres son casados y la mitad de ellos tiene hijos. ¿Qué   fracción   de   los   trabajadores   no tienen hijos, si aquellos que lo tienen sólo son casados? A)  17/15      B)  18/35     C)  34/45     D) 19/34      E)  34/55 25. Un granjero ha llevado a la ciudad cierta cantidad de gallinas, vende primero la 1/2 de lo que llevó, luego las 3/4 partes de lo que  quedaba  y por  último   vende  1/3 del nuevo   resto   quedándose   con   6   gallinas. ¿Cuántas gallinas llevó? A) 112 B) 124 C) 116 D) 72 E) 104 26. Un   jugador   cada   vez   que   apuesta   pierde 1/3 de su dinero. Si después de 3 juegos aún le queda S/. 800, ¿con cuánto empezó a jugar? A)  S/. 2 400  B)  S/. 3 200 C)  S/. 2 700 D)  S/. 3 500 E)  S/. 3 500 27. Un caño llena un pozo en 4 h y un desagüe lo vacía en 6 h. ¿En qué tiempo se llenará el   pozo   si   se   abre   el   desagüe   una   hora después de abrir el caño? A) 10 h B) 12 h C) 13 h D) 8 h E) 9 h 28. A y B pueden hacer juntos una obra en 20 días. A, lo haría en 30 días. Si A trabaja durante 10 días, ¿cuántos días empleará B para terminar la obra? A) 30 B) 40 C) 28 - 64 -

E) 42

29. Cuando 2 bombas actúan a la vez tardan 15 horas   en   vaciar   un   pozo.   Si   solamente actuara una bomba, tardaría 16 horas más en vaciar   el   pozo   que   si   solamente   actuase   la otra bomba. ¿Cuántas horas tardará la bomba más potente en vaciar el pozo? A) 28 B) –26 C) 24 D) 32 E) 30 30. A y B pueden hacer una obra en 70 días, B y C   en   84   días   y   A   y   C   en   140   días.   ¿Qué tiempo empleará A en hacer el trabajo solo? A) 210 B) 105 C) 80 D) 100 E) 95 31. De un tonel que contiene 225 litros de vino se sacan 45 litros y se reemplaza por agua. Se hace lo mismo con la mezcla del tonel por 2da y 3era vez. ¿Qué cantidad de vino queda después de la tercera operación? A) 100     B)117,2     C) 115,2  D)  120      E)  25  Soluciones: 1 a 7 b 13 a 19 e 25 d 31 c

2 b 8 b 14 a 20 d 26 c

3 b 9 c 15 a 21 c 27 a

4 c 10 b 16 a 22 d 28 b

5 b 11 c 17 b 23 c 29 c

6 c 12 e 18 b 24 c 30 a

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RAZONES Y  PROPORCIONES

1° Proporción Aritmética ó equidiferencia:  Es la igualdad de 2 razones aritméticas.

RAZÓN:  Es   la   comparación   de   dos   cantidades,   esta comparación   puede   hacerse   de   2 maneras: 1° Razón Aritmética: Es la comparación de 2 cantidades mediante una sustracción. a 

antecedente



b 

concecuente





diferencia

a y d extremos  a  b  c  d b y c medios 1ra razón 2da razón a, b, c y d 4ta diferencial 2° Proporción Geométrica:  Es   la   igualdad   de   2   razones   geométricas   que tienen el mismo valor.



a  c a y d T.extremos b d b y c T. medios

  

Esta   expresión   se   puede   interpretar   de diferentes maneras: -

a es mayor que b en r unidades El exceso de a sobre b es r. a es r unidades más que b

Esta expresión se puede interpretar de diferentes  maneras:

Ejemplo Juan tiene 12 años más que Pedro 2° Razón Geométrica: Es la comparación de 2 cantidades mediante una división.

­ a y b están en la relación de c y d ­ a y b están en la proporción de c y d ­ a es a b como c es a d ­ a es a c como b es a d Tipos de proporciones

antecedente  a    valor de la razón concecuente b

PROPORCIÓN ARITMÉ TICA

PROPORCIÓN: Se   llama   así   a   la   igualdad   de   2   razones   y pueden ser:

- 65 -

ac a ­ b = c – d ta b d d: 4  diferencial de ta d: 4  proporcional de  a, b y c a, b y c

Discreta

Ejemplo. En una reunión por cada 5 hombres  hay 4 mujeres. H 5 M 4

Proporción Geométrica

Continua

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a – b =b – c

ab b c ra c: 3ra diferencial de c: 3  proporcional de  a y b. a y b 

b: Media  b: Media  diferencial de a y c proporcional de a y c

Propiedad de la Proporción Geométrica * Sea  * Dada 

a c   a.d  b.c . b d

a c  b d

*Toda proporción se puede escribir de 4  maneras diferentes. a c  b d c d 4  a b

1

*

2

ab a b   cd c d a

c

* ba  d c

a b  c d

*

*

3

b d  a c

ac a c   bd b d

ba d c  b d

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3° Proporción Armónica: Sea 4 cantidades a, b, c, d (diferentes de cero); estas formarán una proporción armónica cuando sus inversas: 1/a, 1/b,   1/c   y   1/d   formen   una   proporción aritmética. Es decir: 1 1 1 1    a b c d

Serie de Razones iguales: Se llama así al conjunto de más de 2 razones  g a c e    k iguales. Es decir:  b  d  f  h  

Donde k es la constante de proporcionalidad  o valor de cada razón.

Propiedades de la Serie de razones iguales: a



g c e   d f h

=k, 

3

Multiplicando (1).(2) miembro a miembro: A B 100 100    B C 60 40

A 100  C 24

ace g g a c e     k f h b d f h

* bd 

3

A 100 A 100    …(1) B 100  40 B 60 B 100 B 100    ….(2) C 100  60 C 40

Simplificando tenemos que:

entonces.

e ace  a  c * b  d  f   b    d    f       

2. Un jugador de billar A le da ventaja a otro B, 40 carambolas  de 100 y B le da Ventaja a otro   C,   60   carambolas   de   100.   ¿Cuántos carambolas de ventaja debe dar A para C en un  partido de 100 carambolas? a) 76     b)86      b)88      d)97      e)102 SOLUCION Del enunciado del problema:

serie de razones iguales

Consideremos la serie  b

Por lo tanto remplazando  a, b  en la primera proporción se obtiene c= 36,75.

Luego, en un partido de 100; A debe dar a C:  100 – 24  = 76 carambolas de ventaja.

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS RESUELTOS 1.  Determinar la tercia proporcional entre la media proporcional de 9 y 16 y la cuarta proporcional de 10, 15 y 14. a) 36    b) 35   c) 35, 75   d) 36, 75    e) 34, 75

     SOLUCION a b Por problema    tenemos que hallar c b c que es tercia proporcional  de a y b 9 a Donde a se obtiene de    a 12 a 16 10 14 Y b se obtiene de    b  21 15 b

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3. Dos números están en la relación de 3 ¼ a 5 1/5 sí la diferencia de ellos es 3030 indicar el número mayor. a) 8080               b) 8088             c) 8880 d) 8808              e) 8008 4. La relación entre dos números es 11 a 14. Sí a uno de ellos se le suma 33. Y al otro se le suma   60   entonces   ambos   resultados   serían iguales. Hallar dichos números. a)   55   y   70         b)   66   y   84       c)   77   y   98 d) 88 y 112          e) 99 y 126

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5. En   una   asamblea   estudiantil   de   2970 estudiantes se presentó una moción. En la primera votación por cada 4 votos a favor habían   5   en   contra.   En   una   segunda votación   se   vio   que   por   cada   8   votos   a favor habían 3 en contra ¿Cuántas personas cambiaron   de   opinión?*No   hubo abstenciones. a) 830                      b) 840             c) 850 d) 860                      e) 870

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a) 42   b) 48   c) 44    d) 46    e ) 45 6. Determinar la tercia proporcional entre la media   proporcional   de   9,   16   y   la   cuarta proporcional de 10, 15 y 14. Rpta: 36,75 a) 35,25             b) 35,75             c) 36,25 d) 36,75             e) 36,55 7. En una P.G. continua el producto de los 4 términos   es   1296   y   el   producto   de   los antecedentes   es   24.   Hallar   la   tercia proporcional. a) 7   b) 8   c) 6   d) 9   e) 12 8. En   una   P.G.   la   suma   de   los   términos extremos es 20 y su diferencia 16 ¿Cuál es su media proporcional? Rpta: 6 a) 12   b) 10   c) 8   d) 6   e) 4 9. Hallar 3 cantidades que sean entre sí como 4, 5 y 8 y que sumen 850.  a) 200, 250 y 400 b) 200, 240 y 410 c) 210, 240 y 400 d) 210, 230 y 410 e) 200, 230 y 420 10. “p”   es   el   término   central   de   una   P.G. continua, cuyos extremos son “m” y “n” si: m2  p2  n2  1296 1 1 1   m2 p2 n2

12. La media proporcional entre a y b es 14 y la 3ra proporcional de a y b es 112. Hallar la diferencia entre a y b. a) 25     b) 23    c) 24   d) 22    e) 21 13. La   suma,   la   diferencia   y   el   cociente   de   2 números están en la misma relación que 9, 7 y 2. Hallar el mayor de dichos números. a) 32   b) 28   c) 24   d) 36   e) 48 14. Sí 

M E R I 4       972 M E R I

Hallar M + E + R + I a) 488      b) 460      c) 480    d) 486      e) 484 p

q

r

15. Si   a  b  c  Además q =  4p y   r = 5p. Hallar el valor de  E 

a2  b2  c2 (a  b  c) 2

a) 0,42      b) 0,45       c) 0,52 d) 0,55      e) 0,48 16. Hallar el valor de a+b+c sí se sabe que: a2, 6, 27, y c son antecedentes y 3, b, c y a son los consecuentes   respectivos   de   una   serie   de razones geométricas equivalentes. a) 12   b) 14   c) 15   d) 16   e) 18 17. A­B y B­C están en la relación de 1 a 5, C es 7 veces A y sumando A, B y C, obtenemos 100 ¿Cuánto es (A­B)2? a) 3680     b) 3500     c) 3560 d) 3600     e) 3580

Hallar “p” a) 5     b) 6     c) 7     d) 8     e) 9 11. El corredor A da a B una ventaja de 20m en una carrera de 100m en otra carrera de 100m, el corredor B da a C 30m de ventaja ¿Qué   ventaja   deberá   dar   A   a   C   en   una carrera de 100m? Rpta: 44 - 69 -

18. La media aritmética de 40 números es 80. Si quitamos 5 de ellos aumenta a 84. ¿Cuál es la media aritmética de los números eliminados? a) 52   b) 58   c) 54   d) 56   e) 55

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A

B

C

A.B.C

19. Sí  a  b  c y a.b.c  8  Hallar el  valor de: A  B  C  4 A2  B 2  C 2  4 2 E  2 abc2 a  b2  c 2  22 A3  B 3  C 3  43  3 a  b 3  c 3  23

23.

¿Hace cuántos años sus edades fueron como 2 a 1? a) 12    b)  8      c) 10        d) 15        e)  6 24.

a) 62   b) 68   c) 64   d) 66   e) 65

21. Dos números consecutivos aumentados en 60   y   27   respectivamente   son proporcionales a 5 y 3. ¿Cuánto se le debe sumar al mayor de los números para que resulte el doble del menor? a) 12      b) 20        c) 24       d) 18      e) 19 a c  ; b d

blancas  se deben retirar  para que existan  5 bolas blancas por cada 6 bolas azules? a)  6      b)  7      c)  8      d)  9        e) 10 25.

será 1/2? a)12     b) 15      c) 18       d) 20       e) 25 26.

diferencia es 300. Hallar la suma de las cifras

bd  36ac

del número mayor. a) 12     b) 14     c) 16     d) 17       e) N. A.

a) 5        b) 3          c) 6        d) 8         e) 2

27.

aves   como   2   es   a   9   y   la   diferencia   entre

razón es 5/9. Hallar su razón aritmética. c) 120

pavos y gallinas es 30. Hallar el número de

d) 180 e)

pavos.

280 22.

En   un   corral   hay   gallinas   y   pavos.   Se sabe que el número de gallinas es al total de

La suma de dos números es 980 y su b) 100

La suma de tres números es 18 300. El primero   es   al   segundo   como   25  a   10  y   su

Hallar:  a  c

a) 140

Un padre tiene 34 años y su hijo 7. ¿Al cabo de cuánto tiempo, la razón de las edades

Además  b  d  18

21.

En   una   caja   se   tienen   164   bolas;   80 blancas   y   el   resto   azules,   ¿cuántas   bolas

20. En una progresión geométrica creciente de 3 términos; la suma de ellos es 117 y su producto 19683. El segundo término es: a) 32       b) 28       c) 24      d) 36      e) 27

20. Si 

Mario   tiene   38  años   y  Jessica   24  años,

a) 10      b) 35      c) 42       d) 45      e) 54

Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24   años   respectivamente.   ¿Dentro   de cuántos   años   sus   edades   estarán   en   la relación de 7 a 6? a)10     b) 18      c) 15        d) 12        e) 20

28.

En una reunión el número de hombres es al número de personas como 3 es a 8 y la diferencia   entre   hombres   y   mujeres   es   24. ¿Cuál es la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres? a) ¾      b) 4/3       c) 2/3   d) 3/2      e) N. A.

- 70 -

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29.

Lo que gana y gasta un hombre suman

a 5 y la segunda es a la tercera como 3 es a 4.

6000 soles; la razón entre lo que gasta y

Hallar la mayor.

gana es 2/3. ¿Cuánto tiene que disminuir lo

A) 80 B) 90 C) 100  D) 120 E) 140

que   gasta   para   que   la   razón   anterior   se transforme en 3/5? A) 210

B) 240

D) 480

E) 56

34. C) 360

La suma de los cuatro  términos  de una proporción es 65. Cada uno de los 3 últimos términos es los 2/3 del anterior. ¿Cuál es el último término?

30.

La   edad   de   Luis   es   a   la   de   Manuel como 5 es a 2; la de Pedro a la de Ricardo

A) 8

B) 12

D) 24

E) 27

C) 18

como  2  es  a  3;  y la  de  Manuel  a  Pedro como 2 es a 3. La suma de todas las edades

31.

35.

En una proporción geométrica continua,

es 145. Hallar la edad de Manuel.

el producto de los cuatro términos es 20736.

A) 16

B) 18

Si   el   segundo   término   es   cuádruplo   del

D) 24

E) 27

C) 20

primero. Hallar el mayor de los términos.

Un jugador de billar A le da de ventaja

A) 12

B) 16

D) 36

E) 48

C) 24

a otro B, 40 carambolas para un total de 100.   B   le   da   de   ventaja   a   otro   C,   30 carambolas para 50. ¿Cuántas carambolas

36.

 ( a + b + c + d )?

150?

32.

B) 111

D) 117

E) 121

C) 114

Para   ingresar   a   un   instituto   las

37.

d) 1 a 13             e) 1 a 14 33.

D) 320

E) 350

C) 300

La   suma,   diferencia   y   producto   de   dos

A) 10    B) 12    C) 16    D) 24

fueron de 2 a 19. Si al final se inscribieron

a) 1 a 9            b) 1 a 11               c) 1 a 12  

B) 290

Hallar uno de ellos.

ampliar   20   vacantes   las   posibilidades

posibilidad de ingresar?

A) 280

números  están en la relación de 5, 3 y 16.

posibilidades   son   de   1   a   19,   pero   al

100   postulantes   más.   ¿Cuál   es   la

a2 b2 c2 d2    28 63 112 175

y    a + b + c = 180.   ¿Cuánto vale

de ventaja debe dar A a C en un partido de A) 108

Sabiendo que:   

38.

En una serie de razones iguales, la suma de   los   antecedentes   es   4   800.   Los consecuentes son 41, 46, 54 y 59. Hallar el mayor de los antecedentes.

Se divide 205 en tres partes de modo que la primera sea a la segunda como 2 es

- 71 -

E) 32

A)  1 326     B)  1 416     C)  1 426 D)  1 516     E)  1 666

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39.

En   una   serie   de   razones   geométricas iguales los consecuentes son 3, 6, 15 y 21.

44.

Un jugador de billar  A da de ventaja a

Si el producto de los antecedentes es 1120.

otro B, 40 carambolas para 100; B da a C 30

Hallar la suma de los antecedentes.

carambolas   para   100;   C   da   a   D   20

A) 25    B) 30    C) 35

carambolas para 100. En un partido de 250

    D) 24 E)

32

carambolas,   el   número   de   carambolas   que debe dar de ventaja A a D es:

40.

En una serie de 4 razones geométricas

A) 144

B) 152

iguales   y   continuas,   la   suma   de   las   4

D) 166

E) N. A. 

razones es 4/3, si la diferencia del último consecuente   y   el   primer   (antecedente)   es 240. Hallar el último antecedente. A) 27    B) 81    C) 36    D) 90

E)

84 41.

Tres números son entre sí como 2, 5 y 7 si se les quita 5, 19 y 26 respectivamente originan   3   números   que   forman   una progresión   aritmética   creciente.   Hallar   el mayor de los tres números.  A) 49    B) 37    C) 24

    D) 42 E)

64 42.

Leonel recorre una trayectoria circular en   40   segundos.   Ernesto   la   recorre   en sentido   contrario   y   se   encuentra   con Leonel   cada   15   segundos.   ¿Cuál   es   el tiempo   que   Ernesto   emplea   en   recorrer toda la trayectoria? A) 24    B) 48    C) 32    D) 64    E)N. A.

43.

Tres números son entre sí como 7, 11 y 13, tal que el segundo más el cuádruplo del primero da 117. Hallar el tercero. A) 24    B) 33    C) 36

    D) 39 E)

52

- 72 -

C) 56

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a) 16    b) 18     c) 21       d) 24   45.

e) 27

En una serie de tres razones geométrica continua   la   suma   de   los   dos   primeros

50.

Todos los días sale del Cuzco a Lima un

antecedentes  es 20 y la de los 2  últimos

ómnibus con velocidad de 80 km/h. Este se

consecuentes   es   45.   Hallar   el   primer

cruza   siempre   a   las   11:00   a.m.   con   un

antecedente.

ómnibus   que   viene   de   Lima   con   una

A)  2     B) 12     C)  8

    D)  3 E)

velocidad de 70 km/h. Cierto día el ómnibus

9

que sale del Cuzco encuentra malogrado al otro a las 12:45 p.m. ¿A qué hora se malogró

46.

Dos   móviles   cuyas   velocidades   son

este ómnibus?

entre si como 7 es a 5 parten al encuentro.

a)  1:00 p.m.

 b) 9:00 a.m.

¿Cuál es la distancia de separación inicial

c) 12:15p.m .      d)  9:45 a.m.

si   en   el   momento   del   encuentro   el   más

e) 10:10 a.m.

veloz recorrió 20 Km más que el otro. a)  120 Km

b)  140 Km 

c)  70 Km

d)  50 Km

51.

En   una   proporción   geométrica   continua la suma de los extremos es 34 y la diferencia

e) 20 Km

de   los   mismos   es   16.   Hallar   la   suma   de antecedentes, si la razón de la proporción es

47.

En   la   siguiente   serie   de   razones

menor que la unidad.

geométricas equivalentes: 

a) 12          b) 15     c) 24      d) 28

e) 40

a/2 = b/3 = c/4 = d/5. Se cumple que:

52.

a bcd  =  1920.  

La suma de tres números es 54 000. El primero es al segundo como 2/3 es a 3/5 y

Hallar : a + b + c + d

tercer   número   es   8/27   del   total.   Hallar   la

a) 25    b) 33     c) 28     d) 42    e) 21

diferencia entre los dos primeros. a)  1 400              b)  1 600             c)  2 000 

48.

Si :

d)  2 400              e)  3 000

 a/5 = b/7 = c/11  y  a2 + b2 + c2 = 780

53.

Hallar: abc

49.

a)  3 080

c)  2 850     e) 1 350

b)  2 050

d)  3 280

De un grupo de hombres  y mujeres,  se retiraron 15 mujeres quedando dos hombres por   cada   mujer.   Después   se   retiraron   45 hombres,   quedando   5   mujeres   por   cada

En una proporción geométrica continua la suma de términos extremos es 39 y la diferencia   de   los   mismos   es   15.   En consecuencia la media proporcional es:

- 73 -

varón.   El   número   de   mujeres   que   había   al inicio es: a) 40       b) 50         c) 60       d) 65     e) N.A.

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54.

La razón aritmética de dos números es a su razón geométrica como el menor de dichos  números es a 7/4. Hallar la razón b) 5/2

c) 7/3     d) 5/3

55.

59. Para   una   carrera   de   100   metros,

Antonio   le   da   a   Bernardo   10   metros   de ventaja;   para   otra   carrera   de   100   metros Bernardo   le   da   a   Carlos   10   metros   de ventaja y para una carrera de 200 metros

c

a) 15       b) 16    c) 13        d) 17

e)

3/2

b

 

Calcular: a – c

geométrica. a) 3/8

Si:    a  b   y   a2  2b 2  c 2  = 169. 

58.

  e) 19

Un   vehículo   puede   transportar   como pasajeros   a   12   adultos   y   8   niños   o   en   su defecto a 15 adultos y 3 niños. Si el vehículo se  utilizará  sólo   para   transportar   niños. ¿Cuántos niños como máximo podrán llevar? a) 24    b) 25     c) 28       d) 26    e) 30

Carlos le da a David 40 metros de ventaja.

RESULTADO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

¿Cuántos   metros   de   ventaja   le   debe   dar Antonio a David para una carrera de 500 metros? a) 124           b) 142          c)165         d)  176 e) N.A. 56.

Lo   que   cobra   y   lo   que   gasta diariamente un individuo suma S/. 60. Lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 4,2

b) 2,4

c) 4,5    d) 5,4

e)

6,8 57.

Las edades de Joaquín, Pablo y Silvio son proporcionales a los números 3, 2 y 4. Si   después   de   9   años   sus   edades   serán proporcionales a 9, 7 y 11. Hallar cuántos años más tiene Silvio respecto a Joaquín. a)  8       b) 12       c) 14       d) 10     e)  6

- 74 -

1 a 8 b 15 d 22 d 29 b 36 a 43 d 50 b 57 e

2 e 9 c 16 a 23 c 30 c 37 c 44 d 51 c 58 c

3 b 10e 17 c 24 e 31 c 38 b 45 c 52 c 59 c

4 d 11 a 18 e 25 d 32 c 39 b 46 a 53 a

5 c 12 c 19 e 26 b 33 c 40 b 47 c 54 c

6 d 13 a 20 b 27 c 34 a 41 a 48 a 55 d

7 a 14 b 21 e 28 b 35 e 42 a 49 b 56 b

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- 75 -

M AT E M ÁT ICA I

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TEORIA DE EXPONENTES Y ECUACIONES EXPONENCIALES

La teoría de exponentes tiene por objeto el estudio detodas las clases de exponentes que existen y la  relación que hay entre ellos. POTENCIACIÓN

1. Multiplicación de bases iguales:       a p .a q .a r 2. División de bases iguales:                

a

m

a

n

a

 a p q r

mn

3. Potencia de un producto:

                (a.b.c)m

4. Potencia de un cociente:

                 b 

5. Exponente negativo:

  n  1 n 1 a     n a a     de un cociente  n n  a    b     b  a 

6. Exponente cero: 7. Potencia de potencia

a

m



a b

 a m .b m .c m m m

 a0 = 1  y a 0   (((a

m

) n ) p  a m.n.p

radicación 1. Exponente fraccionario:

 

2. Raíz de un producto:

 

3. Raíz de un cociente:

 

4. Raíz de raíz   5. Introducción de un número en un radical: p

a .n b 

n

Para los ejercicios tenemos que tener en cuenta:

- 76 -

a

pn n n pn . b  a .b

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 Si, am=an  m= n a  0,1  Si, an=bn  a= b n  0  Si, aa = nn  a= n

- 77 -

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EJERCICIOS 1. Calcular “m” si: (0,5)

3

2

a)  14 27 d)  23 3

a) 8        b) 9     c) 10     d) 7      e)6

1

 (0,125)

m

b)  7 9                

7

8. Indicar el exponente de x en:

c)  37 3 e)  14 3

 (3n   36  ) veces  

              

2. Resolver:  x

2x

2x

x

6 3

a)  3 6    b)  3 3      c)  6 3         d)  6 6            e)  18 18 3. Calcular:  x x  x

x

4

e

 

c) 6

indique

a) 2               

b) 

1 d)                2

2

       c) 1/2

x.

x

a) x5             b)x4                x3 d) x2               e) x

c)

n

2 .6 2 2n 13

3

2. 2

1 2

3 5 3 7

c

16. 4.

3 5 3 7

5 7 16 4

1/2       

d) 0,5            e) 1

11. La   suma   de   las   soluciones   de: 2x x 64(2 ) 1 65(2 )  es: (CLL ‘99­I) a) ­4      b) ­6      c) –3      d) ­7    e) ­5 12. Para que valor de “n” el exponente final de “x” en

7

2

c) 6

es  21: a) 5      b) 6 c) 7    d) 8 3b

x 1 y Del sistema  3 x y21 11  hallar x.  (UNI 3 2  41

’02­I) a) 1/2              3/2 d) 2               

b

 b 1 3  c 1 4 a b c 1 2 1 3 1 4

 2 3  n x n 1. n x n  2. n x n 3   n n 2n 3  x. x . x 

a)2               b) 4                d) 8                e) 1 6.

a

10. Resolver:

7

n

n x .5 x

x

a)11       b) 14           c) 9         d) 8      e) 10  

5. Simplificar: n 1

x



45 6

a) 2           b) 4      c) 2

e) 1

4. simplificar: x

3

3n  4 x 2n

a) n      b) 2n         c) 2­n        d) 1            e) 0 9. Calcular: a

x 1 ( x 1) x

x

3 4 x 3 4 x .....3 4 x

2 n

13. Hallar b:       a) 37   b) 17  

e) 9

c) 25  d) 75

4 4

n

       a) ½     b) 0      c) 2        d) 3

- 78 -

15. 0perar: a) 1/12

x

x

3 4 x

e) 27

n 1

14. Calcular   E  n n  2

e) 1

e) 4

7. Halle   el   valor   de   x   en x 7 x 8 x 6 2 2 2  5  (Cat ‘01_I)

n

b 3

2

b) 2/3              c)

     

x



x

x

x

4 3

x

(12)  1

b) –1/12  c) 12

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d) 7/12 

e) –7/12

- 79 -

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a) ¼    b) 1/8    c) 1/18      d) 1/16        e) 1/24 16. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar la suma de los elementos del conjunto C, tal que: (SM ’98) A={8y­1, 9z+1} B={64, 81} C={2x / xN  zxy}  a) 12    b) 6    c) 18      d) 4 e) 24 17. simplificar:   "x"veces    x  x  x  .....  x x.

3

2

x .

x.

3

25. Resolver la ecuación  exponencial  x

x

2x

2

x ......  radicales

18. Calcular  1  2  2  2          a)  3    b) 3 1/2  c) 32     d) 2        e) 23 19. 0perar: n

) (33  2 )

2x   3 2  

29. Hallar x en :    ( x 1)( x 1)( x 1)  2 a)  2 1        b)  2       c)  2        d)  2 1      e)  2 2 1

n 3

81

1/3

a) 3 d) 9

b)3   e) 3n

c) 3

20. Calcular   el   valor   de   “m”   en   la   siguiente igualdad. x

m

x

m2

x

3

a) 5       b) 1/9     c) 1   d) 3 21. Considerando  x

x

a) 1    b) 2

e) 9

 2 . Hallar el valor de

x

x

1 x x 1 x

c) 4     d) 1/2      e  ) 21/2

22. Hallar   la   potencia   de   base   x   que multiplicado por F da como resultado x100 F

a) 22          b) 8 98

12 x 3     

a) 3    b) 6      c) 9      d) 7     e) 8

27

1/2

2

26. Resolver x                          x x x 1  9 a) 3    b) 3­1     c) 9      d) 9­1    e) NA

28. Simplificar

n 1 3

4

a) 2     b) ½    c) 4    d) 2­1   e) 

27. Resolver  3                         x x  3 a) 3    b) 3­1     c) 9     d) 9­1    e)  3 3

a) xx­1    b) x c) x­1    d) 1    e) xx

(3

2

3 5 4 120 x

 c) 18    d)  64      e)

30. Calcular:     a) 4       b) 6       c) 1      d) 8     e) 2 31. Hallar x en :  4x x+1+4xx = 5 4 x a) 0,5       b) 0,25       c) 0,0125      d) 2     e) 4 32. Simplificar           a a a .8 a . a 2         a) 1     b) a     c) a2       d) a4     e) a6 33. Hallar “n”         (516  5n )  (5n  52 )  57   a) 1     b) 12     c) 8       d) 10     e) 9 34. Hallar x ( x 1)

24. Al resolver la ecuación 

a)         d) 

x x  1 42

        el valor de x es: (FV ’94) - 80 -

2 1   

( x 1) 2 2

2 1        b) 

2

      c)  2

2 1      e)  2 2 1

2 1   

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35. Resolver  32x+5 – 28(3x+1 –2) = 55         a) {­1, ­4}         b) {2}        c) {­2}              d) {­1, 2}     e) –1, ­3} 36. Indicar el exponent5e al reducir 1 1 1 1 1 1 2 3 4

1 1 n1 n  x

       a) 1      b) n       c) 2/n     d) 2    e) n­1 37. La mayor raíz al resolver  13 x x

2

x

x

2

12  

a) 3    b) ­2      c) ­3     d) 7      e) 32

1E 8D 15 22 29

2C 9 16 23 30

3E 10 17 24 31

4E 11 18 25 32

5A 12 19 26 33

6D 13 20 27 34

7A 14 21 28 35

- 81 -

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EXPRESIONES 



ALGEBRAICAS Y 

     

POLINOMIOS Expresiones   algebraicas:  es   el   conjunto   de números y letras unidos entre sí por los signos de   operación:   mas,   menos,   por,   entre, exponente radicación, etc.

Término algebraico:  es la mínima expresión algebraica cuyas partes no están separadas ni con el signo más ni por el signo menos.

4 xy,

 3 y 3x 5  1  x , 2x 2 xy  y 3

3 términos se dice TRINOMIO Nota:  Término independiente: (t. I.) T. I. (p) = a0 = p(0) Suma de coeficientes ( coef.)  coef. (p) = a0 + a1 + ….. +an   =  p(1)  GRADOS: grado es una característica propia de los   polinomios   y   está   expresado   por   números naturales.

Elementos de un término: Exponentes

  7

2 términos se dice BINOMIO



Ejemplo:

ai ,   i=1, 2, 3,...,0 coeficientes que pertenecen a los N° reales. an  0. an: Término Principal x:  Variable. n: Grado Del Polinomio. n+1: N° de términos del polinomio. a0:  Término independiente (no depende de x) Si el polinomio tiene: 1 término se dice MONOMIO.

Variables Parte literal

x4 y2

1. Grado relativo (gr): es el mayor exponente  de la variable en referencia.

coeficiente

Términos   semejantes:  dos   o   más   términos son semejantes si tienen la misma parte literal.

 Ejemplo: P ( x, y, w)  4 x 2 y 3 w 4  3 xy 5 w  18 x 6

Grx = 6,       gry = 5       grw = 4

Ejemplo: ab 4 c;  89ab 4 c;

3 ab 4 c 4

2.   Grado   absoluto   (ga):  es   el   término   de máximo grado.

Polinomios: son expresiones algebraicas de la forma: n

a n x  a n 1 x

n 1

2

   a 2 x  a1 x  a 0

Ejemplo:  P ( x, y, w)  4 x 2 y 3 w 4  3 xy 5 w  18x 6      9

7

Ga = 9

- 83 -

6

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Valor numérico:  es el valor que toma dicho polinomio o cualquier expresión algebraica al remplazar valores asignados a sus variables. Ejemplo: Sea el polinomio  P ( x, y )  x 2 p(2,4).

 y 2  5  hallar 

P(2,4)= 22+42­5= 15

- 84 -

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POLINOMIOS ESPECIALES P ( x)  ax 3  bx 2  cx  d abcd 0

Ejemplo: 1. Polinomios Ordenados: cuando es  ordenado creciente o decreciente con respecto  al grado de una letra. Ejemplo:

6. Polinomio Mónico: es cuando el término  principal es la unidad.

P ( x )  ax 5  bx 4  cx 2

Ejemplo:

Decreciente 

P(x)= x3+9x2+3x+7  es un polinomio mónico.  2. Polinomio Completo: con respecto a una  letra, es aquel que se caracteriza porque los  exponentes de la letra considerada existen  desde el mayor hasta el cero.

7. El Cero de un Polinomio:  Sea P(x) un polinomio.  Si P(m)=0 m es un cero del polinomio. Ejemplo

Ejemplo: 5

4

3

P ( x, y )  5 x  6 x y  7 x y

2

2

 3x  7 x  6 y

3

Con respecto a la variable x,  p(x,y) es  completo. El término independiente es 6y3.

x=5 es un cero de P(x)= x4­5x3+x2­4x­5  Pues: P(5) = 625 ­ 625+ 25 – 20 – 5 = 0 

EJERCICIOS RESUELTOS 3. Polinomio Homogéneo: todos sus términos tienen el mismo grado.

1. Simplifcar: E

1  n n  1  (n  1) n

1 1  n 1 n

a) 1       b)  2       c)  3       d)  0        e) 4 Ejemplo: 

P ( x, y )  x 2  2 xy  y 2

Cada uno de sus términos es de grado 2.

Solución:       E 

4. Polinomio Idéntico: son aquellos que se  caracterizan porque los términos semejantes  tienen coeficientes iguales.

Factorizando E

1 n n n 1  n 1 n 1 n

1 n n  1( n  n  1)





1 1  n 1 n

Se saca el M.C.M Ejemplo:

Sí ax 2  bx  c  dx 2  ex  f  a  d , b  e, c  f

5. Polinomio Idénticamente Nulo: son  aquellos cuyos coeficientes son iguales a cero. - 85 -

       E 

1  n ( n  n  1)  n  1( n  n  1) n n  1( n  n  1)

1 1  n 1 n

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E

E

 Para igualar los  denominadores 

1  n  n2  n  n2  n  n  1 n n  1( n  n  1) 0

n n  1( n  n  1)

(a 2  a  1)(a  1) (a 2  a  1)(a  1) 2a 3  3 2  4    3 2 (a  a  a  1)(a  1) (a  a  a  1)(a  1) a  1

= 0

a 3  a 2  a  a 2  a  1 a 3  a 2  a  a 2  a  1 2a 3   4 a4 1 a4  1 a 1

2. Señale el valor numérico de: x 6 ( x 2  8)3 p ( x)  , 3

0 = 0. a 1

 Para   x  2  3 3  2  3 3 .

4

a) 190 b) 190  c) ­192 d) 185  e) 196 4. El

Solución:

x 6 ( x 2  8)3 ( x 2 ( x 2  8))3 ( x 4  8x 2 )3 p( x)      …(1) 3 3 3

Por dato se tiene que  el valor de x elevamos al cuadrado  x 2  ( 2  3 3  2  3 3 ) 2 x2  2  3 3  2 2  3 3 2  3 3  2  3 3

x 2  4  2 (2  3 3)(2  3 3)

 

semejante

 

de:

x 4  8 x 2  16  4(4  3 32 ) x 4  8 x 2  4 3 32 ...(2)

Rpta.: alternativa a

Reemplazando (2) en (1)

mn mn 5. Si: P   n  2m  x y ,

Q   5m  2n  7  x13  n y1 m  

(4 3 ) 4 .9   192 3 3 3

2 3

3. Determine

3

 

la

 

suma

a  a 1 a  a 1 2a  3  4 Si  2 2 a  a  a 1 a  a  a 1 a 1 a  R  {1, 1} 2

es a) 7x/4­17y/6+1/4 b) 5x/2­8y/3­1/2 c) –x/4+y/3+3/4 d) x+y+1/4 e) x/2­y/6+1/4

x y 3x y 3 1   2x  3y     2 3 4 6 4 2 3 1 1 1 3 1    2  x    3   y     4 6 2 3 4 2 7 17 1  x y 4 6 4

( x 2  4) 2  (2 (2  3 3)(2  3 3)) 2 ;

2

Son términos semejantes. Hallar la suma de sus coeficientes.    a) 9         b) 8       c) 10       d) 4         e) 11   

3

Solución: Por términos, los grados de P y Q son iguales:  m + n = 13 ­ n                 m + 2n = 13  m – n = 1 – m                  2m – n = 1        

3

a) 0    b) 1     c)  a    d)  a 2      e)N.A Solución: Se tiene  

término

Solución:

Elevando ambos lados al cuadrado

p( x) 

 

x 2  y 3  2 x  3 y  3x 4  y 6  3 4  1 2

Resolviendo:       m = 3,    n = 5 Suma de sus coeficientes:   

a2  a 1 a2  a 1 2a 3  3  4 2 2 a  a  a 1 a  a  a 1 a 1 3

 coef .  n  2m  5m  2n  7  3m  n  7   

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 coef .  3(3)  5  7  11              6.   Hallar   el   número   de   términos   en   el n desarrollo   de:  x  2  ,   para   que   los términos de lugares 10 y 11 tengan igual coeficiente.    a) 14       b) 12      c) 13       d) 15       e) 16 Solución: n

n 9 9     t10   9 ( x) (2)  

t11

 n  n 10    x  ( 2)10     10   n

n

9 10 Por ser de igual coeficiente  2  9   10 2    

   29.n! 210.n!      n  9!9!  n  10 !10! 1 2   n  9 n  10!9!  n  10!10.9!

    



1 2 1 1           n  14                    n  9 10 n9 5

1. Hallar el grado de: P(x,y) = 5abxm+3 y2m+1 zm+3 a) 3m+4 b) m+3 c) 2m+1 d) 4m+7 e) N.A. 2. Calcular el grado absoluto de: M(x,y) = 9x7y12 – 3x9y12 + 2x11y13 A) 24 B) 18 C) 19 D) 21 E) 23 3. Hallar el valor de “b” para que el grado de: P(x,y) = (3abx3b+3y2) sea 20 A)  5 B)   8 C) 10 D)  3 E) 12 4. Dado el monomio: M(x,y) = 4mnx2m+3ny5n–m Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente a)  2 b)   4 c)  8 d) 64 e) 16 5. Hallar el coeficiente de: a

 1  .2b x 3a  2b y 5a  b 5

M(x,y) =  

Nº Términos: n+1 = 15    

Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14. a)  4/625 b) 2/25 c) 16/25 d)  16/125 e) 8/625

7. Si f (g(x)) = 3x+16 y f (x­5) = 3x­14.  Calcular g(f(g(3)).                                                               a) 60       b) 20     c) 30      d) 40    e) 70

6. Dar   el   valor   de   verdad   de   las   siguientes proposiciones:

SOLUCIÓN Sea x­5=y  x= y+5 Así f(y) = 3(y+5)­14 = 3y+1 f(g(x)) = 3g(x)+1= 3x+16  g(x)=x+5 g(3)=8 f(8)=25 g(25)=30

I. R(x,y)   =   3x5  +   2

y4 x

algebraico II. H(x,y,z)   =   5x2y   +   3 polinomio

;   es   un   término z

+log   z;   es   un

III. T(x,y)   =   ax3+by4  +  (a   +   b) monomio a)  FVV d)  FFV

EJERCICIOS PROPUESTOS

b)  VFF e)  VFV

x y

;   es   un

c)  FVF

7. Si: P(x–2) = x + 1       P(Q(x)) = 5x + 9 - 87 -

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indicar Q(3)  a) 19 b) 20

c) 21

d) 22

e) 23

8. Siendo:  G(x) = x Además:   P(x) + Q(x) = 2x2 + 8 P(x) – Q(x) = 8x calcular: G(Q(P(0))) a)  1 b)  4 c)  8 d)  3

e)  5

9. Dado P(x) = ax  + 2x – 1 Si: P(–2) = 7; entonces “a” vale a)  1 b)  3 c)  7 d)  2

e) 60

17. Indicar   la   suma   de   coeficientes   del polinomio: P(x)=(5x4  –3)n  +(4x5–3)n–1  +(7x3–5)n–2 +5(x7+1)n–2(x–2) a)  1 b)  2 c)  3  d)  4 e) 0

e)  1

10. Hallar   el   valor   de   n   si   el   término algebraico 7xn+3 y5 zn–2 es de grado 12. a)  1 b)  2 c)  3 d)  4 e)  5 11. Si el siguiente monomio 9x3  y4n  zm–n  tiene G.R.(y) = 16 y   G.A. = 20, hallar “m . n” a) 5 b) 20 c) 12  d) 10 e) 24

18. Calcular el valor de “m – n” en el monomio: 3

P

a m  n bn  6 a 2 / 3 . b1 n

si es de 2do. grado respecto a “a” y de 7mo. grado absoluto. a)  5 b)  3 c)  2 d)  1 e)  0 19. El grado absoluto de M es 6, hallar “b” si:

3

12. Si P(x) = 3x  + 2

a2

calcular:

E =  P(2)P(0) 

b) 22

d) 52

16. Si el polinomio: P(x;y) = 7xa+5 yb–1 +  3 xa+2 yb+1 – xa+3 yb+2 tiene GA = 16  y   GR(x) = 12, hallar a – b a)  6 b)  2 c)  4  d)  5 e)  3

2

a) 20

sea de 6to. grado a) 20 b) 18 c) 44 

c) 26 

P( 1)

d) 30

  

2

e) 60

13. Si P(x) = x2 – x + 2,  calcular:  A = P {P 2 – P(–1)} a) 10 b) 23 c) 37  d) 58 e) 77

M =  a  3 a)  2

a 3    x  xa  3    a 2 x  xa  2  

b)  6

   

. y 2b

c)  4

d)  3

e)  5

20. Hallar el grado de: P(x;y;z;w) = 

 

1

 

3

   1 a 1   a 1 a 3 a 1  z x  w  y3   

14. Si la expresión: n m x n 1 . y 26  x 3 . y m 1 ,   se   reduce   a   un

monomio.  halle el grado absoluto de la expresión: m n

M x; y;z 



a)  3

b)  5

x12

3

y 2m

c)  6

2

.

zm

d)  4

  e)  1

15. Hallar el valor que debe darse a “m” para que la expresión: 4 m x m 1. x R 3 6 5m  4

a)  a

b) a2

x 1 x  1 , calcular “E” donde:

E =  Q(Q(Q(25) ) ) - 88 -

d) a + 1 e)  1

21. Hallar   “a   .   b”   si   el   G.A.   del   monomio   es igual a 17, y su coeficiente tiene el mismo valor que el G.R. (x), siendo el monomio: P(x,y)   =   (a + b) x2(a–1) y3b a)  3 b)  5 c)  15 d)  10 e)  25

22. Si Q(x) = 

x

c) a – 1

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a) 0

b) 5

c) 12 

d)  4

23. Si P(x) = x3 + ax2 – bx + c y hallar: a . b . c a) 15 b) 75

e)  1

P(0) = 5, P(1) = 9, P(2) = 25

c) 25 

d) 30

e)  0

P ( x )  P (x ) P( x )  ( x 

a)  1

5 )( x 

b)   2

5)

c)  3 

d) 4x

e)  x

25. En la siguiente expresión: a2  a  1

A) ­½       b) 2   c) 3     d) 1   e) ½  31. Hallar “m” en la regla   P ( x ) 

(9  m) x  b x 1

si  P(P(x)) es una expresión lineal en “x” A) ­20     b) 20   c) 10     d) ­10   e) 8

24. Si P(x) = x (2 – x) + 5, calcular: R

30. Hallar el valor de r para que la suma de los ceros del polinomio: P(x) = 2rx2­(12r+1)x+12; sea 7

32. Hallar   P(1)   si   P(y2)=(ya+b)(yb+a)   siendo: P(y) un polinomio completo y además a y b  0 y b  a. A) 10    b) 15   c) 20    d) 25   e) 30

1 a 3 2 x a 1 . x 2a  2

1 a 2  xa a  

   

1

tiene el grado igual a 13, hallar a. a)  5 b)  7      c)  8     d) 10     e) N.A. 26. Calcular: A = P(x+1) + P(x–1) – 2 P(x),  si:  P(x) = 3x2 + 2x – 4 a) 2 b) 4 c) 10  d)  6 e)  8 27. Sea P(x) = (ax2 + 3x + b) (x + c) – 2x3   Si   GR   (P)   =   0,   hallar   el   término independiente. a) 9/4                b) 27/4         c) –27/4 d) –9/4          e) 9/2 28. Hallar a+b si el polinomio es homogéneo: P ( x, y )  ax a

a 5

3

 by a  cx b

a 1

A) 8     B) 9     C) 10     D) 11     E) 12

33. Si el polinomio.  P(x,y)= 2x2k­5y4r+3x2k­4ry3+x4y9 es     homogéneo; hallar “r” y “k” A) 3 y 7     b) 2 y 7      c) 1 y 7 D) 1 y 5     e) 2 y 5 34. Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio,   si   se   sabe   que   es   completo   y ordenado en forma decreciente respecto a los exponentes de “x” 2

P( x )  ax n  6 x n  a  cx n b  nx c  2  a

A) 13    b) 14   c) 15     d) 16   e) 17 35. Si

  2   P 1  x   4 x  2 x  5 .

 P (3 / 2)    3  

1





2

A) 20     b) 25   c) 30    d) 35   e) 40 29. Si   el   grado   absoluto   del   monomio:   m= (a+b)x2(a­1)  y3b, es 17 y su coeficiente tiene el mismo valor que grado relativo respecto a x . Hallar a+b. A) 8       b) 9      c) 7      d) 5       e) 2

36. Si P(x) = x2­x+1 : hallar: E = [ P(x+1)­P(x­1)­4x ]2 A) 3       b) ­3   c) 4     d)­4   e) 5 37. Hallar “m/n” si el polinomio

- 89 -

 

Hallar

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P(x,y)= xmyn (2x2m+1+7y54n+1)7

25 c 31 d 37 e

Es homogéneo. A) 23    b) 24   c) 25    d) 26   e) 27 38. Hallar un polinomio cuyos ceros sean una unidad mayor con respecto a los ceros de: P(x)= x3­7x+6. A) x3­3x2­ 4x+12 B) x3+3x2­ 4x+12 C) x3­3x2+ 4x+12 D) x3+3x2+ 4x+12 E) x3­3x2­ 4x­12 39. Hallar   “m+n+p”   si   el   polinomio   P(x) además   de   tener   3   ceros   como   máximo está   ordenado   en   forma   descendente respecto   a   sus   exponentes   y   carece   del término cuadrático. P(x)= xm­10 + 3xm­n+5 + 2xp­n+6 A) 41     b) 42   c) 43   d) 44   e) 45 40. Calcular la suma de los ceros del siguiente polinomio mónico P ( x )  (a  8) x 3  2 a

a x 2  12 x  33a

A) ­1534       b) 1538     c) ­1538 D) 1536        e) ­1536 41. Hallar el valor de “p” y “q” si se cumple la siguiente identidad de polinomios: 13­2x = p(2­x)+q(1+x) A) 5 y  2     b) 6 y  3     c) 5 y  3 D) 6 y 2      e) 5 y  4 RESPUESTAS 1 a 2 a 7 c 8 b 13 d 14 c 19 d 20 e

3 a 9 b 15 c 21 c 

4 c 10 c 16 e 22 a

5 c 11 b 17 a 23 e

6 e 12 c 18 c 24 b - 90 -

26 d 32 b 38 a

27 c 33 c 39 a

28 c 34 a 40 e

29 a 35 b 41 c

30 e 36 c

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(ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x + bd

PRODUCTOS    NOTABLES

(a2+b2)(x2+y2) = (ax+by)2 + (ay­bx)2

Binomio al cuadrado:    (a  b)2 = a2  2ab + b2 Diferencia de cuadrados:   (a + b)(a ­ b) = a2 ­ b2 Binomio al cubo: (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 3

Si    a+b+c = 0   entonces se cumple      a2+b2+c2 = ­2(ab+ac+bc)      a3+b3+c3 = 3abc a2+b2+c2 = 2(a4 +b4+c4).

EJERCICIOS RESUELTOS

3

  = a   3ab(a  b)  b

1. Efectuar:   x  1 x  1 x  1 x  1  1 A) x8     B) x16      C) x      D) 0        E) x64 2

Trinomio al cuadrado: (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc Trinomio al cubo: (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)              = a3+b3+c3+(a+b+c)(ab+ac+bc)­3abc Suma de cubos: 2

2 

3 

( a+b )( a ­ab+b ) = a + b

3

Diferencia de cubos: ( a­b )( a2+ab+b2 ) = a3 ­ b3

SOLUCION

x

2



2



4



8



 1 x 2  1 x 4  1 x8  1  1

 x   1 x





 1 x8  1  1        4 4 8         x  1 x  1 x  1  1 8 8         x  1 x  1  1                  x16  1  1   = 2 2

4

x16   

2. Dadas las condiciones: a2  b2  c2  2

 a  b  c 1  ab  bc  ac   32 Calcule:  a  b  c A) 6  B) 8  C) 2

Identidades de Legendre:            (a+b)2 + (a­b)2 = 2(a2 + b2) (a+b)2 ­ (a­b)2 = 4ab      (a+b)4 ­ (a­b)4 = 8ab(a2 + b2)

D) 4  E) 9

SOLUCION

 a  b  c  2  2ab  2bc  2ac   64  a  b  c  a  b  c  2  64

8

8

4

2

2

8

4

4

1 (2 1)(2 1)(2 1)(2 1)  8 1 (2 1)(2 1)(2 1)

Identidad de Argand: (a2m­ambn+b2n)(a2m+ambn+b2n)=a4m­a2mb2n +b4n

abc  4

3. Calcular  8 1 (28 1)(24 1)(22 1)3 a) 3       b) 4          c) 5        d)6      e) 7

Mas productos: (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab

SOLUCIÓN

(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+ + abc - 91 -

8

8

4

2

8

4

2

1 (2 1)(2 1)(2 1)3  8 1 (2 1)(2 1)(2 

Aplicando el producto notable 

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(x2 – y2)=(x­y)(x+y)

6. Si:  x 

Tenemos 

8

8

1  ( 2  1)(2  1) 

8

16

1 2

1  4

Solución:  Elevando al cuadrado el dato: 

4. Hallar el valor numérico de:  5x+2y 5 x  2 y E  x+2 3x  2 y

2

1  2  x     8 x  2

1 1 x 2  2 x        64  x  x

si se cumple que: x 4y  2 y x

x 2  x 2  62  

7. Simplificar:

A)  1   B) 2   C) 3     D) 4     E) 5

2

 a  b    a b  E  2   2 

Solución

a) –ab

x 4y   2 elevando al cuadrado: y x x2  4 y2  4 luego, x 2  4 xy  4 y 2  0 xy

E=

2

 0, entonces x=2y, reemplazando en E.

5x+x 5 x  x  2 x+x 3x  x

5. Simplificando:

 x  1  x  1  x 2  1  x 4  1  x8  1 ...hasta n factores Se obtiene:

A) x

2n1

 1 B) x

b) ­53 c) 62      d) ­62     e) N.A.

a) 20

8

 x  2y

1  8 , hallar: x2+x ­2 x

2n 1

 1 C) x

2n 2

 1 D)x

2 n 2

 1 E) x

2n 1

  2

Solución: Aplicando   diferencia   de   cuadrados   se obtiene: 21 para 2 factores :  x  1  x  1  x 2  1 para 3 factores :  x 2  1  x 2  1  x 2  1 31

para 4 factores :  x 4  1  x 4  1  x 2  1 41

n1

para n factores: x 2  1

- 92 -

2

b) 2ab c) ab   d) ­2ab   e) ab/2

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Solución:  E

 a  b

2

  a  b 4

Realizando   operaciones   y   reduciendo tenemos: P  4b 2  

2

Por Legendre en el numerador:  E

4ab  E  ab 4

11. Si: 

8. Efectuar:  M = (x+2) (x­2)(x2­2x+4)(x2+2x+4) a) x6­64 b) x6+64 c) x4+64 d) x4­64 e) 64­x6

a)   4





Sumadecubos



M  x 3  23 x 3  23

Diferencia decubos



Suma   por   diferencia   =   diferencia   de cuadrados: 2 2 M   x 3    23   M  x 6  64    9. Si: a3+b3 = 10, además  a+b=5. Hallar:  a.b a) 3/23 b) 23/3    c) 24/5   d) 5/24       e) N.A.  Solución:  3 Como:   a  b   a 3  b3  3ab a  b  Remplazando los datos: 

10. Al reducir:  P = 3(a­2b)2+2(a­2b)(a+2b)+(3b­a)(3b+a)– ­(2a­3b)2 Se obtiene a) 4b b) a c) b d) 4b2 e) N.A. 

 d)  7  e)







  12ab  9b 

 

 a  4a

3

1  x   x 

 7

3

Formula:  x3 

1 1 1  3.x. . x    3 x x x

3 Reduciendo:  x 

2

7 . 7

1

1 4 7 x3

12. Determinar (m+n) en la siguiente identidad.  x 8  4 x n  x n  7   m  2n  x

a) ­3     b) ­2 

    c) ­1     d) ­4 

e) ­5

2

m = ­2  Luego:  m + n =­1  

EJERCICIOS PROPUESTOS

A)  5 B) 2x E) N.A.

P  3 a 2  4ab  4b 2  2 a 2  4b 2  2



1   x    7       Elevando al cubo x 

1. Reducir: M = (x + 3)2 – (x – 3)2 – 12x + 5

Solución:  Remplazando productos notables: 

9b

7

3

x8  4 x  x8   m  2 x

23 3

2

 c)  6

7

x

Solución:  Por ser identidad vemos n=1 entonces la  expresión queda así: 

 10  3ab 5

ab 

  b)  3

1

Solución: 

M   x  2  x 2  2 x  22   x  2  x 2  2 x  22               

 5 3

7

3

 7  , Hallar       x 

4 7

Solución 



 1  x  x 

2

2

- 93 -

C) x + 1 D)  4

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2. Reducir e indicar la suma de coeficientes del resultado: B = (x + 2)3 – (x + 2) (x + 2) (x + 1) – x A)  8 E) N.A.

B)  2

C)  1

D)  0

A) 2x

3. Si a + b = 4  y  ab = 7,      hallar a2 + b2 A) 3 E) N.A.

B) 2

C) 5

D)  4



1 

1 







2 P =   x  x   x  x   x 

A)  x4 + x–4 B)  x2 – x4

C)  x4 – x–4  D)  x8 – x–8

2 5. Si  x  + ,  x 

B)  2

1 x2

A)  2ab B)  (a + b)2

C)  4

11. Si: a + b = 6 hallar: E = 

1    x2 

A) 12

E) N.A.

= 7, hallar    x 

1 x

D)  3

B)  1

C) 

6

7. Si: a + b = 5  4 4 hallar: a  + b A) 20 10 8.

B) 21

k

E) A) 1

D) 30

E)

C)  1

a3  b3

C) 10

D)  2

D)  9

E)  8

B) 2

C)  4

2

D) 9

E) 25

 

C)  x6 + x + 1 D)  –2x6 + 2

E)  x6 – 2

14. Al reducir:

=

k

B)  5

E)  0

ab = 4



A)  x12 + x6 – 1 B)  x6 – 1

E

E) 2x

13. Simplificar: (x + 1)2 (x – 1)2 (x2 + x + 1)2(x2 – x + 1)2–  ­(x6 + 1) (x6–1)

D)  3

m n      n   m

A)  3 1/2

C)  (a – b)2  D)  4ab

B) 11

P 

m n Si:    2 ,    calcular: n m

D) –x

2  x  z  2 xw     E          w  y   zy    

ab = 7

C) 23

C)  0

12. Si: (x + y + z + w)2 + (x + y – z – w)2 =  = 4 (x + y) (z + w) hallar el valor numérico de:

6. Si x2 + y2 = 36; xy = 18, calcular  x – y A)  0 E) N.A.

B) –x

10. Si a + b = x2 + y2    a – b =  2xy hallar:  P = (x2 – y2)2

4. Simplificar:

A)  7 5

9. Después de simplificar: [(x+1)2(x2+2x–1) – (x–1)2(x2–2x–1)]1/3 Se obtiene:

E)

A)  7

2

3 

2

B)  8



C)  9

3 

2

3 

2

D) 10

E) 12

15. Efectuar: A = (x2 – 6x – 1)2 – (x2 – 6x – 2)2 – 2(x – 3)2 A) 12

- 94 -

3

B) –21

C) –15

D) 17

E)N.A.

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U N IV E R S ID A D N A C IO N A L D E L A L T IP L A N O - P U N O

22. Sea: 16. Sabiendo que: x + y = 3; Hallar el valor de x5 + y5

xy = 2 A

A) 33 B) 45 C) 60 D) 31 E) 63 17. Simplificar: (a+b–c+d)(a+b+c–d)+(a–b+c+d)(a–b–c–d) +  + 2c2  +2d2 D) b2 – c2 – d2 E) b2 + c2 

A) 4 (ab + cd) B) 2 (ab + cd) C) 2 (a2 + b2)

x2  y2 x  2y 2y   xy 2x x  3y

1

A)  2 1 19. Si a – 



1 4  y xy

B)  4

1 a

; xy  0

C)  6

D)  8

= 1,  hallar a12 + 

E)

1 12

a

2

–1

–1

A)  1

B) 

4

2

D)  4

x

E) x

21. Si a3 + b3 = m;   a + b = n, calcular (a – b)2 A) 

n3  4m 3n

m  4n C)  3n

B) 

mn 3

D) 



2 xy

;  xy  0

A) 1/9

E)  1

B) 1/3

C)  3

D)  9

23. Si: (a + b)3 = a3 + b3  ;  b  0 calcular a / b C)  1 D)  2

24. El equivalente de:  2a  b 2a  b   2a  b  2a  b     2a  b  2a  b   2a  b 2a  b 

 (2a  b)2  4ab      es: 4ab  

C)  3

D)  4

25. Siendo     a,     b     y     c       los     lados     de   un triángulo   rectángulo     donde   c   >   a   >   b, reduzca la siguiente expresión: (a2  b2 )2  3c 4  12a2b2

A)  2

xy

C) 

2

(c 2  2ab)  (c 2  2ab)

y

2x y

1

A

+

x 



si se cumple:  9(x + y) =xy, calcule: 

20. Si (x  + y ) x  y  = 2 con x,y   hallar:  S 

2

y  1 1 1 1    3  3 3 2  x y yx 2   xy

A)  1 B)  2 E) N.A.

A) 326    B) 322    C) 340    D) 366    E) 318 2

x

A)  0 B) –1 E) Más de una

18. ¿Cuál es el valor que asume:

cuando:  x

1

4mn E)  3

4m  n3 3n

B)  3

C)  4

E)  6

26. Si x =  4  15  +  4  15 Calcular: E = (x + 1) (x – 1) (x4 + x2 + 1) A)  9 B) 99 E) 99999 27. Sabiendo que:

C) 999 D) 9999 a x9



x9 7 a

El valor de la expresión:  4

- 95 -

D)  8

a x9



9 4 x

a

es:

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A)  3

B)  9

3

C) 

D) 

5

3

E) 34. Si se cumple:  x2 – 4x + 1 = 0

28. A partir de x4 + x–4 = 47,  calcular:    P = x + x–1 A)  1 5

B)  2

A) 16

C)  3

D)  4

E)

B) 15

C) 14

 

=

A)  x B)  x3 C)  x9 E)  x10 30. El equivalente de: Q =  8 1  24  5 2  1   5 4 A)  5 E) N.A.

B) 25

C) 

D)  x6

A)  a+b+c+d B)  a

36. Si:  

5

a 

1

5



A)  1

D) 125

31. Si se sabe que:  x2 – 3x + 1 = 0, calcular el valor de:  x 8  x   x 3  x 2   

32. Calcular:  x 9  9x 3 z 3  z 9   C =   6  x  6 x 2 z 2  z 6 

B) 3/2

3  z3 

C) 1/5

E) 12

( x  a  b )( x  a  c )  bc x abc

2 5 5 5    a  b  2 32ab  

3

a 7

11

3

B)  2 a  b

E)  x

3

b

8



a

15

C)  3

3

3

b

a 7

D)  4

3

b

E)  5

b  2 , el equivalente de: a

b

  es: C)   a + D)  2 a

a b

b

E)  2

b

E)  7 38. Si:

Sabiendo que:  x =  3

2

15

x ab 

A)   B)  

13 x 7

A)  3     B)  4   C)  5   D)  6

 b 

ab  a  b

x

 – 

C)  b  D)  x+a+b+c



37. Si: x = 

E =  

5

Calcular: 58  1

D) 13

35. Simplificar:

( x  1)( x 2  x  1) ( x6  x3  1) ( x18  x9  1)  1

A) 1/2 1/3

x5

( x  a  b  c ) ( x  a  b  d)  cd x abc d

29. Reducir: P 9

x7  x5  x3

Calcular: E = 

1/ 3

a2 b2  b a

Calcular: A)  1

2  z2

D) 2/3 E)

33. Si: 5a + 5c + ac = 0, calcular el valor de:

 = a + b;  a  –b

 a3  b3    a2  b2  (a  b) ab (2a  b)

B)  2

C)  4

D)  8

E)  6

39. Si se cumple: 1 1 4   x  y x  z 2x  y  z

Calcular:

x 2  xy  z 2  xz x 2  2xz  y 2

5ac

S =  (a  5) (5  c ) (a  c ) A)  1 1

B)  5

C) 1/5

A)  1  B) ½  C) 1/4  D) 3/2  E) –1 D)  2

E) –

- 96 -

40. Si: a + b + c = 2, calcular: E =  3 (1  a)3  (1  b)3

 (1  c )3  3abc

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a3 + b3 + c3 = 30     a + b + c = 3           a b c = 4 calcular: a–1 + b–1 + c–1

47. Siendo: A)  2 B)  1 C) 1/2 D)  0 2 41. Si a + b + c = 0, hallar el valor de: E

A)  1 4

a2  b2  c 2 ab  ac  bc

B)  2

42. Si:  hallar:   A)  3 N.A.

E) –

C)  3

D) –2

E) –

calcular: P =  A)  1

m + n + p  = 0

49. Si:

3

(m  n 3  p 3 ) 2 2 2 2

m n p

B)  6

C)  27

D) 9

E)

43. Si: a + b + c = 4 a2 + b2 + c2 = 2 calcular: ab + bc + ac A)  6 10

A) 1/3 B) 1/4 C) 1/12 D)  1 E) 1/6 –1 48. Si: (a – b)  + (b – c)–1 + (c – a)–1 = 0

B)  2

C)  7

E)

B)  2

S = 

A)  1

B)  2

D) 1/2 E) –1

(a  b)2  (b  c )2  (c  a)2 abc6

C)  3

y2 x2  y x

hallar:  K =  A)  4

C) –2

ab + bc + ac = 12   a2 + b2 + c2 = 25

hallar:

50. Si:  D)  4

a2  b2  c 2 ab  bc  ac

D)  4

E)  5

 = 3(x – y)

3 (x 8  y 8 ) (x 2 y 2 )2

B)  6

C)  1

D)  0

E)  2

44. Si: a + b + c = 2 ; abc = 4 3 3 3 calcule: a  + b  + c  + 6(ab + bc + ac) A)  6

B)  8

C) 20

D) 12

E)  4

45. Si:  Sabiendo que:  a2 + ac = b2 + bc  ;   a  b E =  A)  0

3

3

a b c abc

B)  3

3

C)  2

D)  4

E)  1

46. ¿A qué equivale: a3 + b3 + c3 – 6abc? Si se cumple: a(a – b)+b(b – c)+c(c – a) = 0 A)  –3abc B)  a3+b3+c3

C)  (a + b + c)3 D)  0

E)  abc

- 97 -

RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1­ A 5 – D 9 – A 13 – D 17 – C 21 – D 25 – C 29 – B 33 – E 37 – E 41 – D 45 – B 49 – B

2 – A 6 – A 10 – D 14 – D 18 – B 22 – C 26 – C 30 – B 34 – D 38 – E 42 – D 46 – A 50 – B

3 – B 7 – C 11 – A 15 – B 19 – B 23 – E 27 – C 31 – C 35 – C 39 – A 43 – C 47 – B

4 – C 8 – D 12 – C 16 ­ A  20 – B 24 – A 28 –C 32 – B 36 – C 40 –B 44 – C 48 ­ A

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- 98 -

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de términos de algún grado se completa con términos con coeficiente cero. 

DIVISIÓN  ALGEBRAICA Los cuatro elementos de la división deben ser polinomios y los representamos así: Dividendo  D(x)      Divisor d(x) Cociente    Q(x)      Resto o Residuo R(x) Y se relacionan del siguiente modo: D(x)=d(x)Q(x) + R(x) Si R(x)=0, la división es exacta, en tal caso :          D(x)=d(x)Q(x) Donde: D(x) es divisible por d(x)              D(x) es múltiplo de d(x)              D(x) es factor o divisor de D(x)

2. Método de Horner Vamos   a   ilustrar   este   método   mediante   la siguiente división: Ejemplo: Dividir  (6x5+25x2+7­20x4–13x3–12x)  (–x+ 1+3x2) Solución:   Ordenamos y completamos los polinomios a dividir   Estos   coeficientes   los   colocamos   en   el cuadro de Horner Los   coeficientes   del   dividendo   van   con   su propio signo. Los   coeficientes   del   divisor   van   con   el   signo cambiado a excepción del primero.

Si R(x)0, la división es inexacta. En la división se debe tener en cuenta   x

m

 x mn , x  0

  3 +1 ­1

Divisor

xn

Dividendo

PROPIEDADES: El   grado   del   cociente   (Q(x))   se   obtiene restando los grados del dividendo (D(x)) y del divisor (d(x)).  El grado máximo del residuo (R(x)) es una unidad   menos   que   el   grado   del   divisor (d(x)) 

MÉTODOS DE DIVISIÓN: 1. Método clásico Para   dividir   los   polinomios   en   una variable,   éstos   deben   ser   completos   y ordenados   en   forma   decreciente.   La   falta - 99 -

 

6     ­20     ­13     25     2      –2        ­18      ­6        6  ­21     ­7           24 2       ­6      ­7        8 Cociente

­12      7

  7   8        ­8   3        ­1 Residuo

Q(x) = 2x3 – 6x2 – 7x +8     R(x) = 3x – 1

3. Método   de   Ruffini.  Se   aplica   en   general para   dividir   un   P(x)   entre   un   divisor   que tenga la siguiente forma: x+b Ejemplo:  Efectuar   2x5 + x3 +3x + 2  entre  x+1 Solución:

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Escribamos   los   coeficientes   en   el   cuadro, completando con ceros los términos que faltan  2       0       1       0       3        ­2        2      ­3      3  2     ­2        3      ­3      6

­1

2 ­6 ­4

 Q(x) = 2x4 – 2x3 +3x2 – 3x + 6      R(x) = ­4 4. Modos directos de hallar el residuo y el cociente Teorema del residuo. Supongamos que queremos hallar el resto de dividir P(x) entre x­a. Entonces dividimos: 3

 0 6  0 ­3  0 ­1 ­3 3 ­9  9 ­6 3 ­3 9 ­9  6 ­6 P(x)  x – a   P(x)=(x­a)Q(x)+R     *    R    Q(x)

EJERCICIOS  RESUELTOS 1. Si   al   polinomio   (3 x  6 x  3 x)   se   le divide entre   ( x  1)   se obtiene un cociente de grado “m”, término constante “b” y residuo “a”. Hallar m+b+a. 5

a) 1

b)  2

c) 3

d) 4

3

e) 5

Solución: ­ Completamos el dividendo:

P x   3x 5  0 x 4  6 x 3  0 x 2  3x  0

 x  1 ­ Hacemos:  x  1  0  ­ Usando Ruffini tenemos:

Sustituimos x=a en * P(a)=(a­a)Q(x)=R                                   P(a) = R 

Cociente: 3 x 4  3 x 3  9 x 2  9 x  6  ;      

Resumiendo; el resto de dividir P(x) entre x­a es P(a)

Resto = ­6,  Grado: m = 4;  termino constante b = 6;  y el resto es a = ­ 6

En general El resto de dividir P(x) entre ax+b es P(­b/a) Teorema del factor Si P(x) se anula  para P(a), entonces  P(x) es divisible entre (x­a) y éste es factor de P(x). Recíprocamente, si (x­a) es un factor de P(x), entonces P(a)=0 Teorema Si P(x) es divisible separadamente por (x­a), (x­b),   (x­c)   todos   ellos   diferentes   entre   sí, entonces P(x) es divisible por (x­a)(x­b)(x­c). El Recíproco también se cumple.  - 100 -

Por lo tanto: m + b + a = 4 + 6 – 6 = 4  2.

SI  y 1

y 3 y  20  y y  y  , EL VALOR DE Y ES: yy  y

a) 20

b) 19 c) 18 d) 17 e) 16

Solución: Como  y 1

y 3 y  20  y y  y , elevando ambos  yy  y

miembros a “y­1” y 3 y  20  y y  y y 1 , de donde   y y y

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y 3 y  20  y y  y y 1 ( y y  y ) y 3 y  20  y y  y y 1 y y  y y 1 y ),  

Efectuando la multiplicación

y 3 y  20  y y  y 2 y 1  y y , 

Simplificando 

55  5a  0    195  4a  b  0 a  11     De donde   b  195  4a  195  44  239  ,  a  b  11  239  250

y 3 y  20  y 2 y 1 , 

Entonces 

3 y  20  2 y  1 ,   y  19

3.

4­  Si el cociente:

AL DIVIDIR EL POLINOMIO 

P( x)  55x 3  (166  p) x  bx 2  8  ENTRE Q ( x )  ax 2  39 x  2 , EL RESIDUO  R(X)=P(X), CALCULAR EL VALOR DE A+B

a) 11

b) 239 c) 100 d) 250 e) 320

Solución: P(x)  /d(x)           R(x)   Q(x)   De donde P(x) = d(x) Q(x) +R(x) es una  división inexacta y que es equivalente a: P(x)  – R(x) = d(x) Q(x) que es un división exacta

x 6 n 1  y 5 n , es exacto. x 2 n 3  y n

Hallar el valor de  n A) 9 

B) 6  C) 2

D) 4  E) 8

Solución:

6n  1 5n  2n  3 n 6n  1  10n  15 n4

5. Hallar el residuo de dividir P(x) entre (x­4) sabiendo   que   el   termino   independiente   de dicho   cociente   es   500   y   que   la   división   de Luego, P(x)  entre x tiene por residuo a ­1992. P ( x)  R ( x)  55 x 3  (166  p ) x  bx 2  8  P ( x) , ordenemos en forma creciente para aplicar el  a) 3       b) 4       c) ­5        d) ­8       e) 8 método de Horner P( x)  R( x)  8  166 x  bx 2  55 x 3

2 39 b ­a

­8

­4

166 ­156 10 5

­b 4a 195

55 ­5a

195  4a 5b 55   5a 0

Solución: P(x)=(x­4)Q(x)+R(x)   Como Q(0)= 500,  Entonces  P(0)=­4500+R(0) Por otro lado  P(x)=xQ1(x) ­ 1992,  Entonces P(0)=­1992 Así ­2000+R(0) = ­1992  R(0)=8 Por el teorema del residuo R(x)=P(4)=8

0

6.  Si P(x)  se divide entre x­2, el residuo es 8 y cuando se divide entre x­3, el residuo es –6, hallar   los   coeficientes   del   residuo,   cuando

   Por ser división exacta

- 101 -

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P(x)   es   dividido   entre   (x­2)(x­3),   siendo R(x)=ax+b. a) 12 y 24     b) –12 y 11      c) –14 y 36     d) 16 y 8    e) 17 y 34 Solución: P(2)=8  Y  P(3)= ­6 P(x)= Q(x)(x­2)(x­3)+ax+b P(2)=2a+b=8 P(3)=3a+b=­6 Resolviendo adecuadamente a=­14  y b=36 7.

 

Cuando

el   polinomio x  ax  7 x  bx  49  se divide por  x  3 el resto es 53, y cuando se divide por  x  2 el resto es ­87. Calcular: a.b 4

3

A) 3 

 

¿Qué valores debería tomar a y b para que  polinomio  x5  ax  b  sea divisible entre 2 x 4 . a) 0, 12        b) 8, 16     c) 4, 116     d) 16, 0        e) –2, 4 SOLUCIÓN Si es divisible entre  x 2  4 , entonces es divisible  entre  x  2 y x  2 . Entonces por el teorema  del residuo: P(2)=25­2a + b=0 P(­2)=(­2)5 +2a + b=0 Resolviendo  estas dos ecuaciones b  0 y a 16 .

2

B) 4   C) 5

  D) 6          E) 9

R x   53

D 3    3  a  3  7 3  b 3  49 3

x 3 ( x  1) 3  5 x  3 x ( x  1)  4

  y   dar

2. Si P(x) se divide entre x­2, el residuo es 8 y  cuando se divide entre x­3, el residuo es –6.  Hallar los coeficientes del residuo , cuando  P(x) es dividido entre (x­2)(x­3), siendo  R(x)=ax+b.                               

x 3  0  x  3 4

1. Hallar   el   resto  

a) 60         b) 67       c) 79      d) 80        e) 62

D x   x 4  ax 3  7 x 2  bx  49 d  x   x  3;

EJERCICIOS PROPUESTOS

como respuesta la suma de sus coeficientes

Solución:  Por el teorema del resto.

2

D 3   81  27 a  63  3b  49  53 27 a  3b  84 9a  b  28 d  x   x  2;

10.

R x   87

x  2  0  x  2 4 3 2 D  2     2  a  2  7  2   b  2  49

a) – 14 y 36     b) – 15 y 36         c) 15 y 36     d) 14 y 36        e) – 14 y ­ 36          

D  2   16  8a  28  2b  49  87  8a  2b  61  87

3. En la división 

8a  2b  26 4a  b  13

 4a  b  13  9 a  b  28



x 4  x 3  5 x 2  Ax  B x 2  2x  2

como resto 4. Calcular 

B3 A

 9  3   b  28 b 1

 deja 

                    

a) 2          b) 6          c) 4          d) 3          e) 5

5a  15 a  3 a.b  3.1  3

4. Indicar el cociente al dividir  x 4  3x 3  2 x 2 x2  x  2

- 102 -

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2

2

2

a) x ­3x­2        b) x +2x+2     c) x +3x­2      d) x2­2x+2      e) x2­2x­2 5. Si  ( x  1)  es un factor de:  x  cx  2  y    (2 x  1)   es   un   factor   de   dx 2  5 x  4 entonces el valor de c/d es: 2

a)  1/2      b)  4     c) ­1/2     d) ­6     e) 6 6. Hallar   el   resto  

x 3 ( x  1) 3  5 x  3 x ( x  1)  4

  y   dar

como respuesta la suma de sus coeficientes a) 60         b) 67       c) 79      d) 80        e) 62

3

x  3x  2 x

2

x2  x  2

8. Al dividir:   ­xn­1+2xn­2­3xn­3+4xn­4+.....+(n­1)x–n   entre x­1,  el   residuo  es –30, hallar n.

b) 81        c) 79       e) 59

d) 80        

9. Al dividir el polinomio  P(x)= x4+3x3+mx2+nx+p Entre  (x­1)(x2+3x+2)   es exacta. Hallar “mnp”. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

b) 36 e) 39

c) 37

11. Calcular “a+b” de modo que  ax4+bx3+1   tenga por divisor múltiple, de orden  2  a  “x­ 1”. a) 0  d) 3

b) 1 e) ­1

c) 2

12. Encontrar “m” para que la expresión: (x+2y)5­x5+my5 Sea divisible entre “x+y”. b) 2 e) ­2

c) 3

13. Si dividimos:  2x8­3x7+2x­1   entre   x­3,  hallemos el coeficiente de “x2”.

a) x2­2x­5     b) x2­2x­6      c) x2­2x­7 d) x2­2x­8     e) x2­2x­2

a) 60

a) 35  d) 38

a) 1  d) ­1

7. Indicar el cociente al dividir 4

P(x) entre   x­2   y   x­3   por separado. Dar como respuesta la suma de dichos restos.

a) 240  d) 243

b) 241  e) 244

c) 242

14. Hallar el residuo de la división de  P(x) entre  x­4, sabiendo que el termino independiente  del cociente es 500  y que la división de P(x)  entre  x, tiene como resto  ­1991.    a) 8  b) 9  c) 10 d) 11 e) 12 15. Hallar el resto de dividir:  x5­4x3+5x2­2    entre   x3­2. a) 7x2+10     

c) 7

10. Cuando   se   divide   P(x)   por   (x­2)(x­3)   el resto es   7x+1. Hallar el resto de dividir - 103 -

d) 3x2­4   16. Al dividir el polinomio: 

b) 7x2­10        c) 3x2+4     e) x2+5

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p(x)=x7­2x6+3x4­2x+3   entre   x3­1,   se obtiene  un residuo R(x). Hallar la suma de coeficientes de R(x).

21. El   polinomio       p(x)=x8­4x6+2x4­3x2+2     se divide entre  x(x2­1). Si se obtiene R(x) como residuo, hallar    R(0)/R(1).

a) 0    

a) –1                 b) 1                  c) 0                d) –2                 e) 2 

b)   1 c) 3                      e) ­3 

d) 4                  

17. El polinomio ax3+bx2+3x­5, al ser dividido entre x2+1, arroja un residuo R(x)= 2x+4. Hallar el residuo cuando el polinomio en mención se divide entre x2­1 a) 25x+6             b) 4x­14      d) 5x­7                e) x+2

     c) 3x­2

18. Hallar el residuo de dividir el polinomio:    p(x)=x8­6x6­20x5­6x4­2x2+3 Entre d(x)=(x2+x)(x2­x+1)­x a) 3+2x               b) 3­2x2    c) 2+2x2 d) 5x­7               e) x+2

22. Si P(x) se divide entre x­2, el residuo es 8 y  cuando se divide entre x­3, el residuo es –6.  Hallar los coeficientes del residuo , cuando  P(x) es dividido entre (x­2)(x­3), siendo  R(x)=ax+b. Dar como respuesta “a+b”.          

23  24

a) 22

d) 25

23. En   la   división  

x 4  x 3  5 x 2  Ax  B x 2  2x  2

como resto 4. Calcular 

  deja

B3 A

a) 0 d) 3

2

19. Hallar  el  residuo R(x)=  ax +bx+c que  se obtiene en la siguiente división x10  x 6  3 x 4  2 x 2  1

24. Indicar el cociente al dividir 

3

x 4  3x 3  2 x 2

x x

x2  x  2

a) x­1            b) x2+1       c) (x­1)(x+1)        d) x2+x+1          e) x2+3 20. Si   un   polinomio   se   divide   entre   x­1,   el residuo   es   3,   si   el   mismo   polinomio   se divide entre x+2, el residuo es –3. Hallar el residuo, al dividir el polinomio entre   (x­ 1)(x+2). a) 3x­1              b) 2x+1            c) 3x­2 d) x+2               e) 2x­1

- 104 -

a) x2­2x           b) x2­2x­1 d) x2­2x+2       e) x2­2x­2

. c) x2­2x+1       

25. El residuo de dividir  P(x)  entre  x+4 es ­10 y un cociente cuya suma de coeficientes es 5. indicar el residuo de dividir  P(x)  entre  x­1. a) 15 14           d) 12

  c) 13

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B)  x9 y20 26. Si el siguiente cociente:  

x 6n  3  a 6n  22 x

n6 2

a

n8 2

 es

notable, calcular el valor de “n”. A) 24 D) 18

B) 25 E) N.A.

C) 24   tiene   8

B) 96

C)

E) N.A.

x n 1  y n  4 xn 5  yn 4

B)  5

C)

x

x

3

xp  y 432

;   es

x 3  yp

B) 20

C)  x12 a15  D)  x18 a12

C)

n

5

; es 8, hallar el 5to término.

A)  x20 y9

C)  x12 y20 

 

x 3m  a 2n

A) 11 D) 14

- 105 -

;  es x270 a288

B) 18 E) 16

C) 15

35. Hallar el grado absoluto del t15 en el siguiente C.N.: 2

A) 11 D) 44

y

3

  además t7 = xb yb B) 22 E) 55

C) 33

36. Simplificar: M = 

A)   B)  

E) x8 y18

E) N.A.

34. Hallar:   “m+n”   si   el   t25  del   desarrollo   del siguiente C.N.:

x 20  x16  x12    x 4  1

E)  8

y y

A)  x18 a15 B)  x15 a12

x

31. El número de términos del siguiente C.N.: m

x 36  a 24

xm  yn

notable. Hallar el número de términos. A) 36 16 D) 12

E) 16x

33. Hallar   el   7mo   término   del   desarrollo   del siguiente C.N.:

E)  3

30. Del   siguiente   cociente:  

C)  8x2  D)  8x3

x129m  a 86n

29. Determinar   el   número   de   términos   del siguiente C.N.

A)  8 4 D)  6

A)  2x4 B)  4x3

x3  a2

x m  an x5  a2

términos, hallar “m + n”. A) 46 116 D) 56

x2

C) 16

27. Del ejercicio anterior hallar el número de términos.

28. Si   el   siguiente   C.N.:  

32. CALCULAR   EL   TERCER   TÉRMINO   DEL SIGUIENTE C.N.: x 6  64

B) 12 E) N.A.

A) 15 D) 16

D)  x18 y8

x12  1 x2  1 x12  1 x2  1

x10  x 8    x 2  1

C)   D)  

x10  1 x 1

 

x12  1 x2  1

E) 

x10  1 x 1

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37. Indicar cuántos términos tiene el desarrollo del   siguiente   C.N.    

x 4n  y 5n x 4  y5

,   sabiendo

que el t5 tiene como grado absoluto 32. A)  7 D) 10

B)  9 E) N.A.

C)  8

38. Reducir: E =  A)  x2 – 1 B)  x2 + 1

x 34  x 32  x 30     1 x 32  x 28  x 24    1

C)  x4 + 1  D)  x4 – 1

E) N.A.

39. Expresar el siguiente polinomio P(x) = x18 – x16 + x14 – …… + x2 – 1; como C.N. A)  

x18  1 x 1

C)  

x 20  1 x 1

 

E)

x 20  1 x2  1

B)  

x 20  1 x2  1

D)  

RESPUESTAS 1 –e 2 – a 5 – c 6­ e       9 – b 10 ­ c 13 ­ d 14 ­ b      17 ­ b        18 ­ b        21 – a 22 ­ a 25 ­ a 26 – B 29 – B 30 – D 33 – B  34 – A 37 – C 38 – B

x18  1 x2  1

3­ a 4 ­ e      7 ­ c         8 ­ e 11 ­ e 12 – e 15 ­ b         16 ­ e       19 ­ c         20 ­ b 23 ­ c        24 ­ e 27 – B 28 ­ D 31 – B 32 ­ B 35 – D  36 ­ B 39 ­ B

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FACTORIZACION Factorizar   significa   convertir   una   suma algebraica   racional   en   producto   de   factores primos racional. Factor Primo Es aquella expresión algebraica no   constante   que   solo   es   divisible   entre   la unidad y consigo mismo. Ejemplo: x3 ­ x2­ 6x= x(x+2)(x­3) donde x,  x+2, x­3  Ejemplo: p(x) = 5(x­2)(x­1)2  los factores son   x­2;  x­1;  (x­1)2;  (x­2)(x­1);  (x­2)(x­1)2. De los factores x­2; x­1 son primos y (x­1)2 no es primo porque  (x­1)2 = (x­1)(x­1) Calculo del número de factores algebraicos: Si   P   es   un   polinomio   que   factorizado   se escribe así: P = Ar.Bs.Ct  Donde A, B y C son factores primos, entonces. # Divisores   = (r+1)(s+1)(t+1)­1 Ejemplo: ¿Cuantos factores tiene la siguiente  expresión? (x­7)(y­3)2

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MÉTODOS PARA FACTORIZAR 1. Factor Común Ejemplo:  ab + ac = a(b +c) a es el FACTOR COMÚN. El factor común de un polinomio representa en  realidad el MCD de los sumandos. 2.   Factorización   por   asociación:  Se   realiza luego   de   comprobar   la   ausencia   de   factores comunes,   los   cuales   se   deberán   de   construir   a partir de los sumandos. Ejemplo: Factorizar ax + bx – ay – by  ax + bx – ay – by = x(a+b) – y(a+b)                              = (x – y) (a + b) 3. Factorización de expresiones notables. 2 2 1. a  b  (a  b)(a  b) 2. a 2  2ab  b 2  (a  b) 2 3. a 3  b 3  (a  b)(a 2 ab  b 2 ) 4. x 2  (a  b) x  ab  ( x  a )( x  b) 3 3 3 5. x  3xy( x  y)  y  ( x  y) 4.  Factorización por la regla de Aspa a)   Aspa   simple  Se   utiliza   para   factorizar polinomios de 3 términos de la forma   A1 x2 + A2 x + A3

exactamente a (x­7)(y­3)2

Ejemplo: Factorizar  2 x2+ 5x + 2        2 x2+ 5x + 2 2x               +1   +x x                 +2   4x   +5x  Factorizando tenemos: (2x + 1(x +2)

Por la  fórmula tenemos: N° de factores= (1+1)(2+1)­1=5 N°de factores primos = 2

b)   Aspa   doble:  Se   utiliza   para   factorizar polinomios de 6 términos de la forma Ax 2  By 2  Cz 2  Dxy  Exz  Fyz  

 x 7  y 3  ( x  7)( y  3)  5 factores que dividen  2 ( x  7)( y  3)   2 ( y  3) 

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Ejemplo:  E= 6x2+7xy­3y2­11y­10+11x              3x          ­y          ­ ­2       2x          3y             5      3x                         ­2     ­4x      2x                         5      15x                                           11x E= (3x – y ­ 2)(2x + 3y + 5)

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5. FACTORIZACIÓN DEL POLINOMIO  DE 4° GRADO El MCD de 2 o más expresiones algebraicas 

E= 16x4 – 8x3 – 16x2 – 22x – 15          4x2                                3   12x2       4x2                               ­5  ­20x2                                                                              ­8x2              ­16x2 – (­8x2) = ­8x2

enteras: Se halla primero factorizando los  polinomios dados y el producto de los factores  comunes con su menor exponente nos dará el 

         16x4 – 8x3 – 8x2 – 22x – 15

MCD de los polinomios. Ejemplo: Hallar el MCD de

       4x2               2x                 3        4x2              ­4x               ­5 2

E = a2b4c3 F = a3b2c5  MCD = a2b4c5 El mcm de 2 o más expresiones algebraicas enteras: Se halla factorizando los polinomios dados y el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente nos dará el mcm de los polinomios. Ejemplo: Hallar el mcm de

2

E= (4x  + 2x + 3)(4x  – 4x – 5) 6. FACTORIZACIÓN POR  EVALUACIÓN. Teorema   del   factor:  Sea   F(x)   una   regla polinomial no nulo, xR. Sí F(a) = 0; a es un cero de F(x)  (x­a) es un factor de F(x) Ejemplo: P(x) = x2 + 5x + 6  se observa que se anula   para  x =  ­ 3  es  decir            P(­3) = (­3)2 + 5(­3) + 6 = 0 Luego (x+3) es uno de los factores o divisores  de P(x).  Efectuar la división cuyo cociente q(x) será el  otro factor que buscamos por la regla de  Ruffini.                  1       5        6           ­3           ­3       ­6                  1      2         0

E = x2y5z   F =x9y5  mcm = x9y5z EJERCICIOS RESUELTOS 4. Si   ( x  1)   es   un   factor   de     x 2  cx  2     y ( 2 x  1)   es   un   factor   de     dx 2  5 x  4 , entonces el valor de d/c es: a) ½    b) 4     c) ­ ½         d) – 6      e) 6 Solución: - Por aspa simple para el primer trinomio:      x2 +  cx ­ 2 x                 +1           ­2x+ x = cx                           x                 ­ 2                   c = ­1 -

Por lo tanto q(x) = (x+2) Así  P(x) = (x+3) (x+2) - 110 -

Por aspa simple para el segundo trinomio:

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 dx2 + 5x ­ 4                                                  2x            ­1          ­ax+8x = 5x                           ax            +4                   a = 3                            

m

2m

2

+ 1  =  0    (es un Trinomio 

Factorizando por aspa simple: 4 2   ­    +  1  =  0 

m 2m 2 m                 ­1 2 m                 ­1 2 2 ( m  ­ 1)   =  0              m    =  1     2  3  =  3             m6    =   1 m 1

P ( x )  x 4  2( a 2  b 2 ) x 2  ( a 2  b 2 ) 2

 b) 2x   c) 3x      d) 4x  

 ­ 

Cuadrado Perfecto)                  

2x.ax = dx2    entonces:   d= 6   Luego: d/c = ­6  2.  Hallar   la   suma   de   los   factores   primos   de a) x

4

e) 5x

Solución: Escribimos al polinomio en la forma siguiente: P( x)  x 4  2(a 2  b 2 ) x 2  (a  b ) 2 (a  b ) 2   x2 ….....    ­(a ­b)2   .............   ­(a­b)2 x2 x2 ........    ­(a+b)2 ..............   ­(    a+b)     2  x 2

2

También: 

 m6 2   = 12      m12   =  1

­2(a2+b2)2 x2 Reemplazando en lo pedido                    

Comprobando:

12 m 1   6  x 2 ( a  b ) 2 ( a  b ) 2    x 2 ( 2a 2  2b 2 )  2( a 2  b 23) m x2           identidad _ de _ Legendre  

4. Factorizar: 

Por lo tanto, su forma factorizada es: P( x)  x 2  (a  b) 2 x 2  (a  b) 2 , por   diferencia de cuadrados:







93 x 3 y 2 z  62 x 2 y 3 z 2  124 xz 3



P ( x)   x  a  b  x  a  b  x  a  b  x 2  a 2  b 2

Luego, la suma de los factores primos será: x  a  b  x  a  b  x  a  b  x  a  b  4x

3. Si 

m

2

12

1

   +    m2   = 2, halle   m



3m

Solución:  

Hallando su M.C.M.    m

4

m

2m

2 2 b)  31xz  3 x y  4 z 

2 2 3 2 e)  31xz  3 x y  3 xy z  4 z 

m

+  1  = 

2 2 a)  31xz  3 x y  2 x  4 z 

2 d)  31xz  x y  2 

Solución: Del dato del problema:     1 2    +    m2   = 2

m



2 2 c)  31xz  x y  z 

1

6

A)2   B) 1   C) 3/2   D) 2/3   E) 2/6

4

1 2  =  1 3.1   =   3      

1 2

El factor común monomio es:    = 2





31xz 3 x 2 y 2  3 xy 3 z  4 z 2       

2

5. Factorizar:  - 111 -

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7 x  n  1  y 1  n 

a)   n  1 7 x  y        b)   n  1 7 x  y  c)   n  1 7 x  2 y    d)   n  1 7 x  2 y  2 e)   n  1  7 x  y 

Solución:  En la expresión:  7 x n  1  y 1  n   hacemos un   cambio   en   el   segundo   paréntesis: 7 x  n  1  y  n  1 , luego la expresión queda asi: 

 n  1 7 x  y  6. Factorizar:  a 2  ax  ay  yx

a) (ax)(a+y)

b) (a+x)(ay)

c) (a+x)(a+y)

d) (ax)(ay)

e) (a+x)(a)

- 112 -

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Solución: 

a) (2x2­ 7x+4)(2x2­ x+4) b) (2x2+3x+4)(2x2+3x+4) c) (2x2+3x+4)(2x2­3x+4) d) (2x2+7x­ 4)(2x2­ x+4) e)  (2x2+3x+4)(2x2­3x­ 4)

Agrupando convenientemente de 2 en 2 

a

2



 ax   ay  yx 

Sacando el factor común: 

7. Factorizar [(x2+y+1)]3­(x2+1) (x2­3y+1)2

a(a+x) + y(a+y)    (a+x)(a+y)       EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular el valor de ab si se sabe que el  MCD factorizado de P = x3­7x+6 y Q = x3­2x2­x+2 es:  (x­a)(x­b). a) 2

     b) 3    c) 4     d) 5       e)  6

5. El MCD de P= x3+5x2+3x­9 y  Q=x3­3x+2 es de la forma ax2+bx+c según  esto, calcular el valor de a+b+c  a) 2

     b) 4    c) 0     d) 5       e)  6

3. A= 4x4­4x3­3x2+4x­1  y  B= 2x4+7x3+6x2­x­2 son 2 polinomios  cuyo MCD es de la forma (ax2+bx+c)2.  Hallar a+b­c . a) 2 4.

     b) 3    c) 4     d) 5       e)  6

Dar uno de los factores primos de:  ac(a+c)+ab(a­b)­bc(b+c) a) b+c          b) 2b+c     c) b+2c d) 2b+2c           e) 2b+3c

5.

8. factorizar (x+1)(x­2)(x+2)(x+5) –13 a) (x2­3x­11)(x2+3x+3) b) (x2+3x­11)(x2+3x+3) c) (x2+3x+11)(x2+3x+3) d) (x2+3x­11)(x2­3x+3) e)  (x2+3x­11)(x2+3x­3) 9. La suma de los factores de primer grado de:  P = x3+2y3­3xy2 es: a) 2x    b) 3x   c) 4x    d) 5x     e)  6x 10. Indicar un factor de: 2a2­7ab+3b2+13b­a­10 a) 2a­b­5     b) 3a­b­5     c) 2a+b­7 d) 3a­b­7     e)  2a+b+5 11. Efectuar 

Hallar el factor primo de menor grado  de: 4a2(2a­3b)+b3(b3­1)+6ab2

2

2

2

2

( x  y )(a  b)  (b  c)( y  x ) ( x  y)(a  c)

a)2x+y       b) x+2y     c) 2x+2y d) x­y       e)  x+y 12. Factorizar indicando la suma de sus factores  primos. x4­3x3­7x2+27x­18

a) 2a­b+b2      b) 2a­b+b2 c) 2a­b+b2      d) 2a­b+b2 e)  2a­b+b2 6.

a) y(3x2­3­y)2 b) y(3x2+3+y)2 c) y(3x2­3­3y)2 d) y(3x2+3­y)2 e)  y(3x2+3y)2

a) 7x­3        b) 4x­3     c) 4x­7

Factorizar 4x4+7x2+16 - 113 -

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d) 4x+3        e)  7x+3 13. Indicar cuantos factores lineales admite:  n5­4n3+n2­4 a) 2

     b) 3    c) 4     d) 5       e)  6

14. Al factorizar x4­5x2y2­50y4 se  obtienen  factores de la forma (x2­ay2)(x2+by2).  Hallar a+b Rpta. 15 a) 12     b) 13    c) 14     d) 15    e)  16

- 114 -

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22. Hallar la suma de los términos  independientes de los factores primos de:  20x4+31x2­9

15. Si A= (x+1)+(x+1)(x+2)                  +(x+1)(x+2)(x+3)      B= x2+6x+9   Hallar A/B

a) 9     b) 7    c) 12     d) 10       e)  8

a) 2x+1       b) 3 x+1    c)  x+1 d) 2 x­1       e)  x­ 1 16. Al factorizar x7+27x4­x3­27 se obtiene m  factores de primer grado y n factores de  segundo grado. Hallar m+n a) 2

     b) 3    c) 4     d) 5       e)  6

17. ¿Cuál es la suma de los términos  independientes de los factores primos de  m4+m2+1? a) 2

     b) 3    c) 4     d) 5       e)  6

18. Señalar uno de los factores de:  19. P(x,y) = 8x7y+55x4y­7xy a) 2x+3     b) 3x­1    c) 4x+1 d) 5x­1    e)  2x­1 19. Señalar uno de los factores de: P(x,y)= 5x9y­39x6y­ 8x3y a) 2x­3

 b) x­2    c) x­4

d) 3x­5       e) 2x+2 20. Un factor primo de: P(x)=x6­x2­8x­16 es: a) . x3+x+2      b) . x3+x­ 3   c)  x3+x+4         d) . x3+x+5    e)  x3+x­ 4 21. ¿Cuántos factores primos de 2° grado se  obtiene al factorizar: 81x8+2x4+1 a) 2

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     b) 3    c) 1     d) 4       e)  0 - 115 -

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23. Calcular la suma de los factores primos de: x2+4abx­(a2­b2)2 a) 2x­ 4ab     b) 2x+4ab   c) x+3ab d) 2x+ab     e)  2x+3ab

29. Hallar la suma de los términos  independientes de los factores primos de:  4x4+4xy2­y4+1. Rpta. 2 a) 2

30. Factorizar E= (x+y)2(x2+y2)+x2y2

24. Un factor de a(a­1)+a3­1 es:

a) (x2­  y2+2 xy)2 b) (x2+ y2­  xy)2 c) (x2+ y2+ xy)2 d) (x2 ­y2 ­ xy)2 e)  (x2+ y2+ 2xy)2

a) 2a­1     b) 2a+1    c) a+1    d) a+2 e)  a ­1 25. Factorizar x3­2x2+1 a) (x+1)(x2­ x ­1) b) (x­1)(x2+ x ­1) c) (x­1)(x2­ x +1) d) (x­1)(x2 +x +1) e)  (x­1)(x2­ x ­1)

31. Hallar la suma de los términos  independientes de los factores de : P(x,y)= 3x2+2y2­12­5xy+2y­5x a) 2     b) 3    c) 1     d) 5       e)  4 32. Calcular la suma de los factores primos de:  R=(x+y)(x+z)­(y+w)(z+w)

26. Señalar uno de los factores de: P(x)=6x4+5x3­14x2+x+2 a) 2x+1

     b) 3    c) 4     d) 5       e)  6

b) 3x ­1    c) 2x ­ 1   

a) 2x+ y+ z b) 2x ­ y+ z c) 2x+ y ­ z d) 2x+ y+2 z e)  2x+ 2y+ z

d) 3x+1       e)  x+1 27. Expresar el polinomio x2y­y3­x3+xy2 como  el producto de 3 binomios.

33. ¿Cuántos factores primos se obtiene  factorizar: (x2+x­2y)2­(x2­y)2­(x­y)2

a) (x+y)(x­y)(y­x) b) (x­y)(x­y)(y­x) c) (x+y)(x+y)(y­x) d) (x+y)(x­y)(y+x) e)  (x+y)(x+y)(y+x)

a) 2 34.

28. Factorizar 1+x(x+1)(x+2)(x+3)

   b) 3    c) 4     d) 5       e)  6

Señalar uno de los factores de: x2­4xy+4y2­9x+18y+8 a) 2x + 2y ­1

a) (x2­ 3x+1)2 b) (x2+3x+1)2 c) (2x2+3x ­1)2 d) (x2­ 3x ­1)2 e)  (2x2+3x+1)2

   b) x­ 2y ­1     

c) x­ 2y+ 1      d) x+ 2y +1      e) 2x­ 2y ­1 35.

- 116 -

El término independiente del mcm de: x2­5x+6

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4x2­12x­16 3x­2K es  96 . Hallar K a) 2       b) ­3/2       c) 3/2   d) ­ 1/2     e)   1/2 RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1 a 7 d 13 b 19 b 25 e 31 c

2 c 8 b 14 d 20 c 26 d 32 a

3 c 9 b 15 c 21 e 27 a 33 a

4 a 10 a 16 d 22 a 28 b 34 b

5 d 11 e 17 a 23 b 29 a 35 e

6 c 12 b 18 e 24c 30 c

- 117 -

1) a) 2 2) e)  2x­1 3) b) x­2     4) c)  x3+x+4          5) e) 0 6) a) 9       7) b) 2x+4ab    8) c) a+1     9) e)  (x­1)(x2­ x ­1) 10) d) 3x+1   11) a) (x+y)(x­y)(y­x) 12) b) (x2+3x+1)2 13) a) 2 14) c) (x2+ y2+ xy)2 15) c) 1 16) a) 2x+ y+ z 17) a) 2 18) b) x­ 2y ­1    19) e)  1/2

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- 118 -

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ECUACIONES E  INECUACIONES

x

 b  b 2  4ac ,a  0 2a

Donde    b 2  4ac  es el discriminante y  cs ={x1,  x2} es el conjunto solución.

LA ECUACIÓN LINEAL ES DE LA  FORMA: AX+B=0. La ecuación cuadrática es de la forma: ax2+bx+c=0;   con a 0. La   resolución   de  una  ecuación   cuadrática  se realiza   FACTORIZANDO   Ó COMPLETANDO CUADRADOS 1. Método de completar cuadrados: CUANDO NO SE PUEDE FACTORIZAR EN   FORMA   SENCILLA   SE   TRATA   DE FORMAR   EL   CUADRADO   DE   UN BINOMIO.   EN   ESTE   MÉTODO   SE TRATA   DE   CONVERTIR   LA EXPRESIÓN EN UNA DE LA FORMA: (x +a)2+d

ANÁLISIS DEL DISCRIMINANTE: 1. SI  >0, SE TIENE 2 RAÍCES REALES Y  DISTINTAS. 2. Sí  =0, se tiene 2 raíces iguales 3. SÍ  0 y a 1, definimos 

Tiene como base a 10.

Loga N = x  ax  =N

log10 N  log N

Propiedades:

Ejemplo:  log 500=2,698 969

* log a a x  x * a log a N  N * log a 1  0

Todo logaritmo decimal presenta una parte  entera que se llama característica y una parte  decimal que se llama mantisa.

* log a a  1 * log a ( M .N )  log a M  log a N M  log a M  log a N N * log a N p  p log a N * log a

* log a

p

N 

En el ejemplo se tiene: Característica :   2 Mantisa          :   698 969

1 log a N p

* log a p ( N p )  log a N * log a q ( N p ) 

p log a N q

Logaritmos   Naturales;   Neperianos   o Hiperbólicos: 

Fórmulas de cambio de base * log a N  * log b a 

En este sistema su base es el número  e = 2,71828182...

log b N log b a

log eNln N

1 log a b

Se lee logaritmo natural de N

Regla de la cadena

COLOGARITMO

* log b a. log a N  log b N

DEFINICIÓN:  Si  N > 0 y  a> 0 y a 1, definimos

PRINCIPALES SISTEMAS DE  LOGARITMOS

co log a N  log a

Propiedades: - 141 -

1  log a N 1   log a N N

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*co log a 1  0 * co log a a  1 * a co log a N 

1 N

* co log a (a p )   p * co log a ( M .N )  co log a M  co log a N * co log a

M  co log a M  co log a N N

* co log a N

p

 p.co log a N

- 142 -

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ANTILOGARITMO

log a f ( x)  log a g ( x)  b

DEFINICIÓN Esta es otra forma de denotar la función  exponencial, y se define así:  Si a > 0 y  a 1 y xR, definimos

 f ( x)  0  g ( x)  0   f ( x).g ( x)  a b CASO 4: Siendo a > 0 y  a 1 

anti log a x  exp a x  a x

Propiedades:

log g ( x) f ( x)  b  f ( x)  0  g ( x)  0  g ( x)  1   f ( x)  ( g ( x)) b

* anti log x  10 x * anti log e x  e x * anti log a log a N  N

* log a anti log a x  x

ECUACIONES LOGARÍTMICAS CASO 1:  Siendo a > 0 y a 1,

PROPIEDAD  Siendo 

f  0  g  0  a  0  a  1: f  g  log a f  log a g

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar  m en:

log a f ( x)  b

log m  4  0,5 log 18  log 8  2 log 25 :

Es equivalente a resolver:

 f ( x)  0   f ( x)  a b

A) 8               B) 240          C) 480    D) 2400         E)800 Solución:

CASO 2: Siendo a > 0 y a 1 

log m  log 10 4  log

log a f ( x)  log a g ( x)

log m  log

 f ( x)  0  g ( x)  0   f ( x)  g ( x)

144 25 2

10000.12 25

m  4800

2. Resuelva: 

log5 (51/X+125)= log5 30+ 21x ,

indique el valor de la suma de soluciones.

CASO 3: Siendo a > 0 y a 1  - 143 -

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A)1/2    D) 1   

B) 2/3 E) 0

Solución

C) 3/4

log x 8  log x (log x log x (8 log x

Solución:

8

30

5

1

 x3

3

3

)

 x3  4

4. Determine el valor de:

   ……… (α)

1

 

1

 

2

3 a   E  log a.b   b  ,   si   se   cumple   que:   log a.b a  4

1

m2              5 x  =  m2

A) 

16 4 16       B) 1      C)        D)      E) 15 3 17

17 6

Reemplazando en (α) m   y m2  2 m 125  = m 30

Solución:

m  + 125 =  30m           

log a.b a  4    log a.b a.b  1

2

m   ­  30m  + 125 =  0 2



Factorizando por aspa simple  tendremos    (m  ­ 25)(m ­ 5) =  0 De donde:    m  = 25    y     m  = 5     1

5

3

8

x34

Si hacemos    5 2 x  =  m              52 x  = 

   

2 )  3  log x 3 2

3

 4 4  (x 3 )( x

 51x 125   =    1 log5   30  2 x   2x

2)  3

 3 2  x x  2 8  (x x )3

log5 (51/X + 125) =  log5  30 +  21x log5 (51/X + 125) ­  log5  30  =  21x

1 5 x 125   =   

3

1

Reponiendo:   5 2 x  =  25          5 2 x   =   1

1

           5 2 x  =  52      y       5 2 x    = 51  Bases iguales exponentes iguales: 1    x  =    1 4        y       x =   2

         El  valor  de  la   suma  de  las 3 1 soluciones  es :   1 4 +  2  =   4         

log a.b a  log a.b b  1  log a.b b  3

3 a    log a.b 3 a  log a.b E  log a.b   b   1 1 E  log a.b a  log a.b b 3 2 1 1 4 3  E  ( 4)  ( 3)   3 2 3 2 17 E  6

5. Si Log23 = m, hallar log36 243 en términos de  m. 5m

A) 2(m  1) m

C) (m  1) log x 8  log x (log x

5m

B) 2( m  1) 7m

D) (m  1)              

E) NA

3. Resolver la ecuación logarítmica: 3

b

2)  3

Solución: Debemos expresar log36243 en función de  log23,

A)  3 2   B)  3 4   C) 2   D) 4   E)  8

- 144 -

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1

log 36 243 

log 243 36



a) –3log3        b) 2log3  c) –2 log3        d) 3log2         e) No existe en R

1 log 35 (2 x3) 2

1

log 36 243 

2 (log 3 2  log 3 3) 5 5 log 36 243  1   2  1 m   5m  De donde:  2(m  1)

4. Siendo a>1  y  b>1, reducir: E b

a) a    b) b    c) ab    d) ba    e) ab 5. Siendo a+b>0; reducir: L

6. Calcular el valor de : 1 1 E  2 log b ( a b)  1 log a (ab 2 )  1 A) 1     B)1/2     C)­1/2

log 3 log 9 ( a  b)18 1  log 9 log 3 ( a  b)

a) 2   b) 3/2   c) 1    d) ½   e) ¼ 6. El equivalente de:

D)2     E) 4

E

Solución: 1 1  2 log b (a b)  log b b log a (ab )  log a a 1 1 E  2 2 log b ( a b ) log a (a 2 b 2 ) E

 log log b a     log a  

a

1 1 1   1  log 3 (10e) 1  ln 30 1  log(3e)

a) 1   b) log 3  c) ln 30   d) ln10   e) log (3e)

2

E  log a 2b 2 b  log a 2b 2 a  log ( ab ) 2 ( ab)

7. Resolver  log x ( x x ) x  ( x 2 ) x  2 x

a) 3    b) 4    c) 5     d) 6    e) 7

E  =  ½

x 8. Resolver  log 2 x 2 2  4 log x x x  1

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Siendo x=2log3a, hallar el valor de: Q

a) ½    b) ¼    c) 1/8   d) 2/3     e) ¾

9. Hallar una solución de la ecuación: 

3 log a x  7 x log a 3

 log x 4     log x  4  

a) 2     b) 3     c) 4    d) 5   e) 6  log 2. El valor de:  a

a a

100 3 .

a) 2

log b b10

3. Calcular log y  si: 2

   b) 4    c)  4

2



1 x

   d) 16       e)  2 4

10. Resolver la ecuación  Log 1­2x (6x2­5x+1)­ log 1­3x(4x2­4x+1)=2 y dar la mayor solución

a) 100    b)   1000  c) loga100   d) 10      e) logb100

y  log

2

loo4 x

anti log 4 2 co log 6 2 8

a) ½    b) ¼    c) 1/5    d) 1/6      e) 5/6 - 145 -

2

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11. Una solución de la ecuación :

17. Resolver

2

log 2  log(4  5 x  6 x )  3  Es: log(2 x  1)

a) ½        b) 3/2      c) 2      d) 5/2  e) Ecuación absurda 12. Resolver: 

36 log9 x  5( x

6

)  1296

a) log 5   b) log 25    c) log 35     d) log 3   e) log 53

y dar un valor de xy a) 45   b) 54   c) 63    d) 42   e) 48

20. Resolver:

14. Dar el valor de xy, luego de resolver el  sistema:

(a 2 log a x) log a x  a a

a

( a  2)

 siendo a>1

a) aa     b)  a a    c) a a    d) a2a  e)  a a

2 x log 2  5 y log 5  log x log y 5  2

a

21. Resolver: 

2

2a

log 4 x  3 log x 4  2

y   dar   como   respuesta   el   producto   de   sus soluciones

a) 0,11     b) 0,1       c) 0,01  d) 0,12    e) 0,012

a) 9     d) 16

15. Hallar el valor de x en la ecuación  log xx­1 = 2x log 3 a) 3    b) 3    c) 3    d) 3     e) 3

3

19. Los números: log 2, log (3x­1) y log(3x+3) forman en ese orden una progresión aritmética, calcular el valor de “x”

log( x 2  y 2 )  1  log 13  log( x  y)  log( x  y)  3 log 2

­3

log

a) 27    b) 9     c) 36    d) 6   e) 3

13. Resolver 

­2 

1

18. Resolver 

2

a) 5    b) 7   c) 4    d) –5  e) NTS

­1

log 2 x

a) ¼      b) ½      c) 2    d) 4     e) 8

log 1 ( x  1)  log 1 ( x  3)  1 2

 6  log 2 x   log x   log 4 x 

b) 25 e) 9/4.

c) 36 

22. Si:  m  log a N   n  log b N . Siendo a, b y N diferentes de 1 y mayores que cero, ab1. Hallar

2

log ab N

16. Resolver Log x(3x). Log(10x)= log(3x)+2

a) m+n     b) mn d) mn/m+n e) n­m

a) 2      b) 3      c) 5     d) 7     e) 9 - 146 -

c) m

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23. El producto de las soluciones de 5. log x

3.Lnx

.Ln10  log 3 x

Ln311

29. Si log 3 = a;  log 2 = b, Hallar el valor de  Log (5!)

20

es:

a) 3a+b+1      c) 3a­b+1 e) 2b­a+1

a) e    b) e1/2  c) e1/15     d) 1               e) e11/15 24. Calcular la función inversa de: f ( x )  ln( x 

x 2  1)

a) f­1(x)=(ex­e­x)/2  b) f­1(x)=(ex+e­x)/2 c) f­1(x)=(ex­e­x)/3  d) f­1(x)=(ex+e­x)/3  e) f­1(x)=ex­e­x/2 25. Resolver:   6  log 2 x   log x   log 4 x 

a) ¼        b) ½   d) 4       e) 8

log 2 x

1

c) 2     

26. log2,  log(3x­1) y log(3x+3) forman en ese orden una progresión aritmética, calcular  el valor de “x” a) log 5        b) log 25     c) log 35    d)  log 3        e) log 53 27. Hallar “x” Si:   log 5log 4log 3log 2x = 1 a) 2512           b) 549  1024 e) 53

c) 3512  d)  23

1024

     

28. El valor del producto en:   Log x100.log x+1x.log(x+1)   es: a) 2        b) 10        c) 1 d) 5      e) 8 - 147 -

b) a­b+2     d) a+2b+1     

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36. Operar: 30. Resolver:     logx+1(5x+19)=2

anti log 2 3  anti log 2 2

729

(1 / 3)  log anti log 11   log 9

a) 6     d) 9    

b) 7      e) 10

100

c) 8

4 log x  log 216 

a) 6     d) 4

32. Resolver: 

co log

 10 log x 1

(log 10000 4 )  co log 4

a) 1302     d) 1305

b) x=y=103 d) x=y=105

a) 1     d) 4

(log 1000) 3 

b) ­1294 e) 1306

c) 1304

Dar   como   respuesta   el   producto   de   las soluciones   

 co log x  24 .

c) 3

A  log 2 ( m 2  n 2 )  log 2 ( m  n); B

log 2 ( m 2  2mn  n 2 ) log 2 4

a) m+n         b) (m­n)2         c) m­n d) (m+n)2     e) m2­n2 RESPUESTAS 1­c 2–d 3­e 4­a 5­a 6­a 7­c 8­a 9­d 10­b 11­e 12­e 13­c 14­b 15­a 16­b 17­e 18­a 19­c 20­b 21­e 22­d 23­e 24­a 25­d 26­c 27­d 28­a 29­d 30­a 31­b 32­c 33­d 34­a 35­b 36­d 37­b

c) 104

1  log 2 x ( x / 2)  log 2 x

b) 2 e) 5

40. Hallar el valor de  “ 2A+B ” si:  

5

35. Hallar la menor solución de:   b) ¼       e) 4

3

co log 2 (9 x 1  7)  co log 2 (3 x 1  1)  2 .

Dar   como   respuesta   el   producto   de   sus soluciones.

a) ½       d) 2   

2

39. Resolver:  

a) 10­5     b) 1 d) 102 e) 103

c) 16

 5.co log 49 625  co log 3125 343

34. Resolver:    co log x

b) 36 e) 24

xy 1010  logx 25 y 10

co log x

2  3 log( x / 2)  log 3 log 2 10

38. Operar:

a) 10 ó 10­3 b) 10 ó 10­2 c) 10 ó 10­4 d) 10 ó 10­5 e) 10 ó 10­6 33. Resolver el sistema:  

a) x=y=102 c) x=y=104 e) x=y=106

4

37. Hallar “x” en:

b) 2 ó 1/16 d) 4 ó 1/16

log x 7 x 4

10

a) 151     b) 153 c) 155  d) 157      e) 159

31. Resolver:  16 log x 2  8x a) 2 ó 1/32 c) 3 ó 1/16 e) 2 ó 1/64

anti log

log 2 x

c) 1      

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38­b

39­b

40­b

BIBLIOGRAFIA 

OSCAR RAUL FARFAN ALARCON Aritmetica: Curso Practico Editorial San Marcos, Lima­2003



COLECCION GAUSS Logica, Teoria de Conjuntos Editorial San Marcos, Lima­2006



COLECCION GOÑI Aritmetica: Teoria y Practica Editorial Ingenieria, Lima­2003



ALVARO PINZON Conjuntos y Estructuras. Editorial Torrelara Madrid – 2000



SEYMOUR / LIPSCHUTZ Teoria de Conjuntos y Temas Afines Editorial McGraw Hill. Mexico­2001 

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