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Vicente T. González Cátala

Enfoque práctico de las operaciones de la Matemática Financiera

Ediciones í p ¡ ) 0 1. Para ello debe ser a {p - t) + b > o, lo cual implica que b sea a > . p-t b) G(t,t) = eaU-') G(p;p) = ea[p-p)

+b

=1

+b J

=\

si 6 = 0 si 6 = 0

Obsérvese que si b= o es a > 0. ¿G(fp)

=ertP-»(_a)

eMp-r)a

< osia > 0

> Osia > 0

dP 3P d) ApG(t;p) =

ea{p-t)(eaAp--\)

AfG(í,p) = e a ( p - f ) ( e - a A f - 1 ) Af-> O

Por tanto la ley financiera de capitalización que se obtiene es: L(t;p) = ea 1 =*b(p2-t2) b) G(t;t) = í¿{'*-t2)

+ a(p- t), para a > O

+ b(p-t)

> O => b > O

+ bU-t) = eb{p2-p2Ub{p-p)

= G(p;p) = '\

CONCEPTOS BÁSICOS

20

c)

dGJVp) dP

=fp*-t>)

+ »p-ti{2bp

dG(t;p) dt

=eb^.t2)

+ bip.t)

d) ApG(t;P) = ebi>2-t2)

+ b) >

0

b> O

{_2bt_b)

0

+ b{f> t)

- [««**•*»• " - i ] . Ap->0

A/Jfc p) = ^-,2)

+ 6(

*"f) [e~M*2f+Af

+1

»- 1] Af->0

Resulta la siguiente ley:

¿(r;p) = e / , ( p 2 - ' 2 , + 6 U , - f , , c o n 6 > 0

5." G(f;p) = (1 + a ) ^ - f ) a) G(f;p) > 1 => 1 + a > 1 => a > O b) GuVf) = (1 +a) r t '- f ) = (1 +a)" ( "- p ) = G(p;p) = 1 c)

¿G(f;p)

áG

!tp) ot

=(1 + a ^ - f ) / g e ( 1 +a)(2p-t)

> O

=(1 + a ^ - ' » / f f e ( 1 +a) (-p) < O

d) ApG(í,p) = (1 + a ) p ( p - r t [ ( 1 +a) Ap = d>

0

dP d)

ApH(t;p)=dAp-

-+0

Ap-»0

AtH(t;p)=-dAt-

^•0 Af->0

0

22

CONCEPTOS BÁSICOS

Por tanto, la ley de descuento es: A(t;p)=

1

-d(t-p)

con 0 < d < t-p 2° M t p ) =

a a+

b(t-p)

a) 0 < H(t;p) < 1 = > 0
- ( r - p ) > 0 => - > 0 1+* 0 si signo de a = signo a -l^. [a + b(t-p-Ap)][a

i

Ap->o

[a + b(t-p)]

¿t-o

La ley de descuento es: A(t;p) = •^'-"»

1+*(,-p)

con - > 0. a 3.° H(t;p) =

e'K^-p3)

a) 0 < /y(í;p) < 1 =* 0 < e-Klt3-p3) A) rV(t t) = e~ Klf3" * = e" ^

. . de b. ,0

+ b(t-p)]

-abAt

AtH(t; p)=- [a + b{t + At-p)]

. . de b.

< 1 ^ /C > 0

" p3) = tf(p; p) = 1

23

CONCEPTOS BÁSICOS

c)

dHU;p)

dr

=e-Kit3-"3H-3Kñ O

=e-K^-^3Kp2>0

d) A p Hit; p) = e~ * ( f 3 "" 3 ) ( e * ^ , 3 p 2 + 3"+A2p)

- 1)

•O áp-,0

A t H(f p) = e-Kir3-

p3)

(e~ K Af(3 ' 2 + 3 ' + A 2 f » - 1)

> O Af-»0

Por tanto, resulta: A(t;p)=é-K{fi-p2)

con K> 0.

N. 3 Obtener las leyes de descuento prolongadas y las conjugadas de las de capitalización del ejercicio N. 1 . 1 • De L{t;p) = ea{p

t]

, con a > 0, se sigue:

- Ley prolongada: A} (t; p) = e~ a < , _ p ) - Ley conjugada: A2(t; p) = Al serA:{t;p) proloconjugada.

=A2(t;

1 ,Mt-p)

=

e-*U-P)

p) esta expresión única, recibe el nombre de ley

2 ° A partir de L(t; p) = 1 + K(p - t), con K > 0, se tiene: A,(t;p)=: A2(t;p) =

-K(t-p) 1 1

+K(t-p)

24

CONCEPTOS BÁSICOS

3.° Por ser L(t;p) = 1 +a(p2-t2)

+a(p-t),

con a > 0, resulta:

A,(C p) = 1 - a ( f 2 - p 2 ) - a ( r - p )

1 4.° C o m o e s ¿ ( f ; p ) = e 6 ( " 2 - t 2 ) + 6 ( " - í ) , c o n 6 > 0, se sigue: /MCp^e-*2-'2'-6"-" >4 2 (f p) =

= A, ( f p)

5.° ParaZ.(r/p)=(1 + a) p ( p ~ í | , con a > 0, es: >4 l (f;p) = (1 + a ) - p ( í - " )

" 2 ( f ; P ) ^1 J ) ^ ' = ( 1 + a ) " " f " " N.4 Determinar las expresiones de capitalización prolongadas y las conjugadas, de las leyes de descuento obtenidas en el ejercicio N. 2. 1." De A (t; p) = 1 - d{t - p), se obtiene: ¿1(tp)=1 L2(t;p) = 2°

ParaA(t;p)

+d(p-t) 1

1

-d(p-t)

resulta:

l+-(r-p) a L,(t;p) = a ¿ 2 U;p) = 1 + - ( p - r ) a

CONCEPTOS BÁSICOS

25

3.° Por ser A{t; p) = e-K3> s e sigue:

L2(t;p)=

_K{p3_t3)

»¿i(trp)

N. 5 Con las leyes: a) ¿.(f;p) = 1 + 0 , 1 1 ( p - f ) 6) £ ( f ; p ) = e a 0 9 ( p - , ) c) ¿(f;p) = {1 + 0,01 )"