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MATEMÁTICA FINANCIERA FORMULAS EL INTERES COMPUESTO: I. PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN MAYORES DE UN AÑO. Donde: S = Monto a interés compuesto C = capital inicial i = tasa de interés n = numero de periodos de capitalización.

1. CAPITALIZACIÓN [

]

2. ACTUALIZACIÓN [

]

3. INTERÉSES

√

4. TIEMPO [

1

]

II. PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN MENORES DE UN AÑO Tasa Nominal (j): Es aquella tasa anual, que permite calcular la tasa efectiva por cada periodo de capitalización menor de un año. Es por eso que la tasa nominal esta siempre relacionado con este periodo de capitalización.

Periodos de Capitalización (m): Es el número de periodos, en los cuales se pagan intereses, que existen en un año Tasa Efectiva por Periodo de Capitalización (im): Es la tasa que permite calcular los intereses por periodo de capitalización, cuyo valor se calcula:

im =

j m

INTERES COMPUESTO EN PERIODOS DE CAPITALIZACIÓN MENOR DE UN AÑO A continuación se describen las fórmulas, cuando el periodo de capitalización es menor que un año: Partiendo de la formula básica de interés compuesto:

S = C (1 + i)n Donde: i es la tasa de interés por periodo y n es el número de periodos, adecuándola a las nuevas j condiciones, la tasa de interés por periodo menor que un año es = y el número total de periodos es m mn, remplazando tendremos, las dos primeras formulas:

1.-

Formula del Monto: Capitalización

[

2.-

]

Formula del Valor Actual: Actualización

[ 3.-

]

Formula de la Tasa de Interés

[ √

4.-

]

Formula del Número de Capitalizaciones

[ 2

]

Ejercicios Interés Compuesto en periodos mayores a un año

1.

Hallar el valor del dinero el día de hoy de: S/.5, 000 que se recibirá dentro de 5 años y S/. 12, 000 dentro de 10 años si la tasa de interés compuesto es de 8%? Actualizar apitalizar Hoy S/. 12, 000

i=8%

S/. X. S/. 5, 000

ACTUALIZACIÓN: 

10 años

5 años

Hoy

[

]

S=5,000, n= 5 , i=8%=0.08

 S=12,000 n= 10, i=8%=0.08 

C= [



C= S/. 8,961.237842

]

+[

]

2. ¿Cuál es el valor del dinero al final del decimo años de tres letras por cobrar , la primera de S/. 13,500 que vence dentro de 2 años, la segunda de S/. 27,800 que vence dentro de 5 años y la tercera de S/.18, 000 que se cobrara dentro de 7 años. Si la tasa de interés compuesto es 7.5% i = 7.5 % = 0.075 Capitalizar Actualizar apitalizar Hoy

Hoy

S/. 13, 500 n=8

S/. 27,800 n=5

2 años

5 años 3

S/. 18,000 n=3

S/. X

7 años

10 años

[ 

[

]

]

[

]

[

]

78966



3. A que tasa de interés compuesto estuvo colocado un capital que en 5 años, genero intereses igual al doble del capital inicial. c = x, i = 2x, S=c+i, n= 5. 

√ –



√

   

√ –

– –

i = 24.573094 %

4. Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de S/. 25,000 si obtuvo una de S/. 6,907 al ser colocado al 5% anual. 

C= 25,000,



Ganancia= 6,907,



S= C+ Ganancia



S=31,907



i=0.05,

[  

[

]

[

]



4

]

5. Se tenia un compromiso de pago por S/. 12,000 que vencía dentro de 8 años, pero cancelara con S/. 7, 451.Si la tasa de interés compuesto es de 10% .Hallar al final de que año se realizara la cancelación.

Actualizar

S/.12, 000 S/.7, 451

Hoy



[

i =10% = 0.1

8 año

n = ¿?

]

[

 Si, C = S/. Entonces: 

]

, S = 7, 451 , i= 0.1 [

,

]

[

]

n = 3 año.

6. A que tasa de interés compuesto se ha colocado un capital de S/.1, 800 para transformarse en S/. 2,070 en un año? 



C=1,800, S= 2, 070 n= 1, i= ¿?.

, entonces

√

√

es decir 15%.



7. Se tiene las siguientes deudas: S/. 2,000 que vence dentro de 3 años, S/.5, 000 que vence dentro de 5 años, S/. 7,200 que vence dentro de 8 años, y S/. 12,000 que vence dentro de 11 años, se desea cancelar todas estas deudas con un solo pago al final del sexto año. Si la tasa de interés compuesto es 8% ¿cual es la cantidad de Dinero de se pago único? S/. 2,000

S/. 5,000 S/.7, 200

S/. 12,000

i = 8%= 0.08

Actualizar todas las deudas Años Hoy

3

8

5 6

La deuda actualizada se capitaliza al sexto año 5

11

Entonces actualizando todas las deudas:



[

]

[

]

[

[

]

[

]

]

 Lo actualizado lo capitalizamos al sexto año: 

[

[

]

]

 8. Un equipo industrial cuesta al contado S/. 27,832.65 y si compra a crédito se pagara en tres cuotas anuales de 10, 000cada una a partir de hoy .hallar la tasa de interés compuesto que se aplica para la adquisición a crédito.

S/. 27,832.65 i = ¿? S/.10, 000 S/.10, 000

S/.10, 000

Hoy



[

  

2 Año

1 Año

[ [ [

]

+[ ]

+[

+[

] ]

] ]



6

+[

] ]

9. Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de S/. 14, 000 si obtuvo una ganancia de S/.1, 050 al ser colocado al 7.5% anual. 

C= 14,000, Ganancia =1,050, i=7.5%=0.075



S= Ganancia + capital entonces S=14,000 + 1,050=15,050



[



]

[

]



10. Un proyecto de inversión requiere una inversión inicial de S/.25, 000 y presenta el siguiente flujo de utilidades netas durante la vida del proyecto. Determinar si conviene invertir si la tasa de interés es 12% Año 1 6, 500

Año2

Año3

Año 4

7, 800

6, 800

5, 300

Año 5

Año 6

8, 500

9,100



Todas las utilidades se actualizan y se descuenta el capital inicial. Y se vera si es rentable.



Entonces:

 

[

[

]

]

[

]

[

]

[

]

[

]

van = 29,663.50 – 25, 000 = 4, 663.51

11. El precio de una camioneta es de S/. 35,000, pero se puede comprar a crédito con una cuota inicial de S/.10, 000 y en 4 cuotas anuales de S/.9,000.calcular la tasa de interés que se aplica a la compra a crédito.

 

Los S/.25, 000 es igual a las cuatro cuotas actualizadas. 25,000=

[

]

 i = 16.39%

[

]

[

7

]

[

]

12. Se tiene las siguientes deudas: S/.2, 000 que se vence dentro de 3 años, S/. 5,000 que se vence dentro de 5 años .S/. 7,200 que vence dentro de 8 años y S/.12, 000 que se vence dentro de 11 años.se desea cancelar todas estas deudas con dos pagos : un pago el día de hoy de S/9,000 y otro al final del sexto año. Si la tasa de interés es del 8%¿ Cual es la cantidad de dinero del pago al final del sexto año?  Todas las deudas de actualizan se resta la primera cuota de S/. 9,000 y el resultado se capitaliza.



[



[

]

+[

]

]

[

]

[

]

= S/. 5,027.110748 se debe actualizar al sexto año.





[

]

 

[

]

13. Se tiene dos alternativas de negocios las cuales tiene las siguientes inversiones y utilidades netas. Alternativas A B

Inversión

Utilidades Netas

Año

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

12, 000

10, 000

14, 000

16, 000

18, 000

13, 000

14, 500

14,500

14,500

14,500



Si la tasa de interés compuesto es 9%. Decidir cual alternativa.



Se actualizan las utilidades y se resta la inversión.



A=12,000-[[



B=13,000-[[

]

]

[

[

]

[

]

[

8

]

] [

[

]

]

] =S/.34,064.42

] =S/.33,975.94

14. El administrador de una empresa tiene las siguientes deudas: S/. 8,000 vence en 2 años/.6,400 vence en 5 años/.14,000 vence en 8 años .Analizando el flujo del dinero de la empresa para los próximos años , propone cancelar las deudas que tiene en dos partes de igual valor nominal , una se pagaría dentro de 3 años y la segunda que se pagara dentro de 6 años . hallar el valor de estos pagos si la tasa de interés compuesto es 7.5%.      

Actualizar todas las deudas: [

]

[

]

[

[

]

]

Hay que actualizar las 2 cuotas “X” del 3 año y 6 año. Deben ser igual a 19,230.46741 + [ =19,230.46741 [ ] ] =19,230.46741



9