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Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera* M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González Escuela de Matemática, UNA Heredia, 2016

1 2 3 31 4 30 5 29 6 28 7 1 2 3 1 2 3 27 31 4 4 8 30 30 5 5 26 9 29 29 6 6 25 28 28 10 7 7 24 27 11 27 8 8 23 12 26 26 9 9 22 13 25 25 10 10 21 14 2019 24 24 15 11 11 181716 23 23 12 12 22 22 1 2 3 1 2 3 13 13 21 21 31 14 14 4 4 2019 2019 30 30 15 15 5 5 16 16 18 18 17 17 29 29 6 6 28 28 7 7 27 27 8 8 26 26 9 9 25 25 10 10 24 24 11 11 23 23 12 12 22 22 13 13 21 21 14 14 2019 2019 15 15 181716 181716

July

August

June

September

1 2 3 31 4 30 5 29 6 28 7 27 8 26 9 25 10 24 11 23 12 22 13 21 14 2019 15 181716

May

1 2 3 4 30 5 29 6 28 7 27 8 26 9 25 10 24 11 23 12 22 13 21 14 2019 15 181716

April

2016

October

1 2 3 1 2 3 31 4 4 30 30 5 5 29 29 6 6 28 28 7 7 27 27 8 8 26 26 9 9 25 25 10 10 24 24 11 11 23 23 12 12 22 22 1 2 3 1 2 3 13 13 21 21 31 14 14 4 4 2019 2019 30 15 15 5 5 16 181716 18 17 29 29 6 6 28 28 7 7 1 2 3 27 27 31 4 8 8 30 5 26 26 9 9 29 6 25 25 10 28 10 7 24 11 27 11 8 24 23 23 12 26 12 9 22 22 13 13 25 10 21 21 14 14 2019 20 24 15 15 11 19181716 181716 23 12 22 13 21 14 2019 15 181716

November

March

February

December

January

*

El presente documento está basado fuertemente en el libro Matemáticas Financieras de Zima, P. y Brown, R. L. (2005). 2da Ed. México, D.F. Mc Graw-Hill Interamericana.

i

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Índice 1. Interés simple y descuento 1.1. Interés simple . . . . . . 1.2. Tiempo entre fechas . . 1.3. Ecuaciones de valor . . . 1.4. Pagos parciales . . . . . 1.5. Descuento simple . . . . 1.6. Pagarés . . . . . . . . . 1.7. Ejercicios . . . . . . . .

simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Interés compuesto y descuento compuesto 2.1. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Tasas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Valor descontado . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Valores acumulados y descontados para periodos 2.5. Cálculo del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ecuaciones de valor . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Descuento compuesto a una tasa de descuento . 2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 6 11 12 16 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de interés fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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22 22 26 28 31 33 35 39 42

. . . . . .

44 45 46 49 53 60 64

. . . . .

68 68 72 79 82 85

. . . . . . .

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3. Anualidades 3.1. Anualidades simples ordinarias . . . . . . . . . . . . 3.2. Valor acumulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Valor descontado de una anualidad simple ordinaria 3.4. Otras anualidades simples . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Determinación del último pago de una anualidad . . 3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Amortización y fondo de amortización 4.1. Amortización de una deuda . . . . . . 4.2. Principal insoluto . . . . . . . . . . . . 4.3. Refinanciamiento de un préstamo . . . 4.4. Fondo de amortización . . . . . . . . . 4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Anotaciones y modelos matemáticos

89

6. Referencias

91

ii

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Matemática Financiera 1. 1.1.

Interés simple y descuento simple Interés simple

Definición 1 El interés simple se caracteriza por que los intereses generados en un periodo no se “reinvierten” en siguiente periodo, de esta manera, los intereses que se van ganando se calculan siempre sobre el capital inicial de la inversión. La cantidad de interés depende de las siguientes variables: X P ≡ Valor presente de S. X S ≡ Valor acumulado de P . X I ≡ Interés simple. X r ≡ Tasa de interés, por año. X t ≡ Tiempo, en años. El interés simple se calcula mediante la fórmula: I = P rt Mientras que el valor acumulado se calcula mediante la fórmula: S = P + I = P + P rt = P (1 + rt) De aquí se deduce que el valor presente se obtienes de: P =S·

1 = S(1 + rt)−1 (1 + rt)

Observación 1 En todo momento el tiempo debe estar expresado en años, aunque en ocasiones se puede encontrar en términos de meses o días, por lo cual se debe colocar su equivalente en años. Cuando el tiempo está en días, el interés se puede calcular de dos formas, mediante el interés simple exacto con base en un año de 365 o por el bien interés simple ordinario, con base en un año de 360 días (el cual se tomará por defecto si no se especifica el tipo de interés). t=

cantidad de meses 12

t=

cantidad de días 365

Interés simple exacto.

1

t=

cantidad de días 360

Interés simple ordinario.

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Ejemplo 1. Calcular, sobre un préstamo de $1 500 a 14 1/2 %, a 60 días: i. El interés simple exacto. ii. El interés simple ordinario. Solución. i. t =

60 60 ; I = P rt = 1 500(0, 145) = $35, 75 365 365

ii. t =

60 60 ; I = P rt = 1 500(0, 145) = $36, 25 360 360









Ejemplo 2. ¿A qué tasa de interés simple se acumulan intereses de $72 por $1 200 a 6 meses? Solución. r=

I 72   = 0, 12 = 12 % = 1 Pt 1 200 2

Ejemplo 3. ¿Cuánto tiempo tardarán $500 para acumular cuando menos $560 a 13 1/4 % de interés simple ordinario? Solución. t= Luego

560 − 500 60 I = = = 0, 90566038 Pr 500(0, 1325) 500(0, 1325)

360 t = ⇒ t ≈ 326, 03774 < 327 días 1 año 0, 90566038

Ejemplo 4. Una persona pide prestados $1 000 por 220 días a 12, 17 % ¿Qué cantidad debe pagar? Solución. En este caso como no se especifica el tipo de interés se sobreentiende que se trata de un caso de interés simple ordinario. 

S = P (1 + rt) = 1 000 1 + (0, 1217)

2



220 360



= $1 074, 37

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Ejemplo 5. Ochenta días después de pedir prestado, una persona paga exactamente $850 ¿Cuánto pidió prestado si los $850 incluyen el principal y el interés simple a 9 3/4 %? Solución. Nuevamente no se especifica el tipo de interés por lo tanto se trata de un caso de interés simple ordinario. P = S(1 + rt)

−1

80 = 850 1 + (0,0975) 360 



−1

= $831, 97

Ejemplo 6. Determinar el valor descontado de $1 000 pagaderos en 3 meses, si la tasa es del 11 %. Solución. P = S(1 + rt)

−1

3 = 1 000 1 + (0, 11) 12 



−1

= $973, 24

Ejemplo 7. Un comerciante recibe una factura por $2 800 con la condición de pronto pago. i. ¿Cuál es la tasa máxima de interés simple a la que puede obtener un préstamo para aprovechar el descuento en efectivo? ii. ¿Qué utilidad puede lograr el comerciante si recibe dinero prestando a 18 %, y paga la factura al décimo día de su fecha de expedición? Solución. i. Primeramente debemos calcular a que es equivalente el 3 % de los $2 800, es decir $84, lo que implica que el comerciante debe pedir prestado un total de $2 716 durante 20 días. Luego la tasa máxima de interés se calcula mediante: r=

84 I   = 20 ≈ 0, 5512 = 55, 12 % Pt 2 716 360

ii. El interés sobre un préstamo de $2 716 durante 20 días a una tasa del 18 % es: 20 = $27, 16 I = 2 716(0, 18) 360 

3



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Observación 2 Para alentar el pronto pago de las facturas, los fabricantes y los mayoristas ofrecen descuentos en efectivo por pagos adelantados a la fecha de vencimiento. Los siguientes términos típicos pueden estar impresos en la factura de la venta: 3/10, 3/n. Las mercancías cobradas con esta base están sujetas a un descuento en efectivo de 3 % si se pagan en menos de 10 días. En caso contrario, se debe pagar toda la cantidad no después de 30 días a partir de la fecha de facturación.

1.2.

Tiempo entre fechas

Definición 2 Existen dos formas diferentes para calcular el tiempo entre dos diferentes fechas de calendario. i. El tiempo exacto se calcula con la cantidad exacta de días entre las dos fechas, en tal caso se puede hacer uso de la tabla llamada “El número de cada año” que se encuentra al final de este documento. ii. El tiempo aproximado, se calcula suponiendo que cada mes tiene 30 días. Observación 3 En la observación 1, estudiamos las dos diferentes formas de como calcular el interés simple (interés simple exacto y ordinario). Ahora, en este punto hemos identificado dos formas diferentes para calcular el tiempo entre fechas, con lo cual nos da como resultado cuatro diferentes métodos para calcular el interés simple entre fechas. En el caso del tiempo exacto, debemos tener cuidado en sumar 1 día a toda fecha posterior al 28 de febrero en los años bisiestos. i. Tiempo exacto e interés ordinario (Regla del banquero): ii. Tiempo exacto e interés exacto:

Ff − Fi 360

Ff − Fi 365

iii. Tiempo aproximado e interés ordinario: iv. Tiempo aproximado e interés exacto:

Meses de 30 días 360

Meses de 30 días 365

Ejemplo 8. Calcular el tiempo exacto y el tiempo aproximado del 18 de abril al 3 de noviembre del mismo año. Solución. i. De acuerdo con la tabla de los días del año, el 18 de abril es el día 108o del año, y el 3 de noviembre es el día 307o del año. El tiempo exacto es 307 − 108 = 199 días.

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ii. Fecha 3 de noviembre 18 de abril Diferencia

Mes 10 4 6

El 3 de noviembre debe entenderse como el día 33 del mes de octubre.

Día 33 18 15

El tiempo aproximado es 6 · 30 + 15 = 195 días.

Ejemplo 9. Calcular el tiempo exacto y el tiempo aproximado del 18 de mayo de 1996 al 8 de abril de 1997. Solución. i. De acuerdo con la tabla de los días del año, el 18 de mayo de 1996 es el día 139o del año 1996 (año bisiesto), y el 8 de abril es el día 98o del año 1997. El tiempo exacto es (366 − 139) + 98 = 325 días. ii. Fecha 8 de abril de 1997 18 de mayo de 1996 Diferencia

Mes 15 5 10

El 8 de abril debe entenderse como el día 38 del 15o mes.

Día 38 18 20

El tiempo aproximado es 10 · 30 + 20 = 320 días.

Ejemplo 10. Se han invertido $2 000, desde el 18 de mayo de 1996 hasta el 8 de abril de 1997, a 16 % de interés simple. Calcular los intereses ganados, usando los cuatro métodos. Solución. De acuerdo al ejemplo anterior, el tiempo exacto es 325 días, y el tiempo aproximado es 320 días. i. Tiempo exacto e interés ordinario: I = 2 000(0, 16) ii. Tiempo exacto e interés exacto: I = 2 000(0, 16)





325 = $288,89 360 

325 = $284, 93 365 

iii. Tiempo aproximado e interés ordinario: I = 2 000(0, 16) iv. Tiempo aproximado e interés exacto: I = 2 000(0, 16)

5





320 = $284, 44 360 

320 = $280, 55 365 

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Ejemplo 11. Calcular el interés simple sobre $3 260 a 12 1/4 %, desde el 21 de abril hasta el 24 de diciembre del mismo año. Solución. El tiempo exacto es 358 − 111 = 247 días, y el interés simple es: 247 I = 3 260(0, 1225) = $274 360 



Ejemplo 12. El 10 de enero el Sr. Arquedas pide prestado $1 000 a su banco, el interés se paga al final de cada trimestre (31 de marzo, 30 de junio, 30 de septiembre, 31 de septiembre) y en la fecha del último pago. El interés se calcula con la tasa de 12 % sobre saldos insolutos. El Sr. Arquedas pagó el préstamo de acuerdo a la siguiente tabla. Calcular el interés total pagado. 1 de marzo 17 de abril 12 de julio 20 de agosto 18 de octubre total

$100 $300 $200 $100 $300 $1 000

Solución. Se debe emplear la regla del banquero. Fechas

C. días

Saldo

Intereses

10 ene - 1 mar 1 mar - 31 mar

50 30

1 000 900

1 000(0, 12)(50/360) = $16,67 900(0, 12)(30/360) = $9,00

31 mar - 17 abr 17 abr - 30 jun

17 74

900 600

900(0, 12)(17/360) = $5,10 600(0, 12)(74/360) = $14,80

30 jun - 12 jul 12 jul - 20 ago 20 ago - 30 sep

12 39 41

600 400 300

600(0, 12)(12/360) = $2,40 400(0, 12)(39/360) = $5,20 300(0, 12)(41/360) = $4,10

30 sep - 18 oct

18

300

300(0, 12)(18/360) = $1,80 $59,07

Total

1.3.

Ecuaciones de valor

Definición 3 Todas las decisiones financieras deben tener en cuenta la idea básica de que el dinero tiene valor por el tiempo. En una transacción financiera, cada pago debe tener una fecha anexa, la fecha en que se vence. En otras palabra, en las Matemáticas financieras se manejan valores fechados. 6

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En general, se comparan los valores fechados mediante la siguiente ecuación de valor o ecuación de equivalencia; $X pagaderos en determinada fecha son equivalentes a $Y , pagaderos t años, a una tasa de interés simple r, si: Y = X(1 + rt)

o

X = Y (1 + rt)−1

Observación 4 Los valores fechados en distintas fechas, no tienen significado alguno. Se deben reemplazar todos los valores fechados por valores fechados equivalentes pagaderos en la misma fecha, por lo cual dos conjuntos fechados son equivalentes a una determinada tasa de interés simple, si los valores fechados de los conjuntos son iguales en cualquier fecha en común. Sugerencias. i. Realizar un diagrama de tiempo, donde se visualice los valores fechados. ii. Seleccionar una fecha focal, y pasar todos los valores fechados a esa fecha focal. iii. Plantear una ecuación de valor en la fecha focal. iv. Resolver la ecuación de valor. Ejemplo 13. Una deuda de $1 500 se vende en 6 meses, con un interés de 11 %. Con 15 % de interés simple, calcular el valor de la obligación: i. Al final de 3 meses. ii. Al final de 12 meses. Solución. El valor de la obligación en 6 meses es: 

1 500 1 + (0,11)



6 12



= $1 582, 50

i. Al final de 3 meses. 3 X = 1 582, 50 1 + (0, 15) 12 



7

−1

= $1 525, 30

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ii. Al final de 12 meses. 

Y = 1 582, 50 1 + (0, 15)



6 12



= $1 701, 19

Ejemplo 14. Blake pidió prestados $5 000 el 1 de enero de 1995. pagó $2 000 el 30 de abril de 1995, y $2 000 el 31 de agosto de 1995. El pago final lo hizo el 15 de diciembre de 1995. Calcular la magnitud del pago final, si la tasa de interés fue del 7 % y la fecha focal: i. El 15 de diciembre de 1995. ii. El 1 de enero de 1995. Solución. Nuevamente se debe resolver una ecuación donde se relacionen: Valor fechado de los pagos = Valor fechado de la deuda i. Fecha focal 15 de diciembre de 1995.          229 106 348 2 000 1 + 7 % + 2 000 1 + 7 % + X = 5 000 1 + 7 % 360 360 360 X = $1 208, 05 ii. Fecha focal 1 enero de 1995. 119 2 000 1 + 7 % 360 



−1

242 + 2 000 1 + 7 % 360 



−1

X = $1 211, 92

8

348 + X 1 + 7% 360 



−1

= 5 000

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Ejemplo 15. La Sra. Hill tiene una deuda de $500 que se vence en 4 meses, y otra de $700 que se vence en 9 meses ¿Qué pago único liquidará esas obligaciones, si el valor del dinero es de 11 %? i. Ahora. ii. En 6 meses. iii. En 1 año. Solución. i.



X1 = 500 1 + (0, 11)

ii.





X2 = 500 1 + (0, 11)

iii.



4 12



X3 = 500 1 + (0, 11)

−1

2 12





8 12



+ 700 1 + (0, 11)



+ 700 1 + (0, 11)







+ 700 1 + (0, 11)

9



9 12

3 12



−1

−1

3 12



≈ $1 128, 97

≈ $1 190, 44

≈ $1 255, 92

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Ejemplo 16. La Sra. Adams tiene dos opciones para pagar un préstamo: puede pagar $200 al final de 5 meses y $300 al final de 10 meses, o bien puede pagar $X al final de 3 meses y $2X al final de 6 meses. Si las opciones son equivalente y el dinero vale 12 %, calcular X, usando como fecha focal: i. El final de 6 meses. ii. El final de 3 meses. Solución. En ambos casos se debe resolver una ecuación donde se relacionen: Valor fechado de la opción 2 = Valor fechado de la opción 1 i. Fecha focal al final de 6 meses. 

X 1 + 12 %



3 12





+ 2X = 200 1 + 12 %



1 12





2 12

−1

X = $161, 87



+ 300 1 + 12 %



4 12

−1

ii. Fecha focal al final de 3 meses. 

X + 2X 1 + 12 %



3 12

−1



= 200 1 + 12 %

X = $161, 96

10



+ 300 1 + 12 %



7 12

−1

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1.4.

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Pagos parciales

Definición 4 En las actividades comerciales, es frecuente utilizar obligaciones en las que se aceptan pagos parciales o abonos a la cuenta, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un sólo pago en la fecha de su vencimiento. En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro del mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación. Existen dos formas de obtener el crédito del interés en transacciones a corto plazo. Regla del comerciante: Toda la deuda y cada pago parcial ganan intereses hasta la fecha de liquidación final. La Regla del comerciante no es más que una aplicación de las ecuaciones de valor. Regla de los Estados Unidos: El interés sobre saldos insolutos de la deuda se calcula cada vez que se hace un pago parcial. Si el pago es mayor que el interés correspondiente, la diferencia se usa para reducir la deuda. Si el pago es menor que el interés que aplica, se mantiene sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuya suma sea mayor que el interés vencido en la fecha del último de esos pagos parciales. Ejemplo 17. Gordon pidió prestados $1 000 el 15 de enero de 1995, a 16 %. pagó $350 el 12 de abril de 1995, $20 el 10 de agosto de 1995 y $400 el 3 de octubre de 1995. Cuál es el saldo a pagar el 1 de diciembre de 1995, según: i. La regla del comerciante.

ii. La regla de los Estados Unidos.

Solución.

i. Regla del comerciante. 

350 1 + 0, 16 ·

233 113 59 320 +20 1 + 0, 16 · +400 1 + 0, 16 · +X = 1 000 1 + 0, 16 · 360 360 360 360 







X = $324, 49

11







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ii. Regla de los Estados Unidos Deuda

Acumulado (S = P + I)

Pago

Saldo (S − Pago = Saldo)

1 000 + 38, 67 = 1038, 67

350

1 038, 67 − 350 = 688, 67

= 36, 73

−

20

−

= 53, 26

688, 67 + 53, 26 = 741, 93

420

741, 93 − 420 = 321, 93

= 8, 44

321, 93 + 8, 44 = 330, 37

X = 330, 37

330, 37 − 330, 37 = 0

Interés (I = P rt)



Pago 1

1 000

1 000(0, 16)

−

688, 67

688, 67(0, 16)

Pago 2

688, 67

688, 67(0, 16)

Pago 3

321, 93

321, 93(0, 16)

87 360



= 38, 67



120 360





174 360





59 360



X = 330, 37

1.5.

Descuento simple

Definición 5 Descuento simple a una tasa de interés: el descuento simple sobre S a una tasa de interés r es la disminución que se concede a un pago o deuda por diferentes circunstancias. Entre las más frecuentes se tienen a las promociones, liquidaciones, etc. Se calcula mediante la diferencia: D =S−P Se puede interpretar D como el interés de I sobre P (P + I = S), también se puede interpretar como el descuento verdadero sobre S, cuando (S − I = P ). Definición 6 Descuento simple a una tasa de descuento. La tasa de descuento d durante un año es la relación del descuento D durante el año sobre la cantidad S, también es llamado descuento bancario y se calcula mediante las siguientes fórmulas: D = Sdt P = S − D = S − Sdt = S(1 − dt) Observación 5 El cargo en algunos préstamos a corto plazo se puede basar en la cantidad futura, y no en el valor presente. El prestamista calcula el descuento bancario D sobre la cantidad final de S que se debe pagar a la fecha de vencimiento, y lo deduce de S; el prestamista recibe el valor descontado de P . Por esta razón, a veces al descuento bancario se le llama interés adelantado. La siguiente fórmula se utiliza para calcular el valor al vencimiento, de un préstamo por determinado valor descontado. P = P (1 − dt)−1 S= 1 − dt 12

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

La relación entre la tasa de interés r y la tasa de descuento d viene dada por las fórmulas: r d d= r= 1 + rt 1 − dt Ejemplo 18. Calcular el valor presente de $1 000 a 12 % de interés simple pagadero en 5 meses ¿Cuál es el descuento verdadero? Solución. En este caso se habla de tasa de interés, lo que significa que tenemos r = 0, 12 P = S(1 + rt)

−1

5 = 1 000 1 + (0, 12) 12 



−1

= $952, 38

El descuento verdadero está dado por D = S − P = 1 000 − 952, 38 = $47, 62 Ejemplo 19. Calcular el valor presente de $1 000 a 12 % de descuento simple pagadero en 5 meses ¿Cuál es el descuento simple? Solución. En esta oportunidad sí se habla de tasa de descuento, por lo tanto: 

P = S(1 − dt) = 1 000 1 − (0, 12)



5 12



= $950

El descuento simple está dado por D = S − P = 1 000 − 950 = $50 Ejemplo 20. Un banco cobra 11 % de interés adelantado simple (esto es, 11 % de descuento bancario) sobre préstamos a corto plazo. Calcular la suma que recibe el prestatario que solicita: i. $900 a 90 días. ii. $1 500 del 3 de mayo al 15 octubre. Solución. 90 i. P = 900 1 − (0, 11) 360 





ii. P = 1 500 1 − (0, 11)





165 360

= $875, 25



= $1 424, 38

13

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Ejemplo 21. Un banco cobra 12 % de descuento bancario en préstamos a corto plazo. Un prestatario necesita $2 000 en efectivo, para pagarlos con intereses en 9 meses ¿Qué préstamo debe solicitar y cuánto interés va a pagar? Solución. En esta ocasión podemos observar que nos indican una tasa, pero específicamente es una tasa de descuento d. 9 S = 2 000 1 − (0,12) 12 



−1

= $2 197, 80

El prestatario debe de pedir $2 197, 80; el interés sobre el préstamo es $197, 80. Ejemplo 22. Considere los datos del ejemplo anterior. El banco conservó la deuda durante 60 días, y la vendió en $990 000. Calcular i. la tasa de interés que ganó el banco, ii. el rendimiento que obtendrá el nuevo comprador, en una base de descuento, si conserva la deuda hasta su vencimiento. Solución. i. El banco ganó intereses por I = 990 000 − 968 230 = $21 770 durante 60 días, sobre la inversión de $968 230. por lo tanto: r=

21770 I   ≈ 13, 49 % = 60 Pt 968230 360

ii. En el caso del nuevo comprador, obtendrá un rendimiento a partir de la diferencia entre el monto total de la deuda y el valor pagado por los 31 días restantes, es decir: D = S − P = 1 000 000 − 990 000 = 10 000 Luego su rendimiento es d =

10 000 D   = 11, 61 % = 31 St 1 000 000 360

14

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Ejemplo 23. ¿Qué tasa de interés simple cobra un banco en el problema anterior? Solución.

d 0, 12   ≈ 13, 19 % = 9 1 − dt 1 − (0, 12) 12 En el caso, que no se cuente con la tasa de descuento, se calcula la tasa de interés a partir de: 197, 80 I   ≈ 13, 19 % = r= 9 Pt 2 000 12 r=

Ejemplo 24. Un banco ofrece el 96, 823 % por una deuda del Tesoro de $1 millón a 91 días. Si se acepta la oferta. Qué rendimiento tendrá el banco, con: i. Una base de descuento bancario. ii. Una base de interés simple Solución. Antes de iniciar con la solución, debemos entender que el 96,823 % por una deuda de $1 millón, significa que el banco está dispuesto a pagar $968 230 a los 91 días de su emisión. i. Primeramente el descuento se obtiene a partir de: D = S − P = 1 000 000 − 968 230 = 31 770, luego la tasa de descuento bancaria es: d=

31 770 D   = 91 = 0, 125683516 ≈ 12, 57 % St 1 000 000 360

ii. El interés se obtiene de a partir de I = S − P = 1 000 000 − 968 230 = 31 770, luego la tasa de interés simple es: r=

D 31 770   = 91 = 0, 129807501 ≈ 12, 98 % Pt 968 230 360

Otra forma de obtener r es: r=

d 0, 125683516   = 91 = 0, 129807501 ≈ 12, 98 % 1 − dt 1 − (0, 125683516) 360

15

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Ejemplo 25. Una empresa emite un documento comercial por $500 000, con vencimiento el 1 de junio. Ese documento es comprado por una empresa de inversiones el 3 de marzo ¿Cuál es el precio de compra, si la tasa de descuento es 111/4 %? Solución. 

P = S(1 − dt) = 500 000 1 − (0, 1125)

1.6.



90 360



= $485 937, 50

Pagarés

Definición 7 Un pagaré es una promesa que el deudor firmante, hace por escrito, para pagar una suma de dinero a la orden de un acreedor o beneficiario, con o sin interés, en una fecha especificada. X El valor nominal es la cantidad establecida en el pagaré. X El término es el periodo de tiempo mencionado. X La fecha de vencimiento es la fecha que se debe cancelar la deuda. X El valor al vencimiento de un pagaré es la suma que se debe pagar en la fecha de vencimiento. Observación 6 Para obtener el valor del vencimiento se debe utilizar el interés simple ordinario, y aplicar regla del banquero cuando sea necesario: Ff − Fi t= 360 Ejemplo 26. El 16 de agosto un detallista compró mercancía por $2 000. Si paga al contado obtendrá un descuento de 5 % por pronto pago, por lo que firmó un pagaré sin intereses a 60 días en su banco, que descuenta pagarés a 6 % ¿Cuál debe ser el valor nominal de ese pagaré, para que el detallista obtenga la cantidad exacta que necesita para pagar al contado la mercancía? Solución. El descuento por pronto pago es del 5 % por los $2 000, equivale a $100. Se necesita $1 900 al contado, por lo que debe firmar un pagaré por un valor nominal S, el cual es: S=

P 1 900   = 60 = $1 919, 19 1 − dt 1 − (0,06) 360

16

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Ejemplo 27. Determinar el valor al vencimiento de un pagaré, firmado el 11 de mayo de 1995, por un monto de $1 500, el cual se vence el 9 de agosto del mismo año, a 8 % de interés simple. Solución.

90 S = P (1 + rt) = 1 500 1 + (0,08) 360 





= $1 530

Ejemplo 28. El 2 de julio del 1995, el Sr. López vendió el pagaré mencionado en el ejemplo anterior, a un banco, a un descuento bancario de 9 %. i. ¿Cuánto dinero recibió el Sr. López? ii. ¿Qué tasa de interés recibió en su inversión? iii. ¿Qué tasa de interés ganó el banco con su inversión, si conservó el pagaré hasta el su vencimiento? Solución.

i. El dinero recibido por el Sr. López se calcula mediante: 

P = S(1 − dt) = 1 530 1 − (0,09)



38 360



= $1 515, 46

ii. Esto indica que recibe una ganancia de $15,46 por su inversión de $1 500 durante 52 días. Por lo cual su tasa de interés fue del: r=

I 15, 46   = 52 = 7, 14 % Pt 1 500 360

iii. La tasa de interés que ganó el banco se obtiene a partir de la utilidad (1 530−1 515, 46 = $14, 54); es decir: I 14, 54   r= = 38 = 9, 09 % Pt 1 515, 46 360 17

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

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Ejemplo 29. El 10 de julio un deudor firma un pagaré por $1 000 a 5 meses, con 14 % de interés. El 18 de octubre el acreedor del pagaré lo vende a un banco, que descuenta pagaré a una tasa de interés simple del 15 %. Calcular los ingresos por la venta. Solución.

Para poder calcular los ingresos por la venta al 18 de octubre, primeramente se debe calcular el valor del pagaré en la fecha de vencimiento, es decir: 5 S = P (1 + rt) = 1 000 1 + (0, 14) 12 





= $1 058, 33

Por lo tanto los ingresos al 18 de octubre son: P = S(1 + rt)

−1

53 = 1 058, 33 1 + (0, 15) 360 



−1

= $1 035, 46

Ejemplo 30. Una empresa pidió prestados $50 000 el 1 de mayo de 1995, y firmó un pagaré a 3 meses con 11 % de interés. En la fecha de vencimiento la empresa pagó totalmente los intereses y firmó un segundo pagaré por 3 meses sin interés, y tal cantidad al ser descontada a 12 % el día en que se firmó, la utilidad fue exactamente la suficiente para pagar la deuda. Calcular: i. El interés pagado en el primer pagaré. ii. El valor nominal del segundo pagaré. Solución. i. Los intereses sobre el primer pagaré al 1 de agosto de 1995, son: 3 = $1 375 I = P rt = 50 000(0, 11) 12 



ii. El valor nominal del segundo pagaré es: 

S = P (1 − dt)−1 = 50 000 1 − (0, 12)

18



3 12

−1

= $51 546, 39

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

1.7.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Ejercicios

1. Si Juan Peréz obtiene del BCR un préstamo de $2 500 y al final de un año paga un monto de $2 525 ¿Cuál es la taza de interés que pagó el señor Peréz? 2. Determine el interés simple sobre $1 200 al 6 % de interés efectivo, durante medio año. 3. Calcular el interés ordinario y exacto de un capital de $1 000, a un interés del 3 %, durante un periodo de 120 días. 4. Calcular el tiempo exacto y aproximado de un operación de crédito que inició el 12 de marzo del año 2010 y finalizó el 30 de junio del 2010. 5. Encontrar el monto de interés simple de $2 500. i. Al 6,5 % durante un año. ii. Al 5,25 % durante 16 años.

iii. Al 1,5 % durante medio año. iv. Al 7 % durante 15 meses.

6. ¿A qué tasa de interés simple? i. ¿El monto de $3 000 será $3 450 en un año? ii. ¿El monto de $750 será $1 000 en seis meses? 7. El señor Arguedas compró un abanico en ¢17 000. Dio una prima de ¢5 000 y acordó pagar el saldo en tres meses, más un monto adicional de ¢200 ¿Qué tasa de interés simple pagó? 8. Determine en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 5 de febrero del 2009 y el 24 de junio del 2009. 9. El señor González desea saber qué suma debe invertir, a una tasa de interés simple del 7 %, para obtener un monto de $3 000 dentro de 9 meses, que los utilizará para cancelar su vehículo. 10. El señor Sánchez realizó una inversión, por lo que firmó una letra de cambio por ¢12 000 a 10 meses plazo, a una tasa de interés del 8 %, ya han transcurrido 4 meses y esta interesado en saber cual es el valor presente de su inversión en este momento, si la tasa de interés actual está en 5 %. 11. ¿En qué tiempo se duplica una cantidad de dinero al 7 % de interés simple? 12. Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto de $1 450 es: i. $1 680, 50 en 5 meses. ii. $1 705 en 9 meses. iii. $4 900 en 22 meses. 13. ¿Qué monto debe ser invertido hoy para generar en 9 meses un interés de $12 400, a una tasa del 7 % ? 19

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

14. Determinar el monto y el interés simple de ¢700 000, durante: i. 9 meses, al 5,5 %. ii. 21 meses, al 4,5 %. 15. El señor Castro desea calcular el monto de interés simple de forma ordinaria y exacta de invertir en una financiera un monto de ¢245 000 a un plazo de 2,5 años, sabiendo que la institución paga una tasa de interés de 7,25 %. 16. El señor Espinoza está deseoso de saber cuánto debe cancelar por un préstamo de ¢1 240 000 a un plazo de 3,8 años, sabiendo que le cobran un interés de 13,25 %. 17. El señor Castro solicita un préstamo al Banco ABC, por un monto de ¢1 230 000, el plazo de la operación es de 2,5 años ¿Qué monto de interés debe pagar el señor Castro si el banco le cobra un interés efectivo del 6,5 %? 18. Un señor pago $2 500, 20 por un pagaré de $2 400 firmado el 10 de abril de 1996 a un con 4 21 % de interés ¿En qué fecha lo pagó? 19. Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120 000 a un interés del 8 % el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10 % ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista? 20. Una persona debe cancelar $14 000 a 3 meses, con el 8 % de interés. Si el pagará tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10 % por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿Qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento? 21. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $20 000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe $19 559, 90 ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré? 22. Una persona debe $20 000 con vencimiento a 3 meses y $16 000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagos al 8 % de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año). 23. ¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de $700, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron $666, 67 netos? 24. El señor Hernández realizó una inversión por un monto de ¢1 250 000 a 6 meses plazo, a una tasa de interés del 5 %. Ya han pasado 3 meses y el señor Hernández requiere liquidar la inversión, debido a que necesita el dinero en este momento ¿Qué monto recibirá si el banco aplica una tasa de descuento del 6,5 %? 25. Una deuda de $2 000 con intereses del 5 %, vence en un año, el deudor paga $600 en 5 meses y $800 en 9 meses. Hallar el saldo de la deuda en la fecha de vencimiento.

20

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

26. Sobre una obligación de $10 000 a un plazo, con intereses del 12 %, el deudor hace los siguientes abonos: $5 000 a los 3 meses y $4 000 a los 8 meses. Calcular usando la regla del comerciante y la regla de los Estados Unidos, el saldo por pagar a la fecha de vencimiento. 27. El 1 de junio del 2008, la señora Arguedas solicitó un préstamo de $5 000 al 6 %, realizó un pago el 15 de julio del 2008, por $2 000, el 20 de octubre del 2008 pagó $40 y por último realizó un pago de $2 500 el 25 de enero del 2009 ¿Cuál es el saldo vencido al 15 de marzo del 2009? calculando mediante: i. La regla del comerciante. ii. La regla de los Estados Unidos. 28. El firmante de un documento a 180 días por $5 000, con intereses al 5 %, fechado el 10 de marzo del 2009, paga $1 500 el 6 de mayo del 2009, $750 el 26 de junio del 2009 y $1 000 el 18 de agosto del 2009 2009. Hallar el saldo insoluto en la fecha de vencimiento, aplicando: i. La regla del comerciante. ii. La regla de los Estados Unidos.

21

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

2. 2.1.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Interés compuesto y descuento compuesto Interés compuesto

Definición 8 Se denomina interés compuesto a la operación financiera según la cual los intereses producidos por un capital en cada periodo se agregan al capital, para calcular los intereses del periodo siguiente y así sucesivamente hasta el momento de cierre de la operación financiera. Es una operación financiera generalmente a largo plazo (generalmente con una duración superior al año) en la que los intereses se acumulan al capital al final de cada periodo. La suma del principal original y los interés totales se llama valor acumulado. La cantidad de interés depende de las siguientes variables: X P ≡ Valor presente de S. X S ≡ Valor acumulado de P . X n ≡ Cantidad total de periodos. X m ≡ Cantidad de periodos por año. X jm ≡ Tasa nominal (anual) de interés que se acumula m veces por año. X i ≡ Tasa de interés por periodo. Las principales fórmulas son las siguientes: jm m n = mt i=



S = P (1 + i)n = P 1 +

jm m

mt

Observación 7 Para calcular el valor acumulado en composiciones de tiempo continuo se debe emplear la fórmula: S = P ej∞ t Donde j∞ es la tasa nominal infinita, llamada comúnmente como fuerza de interés.

22

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Ejemplo 31. Calcular: i. El interés simple sobre $1 000 a 12 % por dos años. ii. El interés compuesto de $1 000 a 12 % durante dos años, capitalizable semestralmente. Solución. i. Interés simple:

I = P rt = 1 000(0, 12)2 = $240

ii. Interés compuesto: Tasa de interés es capitalizable semestralmente: j2 = 12 % Durante dos años, es decir n = mt = (2 semestres) · (2 años) = 2 · 2 = 4. j2 S =P 1+ 2 

4

0, 12 = 1 000 1 + 2 

4

= 1 000(1 + 0,06)4 = 1 000(1,06)4 = $1 262, 48

Esto indica que el interés compuesto es: I = S − P = 1 262, 48 − 1 000 = $262, 48 Ejemplo 32. Calcular el interés compuesto de $1 000: i. Mensualmente a 6 % por 5 años. ii. Mensualmente a 15 % por 30 años. Solución. i.

jm mt 0, 06 = 1 000 1 + S =P 1+ m 12 Por lo tanto el interés compuesto es de: 





5·12

= 1 000(1, 005)60 = $1 348, 85

I = S − P = 1 348, 85 − 1 000 = $348, 85 ii.

jm mt 0, 15 = 1 000 1 + m 12 Por lo tanto el interés compuesto es de: 

S =P 1+





15·12

= 1 000(1, 0125)360 = $87 541

I = S − P = 87 541 − 1 000 = $86 541

23

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Observación 8 En el ejemplo anterior, si en lugar de utilizar una tasa de interés compuesto, hubiésemos utilizado una tasa de interés simple al 15 %, los interés serian de: I = P rt = 1 000(0,15)(30) = $4 500 Esto ilustra el poder del interés compuesto, a una tasa de interés alta y un periodo largo. Ejemplo 33. Una persona depositó $1 000 en una cuenta de ahorros para el retiro, el 4 de febrero de 1978. Cuánto dinero habrá en la cuenta el 4 de febrero del 1998 a 11,4 % compuesto diariamente, suponiendo que: i. El tiempo aproximado (1 año = 360 días). ii. El tiempo exacto (1 año = 365 días). Solución. jm i. S = P 1 + m

mt

0, 114 = 1 000 1 + 360

20·360

0, 114 = 1 000 1 + 360

7200

jm ii. S = P 1 + m

mt

0, 114 = 1 000 1 + 365

20·365

0, 114 = 1 000 1 + 365

7300













= $9 773, 15 = $9 773, 20

Observación 9 Como podemos observar, la diferencia entre los dos resultados difieren en 5 centavos, lo cual no es relevante. La mayoría de los bancos en Estados Unidos utilizan el tiempo exacto, por lo que de aquí en adelante lo utilizaremos por defecto. Ejemplo 34. Se invierten $1 500 durante 18 meses a una tasa nominal de 13 %. calcular el valor acumulado, si el interés se compone: i. Mensualmente.

ii. Continuamente.

Solución. i. En este caso nos están dando la cantidad de periodos totales, es decir 18 meses en total, bajo una tasa mensual. jm S =P 1+ m 

mt

0, 13 = 1 500 1 + 12 

24

18

= $1 821, 06

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

ii. El tiempo está en meses, por lo que se debe convertir a años, es decir 1, 5 años. S = P ej∞ t = 1 500e(0,13)(1,5) = $1 822, 97 Ejemplo 35. Se invierten $2 000 durante 10 años, a j2 = 10 % durante los primeros 3 años, a j4 = 8 % durante los 4 años siguientes, y a j12 = 9 % por los últimos 3 años. Calcular el valor acumulado después de 10 años. Solución. Primera opción: 0, 10 2·3 = 2 000 1 + = 2 000(1, 05)6 = $2 680, 19 2  4·4 0,08 = 2 680, 19 1 + = 2 680, 19(1, 02)16 = $3 679, 33 4 12·3  0,09 = 3 679, 33(1, 0075)36 = $4 814, 94 = 3 679, 33 1 + 12 

S(3años) S(7años) S(10años)



Segunda opción: 0, 10 S = P 1+ 2 

0,08 · 1+ 4

2·3 

0,09 · 1+ 12

4·4 

= 2 000(1,05)6 · (1,02)16 · (1,0075)36

12·3

= $4 814, 94

Ejemplo 36. La población de East Euclid era de 15 000 personas al 31 de diciembre de 1980. Durante el periodo de 1980 a 1990 el pueblo creció a una tasa de de 2 % por año. Suponiendo que la tasa de crecimiento haya permanecido constante, estimar: i. La población al 31 de diciembre del 2000. ii. El aumento de población en el año de 1998.

25

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Solución. i. S = P (1 + i)n = 15 000(1,02)20 ≈ 22 289 personas. ii. Para determinar únicamente el aumento de la población de 1998, debemos calcular la población al 31 de diciembre de 1997 y sumar el 2 %, es decir: S = P (1 + i)n = 15 000(1,02)17 ≈ 21 004 Luego el aumento estimado en el año de 1998 es de: 21 004 · 2 % ≈ 420 personas.

2.2.

Tasas equivalentes

Definición 9 Dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de conversión, se dice que son equivalentes si ambos generan el mismo interés y por lo tanto el mismo monto al término de un mismo lapso de tiempo, no importando el plazo de la inversión. Observación 10 Podemos observar que sin importar el monto inicial, al cabo de cualquier periodo de inversión los valores acumulados deben ser equivalentes entre si, esto nos permite calcular las tasas equivalentes simplificando los valores P , y nos da la libertad de establecer un periodo de inversión aleatorio, por ejemplo 1 año, es decir: jm P 1+ m 

m1

jk =P 1+ k 

k1

jm −→ 1 + m 

m

jk = 1+ k 

k

Ejemplo 37. Calcular la tasa efectiva de interés j que corresponde a 15 % compuesto continuamente. Solución.

1 + j = e0,15 j = e0,15 − 1 ≈ 16, 18 %

Ejemplo 38. Calcular la tasa:

ii. j2 equivalente a j4 = 12 %.

i. j12 equivalente a j1 = 10,08 %.

iv. Mensual equivalente a 5 % por medio año.

iii. j4 equivalente a j∞ = 9 %.

26

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Solución. i. j12 ∼ j1 = 10,08 % 

1+

j12 12

1+

12

ii. j2 ∼ j4 = 12 % j2 1+ 2



= 1 + 0, 1008

√ j12 = 12 1, 1008 12 √ j12 = 12 1, 1008 − 1 12 √ j12 = 12 ( 12 1, 1008 − 1)

1+

j12 ≈ 9, 64 %

j4 1+ 4

4

=

j4 1+ 4



4

j2 = (1, 03)2 2 j2 = (1, 03)2 − 1 2 j2 = 2 [(1, 03)2 − 1] j2 ≈ 12, 18 %

iii. j4 ∼ j∞ = 9 % 

2

iv. j12 ∼ 5 % por medio año (j2 = 10 %) = e0,09



1+

j4 4 = 1+ e0,09 4 q j4 4 e0,09 − 1 = 4 q  4 j4 = 4 e0,09 − 1 q

j12 12

1+

12

=



1+

j2 2

2

q j12 = 6 (1, 05) 12 q j12 = 6 (1, 05) − 1 12 hq i j12 = 12 6 (1, 05) − 1

j12 ≈ 9, 79 %

j4 ≈ 9, 10 % Ejemplo 39.

¿Qué tasa de interés simple r es equivalente a j365 = 12 % si el dinero se invierte durante 3 años? Solución. La tasa r durante 3 años se acumulará hasta 1+3r, además, esta es equivalente a j365 = 12 % durante 3 años hasta una cantidad total de periodos n = 3 · 365 = 1 095 0, 12 1 095 1 + 3r = 1 + 365   0, 12 1 095 3r = 1 + −1 365 " #  1 0, 12 1 095 1+ − 1 = 14,44 % r = 3 365 



27

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Ejemplo 40. Una asociación de ahorro y préstamos ofrece certificados de inversión garantizados que paga intereses a j12 = 111/4 %, j2 = 111/2 % y j1 = 113/4 % ¿Cuál opción es mejor? Solución.

0, 1125 12 − 1 = 11, 85 % j12 = : j = 1+ 12   0, 115 2 j2 = 111/2 % : j = 1 + − 1 = 11, 83 % 2 j1 = 113/4 % : j = j1 = 11, 75 % 



111/4 %

Los certificados de inversión garantizados a j12 = 111/4 % dan la mejor tasa de rendimiento.

2.3.

Valor descontado

Definición 10 P se llama valor descontado de S, o valor presente de S. Además, el proceso de calcular P a partir de S se llama descuento, la diferencia S − P se llama descuento compuesto sobre S. P = S(1 + i)−n

P = Se−j∞ t

Ejemplo 41. Calcular el valor presente de $8 000 pagaderos en 5 años a 7 % compuesto: i. Trimestralmente. ii. Diariamente. iii. Continuamente. Solución. j4 i. P = 8 000 1 + 4 

−4·5

j365 ii. P = 8 000 1 + 365 

0, 07 = 8 000 1 + 4

−365·5



−20

0, 07 = 8 000 1 + 365 

iii. P = 8 000e−j∞ t = 8 000e−(0,07)5 = $5 637, 50

28

= $5 654, 60

−1 825

= $5 637, 69

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Ejemplo 42. Un pagaré por $2 500 con fecha del 1 de agosto de 1993 se vence con interés compuesto de j12 = 151/4 % después de la fecha. El 1 de noviembre de 1994, el dueño del pagaré lo descontó con un prestamista que cobra j4 = 131/2 %. Calcular: i. Los réditos. ii. El descuento compuesto. Solución. 15, 25 % i. S = 2 500 1 + 12

!48

= $4 583, 43

13, 5 % P = 4 583, 43 1 + 4

!−11

= $3 181, 41

ii. S − P = 4 583, 43 − 3 181, 41 = $1 402, 02 Ejemplo 43. Una persona puede comprar un terreno en $30 000, o bien, por $12 000 de enganche, $12 000 en dos años y $12 000 en 5 años ¿Cuál opción es la mejor? si el dinero se puede invertir a: ii. j12 = 8 % durante los 3 primeros años y j4 = 6 % durante los 2 años siguientes

i. j12 = 12 % Solución.

0, 12 −60 0, 12 −24 + 12 000 1 + = $28 056, 19 i. 12 000 + 12 000 1 + 12 12 La opción de pagos parciales es mejor, porque su valor descontado es menor de $30 000 





0, 08 −24 0, 06 + 12 000 1 + ii. 12 000 + 12 000 1 + 12 4 La opción de pagar en efectivo es mejor. 





Opción 1

29



−8 

0, 08 1+ 12

−36

= $30 617, 42

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Ejemplo 44. ¿Cuánto habría que depositar hoy en un fondo de inversión que paga j12 = 10, 4 % para tener $2 000 dentro de 3 años? Solución. 

P =S 1+

jm m

−mt



= 2 000 1 +

0, 104 12

−36

= $1 465, 93

Ejemplo 45. La administración de una empresa debe decidir entre dos propuestas, con base en la siguiente información: Propuesta

Inversión hoy

A B

80 000 100 000

Entrada neta de efectivo al final del Año 1 Año 2 Año 3 95 400 39 000 12 000 35 000 58 000 80 000

Aconsejar a la administración acerca de qué propuesta debe seleccionar, suponiendo que en proyectos de este tipo la empresa puede ganar j1 = 14 %. Solución. Valor descontado neto de la propuesta A: −80 000 + 95 400(1, 14)−1 + 39 000(1, 14)−2 + 12 000(1, 14)−3 = $41 739, 10 Valor descontado neto de la propuesta B: −1 000 000 + 35 000(1, 14)−1 + 58 000(1, 14)−2 + 80 000(1, 14)−3 = $29 328, 53 Por lo tanto la administración debe seleccionar la propuesta A, dado que tiene mayor valor neto descontado.

30

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2.4.

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Valores acumulados y descontados para periodos de interés fraccionarios

Definición 11 Hasta el momento hemos estudiando el interés y descuento compuesto para casos donde los periodos corresponden a número entero n, en caso contrario podemos calcular dichos valores de dos formas diferentes. i. Método exacto o teórico: Considera los periodos como una cantidad fraccionaria de conversión de interés. S = P (1 + i)n P = S(1 + i)−n ii. Método aproximado o práctico: Se analiza el tiempo total de dos formas diferentes, los periodos completos como un interés compuesto y los periodos fraccionarios restantes como un periodo simple. S = P (1 + i)n · (1 + rt)

P = S(1 + i)−n · (1 + rt)

Observación 11 En la práctica rara vez se usa el método exacto, por lo que de aquí en adelante se utilizará por defecto el método aproximado, salvo que se indique lo contrario.

31

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Ejemplo 46. Calcular el valor acumulado de $1 000 durante 5 años 7 meses a j2 = 131/2 %. Usando: ii. El método aproximado.

i. El método exacto. Solución. i. El método exacto. 

S = P (1 + i)n = 1 000 1 +

0, 135 2

2·5

7 12



= 1 000 1 +

0, 135 2

 67 6

= $2 073, 84

ii. El método aproximado. 

S = P (1 + i)n · (1 + rt) = 1 000 1 +

0, 135 2

11 

· 1 + (0, 135)



1 12



= $2 074, 46

Ejemplo 47. Calcular el valor descontado de $2 800 durante 3 años 7 meses, si el dinero vale 10 % efectivo. Usando: ii. El método aproximado.

i. El método exacto. Solución. i. El método exacto.

7

P = S (1 + i)−n = 2 800 (1, 10)−3 12 = $1 989, 91 ii. El método aproximado. −n

P = S (1 + i)

−4

· (1 + rt) = 2 800 (1, 10)

32

5 · 1 + (0, 10) 12 





= $1 992, 12

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Ejemplo 48. Un pagaré por $2 000, fechado el 5 de abril de 1994, se vence el 1 de octubre de 1998, con intereses a una tasa de j1 = 12 %. El 7 de junio de 1995 el tenedor del pagaré lo descuenta en un banco, que cobra j4 = 14 %. Calcular: i. El valor acumulado. ii. El descuento compuesto. Solución. i. El valor presente. Del 5 de abril de 1994 al 1 de octubre de 1998: 4 años y 179 días 

S = 2 000(1, 12)4 1 + (0, 12)



179 360



= $3 334, 81

ii. El descuento compuesto. Para calcular el descuento compuesto a la fecha de 7 de junio de 1995, debemos devolvernos 14 trimestres completos, con lo que nos estaríamos devolviendo 67 días demás. 0, 14 P1 = 3 334, 81 1 + 4 

67 · 1 + (0, 14) 360

−14 





= $2 113, 86

Luego el descuento compuesto es D = S − P = 3 334, 81 − 2 113,86 = $1 220, 95

2.5.

Cálculo del tiempo

Observación 12 Para poder calcular la incógnita n que representa el tiempo, debemos conocen previamente los valores P , S e i. En este caso podemos hacer uso de las propiedades de los logaritmos para despejar la n de la ecuación exponencial S = P (1 + i)n . Si el interés se compone continuamente, se puede despejar la incógnita t de la ecuación S = P ej∞·t , usando logaritmo natural. Ejemplo 49. ¿Cuánto tardarán $2 000 en acumular $800 de interés a 10 % compuesto trimestralmente, si se tiene en cuenta el interés compuesto para la parte fraccionaria de un periodo de conversión?

33

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Solución. Sea n la cantidad de trimestres, entonces se tiene: 2 800 = 2 800 = (1, 025)n = n · log 1, 025 = n =

0, 10 n 2 000 1 + 4 2 000(1, 025)n 1, 4 log 1, 4 log 1, 4 = 13, 62643323 trimestres log 1, 025 



13, 62643323 trimestres · 3 = 40, 87929969 meses 40, 87929969 meses ÷ 12 = 3, 406608308 años → 3 años 0, 406608308 años · 12 = 4, 87929969 meses → 4 meses 0, 87929969 meses · 30 = 26, 3789907 días → 26 días Es decir 3 años, 4 meses y 26 días. Ejemplo 50. ¿En qué fecha $800, depositados el 4 de febrero de 1994, valdrán cuando menos $1 200: i. A 12 % compuesto continuamente. ii. A 12 % compuesto diariamente. Solución. i. A 12 % compuesto continuamente. 1 200 = 800e0,12t e0,12t = 1,5 0, 12t = ln 1,5 ln 1,5 t = = 3, 378875901 años 0, 12 Usando tiempo exacto (1 año = 365 días), t ≈ 1 234 días. Es decir el 22 de junio de 1997 el depósito valdrá cuando menos $1 200.

34

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ii. A 12 % compuesto diariamente. 0, 12 1 200 = 800 1 + 365   0, 12 n 1+ = 1,5 365   0, 12 n log 1 + = log 1,5 365 log 1,5  n =  0, 12 1+ 365 

n

= 1 233, 492437 ≈ 1 234 días

Al igual que en i) es el 22 de junio de 1997.

2.6.

Ecuaciones de valor

Definición 12 La definición de equivalencia es: $X pagaderos en una fecha dada determinada, equivalen a ina tasa i de interés compuesto a $Y pagaderos en n periodos de tiempo, si: X = Y (1 + i)−n

o

Y = X(1 + i)n

Observación 13 Dos propiedades importantes de las ecuaciones de valor para interés compuesto son: X Propiedad transitiva: a determinada tasa de interés compuesto, si X es equivalente a Y y Y es equivalente a Z, entonces X es equivalente a Z. X Si dos conjuntos de pagos son equivalentes en una misma fecha focal, entonces son equivalentes en cualquier fecha focal.

35

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Ejemplo 51. Una obligación de $2 500 se vence al final de 7 años. Si el dinero vale j12 = 10 %, calcular una deuda equivalente al final de: i. 3 años. ii. 10 años. Solución. i. 3 años. 

X = 2 500 1 +



0, 10 12

−12·4





0, 10 12

−48





0, 10 12

36

= 2 500 1 +

= $1 678, 58

ii. 10 años. 

Y = 2 500 1 +



0, 10 12

12·3

= 2 500 1 +

= $3 370, 45

Observación 14 Observe que en el ejemplo anterior, X es equivalente a Y , es decir: X = Y (1 + i)

−84

Además Y = X (1 + i)

84

0, 10 = 3 370, 45 1 + 12 

0, 10 = 1 678, 58 1 + 12 

36

−48

−48

= 1 678, 58

= 3 370, 45

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Ejemplo 52. Una persona debe $1 000 pagaderos al final de 18 meses, y $1 500 pagaderos al final de 4 años. Si el dinero vale j4 = 6 % determine el pago único que liquidará esas obligaciones: i. Hoy. ii. Dentro de 2 años. Solución. i. Hoy.

0, 06 X = 1 000 1 + 4 

−1,5·4

0, 06 + 1 500 1 + 4 

−4·4

16 trimestres

1000

= $2 096, 59

1500

6 trimestres Hoy

4 anos ˜

18 meses = 1,5 anos ˜

ii. Dentro de 2 años. 0, 06 Y = 1 000 1 + 4 

 1 ·4 2

0, 06 + 1 500 1 + 4 

2 trimestes

1,5 anos ˜

= $2 361, 79

8 trimestes 1500

1000

Hoy

−2·4

2 anos ˜

4 anos ˜

Ejemplo 53. Un consumidor compra mercadería con valor de $1 500, pagando $500 al contado y $500 al final de 6 meses. Si la tienda cobra intereses a j12 = 18 % sobre saldos insolutos ¿Qué pago final será necesario hacer al final de 1 año? Solución. Debemos construir la ecuación de valor donde se igualen los pagos y la deuda. Pagos = Deuda Ahora, propiamente de este ejemplo debemos entender que si hace un pago de $500 al contado en la fecha de compra, entonces la deuda únicamente es de $1 000. 37

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Además, como se tratan de ecuaciones de valor para intereses compuestos, se puede elegir cualquier fecha focal, por ejemplo al final de los 12 meses, por lo que se tiene: 

500 1 +

0, 18 12

6



+ X = 1 000 1 + X = $648, 90

0, 18 12

12

El pago deberá de ser por un monto de $648,90. Deuda 1000

6 meses Pagos

12 meses

500

X

Nota: realizar la ecuación de valor con fecha focal el día de hoy. Ejemplo 54. Un hombre estipula en su testamento que $50 000 de su patrimonio se ponga en un fondo del cual cada una de sus tres hijas debe recibir la misma cantidad, a la edad de 21 años. Cuando el hombre muere, las mujeres tienen 19, 15 y 13 años ¿Cuánto recibirá cada una de ellas, si el fondo gana intereses de j2 = 12 % Solución. Considerando como fecha focal el día de hoy, se tiene: 

X 1+

0, 12 2

−4



+X 1+

0, 12 2

−12



+X 1+

0, 12 2

−16

= 50 000

X = $29 713, 99

Cada una recibirá el monto de $29 713,99 al cumplir 21 años. 16 Semestres. 50 000

12 Semestres. 4 Semestres. X

Fecha Focal.

X

Hija 1: 19 anos. ˜ Tiempo faltante: 2 anos. ˜

Hija 2: 15 anos. ˜ Tiempo faltante: 6 anos. ˜

38

X Hija 3: 13 anos. ˜ Tiempo faltante: 8 anos. ˜

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Ejemplo 55. Si el dinero vale 10 % compuesto continuamente ¿Qué pagos iguales X al final de 6 meses y 2 años sustituirán equitativamente las obligaciones siguientes? $1 000 pagaderos hoy y $2 000 con intereses de j2 = 11 % pagaderos en 3 años. Solución. Primeramente debemos calcular el valor acumulado de los $2 000 con j2 = 11 % pagaderos en 3 años, es decir:   0, 11 6 2 000 = 1 + = $2 757, 69 2 Luego se tiene: −(0,10)(1/2)

Xe

Pagos = Deuda + Xe = 1 000 + 2 757, 69 · e−(0,10)(3) X = $1 719, 22 −(0,10)(2)

Deudas 1000

Pagos

2.7.

2 757,69

6 meses

2 anos ˜

X

X

3 anos ˜

Descuento compuesto a una tasa de descuento

Definición 13 Sea d(m) la tasa nominal de descuento, compuesto m veces por año. Entonces, los valores descontados P y valores futuros S a una tasa de descuento por periodo de conversión, se definen como: d(m) P =S 1− m

!mt

d(m) S =P 1− m

!−mt

Observación 15 Para determinada tasa nominal de descuento d(m) , compuesto m veces por año, se define la tasa anual efectiva de descuento como aquella tasa d que, si compone anualmente, producirá el mismo valor descontado por año: !m d(m) d=1− 1− m

39

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Ejemplo 56. Calcular el valor descontado de $100 pagaderos en 2 años a: i. d(12) = 12 % ii. d(265) = 7 % Solución. d(12) i. P = 1 000 1 − 12

!12·2

d(365) ii. P = 1 000 1 − 365

0, 12 = 1 000 1 − 12 

!365·2



= 1 000 1 −

24

0, 07 375

= $785, 68

730

= $869, 35

Ejemplo 57. Determinar el valor acumulado de $500 al final de 3 años a d(2) = 8 %. Solución. d(2) S = 500 1 − 2

!−2·3



= 500 1 −

0, 08 2

−6

= $638, 77

Ejemplo 58. Determinar la tasa de descuento anual efectivo de d que corresponde a d(12) = 9 %. Solución. d(m) d=1− 1− m

!m

0, 09 =1− 1− 12 

12

= 0, 086378765 ≈ 8, 64 %

Observación 16 Si se desea conocer la tasa de descuento bm equivalente a otra tasa, ya sea de descuento o de interés; se deben emplear las siguientes fórmulas: d(m) 1− m

!m

d(k) = 1− k

!k

d(m) 1− m

!m

40

jk = 1+ k 

−k

d(m) 1− m

!m

= e−j∞

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Ejemplo 59. Calcule la tasa: i. d(12) equivalente a d(2) = 6 %. ii. d(4) equivalente a j12 ≡ i(12) = 12 %. iii. d equivalente a j∞ ≡ i(∞) = 9 %. Solución. i. d(12) equivalente a d(2) = 6 %. d(12) 1− 12

!12

d(12) 1− 12 d(12) 12 d(12) 12 d(12)

d(2) 1− 2

=

s

=

6

1−

= 1−

!2

0, 06 2

√ 6 1 − 0, 03

√ 6 0, 97 √ = 12 [1 − 6 0, 97] = 0, 060764049 ≈ 6, 08 % = 1−

ii. d(4) equivalente a j12 = 12 %. !4

d(4) j12 −12 1− = 1+ 4 12   0, 12 −3 d(4) = 1+ 1− 4 12 (4) d = 1 − (1, 01)−3 4 



i

h

d(4) = 4 1 − (1, 01)−3 = 0, 0117639408 ≈ 11, 76 % iii. d equivalente a j∞ = 9 %. (1 − d)−1 = e0,09 1 − d = e−0,09 d1 = 1 − e−0,09 = 0, 086068815 ≈ 8, 61 %

41

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2.8.

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Ejercicios

1. Averiguar en qué se convierte un capital de ¢1 200 000 al cabo de 5 años, con una tasa de interés compuesto anual del 8 %. 2. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15 % con capitalización trimestral, para disponer de $20 000 al cabo de 10 años. 3. ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2 000 que paga el 3 % anual, para que se convierta en $7 500? 4. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: i. Al 5 % efectivo anual. ii. Al 5 % capitalizable mensualmente. iii. Al 5 % capitalizable trimestralmente. iv. Al 5 % capitalizable semestralmente. 5. Hallar el valor futuro de $20 000 depositados al 8 %, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses. 6. ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8 %, capitalizable trimestralmente? 7. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10 000 se convierten en $12 500, en 5 años. 8. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6 000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8 % semestral, para que se conviertan en $10 000? 9. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6 % capitalizable trimestralmente? 10. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital, si la tasa es del 16 % anual con capitalización semestral? 11. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9 % convertible mensualmente? 12. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18 % convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses? 13. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a razón de 3 % trimestral, y que será pagadero al cabo de un año ¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés de 12 % convertible mensualmente?

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14. Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un pagaré por $140 000 con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10 % anual convertible semestralmente ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta el documento en su banco y éste le cobra 16 % de interés anual? 15. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés efectiva anual es de: i. 10 %. ii. 20 %. 16. Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés ¿En cuánto tiempo lo triplicará? 17. Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1 de febrero ¿En qué fecha valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15 % compuesta mensualmente? 18. Pablo Pérez depositó ¢100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9 meses. Actualmente tiene ¢208 500, 862, y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si la capitalización es trimestral. 19. Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo con un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de $100 000. El interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2 % nominal anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tiene las edades de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21 años ¿Qué cantidad ha de recibir cada una? 20. Usted compra una póliza de vida con un valor de $25 000 y paga por ella una prima única de $15 000. Si usted no se muere antes, la compañía le pagará dentro de 20 años la cantidad de $25 000 ¿A qué interés nominal anual compuesto semestralmente debe invertir la empresa aseguradora su capital, para realizar una utilidad de $2 000 en la póliza, si los gastos que ésta le ocasiona son de $500?. 21. ¿Cuánto dinero tendré que depositar hoy en una cuenta de ahorros que para el 25 % nominal anual capitalizado mensualmente, para poder hacer retiros de ¢200 000 al final de los próximos cuatro años, quedando en la cuenta ¢100 000 una vez transcurridos los cuatro años?. 22. Un inversionista coloca dos capitales en un banco. Uno de ellos al 24 % anual con capitalización cuatrimestral y el otro al 24 % anual con capitalización trimestral. Al transcurrir 12 años ambos montos de los dos capitales son iguales. Además, se conoce que la diferencia de los intereses ganados en el segundo año por los dos capitales es de $1 538 576. Determine la cantidad de dinero que recibirá el inversionista al final de los 12 años. 23. Un banco presta a un cierto tipo de interés compuesto. Sabiendo que si se cancela un préstamo a los cuatro años, la cantidad a cancelar es un 21 % superior a la que cantidad necesaria para cancelar el mismo préstamo a los dos años ¿Cuál sería el tipo de interés nominal para pagos de frecuencia trimestral?. 43

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3.

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Anualidades

Se refiere a una serie de pagos, normalmente de un mismo monto y períodos iguales, por ejemplo anuales, mensuales, quincenales, bimestrales, entro otros. El intervalo de pago o intervalo de abono, es el tiempo que transcurre entre dos pagos consecutivos. Por otra partes el tiempo del contrato o convenio, se refiere al plazo de la anualidad, esto es, el rango de tiempo que transcurre entre el primer y último de los pagos o abonos. De tal forma, podríamos entender a la Anualidad como el pago periódico que se realiza en un lapso de tiempo, considerando una tasa de interés y una capitalización en cuyo caso se fija al inicio de la firma del convenio. La variación en los elementos de las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas, por lo tanto se clasifican de acuerdo a los siguientes criterios. Criterio: Tiempo i. Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. ii. Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuándo. Criterio: Interés i. Anualidad general. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30 % anual capitalizable trimestralmente. ii. Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18 % capitalizable mensualmente. Criterio: Pagos i. Anualidad ordinaria. Las anualidades ordinarias son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. ii. Anualidad vencida. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo. Criterio: Iniciación i. Anualidad inmediata. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Ejemplo: se compra un artículo a crédito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o vencida). 44

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ii. Anualidad diferidas. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un artículo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía. Dado que entre cada tipo de criterio de clasificación (tiempo, intereses, pagos, iniciación) no son mutuamente excluyentes; la diversidad de anualidades puede ser de la siguiente manera:

Anualidades

                           Simples                                                      Generales                       

3.1.

           Ciertas           

      Ordinaria  

             Contigentes         

     Ordinaria    

           Ciertas           

      Ordinaria  

             Contigentes         

      Ordinaria  

     Vencida  

     Vencida  

      Vencida  

     Vencida  

 Inmediatas Diferidas  Inmediatas Diferidas  Inmediatas Diferidas  Inmediatas Diferidas  Inmediatas Diferidas  Inmediatas Diferidas  Inmediatas Diferidas  Inmediatas Diferidas

Anualidades simples ordinarias

Son aquellas anualidades que son utilizadas con mayor frecuencia en la actividad financiera y comercial. También son conocidas como anualidades ciertas, simples e inmediatas. Las características de éste tipo de anualidades son: i. Los pagos o abonos se realizan al final de cada intervalo de pago. ii. Las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad, se conoce desde la firma del convenio. iii. Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago. iv. El plazo inicia con la firma del convenio. En este capítulo sólo describiremos anualidades simples, es decir, anualidades cuyos pagos se hacen al final de los periodos de conversión de interés.

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3.2.

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Valor acumulado

Definición 14 Se define el valor acumulado S de una anualidad, como el valor fechado equivalente del conjunto de n pagos $R vencidos al término de dicha la anualidad. (1 + i)n − 1 i Las anualidades dependen de las siguientes variables: S = Rsn¯ |i = R

R=S

i (1 + i)n − 1

X R ≡ Pago periódico de la anualidad. X n ≡ Cantidad de periodos de conversión de interés durante el término de una anualidad. X i ≡ Tasa de interés por periodo de conversión. X S ≡ Valor acumulado. X A ≡ Valor descontado. Ejemplo 60. Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $2 000 anuales durante 5 años, si el dinero vale: ii. 121/2 % compuesto anualmente.

i. j1 = 9 %. Solución. i. S = R

(1, 09)5 − 1 (1 + i)n − 1 = 2 000 = $11 969, 42 i 0, 09

ii. S = R

(1 + i)n − 1 (1, 125)5 − 1 = 2 000 = $12 832, 52 i 0, 125

Ejemplo 61. Juan paga una deuda con $250 por mes. Si no realiza los pagos en los meses de julio, agosto, septiembre y octubre ¿Qué pago necesitará hacer en noviembre para emparejarse con su calendario, si el interés está a j12 = 14, 4 %? Solución. En este caso, Juan necesitará cancelar los intereses sobre los saldos insolutos, junto con el pago de noviembre. S=R

(1 + i)n − 1 (1, 012)5 − 1 = 250 = $1 280, 36 i 0, 102 46

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Ejemplo 62. Diana deposita $300 cada 3 meses, en una cuenta de ahorros, que paga intereses a j4 = 8 % ¿Cuánto hay en su cuenta justo después del depósito del 1 de marzo de 1997, si hizo el primer depósito el 1 de marzo de 1993? Solución. Observe que la anualidad comienza un periodo antes del primer depósito, es decir, el 1 de diciembre de 1992, luego su valor acumulado es al 1 de marzo de 1997 es: S=R

(1 + i)n − 1 (1, 02)17 − 1 = 300 = $6 003, 62 i 0, 02

Ejemplo 63. Francisco ha depositado $1 000 al final de cada año, durante los últimos 10 años, en un plan de ahorro para el retiro. Sus depósitos ganaron intereses aj1 = 8 % durante los primeros 3 años, a j1 = 101/4 % durante los 4 años siguientes, y j1 = 9 % durante los últimos 3 años. i. ¿Cuál es el valor acumulado de su plan de retiro? ii. ¿Cuáles son los intereses totales ganados en los últimos 10 años? Solución. i. Para obtener el valor acumulado, se deben ordenar los datos y plantear la siguiente ecuación de valor, cuya fecha focal se ubica en 10. S = 1 000

(1, 08)3 − 1 (1, 1025)4 − 1 (1, 09)3 − 1 (1, 1025)4 (1, 09)3 + 1 000 (1, 09)3 + 1 000 0, 08 0, 1025 0, 09

S = $15 521, 97

ii. I = S − nR = 15 521, 97 − 10 · 1 000 = $5 521, 97 47

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Ejemplo 64. Jane abre una cuenta de ahorros con un depósito de $2 000 el 1 de febrero de 1993 y hace depósitos mensuales de $200 durante 5 años, comenzado el 1 de marzo de 1993. A partir del 1 de marzo de 1998 hace retiros mensuales de $400 durante 3 años. Calcular el saldo en su cuenta justo después del último retiro, el 1 de febrero de 2001, si j12 = 6 %. Solución. X = 2000(1, 005)96 + 200

(1, 005)36 − 1 (1, 005)60 − 1 (1, 005)36 − 400 = $4 192, 33 0, 005 0, 005

Ejemplo 65. Se estima que será necesario reemplazar una máquina dentro de 10 años, a un costo de $80 000 ¿Cuánto se debe apartar cada año para reunir esa cantidad, si los ahorros de la empresa ganan intereses a j1 = 8 %? Solución. R=S

0, 08 i = 80 000 = $5 522, 36 (1 + i)n − 1 (1, 08)10 − 1

Ejemplo 66. A partir del 1 de junio de 1995, hasta el 1 de diciembre del 2000, una empresa necesitará $250 000 semanales para retirar una serie de bonos ¿Qué depósitos semestrales iguales se necesitaran hacer en un fondo que paga j2 = 10 % a partir del 1 de junio de 1990, continuamente hasta el 1 de diciembre del 2000, para retirar los bonos cuando se vencen? Solución. X

(1, 05)22 − 1 (1, 05)12 − 1 = 250 000 0, 05 0, 05 X = 103 343, 97

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3.3.

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Valor descontado de una anualidad simple ordinaria

Definición 15 El valor descontado A de una anualidad simple ordinaria de n pagos, es el valor fechado equivalente del conjunto de pagos vencidos, al inicio del término, es decir, 1 periodo antes del primer pago. A=R

1 − (1 + i)−n i

R=A

i 1 − (1 + i)−n

Ejemplo 67. Calcular el valor presente de una anualidad de $380 al final de cada mes, durante 3 años, a: i. j12 = 12 %

ii. j12 = 10, 38 %

Solución. i. A = R

1 − (1, 01)−36 1 − (1 + i)−n = 380 = $11 440, 85 i 0, 01

0, 1038 1− 1+ 12 ii. A = 380 0, 0, 00865 

−36

= $11 711, 81

Ejemplo 68. Jesús compra un coche usado, pagando $1 500 de enganche y $182,5 mensualmente durante 3 años. i. ¿Cuál fue el precio de contado del automóvil, si la tasa de interés sobre el préstamo es de j12 = 18 %? ii. ¿Cuáles fueron los intereses totales sobre el préstamo? Solución. i. En este caso para calcular el precio de contado, debemos considerar dos valores diferentes: la prima y el préstamo. 0, 18 1− 1+ 12 C = 1 500 + 182, 5 0, 015 

−36

= 1 500 + 5 048, 07 = $6 548, 07

ii. I = nR − préstamo = 36 · 182, 5 − 5 048, 07 = $1 521, 93

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Ejemplo 69. La Sra. Cheung firmó un contrato donde se le pide un enganche de $2 000 y pagos de $250 mensuales durante 5 años. El dinero vale j12 = 12 %. i. ¿Cuál es el valor al contado del contrato? ii. Si a la Sra. Cheung le faltaron los primeros 6 pagos ¿Cuánto debe pagar en el séptimo pago para saldar toda su deuda? iii. Si al principio del tercer año (después de haber hecho el 24◦ pago), el contrato es vendido a un precio que rinde a su comprador j12 = 15 % ¿Cuánto paga el comprador? Solución. i. C = 2 000 + 250

1 − (1, 01)−60 = $2 000 + $11 238, 76 = $13 238, 76 0, 01

ii. Al calcular el valor en el 7◦ pago, debemos plantear la ecuación considerando el valor acumulado de los primeros 7 pagos y el valor descontado de los 53 pagos restantes. 1 − (1, 01)−53 (1, 01)7 − 1 + 250 X = 250 0, 01 0, 01 X = $12 049, 47 Por otra parte, también se puede obtener calculando el valor descontado de los 60 pagos, considerando el valor acumulado al final del séptimo periodo. 1 − (1, 01)−60 X = 250 · (1, 01)7 = $12 049, 47 0, 01 iii. Para calcular el valor que debe pagar el comprador, se debe determinar el valor descontado de los 60 − 24 = 36 pagos. 0, 15 1− 1+ 12 Y = 250 0, 125 

50

−36

= $7 211, 82

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Ejemplo 70. Para saldar una deuda con 12 % de interés compuesto semestralmente, Leonardo conviene en hacer 15 pagos de $400 al final de cada semestre, y un pago final de $292,39 seis meses después ¿De cuánto es la deuda? Solución. 0, 12 1− 1+ 2 X = 400 0, 06 

−15

+ 292, 39(1, 06)−16 = 3 884, 90 + 115, 10 = $4 000

Ejemplo 71. Una anualidad que se paga al final de cada mes, paga $200 durante 2 años, después $300 al siguiente año, y luego $400 por los 2 años siguientes. Calcular el valor descontado de estos pagos, a j12 = 10 %. Solución. 

A = 200

0, 10 12 0, 10 12

1− 1+

A = $13 559, 93

−24



+ 300

0, 10 12 0, 10 12

1− 1+

−12





1+

0, 10 12

−24

+ 400

0, 10 12 0, 10 12

1− 1+

−24 

1+

0, 10 12

−36

Observación 17 La diferencia entre el valor presente de las entradas de efectivo y el valor presente de las salidas de efectivo, se conoce con el término de valor presente neto (V P N ).

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Ejemplo 72. Una empresa está examinado la posibilidad de adquirir un nuevo equipo por $40 000. Se estima que el valor de salvamento será de $5 000 al final de 6 meses. Los costos de mantenimiento serán $400 por mes, pagaderos al final de cada mes. Por otra parte, se podría rentar el equipo por $1 200 por mes, pagaderos al final de cada mes, realizando un convenio de arrendamiento por 6 años, el arrendamiento pagaría los costos de mantenimiento. Si la empresa puede ganar j12 = 18 % sobre su capital, aconseje a la empresa si debe comprar o rentar. Solución. 0, 18 V P N de comprar = 5 000 1 + 15 

−72

1 − (1, 015)−72 − 40 000 + 400 0, 015

!

= −$55 826, 22

1 − (1, 015)−72 = −$52 613, 60 V P N de rentar = −1 200 0, 015 Lo que indica claramente que la empresa deberá de rentar el nuevo equipo en lugar de comprarlo. Ejemplo 73. Un televisor vale $780, se puede comprar pagando $80 de enganche y el resto en abonos mensuales durante 2 años. Calcular el abono mensual, si el comerciante cobra 15 % compuesto anualmente, y el primer abono se vence dentro de un mes. Solución. Primero debemos notar que el interés es anual y no mensual como los pagos, por lo que debemos calcular el interés compuesto mensualmente dividiendo por 12. Además A = 780 − 80 = 700, entonces 0, 15 i 12 = 700 = $33, 94 R=A 1 − (1 + i)−n 1 − (1, 0125)−24 Ejemplo 74. Juana ha hecho depósitos semestrales de $500, durante 5 años, en un fondo de ahorro que paga intereses de j2 = 61/4 % ¿Qué depósitos semestrales durante los 2 años siguientes elevarán el fondo hasta $10 000?

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Solución. Podemos calcular el valor de los depósitos de dos formas diferentes: i. Mediante un procedimiento acumulado, considerando la fecha focal como la fecha final de la anualidad. 0, 0625 10 1+ −1 (1, 03125)4 − 1 2 500 · (1, 03125)4 + X = 10 000 0, 03125 0, 03125 



X = $830, 22 ii. Mediante un procedimiento descontado, considerando la fecha focal en 10◦ pago, por ejemplo. 0, 0625 10 1+ −1 0, 03125 −4 2 500 +X −4 = 10 000 (1, 03125) 0, 03125 1 − (1, 03125) 



X = $830, 22

3.4.

Otras anualidades simples

Definición 16 Anualidades vencidas: como se indicó anteriormente, las anualidades vencidas son aquellas cuyos pagos periódicos se cancelan al inicio del intervalo de la anualidad, en otras palabras, el primer pago se realiza el día en que se adquiere el contrato. Por consiguiente, la anualidad se completa un periodo después del último pago. (1 + i)n − 1 S=R · (1 + i) i A=R

R=S

1 − (1 + i)−n · (1 + i) i

R=A

i 1 · n (1 + i) − 1 (1 + i)

1 i −n · (1 + i) 1 − (1 + i)

La diferencia entre una anualidad ordinaria y una vencida se puede ver gráficamente en los siguientes diagramas de tiempo:

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Definición 17 Anualidades diferidas: Las anualidades diferidas son aquellas en los que el inicio de los pagos periódicos se pospone para un tiempo posterior a la formalización de la operación, acordado tanto por acreedor como por el deudor. En otras palabras, es una anualidad simple ordinaria cuyo término está diferido k periodos. En la actualidad, las tiendas departamentales ofrecen este tipo de pagos: “compre ahora y pague después”. A=R

1 − (1 + i)−n (1 + i)−k i

Ejemplo 75. Juana depositó $200 al principio de cada mes, durante 5 años, en una cuenta que paga intereses de 101/2 % compuesto mensualmente ¿Cuánto hay en su cuenta al final de 5 años? Solución. 0, 105 60 1 + −1 n (1 + i) − 1 12 S=R · (1 + i) = 200 · (1, 00875) = $15 831, 10 i 0, 00875 



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Ejemplo 76. Una pareja desea acumular $10 000 para el 31 de diciembre de 1999. Hacen 10 depósitos anuales iguales, comenzando el 1 de enero de 1990. Si los intereses son j1 = 12 % ¿Qué depósito anual se necesita? Solución. R=S

i 1 0, 12 1 · = 10 000 · = $508, 79 n 10 (1 + i) − 1 (1 + i) (1, 12) − 1 (1, 12)

Ejemplo 77. Una póliza de seguro de vida permite la opción de pagar cuatro primas anuales por adelantado, o 12 mensuales por adelantado. Si la prima mensual es de $15 ¿Qué prima anual sería equivalente, a j12 = 12 % Solución. 

−n

A=R

1 − (1 + i) i

· (1 + i) = 15

0, 12 12 0, 01

1− 1+

−12

· (1, 01) = $170, 51

Ejemplo 78. Un coche usado se vende en $9 550. Brent desea pagarlo en 18 abonos mensuales, el primero pagadero en la fecha de la compra. Si se cobra el 18 % compuesto mensualmente, calcular la magnitud del pago mensual. Solución. 0, 18 i 1 1 12 R=A = 9 550 = $600, 34 −n · −18 · (1 + i) (1, 015) 1 − (1 + i) 1 − (1, 015)

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Ejemplo 79. De acuerdo con el testamento del Sr. Novak, su seguro de vida de $100 000 se debe invertir a j1 = 13 %, y de este fondo la viuda recibirá mientras viva $15 000 cada año, y el primer pago de inmediato. En la fecha de pago siguiente a la muerte de la esposa, el saldo del fondo se debe donar a una asociación caritativa. Si su viuda murió 4 años y 3 meses después ¿Cuánto recibió la asociación caritativa? Solución. 15 000

(1, 13)5 − 1 · (1, 13) + X = 100 000(1, 13)5 0, 13 X = $74 402, 93

Ejemplo 80. Una pareja de 40 años deposita $1 000 al principio de cada año, durante 25 años, en una cuenta registrada de ahorros para el retiro, que paga intereses a j1 = 9 %. A partir de su 65◦ cumpleaños, hacen 15 retiros anuales iguales del fondo, al principio de cada año. Durante ese periodo, el fondo paga 7 %. Calcular la cantidad de cada retiro. Solución.

Ahorros = Retiros (1, 09) − 1 1 − (1, 07)−15 1 000 · (1, 09) = R · (1, 07) 0, 09 0, 07 R = $9 473, 53 25

Ejemplo 81. Calcular el valor descontado de una anualidad ordinaria diferida en 5 años, si paga $1 000 al año durante 10 años, y los intereses son de j1 = 8 %. Solución. A=R

1 − (1 + i)−n 1 − (1, 08)−10 · (1 + i)−k = 1 000 · (1, 08)−5 = $4 566, 77 i 0, 08 56

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Ejemplo 82. Calcular el valor descontado, el 1 de enero de 1995, de pagos trimestrales de $100 durante 10 años, si el primer pago fue el 1 de enero de 1997 y la tasa de interés es de 7 % compuesto trimestralmente. Solución. 0, 07 1− 1+ 4 = 1 00 0, 0175 

A=R

1 − (1 + i)−n · (1 + i)−k i

−4·10

· (1, 0175)−7 = $2 532, 43

Ejemplo 83. ¿Cuánto dinero se debe apartar, desde el nacimiento de un bebé, que le proporcione ocho pagos semestrales de $1 500 para su educación universitaria, si el primer pago se debe hacer cuando cumpla 19 años? El fondo ganará intereses a j2 = 9 %. Solución. 0, 09 1− 1+ 2 = 1 500 0, 045 

A=R

1 − (1 + i)−n · (1 + i)−k i

−8

· (1, 045)−37 = $1 941, 16

Ejemplo 84. La Sra. Wong cambia de trabajo a la edad de 46 años. Le dan $8 500 como derechos adquiridos en el plan de pensiones de la empresa. Invierte ese dinero en un plan registrado de ahorros para el retiro, que paga j1 = 8 %, y allí lo deja hasta su retiro definitivo a la edad de 60 años. Planea hacer 25 retiros anuales de este fondo; el primero en su aniversario 61. Calcular el monto de esos retiros. 57

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

Solución.

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1 − (1 + i)−n · (1 + i)−k i 1 − (1, 08)−25 · (1, 08)−14 8 500 = R 0, 08 R = $2 338, 80 A = R

Ejemplo 85. ¿Cuánto dinero se debe apartar para tener un ingreso de $500 mensuales durante 3 años, si el dinero gana interese de j12 = 15 %?, si el primer pago se va a recibir: i. Dentro de un mes. ii. De inmediato. iii. Dentro de dos años. Solución. i. Este es un ejemplo de una anualidad ordinaria. 0, 15 1− 1+ 12 = 500 0, 0125 

A=R

1 − (1 + i)−n i

−3·12

= $14 423, 63

ii. Este otro considera una anualidad vencida. A=R

1 − (1 + i)−n 1 − (1, 0125)−36 · (1 + i) = 500 · (1, 0125) = $14 603, 93 i 0, 0125

iii. Y en este caso una anualidad vencida cuyo el diferimiento es de k = 23 periodos. A=R

1 − (1 + i)−n 1 − (1, 0125)−36 · (1 + i)−k = 500 · (1, 0125)−23 = $10 838, 99 i 0, 0125

58

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

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Ejemplo 86. Una pareja depositó $100 mensualmente en un fondo que paga intereses a j12 = 12 %. El primer depósito se hizo el 1 de junio de 1979; el último fue el 1 de noviembre de 1989. Calcular el valor del fondo: i. El 1 de septiembre de 1984. ii. El 1 de diciembre de 1991. Solución. 

(1 + i) − 1 = 100 i. X = R i n

1+

0, 12 12 0, 01

64

−1

= $8 904, 62

(1 + i)n − 1 (1, 01)126 − 1 n ii. Y = R · (1 + i) = 100 · (1, 01)25 = $32 104, 75 i 0, 01

Ejemplo 87. Si la pareja del ejemplo anterior desea hacer retiros mensuales iguales, del 1 de enero de 1994 al 1 de diciembre de 1999 ¿Cuánto deben sacar por mes? Solución.

1 − (1, 01)−72 (1, 01)126 − 1 R = 100 · (1,01)49 0, 01 0, 01 R = $796, 95

59

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

3.5.

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Determinación del último pago de una anualidad

Observación 18 Para obtener la cantidad de pagos n de una anualidad simple ordinaria, basta con despejar la variable n en las fórmulas antes estudiadas. Usualmente el valor de n no es entero, por lo que para mantener la equivalencia, se deberá realizar un último pago diferente a los anteriores, para ello, los podemos realizar de dos maneras distintas: i. Cancelar un monto mayor en el último pago. ii. Realizar un pago menor adicional, un periodo después del último pago regular. Ejemplo 88. Se debe acumular un fondo de $8 000 con pagos semestrales de $200. Si el fondo gana intereses a j2 = 12 %, calcular la cantidad de depósitos normales necesarios, y los depósitos finales de acuerdo con las dos alternativas. Solución. Primeramente determinemos la cantidad de pagos por realizar. (1, 06)n − 1 0, 06 (1, 06)n − 1 40 = 0, 06 2, 4 = (1, 06)n

8 000 = 200

3, 4 = (1, 06)n n =

ln (3, 4) = 21, 00220291 pagos ln (1, 06)

En este punto, si decidimos hacer solamente 21 pagos, el último deberá hacerse por un monto mayor a los $200. En cambio si realizamos 22 pagos, el pago extra deberá de ser menor al pago normal, con lo cual podría pasar que los intereses cubran dicho pago. 22 pagos

21 pagos (1, 06)21 − 1 8 000 = 200 +X 0, 06 X = $1, 45

(1, 06)21 − 1 8 000 = 200 · (1, 06) + Y 0, 06 Y = −$478, 46

Entonces el pago 21◦ deberá ser de $201,45.

Con lo cual el pago extra queda cubierto por los intereses.

60

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Ejemplo 89. Una deuda de $4 000 paga intereses de j2 = 12 %. Se debe pagar en pagos semestrales de $400. Calcular la cantidad de pagos totales necesarios, y el pago final de acuerdo con la alternativa ii. Solución.

1 − (1, 06)−n 0, 06 n = 15, 72520854 pagos

4 000 = 400 Luego el pago extra será de:

1 − (1, 06)−15 · (1, 06) + Y 0, 06 = $292, 40

4 000 = 400 Y

Ejemplo 90. Robert acumula un fondo de $10 000 depositando $ 100 al final de cada mes, y comienza el 1 de septiembre de 1992. Si la tasa de interés del fondo es j12 = 12 % hasta el 1 de mayo de 1995, y después baja a j12 = 101/2 %, calcular la fecha y la cantidad del depósito final reducido. Solución. En este caso Robert desea acumular $10 000, pero los intereses cambia a partir del 1 de mayo de 1995, lo cual equivale a que solamente realizó 33 depósitos de $100 al j12 = 12 % (note que esta primera parte gana intereses del 1 de mayo hasta el vencimiento del término), los pagos restantes se deberán considerar como una nueva anualidad con el j12 = 101/2 %. Si consideramos la cantidad de los pagos restantes como n, tenemos lo siguiente: 100

(1, 00875)n − 1 (1, 01)33 − 1 · (1, 00875)n + 100 = 10 000 0, 01 (1, 00875) n = 38, 55187247 pagos

Con los cual podemos observar que se necesitan 38 pagos adicionales de $100 después del 1 de mayo de 1995, es decir, el 1 de julio de 1998.

61

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Además debemos considerar realizar un pago extra el 1 de agosto de 1998, por el monto de: (1, 00875)38 − 1 (1, 01)33 − 1 39 · (1, 00875) + 100 · (1, 00875) + X = 10 000 100 0, 01 (1, 00875) X = $16, 18

Ejemplo 91. Un terreno valuado en $35 000 es vendido con $15 000 de enganche. El comprador conviene en pagar el saldo con intereses de j12 = 12 %, con $500 mensuales mientras sea necesario, y el primer pago se vence dentro de dos años. Calcular: i. La cantidad de pagos de $500 necesarios. ii. La cantidad del pago final, un mes después del último pago de $500. Solución. Antes de iniciar con la solución debemos notar dos cosas: la primera es que se realiza una prima por $15 000, lo cual significa que el valor de la deuda es de 35 000−15 000 = $20 000. Y como segundo punto, debemos observar que estamos en presencia de una anualidad diferida, con k = 23. i.

1 − (1, 01)−n · (1, 01)−23 0, 01 n = 70, 23827523 pagos

20 000 = 500 ii.

(1, 01)70 − 1 · (1, 01) + X 0, 01 X = $119, 59

20 000(1, 01)23+70+1 = 500

62

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

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Ejemplo 92. Una pareja depositó $200 mensuales en un fondo que paga interés a j12 = 4, 5 %. El primer depósito fue hecho el 1 de junio de 1980; el último, el 1 de noviembre de 1990. Ambos planean hacer retiros mensuales de $1 000, a partir del 1 de mayo de 1995. Calcular: i. La cantidad de retiros de $100. ii. La fecha y la cantidad del último retiro, un mes después del último retiro de $1 000. Solución. i. Considerando el 1 de abril de 1995 como fecha focal, obtenemos: 200

(1, 00375)126 − 1 1 − (1, 00375)−n · (1, 00375)53 = 1 000 0, 00375 0, 00375 n = 42, 46597471 pagos

ii. Para determinar el monto del pago adicional, determinemos primeramente el valor acumulado de los depósitos al 1 de abril de 1995, y a partir de allí montaremos la ecuación de valor. 200

(1, 00375)126 − 1 · (1, 00375)53 = $39 189, 50 0, 00375

Por lo tanto, el último retiro deberá ser de: (1, 00375)42 − 1 39 189, 50 = 1 000 · (1, 00375) + X 0, 00375 X = $466, 44

63

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3.6.

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Ejercicios

Anualidades simples ordinarias 1. Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades simples ordinarias. i. $2 000 semestrales durante 8 1/2 años al 8 %, capitalizable semestralmente. ii. $4 000 anuales durante 6 años al 7,3 %, capitalizable anualmente. iii. $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8 % con capitalización mensual. 2. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8 000 000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del 8 %. 3. En el ejercicio anterior, se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1 500 000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25 % de la producción. 4. Eliseo deposita $150 al final de cada mes, en un fondo que paga 4 % de interés convertible mensualmente ¿Cuál es el importe de la deuda después de 5 años? 5. Lucía contrae una deuda y paga al final de cada 3 meses $200 durante 15 años. Determinar el valor de la deuda si tiene un interés del 5 % convertible trimestralmente. 6. Hallar el valor presente de una anualidad de $100 mensuales, durante 3 1/2 años a una tasa de interés del 6 % convertibles mensualmente. 7. Determinar el monto de una anualidad donde se realizan pagos de $50 al final de cada 3 meses, durante 3 años, a la tasa del 6 % convertible trimestralmente. 8. Un banco paga el 4 % nominal convertible trimestralmente en los depósitos de ahorro ¿Cuál es el monto de los depósitos iguales hechos al final de cada trimestre, durante 5 años, serán necesarios para acumular $5 000 al final de ese plazo? 9. ¿Cuánto debe invertir Fernando al final de cada semestre, durante los próximos 4 años, en el fondo que paga 4 % convertible semestralmente, con el objeto de obtener $2 500? 10. El valor de contado de un electrodoméstico es de $500. Si se puede comprar también mediante una prima de $200 y el resto en pagos mensuales iguales, durante un año, al 3 1/2 % de interés nominal convertible mensualmente ¿Cuál debe ser el pago mensual? 11. Gerardo compró una máquina que cuesta $2 250, paga $350 y acuerda hacer pagos de mensuales de $X cada uno, por los próximos 2 años, venciendo al final del mes. Hallar el valor de la cuota con intereses al 8 % convertible mensualmente. 12. En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1 500 en una cuenta que abona el 8 %; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a $3 000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. 64

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

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13. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6 % de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. 14. Con el interés del 8 % convertible mensualmente ¿Qué pago X al final de cada mes, sustituye pagos de $3 000 al final de cada año? 15. Suponga que una máquina que cuesta $7 000 se va a remplazar al final de 8 años, en cuyo momento tendrá un valor de desecho de $700. Se forma un fondo de amortización con el objeto de tener dinero en ese momento para comprar una máquina nueva. Dicho fondo será la diferencia entre el valor de la máquina y el valor de desecho. Si se depositan pagos iguales en el fondo al final de cada semestre y el fondo gana el 8 % convertible semestralmente ¿De cuanto es el pago? 16. Ana contrae una deuda con interés al 5 % convertible trimestralmente, la cual será pagada mediante desembolsos de $250 al final de cada 3 meses, por los próximos 5 años. Seguidos de pagos de $400 trimestrales, por los siguientes 4 años. Determine el valor de la deuda. Anualidades vencidas 1. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20 000 de contado; $1 000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2 500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9 % con capitalización mensual. 2. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14 000 de cuota inicial; $1 600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2 500, si se carga el 12 % con capitalización mensual? 3. Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3 000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12 % convertible mensualmente. 4. Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8 % anual? i. $40 0000 de contado. ii. $190 000 de contado y $50 000 semestrales, durante 2 1/2 años. iii. $20 000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250 000, al finalizar el cuarto año. 5. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9 %, convertible mensualmente? 6. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6 % para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2 000 000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10 % del costo? 65

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7. Sustituir una serie de pagos de $8 000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9 % convertible mensualmente. 8. Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que paga el 8 %, convertible mensualmente ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30 000? 9. La renta mensual de un departamento es de $800 pagados por adelantado ¿Cuál es la renta anual equivalente pagada por adelantado, al 6 % convertible mensualmente? Anualidades diferidas 1. Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2 400 000. Suponiendo que la tasa comercial es del 8 % y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación. i. Determine el valor futuro de la renta que espera obtenerse. ii. Determine el valor presente de la renta que espera obtenerse. 2. Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $40 0000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6 % el valor presente de la producción. 3. Una persona pidió prestados $6 000 y prometió pagarlos reconociendo el 4 1/2 % convertible semestralmente, en 10 pagos semestrales, el primero para hacerlo hecho 3 años después de la fecha del préstamo ¿De cuánto serán los pagos? 4. Alguien deposita $100 000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de $2 500, a principio de cada mes ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6 % convertible mensualmente? 5. Una deuda contraída al 8 % nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de $20 000 c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de inmediato. 6. Fabricio alquila un edificio en $10 000 cada 3 meses pagados por adelantado, invierte en forma inmediata $7 500 de cada pago en un fondo que paga el 5 % convertible trimestralmente ¿Cuál será el importe del fondo al término de 6 años? 7. El valor de contado de una maquinaria es de $2 000. Felipe desea pagarlo en 20 abonos bimensuales, venciendo el primero el día de la compra y se aplica un interés del 18 % convertible bimensualmente. Hallar el pago bimestral. 8. Una persona es beneficiaria de una póliza de $14 000, recibe $1 000 inmediatamente y luego $500 cada tres meses. Si la compañía paga intereses al 3 % convertibles trimestralmente ¿Cuántos pagos completos de $500 recibirá? ¿Con qué suma adicional, pagada con el último pago completo, cesará el beneficio? 66

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Determinación del número de pagos 1. Bartolomé desea acumular $23 500, con una tasa del 18 % convertible trimestralmente, realizando pagos de $800 cada trimestre. Determinar el número de pagos completados que debe realizar y cuál será el último monto. 2. Una compañía pide prestados $4 000 y conviene con intereses del 32 % convertibles cuatrimestralmente, en pagos de $1800 al final de cada cuatrimestre ¿Cuántos pagos completos se deben hacer y de cuánto es el último pago? 3. Andrés pide prestados $1 000 y conviene pagarlos con interés del 4 % en pagos de $50 al final de cada trimestre ¿Cuántos pagos debe hacer y de cuanto es el último pago? 4. Usted hizo un préstamo para vivienda, por un monto $35 816 y se compromete a pagar semestralmente $7 500, la tasa del banco es del 16 3/4 % convertible semestralmente ¿Cuántas cuotas completas pagará? ¿Cuánto será el pago total de la última cuota si se pretende saldar la deuda en la fecha acordada?

67

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4.

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Amortización y fondo de amortización

4.1.

Amortización de una deuda

Definición 18 La Amortización es el método más común por el cual se puede cancelar una deuda al usar pagos parciales. Cada pago cumple dos objetivos, solventar los intereses y reducir el principal insoluto de la deuda. Se debe tener en cuenta que para amortizar una deuda, se debe realizar con pagos periódicos iguales. Observación 19 Debido a las similitudes con las anualidades simples ordinarias, es común utilizar la fórmula de valor presente de anualidades, para hallar cada una de las variables o incógnitas, por ejemplo el valor de los pagos. 1 − (1 + i)−n A=R· i Observación 20 En la práctica comúnmente no se trabajan con todos los decimales que arroja la calculadora, con lo que se opta por redondear las cantidades al mayor centavo, a la mayor decena de centavo o al mayor dolar más cercano. Lo cual provoca que el valor del último pago se vea reducido. Tablas de amortización Las tablas de amortización poseen comúnmente 5 columnas para sistematizar el proceso realizado, cada columna representa lo siguiente: 1era Lleva la cuenta de los periodos: n 2da

Refleja el monto de los pagos: R

3era Reflejan los los intereses: I = SI · i 4ta

Muestra la amortización: A = R − I

5ta

Resume el Saldo Insoluto: SI = SIanterior − A

Por otra parte, cada renglón resumen las operaciones de cada uno de los periodos. Ejemplo 93. Una deuda de $6 000 con 16 % de interés compuesto semestralmente se debe amortizar con pagos semestrales iguales de $R durante los siguientes 3 años; el primer pago vence en 6 meses.

68

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i. Calcular el valor de los pagos, redondeando al dolar mayor más cercano. ii. Determine el valor del último pago. iii. Realice la tabla de amortización. Solución. i. Para calcular el valor de los pagos normales, se emplea la fórmula de valor presente de una anualidad simple ordinaria, despejando la variable R, es decir: R=A·

i 0, 08 = 1 297, 892317 ≈ $1 298 −n = 6 000 · 1 − (1 + i) 1 − (1, 08)−6

ii. Para determinar el valor del último pago (el cual será más pequeño que los pagos normales, debido al redondeo al dolar mayor más cercano), se deberá plantear la siguiente ecuación de valor, tomando como fecha focal la fecha del último pago. 1 − (1, 08)−5 6 000(1, 08) = X + 1298 · · (1, 08) 0, 08 X = $1 297, 21 6

iii. La tabla de amortización es la siguiente: N

R

Intereses Principal pagado Saldo insoluto I = SI · (0, 08) R−I 6 000, 00 1 1 298, 00 480, 00 818, 00 5 182, 00 2 1 298, 00 414, 56 883, 44 4 298, 56 3 1 298, 00 343, 88 954, 12 3 344, 44 4 1 298, 00 267, 56 1 030, 44 2 314, 00 5 1 298, 00 185, 12 1 112, 88 1 201, 12 6 1 297, 21 96, 09 1 201, 12 0 Total 7 787, 21 1 787, 21 6 000, 00 − Note que en ii. y iii. el último pago coincide. 69

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Ejemplo 94. El Sr. Adams pide $2 000 a pagar en pagos trimestrales, durante 2 años, al j12 = 24 %. Elaborar un programa completo de amortización. Solución. Primeramente debemos calcular la tasa equivalente. (1 + i)4 = (1, 02)12 i = 0, 061208 Luego determinaremos el valor de los pagos normales. Para este caso procederemos a redondear al centavo mayor. R=A·

i 0, 061208 = 323, 6134121 ≈ $323, 62 −n = 2 000 · 1 − (1 + i) 1 − (1, 061208)−8

Por último realizaremos la tabla de amortización. N

R

Intereses Principal pagado Saldo insoluto I = SI · (0, 061208) R−I 2 000, 00 1 323, 62 122, 42 201, 20 1 798, 80 2 323, 62 110, 10 213, 52 1 585, 28 3 323, 62 97, 03 226, 59 1 358, 69 4 323, 62 83, 16 240, 46 1 118, 23 5 323, 62 68, 44 255, 18 863, 05 6 323, 62 52, 83 270, 79 592, 26 7 323, 62 36, 25 287, 37 304, 89 8 323, 55 18, 66 304, 89 0 Total 2 588, 89 588, 89 2 000, 00 −

Observación 21 De los resultados de los ejercicios anteriores, podemos mencionar cuatro puntos importantes. i. Se tomará por defecto redondear los pagos al centavo mayor más cercano, salvo que se indique otra cosa. ii. El total del principal pagado es igual al valor original de la deuda. iii. El monto total de los pagos es igual al valor de la deuda original más el valor total de los intereses.

70

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iv Los valores del principal pagado poseen una relación de el valor del último pago.

R · (1 + i)k+1 = 1 + i, exceptuando R · (1 + i)k

226, 59 287, 37 213, 52 = = ··· = = 1, 061208 = 1 + i 201, 20 213, 52 270, 79 Ejemplo 95. Un préstamo se paga en abonos iguales al final de cada año, durante 10 años. El interés es j1 = 10 %. si la cantidad del principal pagado en el quinto pago es $200, calcular: i. La cantidad del principal pagado en el octavo pago. ii. La cantidad del préstamo, suponiendo que los pagos no se redondean. Solución. i. Aprovechando que el principal pagado posee una relación de 1+i, sólo debemos calcular R(1 + i)k donde k es el 8◦ pago, es decir 3 pagos más posterior al 5◦ pago, es cual es de $200. 200(1, 10)3 = $266, 20 ii. Para determinar el valor del préstamo, primeramente debemos calcular el valor original de los pagos, el cual podemos obtenerlo a partir del 5◦ pago de $200 y trasladarlo a la fecha del contrato, es decir 4 periodos hacia al pasado. R = 200(1, 10)−4 = $136, 6026911 Posteriormente procedemos a calcular la deuda, la cual es un valor acumulado de una anualidad simple ordinaria, donde R = $136, 6026911, n = 10, i = 10 %. h

Deuda = 200(1, 10)

−4

i

(1, 10)10 − 1 = $2 177, 10 · 0, 10

Ejemplo 96. La Sra. Suárez pidió $15 000 a pagar en abonos mensuales iguales durante 4 años, a j12 = 9 %. Calcular los intereses totales que pagará durante el préstamo. Solución. Paso 1. Determinar el R R = 15 000 ·

0, 0075 = $373, 2756356 1 − (1, 0075)−48 71

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Paso 2. Calcular el valor total de los pagos. 48 · 373, 2756356 = $17 917, 23 Paso 3. Calcular los intereses. I = $17 917, 23 − $15 000 = $2 917, 23

4.2.

Principal insoluto

La tabla de amortización es una herramienta que nos ayuda a conocer los valores actuales de un ahorro o deuda sin importar el momento, sin embargo, cuando la cantidad total de pagos o depósitos es muy grande, la construcción de tablas sin errores tienden a ser muy complicadas de confeccionar. Para evitar esta situación existen dos métodos que nos ayudarán a determinar el principal insoluto de la transacción en cualquier momento. i. Método retrospectivo: viendo hacia atrás en el tiempo, el principal insoluto P justo después del k − ésimo pago es igual al valor acumulado de la deuda, menos el valor acumulado de los k pagos realizados, es decir: P = A(1 + i)k − R ·

(1 + i)k − 1 i

ii. Método prospectivo: viendo hacia adelante en el tiempo, el principal insoluto P justo después del k − ésimo pago es igual valor descontado de los n − k pagos que quedan por hacer. En este caso todos los pagos deben ser iguales. P =R·

1 − (1 + i)−(n−k) i

Observación 22 De aqui en adelante tomaremos como el método por defecto al método retrospectivo, salvo que se indique lo contrario. Ejemplo 97. En la siguiente tabla se observa un saldo insoluto de $2 314 justo después de realizar el 4◦ pago. Confirmar ese saldo, usando: i. El método retrospectivo.

ii. El método retrospectivo.

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N

R

1 2 3 4 5 6 Total

1 298, 00 1 298, 00 1 298, 00 1 298, 00 1 298, 00 1 297, 21 7 787, 21

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Intereses Principal pagado Saldo insoluto I = SI · (0, 08) R−I 6 000, 00 480, 00 818, 00 5 182, 00 414, 56 883, 44 4 298, 56 343, 88 954, 12 3 344, 44 267, 56 1 030, 44 2 314, 00 185, 12 1 112, 88 1 201, 12 96, 09 1 201, 12 0 1 787, 21 6 000, 00 −

Solución. i. Método retrospectivo. A partir de la tabla obtenemos, A = 6 000, R = 1 298, i = 0, 08. El principal insoluto cuando k = 4 es: (1 + i)k − 1 k P = A(1 + i) − R · i (1, 08)4 − 1 = 6 000(1, 08)4 − 1 298 · , 08 = $2 314, 00 ii. Método prospectivo. Nuevamente la tabla nos da los siguientes datos, R = 1 298, n = 6, i = 0, 08. El principal insoluto cuando k = 4 es: 1 − (1 + i)−(n−k) i 1 − (1, 08)−(6−4) = 1 298 · 0, 08 1 − (1, 08)−2 = 1 298 · 0, 08 = $2 314, 68

P = R·

Observación 23 Note que el principal insoluto obtenido por el método prospectivo, no coincide con el valor esperado de $2 314. Esto es debido a que el último pago de esa amortización es diferente.

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Si queremos obtener el valor exacto, debemos ajustar el método prospectivo de la siguiente manera: P = 1 298 ·

1 − (1, 08)−(5−4) + 1 297, 21(1, 08)−(6−4) = $2 314 0, 08

También, por ejemplo, al calcular el principal insoluto cuando n = 2, se tiene: P = 1 298 ·

1 − (1, 08)−(5−2) + 1 297, 21(1, 08)−(6−2) = 4 298, 56 0, 08

Ejemplo 98. Un préstamo de $8 000 se va a amortizar con pagos mensuales iguales, durante 2 años al j12 = 15 %. i. Calcular el principal insoluto después de 7 meses. ii. Dividir el octavo pago en las partes de principal e interés. Solución. Primeramente debemos calcular el valor de los pagos: i 1 − (1 + i)−n 0, 0125 = 8 000 · 1 − (1, 0125)−24 = $387, 90

R = A·

i. El principal insoluto después de 7 meses es: (1 + i)k − 1 i (1, 0125)7 − 1 = 8 000(1, 0125)7 − 387, 90 · 0, 0125 = $5 907, 53

P = A(1 + i)k − R ·

ii. El interés y principal correspondiente del 8◦ pago son: I = P I · i = 5 907, 53 · 0, 0125 = $73, 84 Principal = R − I = 387, 90 − 73, 84 = $314, 06

74

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Ejemplo 99. Considere un préstamo de $8 000 con pagos mensuales iguales, durante 2 años al j∞ = 16 %. i. Calcular el principal insoluto después de 7 meses. ii. Dividir el octavo pago en las partes de principal e interés. Solución. Primeramente debemos calcular la tasa mensual equivalente a la tasa continua j∞ = 16 % 0,16 (1 + i)12 = e√ 12 0,16 i = e −1 i = 0, 0134226186

Luego, el valor de cada pago es: i 1 − (1 + i)−n 0, 0134226186 = 8 000 · 1 − (1, 0134226186)−24 = $392, 12

R = A·

i. El principal insoluto después de 7 meses es: P = A(1 + i)k − R ·

(1 + i)k − 1 i

(1, 0134226186)7 − 1 = 8 000(1, 0134226186) − 392, 12 · 0, 0134226186 = $5 924, 75 7

ii. El interés y principal correspondiente del 8◦ pago son: I = P I · i = 5 924, 75 · 0, 0134226186 = $79, 53 Principal = R − I = 392, 12 − 779, 53 = $312, 59 Definición 19 En los casos en que se aplican amortizaciones para cancelar deudas producto de la compra de una propiedad o bienes, se dice que el valor insoluto se llama valor del vendedor. Por otra parte, la cantidad que se ha cancelado más la prima, en el caso de existir, se llama valor del comprador. Los dos términos anteriores se pueden asociar de la siguiente manera: valor del comprador + valor del vendedor = precio de venta

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Ejemplo 100. Enrique compró una cabaña que vale $42 000 pagando $7 000 de enganche, y el resto en pagos mensuales con intereses de j12 = 9 %, de $600 mientras sea necesario. Calcular el valor de Enrique al final de 5 años. Solución. En este caso el el valor de la deuda es de $42 000 menos la prima, es decir, $35 000 (1 + i)k − 1 i (1, 0075)60 − 1 = 35 000(1, 0075)60 − 600 · 0, 0075 = $9 544, 36

P = A(1 + i)k − R ·

Por lo tanto el valor del comprador = 42 000 − 9 544, 36 = $32 455, 64 Ejemplo 101. Los Anderson solicitaron $15 000 para comprar un automóvil. El préstamo se pagará durante tres años, con pagos mensuales a j12 = 6 %. Calcular el interés total pagado en los 12 pagos del segundo año. Solución. El valor de los pagos es:

i 1 − (1 + i)−n 0, 005 = 15 000 · 1 − (1, 005)−26 = $456, 33

R = A·

Luego de determinar el valor de los pagos, debemos calcular el total pagado únicamente en el segundo año, para ello, debemos obtener el principal insoluto correspondiente después del primer año y restarle el principal insoluto correspondiente después de los dos años: El principal insoluto después del primer año es: P = 15 000(1, 005)12 − 456, 33 ·

(1, 005)12 − 1 = $10 296, 08 0, 005

Luego, el principal insoluto después de los dos años es: P = 15 000(1, 005)24 − 456, 33 ·

76

(1, 005)24 − 1 = $5 302, 04 0, 005

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Entonces, el valor pagado únicamente en el segundo año es: 10 296, 08 − 5 302, 04 = $4 994, 04 Por último, el valor de los intereses realizados únicamente en el segundo año, corresponde a la diferencia entre lo pagado y el saldo insoluto correspondiente. Interés pagado = 12 · 456, 33 − 4 994, 04 = $481, 92 Ejemplo 102. Un consumidor pide prestados $10 000 a pagar en abonos mensuales durante 1 año a j12 = 12 %. Elaborar un programa completo de amortización. Solución. Primero debemos calcular el valor de R. R=A·

i 0, 01 = $888, 49 −n = 10 000 · 1 − (1 + i) 1 − (1, 01)−12

Luego, el programa de amortización es: N

R

Intereses Principal pagado Saldo insoluto I = SI · (0, 01) R−I 10 000 1 888, 49 100, 00 788, 49 9 211, 51 2 888, 49 92, 12 796, 37 8 415, 14 3 888, 49 84, 15 804, 34 7 610, 80 4 888, 49 76, 11 812, 38 6 798, 42 5 888, 49 67, 98 820, 51 5 977, 91 6 888, 49 59, 78 828, 71 5 149, 20 7 888, 49 51, 49 837, 00 4 312, 20 8 888, 49 43, 12 845, 37 3 466, 83 9 888, 49 34, 67 853, 82 2 613, 01 10 888, 49 23, 13 862, 36 1 750, 65 11 888, 49 17, 51 870, 98 879, 67 12 888, 47 8, 80 879, 67 0 Total 10 661, 86 661, 86 10 000, 00 −

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Ejemplo 103. Un préstamo de $15 000 se va a liquidar en 10 años a j12 = 18 %. i. Elaborar los primeros tres reglones del programa de pago. ii. Elaborar el programa de amortización para los pagos del 25◦ al 30◦ . Solución. i. Primero debemos calcular el valor de R. R = 15 000 ·

0, 015 = $270, 28 1 − (1, 015)−120

Luego, lo solicitado es: N

1 2 3 .. .

R

Intereses Principal pagado Saldo insoluto I = SI · (0, 015) R−I 15 000, 00 270, 28 225, 00 45, 28 15 954, 72 270, 28 224, 32 45, 96 14 908, 76 270, 28 223, 63 46, 65 14 862, 11

ii. Primeramente debemos calcular el principal insoluto después del pago 24◦ es: (1 + i)k − 1 i (1, 015)24 − 1 = 15 000(1, 015)24 − 270, 28 · 0, 015 = $13 703, 47

P = A(1 + i)k − R ·

Luego, iniciamos el procedimiento la tabla con el valor obtenido. N

R

.. . 24 25 26 27 28 29 30 .. .

− 270, 28 270, 28 270, 28 270, 28 270, 28 270, 28

Intereses Principal pagado Saldo insoluto I = SI · (0, 015) R−I − 205, 55 204, 58 203, 60 202, 60 201, 58 200, 55

− 64, 73 65, 70 66, 68 67, 68 68, 70 69, 73

78

13 703, 47 13 638, 74 13 573, 04 13 506, 36 13 438, 67 13 369, 97 13 300, 24

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4.3.

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Refinanciamiento de un préstamo

En muchas ocasiones, los prestamos a largo plazo se ven perjudicados con cambios en las tasas de interés, por lo cual es muy común renegociar las condiciones del contrato. Ejemplo 104. Un prestatario tiene un préstamo de $8 000 con la Easy-Credit Finance Compañy. El préstamo se debe pagar durante 4 años al j12 = 18 %. El contrato estipula una penalización en caso de pago temprano, igual a 3 meses de pagos. Justo después del 20◦ pago, el prestatario concluye que su banco le prestaría el dinero a j12 = 13,5 % ¿Debe refinanciar? Solución. El pago mensual es de:

i 1 − (1 + i)−n 0, 015 = 8 000 · 1 − (1, 015)−48 = $234, 99 ≈ $235

R = A·

Luego, el salgo insoluto después del pago 20◦ es: (1 + i)k − 1 i (1, 015)20 − 1 = 8 000(1, 015)20 − 235 · 0, 015 = $5 340, 78

P = A(1 + i)k − R ·

En este punto debemos sumar el recargo, el cual es equivalente a 3 meses de pagos, es decir: 5 340, 78 + 3 · 235 = $6 045, 78 Por último, debemos calcular el nuevamente el valor de los 28 pagos restantes, considerando la nueva tasa j12 = 13,5 % R2 = 6 045, 78 ·

0, 01125 1 − (1, 01125)−28

= $252, 92 Observe, que el nuevo pago R2 = 252, 92, el cual es mayor que el pago original R = 235, con lo cual no es recomendable refinanciar el préstamo.

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Ejemplo 105. Una pareja compró una casa y firmó un contrato de hipoteca por $105 000 a pagar en abonos mensuales durante 25 años a j12 = 101/2 %. El contrato estipula que después de 5 años, la hipoteca se renegociará a la nueva tasa prevaleciente de interés. Calcular: i. El pago mensual durante el periodo inicial de 5 años. ii. El principal insoluto después de los 5 primeros años. iii. El nuevo pago mensual después de los 5 años, con j12 = 9 %. iv. El nuevo pago mensual después de los 5 años, con j12 = 12 %. Solución. i. El pago mensual durante el periodo inicial de 5 años es: i 1 − (1 + i)−n 0, 00875 = 105 000 · 1 − (1, 00875)−300 = $991, 40

R = A·

ii. El principal insoluto después de los 5 primeros años es: P = A(1 + i)k − R ·

(1 + i)k − 1 i

= 105 000(1, 00875)60 − 991, 40 ·

(1, 00875)60 − 1 0, 00875

= $99 299, 23 Observe, que después de 5 años con un total pagado de 60 · 991, 40 = $59 484, sólo se han descontado 105 000 − 99 299, 23 = $5 700, 77 de la deuda original. iii. El nuevo pago mensual después de los 5 años, con j12 = 9 % es: R = 99 299, 23 ·

0, 0075 1 − (1, 0075)−240

= $893, 43 iv. El nuevo pago mensual después de los 5 años, con j12 = 12 %. R = 99 299, 23 · = $1 093, 385 80

0, 01 1 − (1, 01)−240

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Ejemplo 106. Elizabeth saldará una deuda de $5 000 con pagos mensuales durante 3 años al j12 = 161/2 %. Al final del primer año hace un pago adicional único de $500. A continuación acorta el periodo de pago en 1 año y renegocia el préstamo, sin cambiar la tasa de interés. Calcular: i. El nuevo pago mensual. ii. La cantidad de interés que ahorra con el refinanciamiento. Solución. i. Para poder obtener el valor del nuevo pago, primero debemos calcular el saldo insoluto después de haber realizado 12 pagos (el cual debemos averiguar) y un pago extra de $500. El valor de los pagos originales es: i 1 − (1 + i)−n 0, 01375 = 5 000 · 1 − (1, 01375)−36 = 177, 0219127 ≈ $177, 03

R = A·

Luego, el principal insoluto después del primer año (considerando el pago extra) es: P = 5 000(1, 01375)12 − 177, 03 ·

(1, 01375)12 − 1 − 500 0, 01375

= 3 597, 73 − 500 = $3 097, 73 El nuevo pago mensual será de: 0, 01375 1 − (1, 01375)−12 = 281, 7931766 ≈ $281, 80

R = 3 097, 73 ·

ii. Para poder calcular la cantidad de intereses que se ahorra con el refinanciamiento, debemos hacer una comparación de los intereses de la amortización original y los intereses del refinanciamiento. Intereses originales. 36 · (177, 0219127) − 5 000 = $1 372, 79 Intereses con el refinanciamiento. 12 · (177, 0219127) + 500 + 12 · (281, 7931766) − 5 000 = $1 005, 88 Por lo tanto Elizabeth ahorra $1 372, 79 − $1 005, 88 = $366, 91 de interés. 81

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4.4.

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Fondo de amortización

El objetivo del fondo de amortización es obtener cierta cantidad de dinero, la cual se va acumulando periódicamente con pagos iguales, esto significa que el valor del fondo, al final de un cierto tiempo, corresponde al monto acumulado de una anualidad simple ordinaria. A pesar de que los fondos de amortización y la amortización de deudas, se usan con el fin de solventar deudas, la diferencia radica en que: los pagos periódicos de la amortización se utilizan para cancelar deudas ya adquiridas; mientras que los pagos periódicos de un fondo de amortización tienen como objetivo ahorrar dinero para cancelar deudas futuras. Ejemplo 107. Una empresa desea ahorrar $100 000 durante los próximos 5 años, para poder ampliar sus instalaciones. i. ¿Cuánto deben depositar al final de cada año, si su dinero gana intereses a j1 = 6 %? ii. Elabore el programa completo del fondo de amortización. Solución. i. El pago periódico anual es: i (1 + i)n − 1 0, 06 = 100 000 · (1, 06)5 − 1 = $17 739, 64

R = S·

ii. El programa del fondo de amortización es: N

R

1 2 3 4 5

17 739, 64 17 739, 64 17 739, 64 17 739, 64 17 739, 64

Intereses Aumento del fondo Cantidad en el fondo al final del periodo 0 0 17 739, 64 17 739, 64 1 064, 38 18 804, 02 36 543, 66 2 192, 62 19 932, 26 56 475, 92 3 388, 56 21 128, 20 77 604, 12 4 656, 25 22 395, 89 100 000, 01

82

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

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Ejemplo 108. Los Sánchez desean ahorrar $12 000 para el enganche de una casa. Si ahorran $500 mensuales en una cuenta que paga intereses de j12 = 4, 5 % ¿Cuántos depósitos se necesitarán, y cuál será el monto del depósito final menor? Solución. Recordemos que para obtener la cantidad de pago, se despeja la variable n de la ecuación: (1 + i)n − 1 S = R· i (1, 00375)n − 1 12 000 = 500 · 0, 00375 ln (1, 09) n = = 23, 02378096 depósitos. ln (1, 00375) Por lo tanto, se realizarán 23 depósitos de $500 más un pago final de: X = 12 000 − 500 ·

(1, 00375)23 − 1 · (1, 00375) = −$32, 02 0, 00375

Observe que el valor al ser negativo nos indica que no es necesario realizar el pago 24◦ . Ejemplo 109. Una cuidad debe tener $200 000 al final de 15 años, para retirar una emisión de bonos i. ¿Qué depósitos anuales se necesitan, si su dinero gana intereses a j∞ = 121/2 %? ii. Elaborar los tres primeros renglones y los últimos tres renglones del programa de fondo de amortización. Solución. i. Primeramente debemos calcular la tasa anual equivalente. 1 + i = e0,125 i = 0, 133148453 Por lo tanto, los depósitos deberán ser de: R = 200 000 ·

0, 133148453 = $4 823, 50 (1, 133148453)15 − 1

ii. Para elaborar los primeros 3 renglones del fondo de amortización, basta con iniciar la tabla normalmente, pero para realizar los últimos tres renglones necesitamos conocer 83

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el valor del fondo de amortización al final de 12 años, en otras palabras, buscamos el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria. S = R·

(1 + i)n − 1 i

(1, 133148453)12 − 1 = 4 823, 50 · 0, 133148453 = $126 129, 35 Luego, lo solicitado es: N

R

1 2 3 .. . 12 13 14 15

4 823, 50 4 823, 50 4 823, 50 .. . 4 823, 50 4 823, 50 4 823, 50

Intereses Aumento del fondo Cantidad en el fondo al final del periodo 0 0 4 823, 50 4 823, 50 642, 24 5 465, 74 10 289, 24 1 370, 00 6 193, 50 16 482, 74 .. .. .. . . . 126 129, 35 16 793, 93 21 617, 43 147 746, 78 19 672, 26 24 495, 76 172 242, 54 22 933, 83 27 757, 33 199 999, 87

Ejemplo 110. Una cuidad obtuvo un préstamo de $500 000 y conviene en pagar un interés semestral de j2 = 10 %. i. ¿Qué depósitos semestrales deben hacerse en un fondo de amortización que paga intereses de j2 = 6 % para pagar la deuda en 15 años? ii. ¿Cuál es el gasto semestral total de la deuda? iii. Calcular el valor en libros de la deuda de la cuidad después de 10 años. Solución. i. Los depósitos semestrales son: R = 500 000 ·

0, 03 = $10 509, 63 (1, 03)30 − 1

84

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ii. El interés semestral sobre la deuda es de 500 000 · (0, 05) = $25 000. Por lo tanto el gasto semestral total es de: 25 000 + 10 509, 63 = $35 509, 63 iii. La cantidad en el fondo de amortización después de 10 años es: S = 10 509, 63 ·

(1, 03)20 − 1 = $282 397, 69 0, 03

Por lo que el valor en libros es de 500 000 − 282 397, 69 = $217 602, 31

4.5.

Ejercicios

Amortización 1. Una deuda de $20 000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8 %, y elaborar el cuadro de amortización. 2. Una deuda de $100 000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, con interés del 12 % capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el noveno pago. 3. Una propiedad se vende en $300 000, pagaderos así; $100 000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10 % convertible semestralmente. Hallar los derechos o valores del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago. 4. ¿Con cuántos pagos semestrales iguales y vencidos de $9 500 se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta $29 540 si se carga una tasa anual de 34 % convertible mensualmente? 5. Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a crédito de un automóvil que cuesta $48 000 y se vende con un enganche de 45 % y el resto a pagar en mensualidades vencidas de $1 254, 75 con interés al 39 % convertible mensualmente. 6. Una aspiradora se vende en $499 al contado o mediante 4 pagos mensuales anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito? 7. Una deuda de $100 000 se debe liquidar en 6 pagos mensuales a una tasa del 24 % convertible mensualmente. i. Obtener el valor del pago igual mensual. ii. Calcula los derechos del acreedor sobre un bien y los del deudor al tercer mes. iii. Calcular los derechos del acreedor sobre un bien y los del deudor al quinto mes. iv. Elaborar su tabla de amortización. 85

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v. Interpretar resultados. 8. Se obtiene un préstamo por $120 000 los cuales se van a liquidar a través de 6 pagos trimestrales iguales, con una tasa de interés del 20 % convertible trimestralmente. i. ¿De cuánto será cada pago? ii. ¿Cuál es la amortización acumulada del periodo de pago número cuatro? iii. Elabore la tabla de amortización. 9. Una deuda de $50 000 se tiene que pagar en 5 meses, amortizando $10 000 por mes. En los primeros 3 meses se carga una tasa del 21⁄2 % mensual y los 2 siguientes, el 2 % mensual. Calcular el valor de los pagos en una tabla de amortización. 10. Jan Ron, gerente de TASA, quiere saber cuánto pagaría cada 2 meses por una deuda de $4 000. La tasa de interés del mercado es de 42 % convertible bimestralmente y la quiere liquidar en un año. Elabora una tabla de amortización. 11. Plaza del Sol para terminar su local 37, obtiene un préstamo por $120 000, los cuales se van a liquidar a través de 6 pagos trimestrales iguales, con una tasa de interés del 20 % convertible trimestralmente i. ¿De cuánto será cada pago? ii. Elabore la tabla de amortización 12. LANASA, empresa constructora tiene una deuda de $1 000 000 a pagar en un única exhibición dentro de 10 meses, pero desea hacer 10 pagos mensuales iguales a fin de mes. i. ¿Cuál es el valor del pago mensual si la tasa de interés mensual es del 1 %? ii. Elabore la tabla de amortización 13. Al elaborar la tabla de amortización de un préstamo de $10 000 a liquidar mediante 4 pagos iguales de $2 754, 90 a una tasa de interés anual efectiva del 4 % i. ¿Cuál es el importe de los intereses contenidos en el primer pago de $2 754, 90? ii. ¿Cuál es el importe del capital contenido en el primer pago de $2 754, 90? iii. ¿Cuál es el capital insoluto inmediatamente después de efectuar el tercer pago de $2 754, 90? 14. Para acumular $110 000 en un plazo de 18 meses, con rentas mensuales de $5 487, 37 y una tasa de interés del 15 % convertible mensualmente ¿Cuánto se llevará acumulado al realizar el depósito número 14? Fondo de amortización 1. Se establece un fondo de $5 000 semestrales que abona el 6 % capitalizable semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo. 86

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2. Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor es de $10 000 ¿Qué deposito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que abona el 8 %, capitalizable trimestralmente? 3. Para cancelar una deuda de $80 000 a 5 años plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6 %; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7 %. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo. 4. Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2 000 000 que devengan el 8 % de interés ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6 % y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda? 5. Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7 % de interés, para cancelar en 25 años una deuda de $100 000. 6. Se deben pagar $29 000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿Cuál sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26 % convertible mensualmente? 7. Para pagar una deuda de $5 400 que vence dentro de 5 meses se va a construir un fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo de inversiones que rinde el 32 % anual convertible mensualmente, hallar su importe. 8. Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15 000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12 % trimestral capitalizable mensualmente, si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 1,34 % quincenal efectivo. 9. ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colocan en un fondo de inversión que rinde el 28,4 % convertible mensualmente con el objeto de amortizar una deuda de $8 888, 89 que vence exactamente dentro de 8 meses? 10. Una empresa desea reunir, al final de 22 trimestres, cierta cantidad para comprar equipo nuevo. Si hace depósitos trimestrales de $18 000 con una tasa de interés del 12,72 % con capitalización trimestral ¿Cuánto reunirá al final de los 6 meses? 11. Un fabricante de pinturas quiere comprar en tres años un equipo que le costará $300 000, para lo cual crea un fondo de ahorro bimestral con intereses del 39 % con capitalización bimestral ¿De cuánto serán los depósitos? 12. La vida útil de un equipo industrial de COLA, que acaba de ser adquirido por una compañía, es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de ese tiempo, la empresa establece un fondo de amortización y efectuará depósitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 9,6 %. Si se estima que el equipo costará $42 740. i. ¿Cuál será el valor del depósito? 87

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

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ii. Elabore el cuadro del fondo de amortización. 13. ¿Cuál será el depósito anual para acumular, al cabo de 6 años, un monto de $240 000, si dichas rentas obtienen un rendimiento de 8 % anual? Elabore el cuadro del fondo de amortización. 14. La vida útil de un equipo industrial de GECESA, que acaba de ser adquirido por una compañía, es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo, al final de ese tiempo, la empresa establece un fondo de amortización y efectuará depósitos anuales en una cuenta bancaria que paga el 96 %. Si se estima que el equipo costará $42 740 dólares, ¿Cuál será el valor del depósito? Construye la tabla del fondo de amortización. 15. La familia Guzmán, en 7 meses, desea hacer un viaje y quiere reunir $300 000. La tasa de interés en el mercado es de 1 % mensual con capitalización mensual ¿De cuánto deben hacer los depósitos mensuales? Elabore el cuadro del fondo de amortización. 16. Se quiere comprar una casa en $2 000 000 a pagar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales vencidos de igual valor. La tasa de interés aplicable es del 8 % anual ¿Cuál será el valor de cada pago? Supongamos que después del segundo pago se eleva la tasa de interés del 8 % al 10 % ¿De cuánto son ahora los pagos? ¿Qué pasa con la tabla de amortización?

88

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

5.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Anotaciones y modelos matemáticos Interés simple descuento simple

Interés compuesto descuento compuesto

S = P +I

S = P (1 + i)n

I = P rt



S = P 1+

S = P (1 + rt)

d(m) S = P 1− m n Y = X(1 + i)

D = Sdt P = S(1 − dt)

!−n

S = P (1 + i)n · (1 + rt)

= X(1 + rt) Anualidades

Amortización

(1 + i)n − 1 S = R· i

P = A(1 + i)k − R ·

1 − (1 + i)−n i (1 + i)n − 1 · (1 + i) S = R· i

A = R·

A = R·

mt

S = P ej∞ t

D = S−P

Y

jm m

(1 + i)k − 1 i

1 − (1 + i)−(n−k) P = R· i

1 − (1 + i)−n · (1 + i) i

1 − (1 + i)−n A = R· · (1 + i)−k i Formato de tablas Número Pago Interés Principal Principal de pago periódico i% Pagado Insoluto .. .. .. .. .. . . . . . .. .. .. .. T otales . . . . Número Depósito Interés a i % Aumento Cantidad en el fondo de depósito sobre el fondo en el fondo al final del periodo .. .. .. .. .. . . . . . 89

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González El número de cada año

Día Ene. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 31

Feb. 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 – – –

Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. 60 91 121 152 182 213 61 92 122 153 183 214 62 93 123 154 184 215 63 94 124 155 185 216 64 95 125 156 186 217 65 96 126 157 187 218 66 97 127 158 188 219 67 98 128 159 189 220 68 99 129 160 190 221 69 100 130 161 191 222 70 101 131 162 192 223 71 102 132 163 193 224 72 103 133 164 194 225 73 104 134 165 195 226 74 105 135 166 196 227 75 106 136 167 197 228 76 107 137 168 198 229 77 108 138 169 199 230 78 109 139 170 200 231 79 110 140 171 201 232 80 111 141 172 202 233 81 112 142 173 203 234 82 113 143 174 204 235 83 114 144 175 205 236 84 115 145 176 206 237 85 116 146 177 207 238 86 117 147 178 208 239 87 118 148 179 209 240 88 119 149 180 210 241 89 120 150 181 211 242 90 – 151 – 212 243

Sep. 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 –

Oct. Nov. Dic. 274 305 335 275 306 336 276 307 337 277 308 338 278 309 339 279 310 340 280 311 341 281 312 342 282 313 343 283 314 344 284 315 345 285 316 346 286 317 347 287 318 348 288 319 349 289 320 350 290 321 351 291 322 352 292 323 353 293 324 354 294 325 355 295 326 356 296 327 357 297 328 358 298 329 359 299 330 360 300 331 361 301 332 362 302 333 363 303 334 364 304 – 365

Nota: Para un año bisiesto, sumar 1 al número tabulado después del 28 de febrero.

90

Notas del curso: MAT020 Matemática Financiera.

6.

M.Ed. Michael Céspedes López M.Ed. Hellen Bolaños González

Referencias

Zima, P. y Brown, R. L. (2005) Matemáticas Financieras. 2da Ed. México, D.F. Mc Graw-Hill Interamericana. González, E. [et al.] (2010). Finanzas empresariales. 1era edición. EUNA. Costa Rica.

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