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Teorema de Existencia y Unicidad El teorema de existencia y unicidad es una extensión del problema con valor inicial. Este teorema afirma que existe una solución para los pre-requisitos iniciales provistos de la ecuación diferencial y la solución obtenida, es de hecho, una solución única. Imagina una función valorada real f(p, q), cuyo valor es constante para un rectángulo definido por la ecuación,

Ahora supongamos que el diferencial parcial de la función real dada con respecto a la variable q también tiene un valor continuo de este rectángulo. Entonces puede concluirse que para la función dada tenemos algún intervalo I donde la función dada tiene una solución cuyo valor es único dentro de ese intervalo. Aquí el pre-requisito inicial definido para la función es, q’ = f(p, q) y, q(p0) = q0 Y la ecuacióndefiniendo el intervalo de la funciónes,

Aquí el valor de h debería ser menor o igual que a. Para demostrar el teorema establecido arriba, pretendemos elegir el método de demostración por contradicción. Esto significa que vamos a suponer que las afirmaciones anteriores son verdaderas. También significa que existe una solución para la función dada; asume que la solución es una función q(p). Estosignificaquetenemos, q(p) = q0 + f(t, q(t) dt Esto es porque si q(p) es una ecuación funcional para la ecuación diferencial dada, entonces podemos concluir que esta es una solución a esa ecuación diferencial. Por lo tanto, también podemos escribir, q’ = f(p, q) y, q(p0) = q0 Las aproximaciones sucesivas, también famosas por el nombre de su inventor, este es, el método de iteración dePicard, esta es una técnica utilizada para determinar esta ecuación de la función para una ecuación diferencial. Los pasosparadeterminarlason los siguientes: 1. Sea q(p0) = q0 el pre-requisito inicial para la ecuación diferencial dada. Supongamos que esta es cierta para cada valor de p. 2. Ahora usa la fórmula intermitente para determinar el valor de qn como,

3. Utilizando el método de inducción, una secuencia completa de las funciones puede generarse. Usando estas funciones y los pre-requisitos iniciales podemos obtener la solución al problema dado. Finalmente, veamos un ejemplo ilustrativo para aclarar el concepto. Resuelve la ecuación diferencial q’ = 2 p (1 + q) dado queq(0) = 0. La ecuación asociada de la integración para la ecuación diferencial dada sería, g(p) = 2 s (1 + q(s)) ds Asumequeq0(p) = 0. Entonces lafórmulapara la recurrencia de cada p mayor que uno es, qn+1(p) = 2 s (1 + qn(s)) ds Por lo tanto, obtenemos q1(p) = 2 s ds y, q2(p) = 2 s (1 + s2) ds q2(p) = p2 + p4/ 2. Esto nos da la secuencia de las funciones como, qn(p) = p2 + p4/ 2 + p6/ 3! +… + p2n/ n! Esta es la serie de Taylor, y por tanto, la ecuación funcional de la ecuación diferencial, q(p) = - 1

ECUACION DIFERENCIAL EXACTA:

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: equivalente a decir que existe una función

donde

y

Dado que

y

son iguales. Esto es

tal que:

.

es una función diferenciable, entonces, por el teorema de

Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

.

VARIABLE SEPARABLE El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales. El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas.

FACTOR INTEGRANTE

Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial

llamada factor integrante, tal que: sea exacta.

Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:

Factor integrante solo en función de x.[editar] Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir,

),

entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Cabe decir que para que miembro

que

exista, es condición necesaria y suficiente que el

tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando

y

equivalen a las parciales de estas;

y

respectivamente).

Factor integrante solo en función de y.[editar] Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Factor integrante solo en función de x+y.[editar] Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir,

), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula

siguiente: Con

Factor integrante solo en función de x·y.[editar] Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir,

), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula

siguiente: Con Donde

M·x

Cabe mencionar que:

),

ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

O usando otra notación frecuente:

Para que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación

para

denotar eloperador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:

Donde

y

son funciones continuas en un intervalo abierto

solución de esta ecuación viene dada por:

ECUACION DE BERNOULLI

La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 

cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido;

. La



potencial o gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea;



energía de presión: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli" (trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.

donde:   

= velocidad del fluido en la sección considerada. = densidad del fluido. = presión a lo largo de la línea de corriente.



= aceleración gravitatoria



= altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.

Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos: 

Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.



Caudal constante



Flujo incompresible, donde ρ es constante.



La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo laminar.

Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicación del principio se da en el flujo de agua en tubería.

También se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por

, de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión

dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.

Esquema del efecto Venturi.

o escrita de otra manera más sencilla:

donde

  

es una constante-

Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:

En una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía realmente se deriva de la conservación de la Cantidad de movimiento. Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica porqué las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.

ECUACION DE RICCATI La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati,

con el fin de analizar la hidrodinámica.En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.1 Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

.

Integración[editar] Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea Conocida dicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Observación[editar] Obsérvese que si se hace la sustitución:

.

propuesta por Euler en la década de 17602 esto lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

ECUACION DE CLAIRAUT La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor a su inventor, el matemático1 francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

Para resolver la ecuación, se diferencia respecto a x,2 quedando:

por tanto:

y así:

ó

En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut. El otro caso,

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.

Ejemplo[editar] Resolver:

Se hace:

por tanto:

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:

de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así: {{ecuación|

siendo D y E otras dos constantes cualquiera. Solución:

ECUACION DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN

Ecuaciones lineales de segundo orden En esta gu´ıa estudiaremos algunos conceptos b´asicos relativos a las ecuaciones diferenciales lineales as´ı como algunas t´ecnicas que permiten el c´alculo expl´ıcito de sus soluciones en ciertos casos. Las ecuaciones lineales constituyen una clase especial de ecuaciones cuyo estudio est´a profundamente relacionado con los conceptos del ´algebra lineal. En el caso especial de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes las soluciones se pueden expresar completamente en t´erminos de funciones elementales, un hecho ya conocido por J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII. Esto las hace especialmente aptas para servir como un primer modelo de aquellos procesos procesos f´ısicos que tengan caracter´ısticas lineales o aproximadamente lineales (teor´ıa de peque˜nas oscilaciones, teor´ıa de circuitos el´ectricos, etc.) En los procesos de linealizaci´on, las ecuaciones lineales tambi´en resultan ´utiles en la etapa inicial del estudio de problemas no lineales. 1. Teor´ıa general Una ecuacion diferencial lineal de segundo orden para una función x = x(t) es una ecuacion de la forma x + a(t) x + b(t) x = f(t),

donde a(t), b(t) y f(t) son funciones dadas, definidas en un intervalo J. Cuando f(t) es la funci´on nula se dice que (1) es una ecuaci´on lineal homogenea.

OPERADORES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN En matemáticas, un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a ladiferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra. El uso más común del operador diferencial es realizar la derivada en sí misma. Las notaciones comunes de este operador incluyen:

Las dos primeras se usan fundamentalmente cuando se quiere hacer explícita la variable respecto a la cual se toman las derivadas ordinarias, la última forma sólo se usa cuando por el contexto está claro cuál es la variable respecto a la que se deriva (sin necesidad de explicitarla). Las primeras derivadas se toman como arriba, pero para las derivadas de orden superior, las n-ésimas, son útiles los siguientes cambios:

Operadores lineales ordinarios[editar] 

El uso y la creación de la notación

para la derivada k-ésima se debe a Oliver

Heaviside, quien consideraba los operadores diferenciales lineales ordinarios de la forma:

Donde: son funciones definidas sobre el dominio

.

denota a las funciones diferenciables con continuidad en el dominio denota a las funciones continuas en el mismo dominio. en su estudio de las ecuaciones diferenciales. 

La derivada simple es, como se ha dicho, un operador diferencial lineal sobre el conjunto de funciones reales de variable real.



Una ecuación diferencial ordinaria se puede expresar mediante un operador lineal en la forma

, donde

es la función incógnita.

Propiedades de los operadores diferenciales[editar] 

La diferenciación es lineal, i.e.

en donde f y g son funciones y a es una constante. 

Cualquier polinomio en D con funciones como coeficientes es también un operador diferencial. También se pueden componer operadores diferenciales con la regla



Esta última propiedad dota al conjunto de los operadores lineales, sobre un cierto espacio de funciones reales, de estructura de espacio vectorial sobre

y de módulo izquierdo sobre el mismo conjunto de funciones.

Eso último implica a su vez que el conjunto de operadores constituyen un álgebra asociativa. 

Se requiere de algo de cuidado: primero, cualesquiera coeficientes de función en el operador D2 deben ser diferenciables tantas veces como requiera la aplicación de D1. Para obtener un anillo de dichos operadores se debe suponer que se utilizan derivadas de todos los órdenes. Segundo, este anillo no debe ser conmutativo: un operador gD no es el mismo en general que Dg. De hecho se tiene por ejemplo la relación básica en mecánica cuántica: Dx − xD = 1.



El subanillo de operadores que son polinomios en D con coeficientes constantes es, en contraste, conmutativo. Puede ser caracterizado de otra forma: consiste en los operadores de traslación invariantes.

Operador inverso[editar] Dado un operador diferencial lineal sobre un espacio de funciones reales de una sola variable real con condiciones de contorno homogénea, en el que todas las funciones que intervienen son continuas, existe un operador inverso que es un operador integral.

Dicho operador inverso vienen dado por la función de Green. Explicitémoslo considerando una ecuación diferencial de orden n sin constante :

En este caso existe un operador integral

dado por:

Tal que se cumple:

RAICES MULTIPLES Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

Entonces se dice que: 

La raíz es simple si



La raíz es múltiple si siendo

, en este último caso la raíz se dice de orden n,

, cuando se puede escribir:

Con la definición anterior, pueden existir ceros múltiples de orden no finito. Por ejemplo la función definda como:

Tiene un cero múltiple en x=0, ya que:

Como n puede tomarse tan grande como se quiera en la expresión anterior, se sigue que esa función no tiene un cero de orden finito. RAICES COMPLEJAS

La raí z en é si ma d e n ú m er o c ompl ej o e s ot r o n ú m e r o c ompl ej o tal qu e:

Su m ó du l o e s l a n r aí z en é si ma d el m ód u l o.

Su a r gu m en t o e s:

Ej em p lo :

ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas Por ejemplo se considera la ley, apoyada en experiencias, de que el radio se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente, hecho que se describe mediante la ecuación , Q la cantidad de radio es función del tiempo t; de modo que Q = Q(t). 2 Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: 

es una ecuación diferencial ordinaria, donde de la variable independiente de

con respecto a

.

, es decir,

representa una función no especificada ,

es la derivada



La expresión

es una ecuación en derivadas parciales. A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Orden de la ecuación[editar] El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Ejemplos: Orden 1: Orden 2: Orden 3:

Grado de la ecuación[editar] Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal[editar] Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma

, es decir: 

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.



En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.



Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:



es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones



, con k un número real cualquiera. es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene

como soluciones 

, con a y b reales.

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones

, con a y b reales.

Usos[editar] Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía. 

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo. 

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:



donde cuerda y

es el tiempo y

es la coordenada del punto sobre la

una constante que corresponde a la velocidad de

propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

Sistemas lineales de coeficientes constantes[editar] Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

Donde

representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene

dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

Los valores propios de la matriz son

y por tanto la exponenciación de la matriz da

lugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta: