• Categories
• Función (Matemáticas)
• Conceptos matemáticos
• Matemáticas elementales
• Objetos matemáticos
• Análisis matemático

Citation preview

UNIDAD I: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL SESIÓN 06: Álgebra de funciones. Adición, sustracción, multiplicación y

división. Problemas de aplicación relacionados a su especialidad EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO ●

𝑓

Determine las funciones 𝑓 + 𝑔,  𝑓 − 𝑔,  𝑓 × 𝑔 𝑦  𝑔, así como su respectivo dominio.

a) Solución: Antes de realizar una operación con las funciones dadas, se debe calcular el dominio de cada una de ellas. Es decir

Entonces, por definición se tiene lo siguiente: ●

●

●

(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 15𝑥 3 + 8𝑥 2 − 52𝑥 − 48 ●

5

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥−2 Solución: Calculo del dominio de cada función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2

existe sí 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 2

Entonces 𝐷(𝑓) = [2; +∞[ 5

𝑔(𝑥) = 𝑥−2 existe sí Entonces 𝐷(𝑔) = 𝑅 − {2} 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) = 〈2, +∞〉 Luego, se definen las siguientes operaciones:

5√𝑥 − 2 ; 𝐷(𝑓. 𝑔) = 〈2; +∞〉 𝑥−2 𝑓 𝑓 √ 𝑥 − 2 ( 𝑥 − 2) √ 𝑥 − 2 ( ) ( 𝑥) = = ; 𝐷 ( ) = 〈2; +∞〉 5 𝑔 5 𝑔 𝑥−2 3 2 f(x)  2x3  4x2 y g(x)  x  x  6x (𝑓. 𝑔)(𝑥) =

c)

Solución: Calculo del dominio de cada función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 , 𝐷(𝑓) = 𝑅 𝑔(𝑥) = −𝑥 3 + 𝑥 2 + 6𝑥 , 𝐷(𝑔) = 𝑅 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) = 𝑅 Luego, se definen las siguientes operaciones: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 −𝑥 3 + 𝑥 2 + 6𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 , 𝐷(𝑓 + 𝑔) = 𝑅 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 − (−𝑥 3 + 𝑥 2 + 6𝑥) = 3𝑥 3 − 5𝑥 2 − 6𝑥 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 3 − 5𝑥 2 − 6𝑥 , 𝐷(𝑓 − 𝑔) = 𝑅 3 2 3 2 6 (𝑓. 𝑔)(𝑥) = (2𝑥 − 4𝑥 )(−𝑥 + 𝑥 + 6𝑥) = −2𝑥 + 2𝑥 5 + 12𝑥 4 + 4𝑥 5 − 4𝑥 4 − 24𝑥 3 (𝑓. 𝑔)(𝑥) = −2𝑥 6 + 6𝑥 5 + 8𝑥 4 − 24𝑥 3 , 𝐷(𝑓. 𝑔) = 𝑅

2𝑥3 − 4𝑥2

𝑓

( ) ( 𝑥) = 𝑔

2𝑥3 − 4𝑥2

=

−𝑥3 + 𝑥2 + 6𝑥 𝑥(−𝑥2 + 𝑥 + 6) = 𝑅 − {0, 3, −2}

=

𝑥(2𝑥2 − 4𝑥) 𝑥(3 − 𝑥)(2 + 𝑥)

𝑓 ; 𝐷( ) 𝑔

4 2 2 d) f ( x)  x  9 x , g ( x)  9 x  4. Solución:

𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 9𝑥 2 , 𝐷(𝑓) = 𝑅 𝑔(𝑥) = 9𝑥 2 − 4 , 𝐷(𝑔) = 𝑅 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) = 𝑅 Luego, se definen las siguientes operaciones: (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 4 − 9𝑥 2 + 9𝑥 2 − 4 = 𝑥 4 − 4 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥 4 − 4 , 𝐷(𝑓 + 𝑔) = 𝑅 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 4 − 9𝑥 2 − (9𝑥 2 − 4) = 𝑥 4 − 18𝑥 2 + 4 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 4 − 18𝑥 2 + 4 , 𝐷(𝑓 − 𝑔) = 𝑅 (𝑓. 𝑔)(𝑥) = (𝑥 4 − 9𝑥 2 )(9𝑥 2 − 4) = 9𝑥 6 − 4𝑥 4 − 81𝑥 4 + 36𝑥 2 (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 9𝑥 6 − 85𝑥 4 + 36𝑥 2 , 𝐷(𝑓. 𝑔) = 𝑅 𝑓

𝑥4 − 9𝑥2

𝑔

9𝑥2 − 4

( ) ( 𝑥) =

e)

f ( x)  

=

𝑥4 − 9𝑥2

(3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2)

𝑓 2 2 ; 𝐷( ) = 𝑅 − { ,− } 𝑔 3 3

4 , g ( x)  x 2  2 x  35. x3

Solución: 4 𝑓(𝑥) = −

existe sí 𝑥 + 3 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ −3

𝑥+3

Entonces 𝐷(𝑓) = 𝑅 − {−3} 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 35 , 𝐷(𝑔) = 𝑅 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) = 𝑅 − {−3} 4 + 𝑥 2 − 2𝑥 − 35 ; 𝐷(𝑓 + 𝑔) = 𝑅 − {−3} 𝑥+3 4 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = − − (𝑥 2 − 2𝑥 − 35) ; 𝐷(𝑓 − 𝑔) = 𝑅 − {−3} 𝑥+3 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = −

(𝑓. 𝑔)(𝑥) = −

4(𝑥 2 − 2𝑥 − 35) 𝑥+3

; 𝐷(𝑓. 𝑔) = 𝑅 − {−3}

4 −4 𝑥 + 3 ( ) ( 𝑥) = 2 = (𝑥 + 3)(𝑥2 − 2𝑥 − 35) 𝑔 𝑥 − 2𝑥 − 35 𝑓 𝐷 ( ) = 𝑅 − {−5; 7, −3} 𝑔 −

𝑓

f)

f(x) 

x  5 ; g(x) 

Solución:

9 x4

Calculo del dominio de cada función 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 5

existe sí 𝑥 + 5 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −5

−4

= (𝑥 + 3)(𝑥 − 7)(𝑥 + 5)

Entonces 𝐷(𝑓) = [−5; +∞[ 𝑔(𝑥) =

9 𝑥+4

existe sí 𝑥 + 4 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ −4

Entonces 𝐷(𝑔) = 𝑅 − {−4} 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) = [−5; +∞[−{−4} Luego, se definen las siguientes operaciones: 9 ; 𝐷(𝑓 + 𝑔) = [−5; +∞[−{−4} 𝑥+4 9 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = √𝑥 + 5 − ; 𝐷(𝑓 − 𝑔) = [−5; +∞[−{−4} 𝑥+4 9√𝑥 + 5 (𝑓. 𝑔)(𝑥) = ; 𝐷(𝑓. 𝑔) = [−5; +∞[−{−4} 𝑥+4 𝑓 𝑓 √ 𝑥 + 5 ( 𝑥 + 4) √ 𝑥 + 5 ( ) ( 𝑥) = = ; 𝐷 ( ) = [−5; +∞[−{−4} 9 𝑔 9 𝑔 𝑥+4 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = √𝑥 + 5 +

g)

f(x)  3  x ; g(x)  x  4

Solución: Calculo del dominio de cada función 𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥

existe sí 3 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 3, entonces 𝐷(𝑓) =] − ∞; 3]

𝑔(𝑥) = √𝑥 + 4

existe sí 𝑥 + 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −4, entonces 𝐷(𝑔) = [−4; +∞[

𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) =] − ∞; 3] ∩ [−4; +∞[= [−4; 3] (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = √3 − 𝑥 + √𝑥 + 4 ; 𝐷(𝑓 + 𝑔) = [−4; 3] (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = √3 − 𝑥 − √𝑥 + 4 ; 𝐷(𝑓 − 𝑔) = [−4; 3] (𝑓. 𝑔)(𝑥) = √3 − 𝑥√𝑥 + 4 ; 𝐷(𝑓. 𝑔) = [−4; 3] 𝑓 𝑓 √3 − 𝑥 ( ) ( 𝑥) = ; 𝐷 ( ) = ⟨−4; 3] 𝑔 𝑔 √𝑥 + 4

h)

f(x) 

x5 1 ; g(x)  2 x5 x  25

Solución:

𝑥+5

𝑓(𝑥) = 𝑥−5 existe sí 𝑥 − 5 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 5 Entonces 𝐷(𝑓) = 𝑅 − { 5} 1

𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −25 , existe sí 𝑥 2 − 25 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 5 , 𝑥 ≠ −5 Entonces 𝐷(𝑔) = 𝑅 − {−5 , 5} 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) = 𝑅 − {−5 , 5} 𝑥+5 1 + 2 ; 𝐷(𝑓 + 𝑔) = 𝑅 − {−5 , 5} 𝑥 − 5 𝑥 − 25 𝑥+5 1 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = − 2 ; 𝐷(𝑓 − 𝑔) = 𝑅 − {−5 , 5} 𝑥 − 5 𝑥 − 25 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =

(𝑓. 𝑔)(𝑥) = (

𝑥+5 1 1 )( 2 )= ; 𝐷(𝑓. 𝑔) = 𝑅 − {−5 , 5} (𝑥 − 5)2 𝑥 − 5 𝑥 − 25

𝑥+5 2 5 = (𝑥 + 5)(𝑥 − 25) = (𝑥 + 5)2 , ( ) ( 𝑥) = 𝑥 − 1 𝑔 𝑥−5 𝑥2 − 25 𝑓

i)

𝑓 𝐷 ( ) = 𝑅 − {−5 , 5} 𝑔

f(x)  x  9 ; g(x)  x 4  81

Solución:

Calculo del dominio de cada función 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 9

existe sí 𝑥 − 9 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 9 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷(𝑓) = [9; +∞[

𝑔(𝑥) = 𝑥 4 − 81 , 𝐷(𝑔) = 𝑅 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) = [9; +∞[ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = √𝑥 − 9 + 𝑥 4 − 81 ; 𝐷(𝑓 + 𝑔) = [9; +∞[ (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = √𝑥 − 9 − 𝑥 4 + 81 ; 𝐷(𝑓 − 𝑔) = [9; +∞[ (𝑓. 𝑔)(𝑥) = (𝑥 4 − 81)√𝑥 − 9 ; 𝐷(𝑓. 𝑔) = [9; +∞[ 𝑓 𝑓 √𝑥 − 9 ( ) ( 𝑥) = 4 ; 𝐷 ( ) = [9; +∞[−{𝑥/𝑥4 − 81 ≠ 0} 𝑔 𝑥 − 81 𝑔 𝑥 4 − 81 ≠ 0 ⟺ (𝑥 2 − 9)(𝑥 2 + 9) ≠ 0 ⟺ 𝑥 2 − 9 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ −3 𝑓 𝐷 ( ) = [9; +∞[−{−3; 3} = [9; +∞[ 𝑔 Halle las funciones 𝑓 + 𝑔, 𝑓– 𝑔, 𝑓. 𝑔 𝑦 𝑓/𝑔 , con sus respectivos dominios y rangos, de las siguientes funciones: a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 2 − 2 ; 𝑥 ≤ 0 2𝑥 + 1 ; 𝑥 > 0 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1 ; −2 < 𝑥 < 4 ●

Solución:

𝑓1

𝑓2

𝑔 −2

0

1

4

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 1 ; −4 < 𝑥 < 4 𝑦 𝑔(𝑥) = {𝑥 − 1 ; 𝑥 < 0 𝑥 + 1 ; 𝑥 ≥ 0

𝑔1

𝑔2

𝑓 −4

0

4

c) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 3 ; −2 < 𝑥 ≤ 0 − 3𝑥 + 1 ; 0 < 𝑥 < 3

𝑦

𝑔(𝑥) = {𝑥 −

2 ; −1 < 𝑥 < 2 − 𝑥 − 3 ; 2 ≤ 𝑥 < 4

𝑔1 𝑓1 −2

𝑔2

𝑓2

−1

0

2

3

4

PROBLEMAS APLICATIVOS 1. Teniendo en cuenta los costos e ingresos de una fábrica de reproductores de DVD se plantea lo siguiente: Supongamos que la función costo de producir reproductores de DVD es 𝐶(𝑥) = 105𝑥 + 1650 y la función ingreso es 𝑅 = 215𝑥; donde a) ¿Cómo podrías obtener la utilidad del fabricante? b) ¿Qué restricciones debemos considerar al calcular la utilidad? c) ¿Cuál es la regla de correspondencia de la utilidad? Solución: Sea “x”: la cantidad producida y vendida. “C”: costo total

“I”: ingreso total

a) “U”: utilidad total

b) Las restricciones al calcular la utilidad (

) debe ser mayor o igual a cero.

c) “U”: utilidad total

2. Un fabricante vende un producto a S/. 8 por unidad; y vende todo lo que fabrica. Los costos fijos son de S/. 5000 mensuales, y el costo variable por unidad es de S/. 2.45 a) Calcule la producción e ingreso total en el punto de equilibrio. b) Halle la función utilidad. c) Evalúe la función utilidad cuando se fabrica y se vende 1800 unidades. d) Pérdidas cuando se fabrican 450 unidades. e) Calcule la producción requerida para ganar S/. 10 000. Solución: Sea “x”: la cantidad producida y vendida. “C”: costo total

“I”: ingreso total

a) Calculo del punto de equilibrio

El punto de equilibrio, aproximado, es Interpretación: En el punto de equilibrio, la producción es de 901 productos (aprox.) y el ingreso es de $7208 (aprox.). b) “U”: utilidad total

c) ¿U?, cuando x=1800

Interpretación: Cuando se fabrica y se vende 1800 unidades del producto, entonces la utilidad es de $4990. d) 𝑥 = 450

entonces 𝑈 = 5.55(450) − 5000 = −2502.5

Las pérdidas cuando se fabrican 450 unidades es de 2502.5 dólares. e) Calculo de la producción, cuando U=10000

Interpretación: Se debe fabricar y vender 2703 unidades del producto (aprox.); para ganar $10000. 3. Un fabricante de esquíes planea sacar un nuevo modelo. En el primer año, los costos fijos para montar la nueva línea de producción son $22 500. Los costos variables para producir cada par de esquíes se estiman en $40. El departamento de ventas proyecta que pueden venderse 3 000 pares durante el primer año a $85 el par. a) Formule las funciones C, I y U para el costo total, ingreso total y utilidad total respectivamente, de producir y vender x pares de esquíes, así como el dominio de cada función. b) Grafique las funciones obtenidas en a) y señale el rango. c) ¿Qué utilidad o pérdida obtendrá la compañía si se presentan las ventas esperadas de 3 000 pares? d) ¿Cuántos pares se debe vender para llegar al punto de equilibrio de la empresa? Solución:

Sea “x” la cantidad que se produce y se vende. a) Costo total

Ingreso total

Utilidad Total

b) Grafica

Costo

Utilidad

Ingreso

●

Rango para la función costo: Dado que 𝑥 ≥ 0 , entonces 40𝑥 ≥ 0(40) 40𝑥 + 22500 ≥ 22500 Entonces: 𝑅𝑎𝑛(𝐶) = [22500; +∞⟩

●

Rango para la función ingreso: Dado que 0 ≤ 𝑥 ≤ 300 , entonces 0 ≤ 85𝑥 ≤ 3000(85) 0 ≤ 85𝑥 ≤ 255000 Entonces: 𝑅𝑎𝑛(𝐶) = [0; 255000]

●

Rango para la función utilidad: Dado que 0 ≤ 𝑥 ≤ 300 , entonces 0 ≤ 45𝑥 ≤ 3000(45) 0 ≤ 45𝑥 ≤ 135000 −22500 ≤ 45𝑥 − 22500 ≤ 112500

Entonces: 𝑅𝑎𝑛(𝐶) = [−22500; 112500] c) Calculo de las utilidades cuando se venden 3000 pares

d) Calculo del punto de equilibrio

Interpretación: Se deben vender 500 pares de esquíes, para llegar al punto de equilibrio 4. Una empresa cuenta con $ 1 500 000 que deberá invertir en dos compañías. La primera rinde el 10%, si la inversión no excede $ 400 000 y el 15% en caso contrario; la segunda rinde el 12%, si la inversión no excede $ 600 000 y el 14% en caso contrario. Halle: e) La función que exprese la utilidad total en función de "𝑥" miles de dólares invertidos en la primera compañía. f) La gráfica de la función utilidad y señale el dominio y rango. g) Interprete el resultado obtenido. Solución: a) De los datos del problema se tiene Sea “x” la cantidad en miles que se invierte en la primera compañía, entonces en la segunda compañía se invierte “1 500 – x” ●

Utilidad en miles de la primera compañía

●

Utilidad en miles de la segunda compañía

Por lo tanto, la utilidad total es: