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• Alan Resendiz Perez

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Matemáticas2 EXCOBA Raúl Trejo Hernández Ing. en Nanotecnología – Universidad Autónoma de Querétaro M. Sc. Materiales Cristalinos – Universidad de Freiburg [email protected] Raúl Trejo Hernández

Media aritmética El valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 suma de valores 𝑥= = 𝑁 número de valores 𝑥 = media aritmética 𝑥 = valor del elemento 𝑁 = número de elementos

07.03.2019

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2

Mediana Valor del elemento que ocupa la posición central de los datos, ordenados de menor a mayor Pasos para calcular la mediana: 1. Ordena los datos de mayor a menor 2. Calcula la posición de la mediana

𝑁+1 Número de elementos + 1 𝑝. 𝑀𝑒 = = = posición de la mediana 2 2 3. Determinar el elemento ubicado en la posición central. Si la cantidad de elementos es par, debes obtener el promedio de los dos valores centrales

07.03.2019

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Moda y rango Moda: el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

𝑀𝑜 = moda Puede haber más de una moda.

Rango: intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo. 𝑅 = rango = 𝑥𝑛 − 𝑥1

07.03.2019

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Ejercicios Encuentra la media, mediana, moda y rango de los siguientes datos 67, 55, 77, 56, 78, 32, 45, 64, 68 107, 103, 110, 112, 104, 106, 112, 103 5, 3, 6, 7, 3, 6, 4, 7, 4, 5, 9, 6, 7, 3

07.03.2019

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Ejercicios Encuentra la media, mediana, moda y rango de los siguientes datos 32, 45, 55, 56, 64, 67, 68, 77, 78 103, 103, 104, 106, 107, 110, 112, 112 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9

07.03.2019

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Ejercicios Encuentra la media, mediana, moda y rango de los siguientes datos Media: 60.22 Mediana: 64 Moda: no existe Rango: 46

32, 45, 55, 56, 64, 67, 68, 77, 78 103, 103, 104, 106, 107, 110, 112, 112 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9 Media: 5.3571 Mediana: 5.5 Moda: 3, 6, 7 Rango: 6 07.03.2019

Media: 107.25 Mediana: 106.5 Moda: 103, 112 Rango: 9

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Ejercicio Calcula la media aritmética del siguiente grupo de datos

suma de puntos medios por alturas 𝑥= suma de alturas 0.25 11 + 0.75 10 + 12.5 4 𝑥= 11 + 10 + 4 𝑥 = 6.1 07.03.2019

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8

Ejercicio Calcula la media aritmética del siguiente grupo de datos

suma de puntos medios por alturas 𝑥= suma de alturas 0.25 11 + 0.75 10 + 12.5 4 𝑥= 0.25 + 0.75 + 12.5 𝑥 = 6.1 07.03.2019

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9

Union de conjuntos La unión de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, denominada por 𝐴 ∪ 𝐵 que se lee 𝐴 unión 𝐵 , es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a 𝐴, 𝐵 o a ambos conjuntos

Ejemplo:

𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵} | ∶ tal que ∈: pertenece a ∨: o 07.03.2019

𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝐵 = 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} 𝑎 𝑏

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𝑑 𝑐

𝑒 𝑓

10

Intersección de conjuntos Ejemplo: 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝐵 = 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑐, 𝑑} 𝑎 𝑏

07.03.2019

𝑑 𝑐

𝑒

La intersección de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, denotada 𝐴 ∩ 𝐵 , que se lee 𝐴 intersección 𝐵, es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a 𝐴 y a 𝐵, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵} | ∶ tal que ∈: pertenece a ∧: y

𝑓

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Complemento de conjuntos El complemento de un conjunto 𝐴 con respecto al conjunto 𝑈, denotado 𝐴′, es el conjunto de elementos de 𝑈 que no pertenecen a 𝐴

Ejemplo:

𝐴′ = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}

𝑒

𝑑 𝑎

| ∶ tal que ∈: pertenece a ∉: no pertenece a ∧: y 07.03.2019

𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑈 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔

𝑐 𝑏

𝑓 Raúl Trejo Hernández

𝑔 12

Ejercicio Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de padres que practican natación, el numero de ellos que solo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes.

07.03.2019

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13

Ejercicio Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de padres que practican natación, el numero de ellos que solo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes. 𝐵 𝐴 𝐴 = futbol = 32 𝐵 = natación = 12 20 𝑁 𝑁 = solo natación = 𝐴 ∩ 𝐵 = 12 𝑈 = total = 50 𝑈 ′ 10 𝐶 C = algún deporte = 07.03.2019

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Ejercicio Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de padres que practican natación, el numero de ellos que solo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes. 𝐵 𝐴 𝐴 = futbol = 32 𝐵 = natación = 20 12 20 𝑁 𝑁 = solo natación = 8 𝐴 ∩ 𝐵 = 12 𝑈 = total = 50 𝑈 ′ 10 𝐶 C = algún deporte = 40 07.03.2019

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15

Ejercicio De un total de 70 alumnos del primer curso de una escuela de idiomas 15 estudian solamente ruso, 11 estudian ruso e ingles, 12 estudian solo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian solo ingles; 5 estudian ingles y alemán; y 3 los tres idiomas. Determina: a) ¿Cuántos estudian otro idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán? C) ¿Cuántos estudian solo alemán o inglés? d) ¿Cuántos estudian ruso?

07.03.2019

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16

Ejercicio De un total de 70 alumnos del primer curso de una escuela de idiomas 15 estudian solamente ruso, 11 estudian ruso e ingles, 12 estudian solo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian solo ingles; 5 estudian ingles y alemán; y 3 los tres idiomas. Determina: a) ¿Cuántos estudian otro idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán? C) ¿Cuántos estudian solo alemán o inglés? d) ¿Cuántos estudian ruso?

𝑅

𝐼 11

15

5

8 𝑈

10

12 𝐴

07.03.2019

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Ejercicio De un total de 70 alumnos del primer curso de una escuela de idiomas 15 estudian solamente ruso, 11 estudian ruso e ingles, 12 estudian solo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian solo ingles; 5 estudian ingles y alemán; y 3 los tres idiomas. Determina: a) ¿Cuántos estudian otro idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán? C) ¿Cuántos estudian solo alemán o inglés? d) ¿Cuántos estudian ruso?

𝑅

𝐼 8

15

5 𝑈

3

10

2

12 𝐴

07.03.2019

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18

Ejercicio De un total de 70 alumnos del primer curso de una escuela de idiomas 15 estudian solamente ruso, 11 estudian ruso e ingles, 12 estudian solo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian solo ingles; 5 estudian ingles y alemán; y 3 los tres idiomas. Determina: a) ¿Cuántos estudian otro idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán? C) ¿Cuántos estudian solo alemán o inglés? d) ¿Cuántos estudian ruso?

𝑈= 𝑅= 𝐴= 𝑂= 𝑅=

total = 70 ruso = 31 alemán = 22 otro = 15 solo alemán o in𝑙é𝑠 = 22

𝑅

𝐼 8

15

5 𝑈

3

10

2

12 𝐴

07.03.2019

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Probabilidad de multiples eventos Eventos independientes: dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si el resultado del 𝐵 no es afectado por el resultado de 𝐴. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) Eventos dependientes: dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si el resultado del 𝐵 sí es afectado por el resultado de 𝐴, cambiando así su probabilidad. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃(𝐵) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) 07.03.2019

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Ejemplo Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es tomada de la caja y luego regresada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul o la segunda sea verde? 𝑃 𝐴 = {azul} = 2/9;

𝑃 𝐵 = {verde} = 3/9

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 = (2/9)(3/9) = (6/81) = (2/27) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 = (2/9) + (3/9) = (5/9) 07.03.2019

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Ejemplo Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es tomada de la caja y luego regresada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul o la segunda sea verde? 𝑃 𝐴 = {azul} = 2/9;

𝑃 𝐵 = {verde} = 3/9

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 = (2/9)(3/9) = (6/81) = (2/27) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 = (2/9) + (3/9) = (5/9) 07.03.2019

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Ejemplo Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es tomada de la caja y luego regresada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul o la segunda sea verde? 𝑃 𝐴 = {azul} = 2/9;

𝑃 𝐵 = {verde} = 3/9

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 = (2/9)(3/9) = (6/81) = (2/27) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 = (2/9) + (3/9) = (5/9) 07.03.2019

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Ejemplo Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es tomada de la caja y luego regresada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul o la segunda sea verde? 𝑃 𝐴 = {azul} = 2/9;

𝑃 𝐵 = {verde} = 3/9

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 = (2/9)(3/9) = (6/81) = (2/27) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 = (2/9) + (3/9) = (5/9) 07.03.2019

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Ejemplo Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es tomada sin ser remplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

07.03.2019

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Ejemplo Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es tomada sin ser remplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? 𝑃 𝐴 = {azul} = 2/9;

07.03.2019

𝑃 𝐵 = {verde} = 3/8

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Ejemplo Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es tomada sin ser remplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? 𝑃 𝐴 = {azul} = 2/9;

𝑃 𝐵 = {verde} = 3/8

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 = (2/9)(3/8) = (6/72) = (1/12)

07.03.2019

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27

Ejercicio Se tienen tres cajas, cada una con tres tarjetas rojas, dos amarillas y una verde, se saca una tarjeta de cada caja, calcula la probabilidad de que las tres tarjetas sean rojas

07.03.2019

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28

Ejercicio Se tienen tres cajas, cada una con tres tarjetas rojas, dos amarillas y una verde, se saca una tarjeta de cada caja, calcula la probabilidad de que las tres tarjetas sean rojas 𝑃 𝐴 = {roja} = 3/6 = 1/2; 𝑃 𝐵 = {roja} = 1/2; 𝑃 𝐶 = {roja} = 1/2;

07.03.2019

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Ejercicio Se tienen tres cajas, cada una con tres tarjetas rojas, dos amarillas y una verde, se saca una tarjeta de cada caja, calcula la probabilidad de que las tres tarjetas sean rojas 𝑃 𝐴 = {roja} = 3/6 = 1/2; 𝑃 𝐵 = {roja} = 1/2; 𝑃 𝐶 = {roja} = 1/2; 1 1 1 1 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = ∗ ∗ = = 0.125 = 12.5 % 2 2 2 8 07.03.2019

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30

Términos algebráicos Coeficiente o parte constante

Exponente

2 3

−4𝑥 𝑦 Signo

Variable, literal o incógnita 07.03.2019

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Propiedades de los números reales Propiedad

Suma

Multiplicación El orden de los factores no altera el producto

Conmutativa

𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎

Asociativa Elemento neutro

𝑎+ 𝑏+𝑐 = 𝑎+𝑏 +𝑐

𝑎∙𝑏 =𝑏∙𝑎 𝑎 ∙ 𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏 ∙ c)

0 es el elemento neutro de la suma

1 es el elemento neutro de la multiplicación

𝑎+0=𝑎

𝑎∙1=𝑎

El inverso, u opuesto, aditivo de 𝑎 es −𝑎

El inverso multiplicativo de 𝑎(𝑎 ≠ 0) es 𝑎−1

𝑎 + −𝑎 = 0

𝑎 ∙ 𝑎−1 = 1

Inverso Distributiva

07.03.2019

𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎c

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32

Leyes de los exponentes Nombre

Regla

Ejemplo

Producto

𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛

22 ∙ 23 = 22+3 = 25 22 ∙ 32 = (2 ∙ 3)2 = 62

Cociente

𝑎𝑛 /𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

Potencia

(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚 𝑚 𝑎𝑛/𝑚 = 𝑎𝑛

35 /33 = 35−3 = 32 (𝑥 4 )3 = 𝑥 12 3 4/3 𝑥 = 𝑥4

Exponentes negativos

𝑎−𝑛 = 1/𝑎𝑛

3𝑥 −6 = 3/𝑥 6

Regla del 0

𝑎0 = 1

(154472 ∙ 54771𝑥 3 )0 = 1

Regla del 1

1𝑛 = 1 𝑎1 = 𝑎

1126564 = 1 547711 = 54771

07.03.2019

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33

Leyes de los signos

07.03.2019

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34

Ejercicios 𝑥3 ∗ 𝑥5 = 𝑦5 𝑦3

=

(𝑥 4 )3 = (𝑥𝑦)5 = 𝑥 −5 = (𝑥𝑦𝑧)0 = 3𝑥 −2 = 𝑥 −2 ∗ 𝑥 4 = 07.03.2019

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35

Ejercicios 𝑥3 ∗ 𝑥5 = 𝑥8 𝑦5 𝑦3

= 𝑦2

(𝑥 4 )3 = 𝑥 12 (𝑥𝑦)5 = 𝑥 5 𝑦 5 𝑥 −5 = 1/𝑥 5 (𝑥𝑦𝑧)0 = 1 3𝑥 −2 = 3/𝑥 2 𝑥 −2 ∗ 𝑥 4 = 𝑥 2 07.03.2019

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36

Monomios y polinomios Monomio: expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables que constan de un solo término. Ejemplos 135 7𝑎2 56𝑥 2 𝑦 5

07.03.2019

Polinomio: expresión algebraica constituida por una suma finita de monomios. 𝑃(𝑥), G(𝑥) Ejemplos 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 7𝑥 3 − 14𝑥 2 + 16𝑥 − 4 56𝑥 2 𝑦 5 + 𝑥 3 𝑦 4

Grado: mayor exponente al cual están elevadas las variables Coeficientes: 𝑎 , 𝑏, 𝑐, 𝑑 Término independiente: 𝑑 Raúl Trejo Hernández

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Monomios y polinomios – suma/resta Se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Pasos: 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3; 1. Ordenar los polinomios 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3;

𝐺 𝑥 = 4𝑥 − 3𝑥 2 + 2𝑥 3

𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥

2. Sumar y agrupar los monomios del mismo grado 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 4𝑥 − 3 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3 + (2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥) 3. Sumar los monomios semejantes 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 9𝑥 − 3 07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

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Monomios y polinomios – suma/resta Se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Pasos: 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3; 1. Ordenar los polinomios 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3;

𝐺 𝑥 = 4𝑥 − 3𝑥 2 + 2𝑥 3

𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥

2. Sumar y agrupar los monomios del mismo grado 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 4𝑥 − 3 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3 + (2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥) 3. Sumar los monomios semejantes 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 9𝑥 − 3 07.03.2019

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39

Monomios y polinomios – suma/resta Se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Pasos: 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3; 1. Ordenar los polinomios 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3;

𝐺 𝑥 = 4𝑥 − 3𝑥 2 + 2𝑥 3

𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥

2. Sumar y agrupar los monomios del mismo grado 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3 + (2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥) 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 4𝑥 − 3 3. Sumar los monomios semejantes 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 9𝑥 − 3 07.03.2019

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40

Monomios y polinomios – suma/resta Se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Pasos: 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3; 1. Ordenar los polinomios 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3;

𝐺 𝑥 = 4𝑥 − 3𝑥 2 + 2𝑥 3

𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥

2. Sumar y agrupar los monomios del mismo grado 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3 + (2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥) 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 + 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 4𝑥 − 3 3. Sumar los monomios semejantes 𝑃 𝑥 + 𝐺 𝑥 = 4𝑥 3 − 3𝑥 2 + 9𝑥 − 3 07.03.2019

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41

Monomios y polinomios – suma/resta Se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Pasos: 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3; 1. Ordenar los polinomios 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 + 5𝑥 − 3;

𝐺 𝑥 = 4𝑥 − 3𝑥 2 + 2𝑥 3

𝐺 𝑥 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥

2. Sumar escribiendo uno debajo de otro de forma que los monomios semejantes queden en la misma columna 2𝑥 3 + 3 2𝑥

07.03.2019

−3𝑥 2

5𝑥 +4𝑥

−3

4𝑥 3 − 3𝑥 2

+ 9𝑥

−3

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42

Ejercicios El resultado de (7𝑎2 −2𝑎 + 9) + (−3𝑎2 −5𝑎 + 7)

Si a (4𝑥 3 −𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 9) se resta (8𝑥 2 −7𝑥𝑦 + 6𝑦 2 − 7)

07.03.2019

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43

Ejercicios El resultado de (7𝑎2 −2𝑎 + 9) + (−3𝑎2 −5𝑎 + 7)

(4𝑎2 −7𝑎 + 16) Si a (4𝑥 3 −𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 9) se resta (8𝑥 2 −7𝑥𝑦 + 6𝑦 2 − 7)

(4𝑥 3 −9𝑥 2 − 5𝑦 2 + 16) 07.03.2019

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44

Monomios y polinomios – multiplicación Número por polinomio: producto de los coeficientes del polinomio por el número dejando las mismas literales. Ejemplo

3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 3 2𝑥 3 ) − 3(3𝑥 2 ) + 3(4𝑥) − 3(2 = 6𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 6

07.03.2019

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45

Monomios y polinomios – multiplicación Número por polinomio: producto de los coeficientes del polinomio por el número dejando las mismas literales. Ejemplo

3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 3 2𝑥 3 ) − 3(3𝑥 2 ) + 3(4𝑥) − 3(2 = 6𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 6

Monomio por polinomio: producto del monomio por todos los elementos del polinomio Ejemplo:

07.03.2019

3𝑥 2 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 6𝑥 5 − 9𝑥 4 + 12𝑥 3 − 6𝑥 2

Raúl Trejo Hernández

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Monomios y polinomios – multiplicación Número por polinomio: producto de los coeficientes del polinomio por el número dejando las mismas literales. Ejemplo

3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 3 2𝑥 3 ) − 3(3𝑥 2 ) + 3(4𝑥) − 3(2 = 6𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 6

Monomio por polinomio: producto del monomio por todos los elementos del polinomio Ejemplo:

3𝑥 2 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 6𝑥 5 − 9𝑥 4 + 12𝑥 3 − 6𝑥 2

Polinomio por polinomio: producto de cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio Ejemplo: 2𝑥 2 − 3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 = 2𝑥 2 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 = 4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 8𝑥 3 − 6𝑥 3 + 9𝑥 2 − 12𝑥 = 4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 2𝑥 3 + 9𝑥 2 − 12𝑥 07.03.2019

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Monomios y polinomios – multiplicación Número por polinomio: producto de los coeficientes del polinomio por el número dejando las mismas literales. Ejemplo

3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 3 2𝑥 3 ) − 3(3𝑥 2 ) + 3(4𝑥) − 3(2 = 6𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 6

Monomio por polinomio: producto del monomio por todos los elementos del polinomio Ejemplo:

3𝑥 2 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 6𝑥 5 − 9𝑥 4 + 12𝑥 3 − 6𝑥 2

Polinomio por polinomio: producto de cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio Ejemplo: 2𝑥 2 − 3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 = 2𝑥 2 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 = 4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 8𝑥 3 − 6𝑥 3 + 9𝑥 2 − 12𝑥 = 4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 2𝑥 3 + 9𝑥 2 − 12𝑥 07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

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Monomios y polinomios – multiplicación Número por polinomio: producto de los coeficientes del polinomio por el número dejando las mismas literales. Ejemplo

3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 3 2𝑥 3 ) − 3(3𝑥 2 ) + 3(4𝑥) − 3(2 = 6𝑥 3 − 9𝑥 2 + 12𝑥 − 6

Monomio por polinomio: producto del monomio por todos los elementos del polinomio Ejemplo:

3𝑥 2 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 = 6𝑥 5 − 9𝑥 4 + 12𝑥 3 − 6𝑥 2

Polinomio por polinomio: producto de cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio Ejemplo: 2𝑥 2 − 3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 = 2𝑥 2 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 3 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 = 4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 8𝑥 3 − 6𝑥 3 + 9𝑥 2 − 12𝑥 = 4𝑥 5 − 6𝑥 4 + 2𝑥 3 + 9𝑥 2 − 12𝑥 07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

49

Ejercicios El resultado de (3𝑥 3 𝑦 3 + 4𝑥 3 )(−4𝑦 3 − 10)

El resultado de (3𝑥 2 𝑦 3 )(𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑦 2 )

07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

50

Ejercicios El resultado de (3𝑥 3 𝑦 3 + 4𝑥 3 )(−4𝑦 3 − 10)

−12𝑥 3 𝑦 6 − 46𝑥 3 𝑦 3 − 40𝑥 3

El resultado de (3𝑥 2 𝑦 3 )(𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 4𝑦 2 )

3𝑥 4 𝑦 3 + 9𝑥 3 𝑦 4 − 12𝑥 2 𝑦 5 07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

51

Ejercicios 4𝑥 + 11 4𝑥 − 2 = 𝑥6 − 𝑦 𝑥6 + 𝑦 =

𝑥 2𝑚 + 𝑦 5𝑛 𝑥 2𝑚 − 𝑦 5𝑛 = 2𝑥 + 5 2𝑥 − 9 =

07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

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Ecuaciones algebráicas Resolver una ecuación es encontrar el valor que debe(n) tomar la(s) incógnita(s) para que se cumpla la igualdad.

Combinación de uno o más términos algebraicos separados por un símbolo de igualdad.

Ejemplos 7𝑎2 − 2𝑎 = 9,

𝑎 = 9/7, 𝑎 = −1

8𝑥 + 7 = 9𝑥 − 5,

07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

x = 12

53

Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a 𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes

07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

54

Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a

𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes Proceso para solución: agrupar variables de un lado y constantes del otro

07.03.2019

Raúl Trejo Hernández

55

Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a

𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes Proceso para solución: agrupar variables de un lado y constantes del otro Ecuación inicial

07.03.2019

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

Raúl Trejo Hernández

56

Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a

𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes Proceso para solución: agrupar variables de un lado y constantes del otro Ecuación inicial Usar inverso aditivo en ambos lados

Inverso 07.03.2019

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑏 = 0 − 𝑏

El inverso, u opuesto, aditivo de 𝑎 es −𝑎 𝑎 + −𝑎 = 0 Raúl Trejo Hernández

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Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a

𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes Proceso para solución: agrupar variables de un lado y constantes del otro Ecuación inicial Usar inverso aditivo en ambos lados Simplificar

Inverso 07.03.2019

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑏 = 0 − 𝑏 𝑎𝑥 = −𝑏

El inverso, u opuesto, aditivo de 𝑎 es −𝑎 𝑎 + −𝑎 = 0 Raúl Trejo Hernández

58

Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a

𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes Proceso para solución: agrupar variables de un lado y constantes del otro Ecuación inicial Usar inverso aditivo en ambos lados Simplificar Usar inverso multiplicativo en ambos lados

Inverso 07.03.2019

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑏 = 0 − 𝑏 𝑎𝑥 = −𝑏 𝑎𝑥 (1/𝑎) = −𝑏 (1/𝑎)

El inverso, u opuesto, aditivo de 𝑎 es −𝑎 𝑎 + −𝑎 = 0 Raúl Trejo Hernández

1

El inverso multiplicativo de 𝑎(𝑎 ≠ 0) es 𝑎−1 = 𝑎 𝑎 ∙ 𝑎−1 = 1 59

Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a

𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes Proceso para solución: agrupar variables de un lado y constantes del otro Ecuación inicial Usar inverso aditivo en ambos lados Simplificar Usar inverso multiplicativo en ambos lados Simplificar Inverso 07.03.2019

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑏 = 0 − 𝑏 𝑎𝑥 = −𝑏 𝑎𝑥 (1/𝑎) = −𝑏 (1/𝑎) 𝑥 = −𝑏/𝑎

El inverso, u opuesto, aditivo de 𝑎 es −𝑎 𝑎 + −𝑎 = 0 Raúl Trejo Hernández

1

El inverso multiplicativo de 𝑎(𝑎 ≠ 0) es 𝑎−1 = 𝑎 𝑎 ∙ 𝑎−1 = 1 60

Ecuaciones de primer grado de una variable Tienen la forma general:

Cuya solución es:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

𝑥 = −b/a

𝑥: variable, 𝑎 y 𝑏: constantes Proceso para solución: agrupar variables de un lado y constantes del otro Ecuación inicial Usar inverso aditivo en ambos lados Simplificar Usar inverso multiplicativo en ambos lados Simplificar Inverso 07.03.2019

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑏 = 0 − 𝑏 𝑎𝑥 = −𝑏 𝑎𝑥 (1/𝑎) = −𝑏 (1/𝑎) 𝑥 = −𝑏/𝑎

El inverso, u opuesto, aditivo de 𝑎 es −𝑎 𝑎 + −𝑎 = 0 Raúl Trejo Hernández

Despejar 𝑥 Resolver para 𝑥

1

El inverso multiplicativo de 𝑎(𝑎 ≠ 0) es 𝑎−1 = 𝑎 𝑎 ∙ 𝑎−1 = 1 61

Ejercicio La solución de las siguientes ecuaciones 6 − 2 1 − 3𝑥 = −3 𝑥 − 2 + 5

𝑥=

7 9

𝑥=1 2𝑥 3

5x − 7 = −2 3 − 8𝑥 + 1

𝑥= 07.03.2019

−2 3𝑥 − 2 = −2

2 − 11

16 + 3

=

4𝑥 2

𝑥=4 Raúl Trejo Hernández

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Ejercicio La solución de las siguientes ecuaciones 6 − 2 1 − 3𝑥 = −3 𝑥 − 2 + 5

𝑥=

7 9

𝑥=1 2𝑥 3

5x − 7 = −2 3 − 8𝑥 + 1

𝑥= 07.03.2019

−2 3𝑥 − 2 = −2

2 − 11

16 + 3

=

4𝑥 2

𝑥=4 Raúl Trejo Hernández

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