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Actividad de aprendizaje Actividad de aprendizaje 2.1 1. Diferencie a función dada. Si considera adecuado, utilice primero las propiedades de los logaritmos para simplificar la función. 𝟓

𝒀=𝒙√

𝒙𝟑 + 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟐

5 𝑥3 + 3 𝑦 = ln [𝑥 √ 2 ] 𝑥 −2

5

𝑦 = ln 𝑥 + ln √

𝑥3 + 3 𝑥2 − 2 1

𝑥3 + 3 5 𝑦 = ln 𝑥 + ln ( 2 ) 𝑥 −2 1 𝑦 = ln 𝑥 + (ln 𝑥 3 + 3 − ln 𝑥 2 − 2) 5

𝑦′ =

1 3𝑥 2 2𝑥 + − 𝑥 5(𝑥 3 + 3) 5(𝑥 2 − 2)

2. Determine la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto indicado. 𝑦=

𝑦=

1 − 𝑒𝑥 𝑒𝑛 (𝑜; 𝑜) 1 + 𝑒𝑥

(1 + 𝑒 0 )(−𝑒 0 ) − (1 − 𝑒 0 )(−𝑒 0 ) (1 + 𝑒 0 )2 (2)(−1) − (1 − 1)(−1) 𝑦= (2)2 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 𝑜 = 𝑚(𝑥 − 𝑜) 1 𝑦=− 𝑥 2 2 𝑦′ = 4 𝑦′ = −

1 2

𝑦′ = 𝑚 = − X1=0

1 2

y1=0

3. Del capitulo 12, problemas de 12.4, (pag500), realice el problema 26.

𝑺𝒊 𝒙√𝒚 + 𝟏 = 𝒚√𝒙 + 𝟏, 𝒆𝒏𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆

𝒅𝒚 𝒆𝒏 (𝟑; 𝟑) 𝒅𝒙

Si 𝑥√𝑦 + 1 = 𝑦√𝑥 + 1 ′

(𝑥)′′(√𝑦 + 1 + (𝑥)(√𝑦 + 1) = (𝑦)′ (√𝑥 + 1) + (𝑦)(√𝑥 + 1)′ 1 𝑑𝑦 𝑑𝑦 1 ) = ) √𝑥 + 1 + 𝑦 ( √𝑦 + 1 + 𝑥 ( 2 √𝑥 + 1 2√𝑦 + 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 𝑦 ( − √𝑥 + 1) = − √𝑦 + 1 𝑑𝑥 2√𝑦 + 1 2√𝑥 + 1

𝑦 − +1 𝑑𝑦 2√𝑥 + 1 √𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 − √𝑥 + 1 2√𝑦 + 1 3 𝑑𝑦 2(2) − 2 = 3 𝑑𝑥 −2 2(2) 3 𝑑𝑦 4 − 2 = 𝑑𝑥 3 − 2 4 𝑑𝑦 =1 𝑑𝑥

Del capitulo 12, problemas 12.5, (pag 564), realice el problema 12: Encuentre por medio de diferenciación logarítmica.

𝟑 𝟔(𝒙𝟑 + 𝟏)𝟐 𝒚 = √ 𝟔 −𝟒𝒙 𝒙 𝒆

3 6(𝑥 3 + 1)2 ln 𝑦 = ln √ 6 −4𝑥 𝑥 𝑒

1

6(𝑥 3 + 1)2 3 ln 𝑦 = ln ( 6 −4𝑥 ) 𝑥 𝑒 1 ln 𝑦 = (ln 6 (𝑥 3 + 1)2 − ln 𝑥 6 𝑒 −4𝑥 ) 3 ln 𝑦 =

1 (ln 6 + 2ln(𝑥 3 + 1) − 6 ln 𝑥 + 4𝑥) 3 ln 𝑦 =

1 6𝑥 2 6 ( 3 − + 4) 3 𝑥 +1 𝑥

ln 𝑦 =

1 6𝑥 2 6 ( 3 − + 4) . 𝑦 3 𝑥 +1 𝑥

3 6(𝑥 3 + 1)2 1 6𝑥 2 6 ln 𝑦 = ( 3 − + 4) . √ 6 −4𝑥 3 𝑥 +1 𝑥 𝑥 𝑒

1. Del capítulo 13, Problemas 13.1, (pag586), realice el problema 40: Determine cuando la función es creciente o decreciente y la posición de los máximos y mínimos relativos, NO TRACE GRAFICA.

𝟑

𝒚 = √𝒙𝟑 − 𝟗𝒙 𝑦 = (𝑥 3 − 9𝑥)1/3 𝑦′ =

−2 1 3 (3𝑥 2 − 9) (𝑥 − 9𝑥) 3 (3𝑥 2 − 9) = 2 3 3(𝑥 3 − 9𝑥)3

𝑥 − √3 = 0 = 𝑥 = √3 𝑥 + √3 = 0 = 𝑥 = −√3 𝑥=0 𝑥−3=0=𝑥 =3 𝑥 + 3 = 0 = 𝑥 = −3

𝑥 − √3 𝑥 + √3 𝑥 2/3 (𝑥 − 3)2/3 (𝑥 + 3)2/3 F’ (x)

+ + + +

+ + + +

+ + + + -

Creciente= (-∞;-3),(-3;−√3] [√3; 3),(3; ∞) Decreciente= ([−√3, 0), ( 0 , √3])

+ + + + -

+ + + + + +

+ + + + + +

+ a – máximo = x= −√3 De – a + minimo = x= √3

Del capítulo 13, problemas 13.3 (Pag, 596)

𝒙𝟐 + 𝟏 𝒚= 𝟑𝒆𝒙 𝑦′ =

(3𝑒 𝑥 )(𝑥 2 + 1) − (𝑥 2 + 1)(3𝑒 𝑥 ) (3𝑒 𝑥 )2

(3𝑒 𝑥 )(2𝑥) − (𝑥 2 + 1)(3𝑒 𝑥 ) 𝑦 = (3𝑒 𝑥 )2 ′

𝑦′ =

(−𝑥 2 + 2𝑥 − 1) (3𝑒 𝑥 )

𝑦 ′′ =

(3𝑒 𝑥 )(−𝑥 2 + 2𝑥 − 1) − (−𝑥 2 + 2𝑥 − 1)(3𝑒 𝑥 ) (3𝑒 𝑥 )2

𝑦 ′′ =

(3𝑒 𝑥 )(−𝑥 2 + 2𝑥 − 1) − (−𝑥 2 + 2𝑥 − 1)(3𝑒 𝑥 ) (3𝑒 𝑥 )2

(3𝑒 𝑥 )[(−2𝑥 + 2) − (−𝑥 2 + 2𝑥 − 1)] 𝑦 = (3𝑒 𝑥 )2 ′′

𝑦 ′′ =

(3𝑒 𝑥 )[(−2𝑥 + 2) − (−𝑥 2 + 2𝑥 − 1)] (3𝑒 𝑥 )2 𝑦 ′′ = 𝑦 ′′ =

𝑥 2 − 4𝑥 + 3 3𝑒 𝑥

(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) 3𝑒 𝑥

𝑥 − 3 = 0 = 𝑥 = +3 𝑥 − 1 = 0 = 𝑥 = +1 3𝑒 𝑥 = 0 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜.

x-3 x-1

3𝑒 𝑥 + f’’(x) + Con curva hacia arriba= (-∞;1][3,∞)

+ + -

+ + + +

Con curva hacia abajo= [1;3] Punto de inflexión X=1 x = -3

52)𝒚 = 𝒙𝟐 (𝒙 − 𝟏)𝟐 𝑦 = (𝑥 2 − 2𝑥 + 1) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 ′ = 4𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 𝑦′ = 0 4𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 = 0 2𝑥(2𝑥 2 − 3𝑥 + 1) = 0 2𝑥 = 0 𝑥=0 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0 (2𝑥 − 2)(2𝑥 − 1) = 0 𝑥−1=0

x-1 2x-1 2x + f’(x) + Crece: [0;1/2][1,∞] Decre (-∞; o][1/2,1)

+ + -

+ + + +

𝑦 ′ = 4𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 𝑦 ′′ = 12𝑥 2 − 12𝑥 + 2 𝑦 ′′ = 0 12𝑥 2 − 12𝑥 + 2 = 0 𝑥=

12 ± √−122 − 4(12)(2) 2(12) 𝑥=

x-0.79 x-0.21 f’’(x)

+

12 ± √48 24

𝑥1 =

𝑥 + √48 = 0.79 24

𝑥2 =

𝑥 − √48 = 0.21 24 + +

𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 (−∞, 0,2), (0,79, +∞) 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑏𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 (0,2; 0.79) 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 (𝑥 = 0,21) 𝑦 = 0,02 (𝑥 = 0.79) 𝑦 = 0,02 (0,21 ; 0,02) (0,79 ; 0,02) 𝑆𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝐹(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 𝑦 = (−𝑥)4 − 2(−𝑥)3 + (−𝑥)2 𝑦 = 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑥 2

+ + +

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑗𝑒 𝑌 => 𝑥 = 0 𝑦 = (0)4 − 2(0)3 + (0)2 𝑦=0 𝑒𝑗𝑒 𝑥 => 𝑦 = 0 𝑥 2 (𝑥 − 1)2 = 0 𝑥2 = 0

(𝑥 − 1)2

𝑥=0

𝑥=1

Del capítulo 13, problemas 13.6 (pág. 616), realice los problemas 18 y 30: 18)Ingreso: Una empresa de bienes por mes sin embargo, por cada $10 mensuales de incremento habrá dos departamentos vacios sin posibilidad de ser rentados ¿ Que renta por departamento maximizara el ingreso mensual?.

𝑟 = (400 + 10𝑥)(100 − 2𝑥) 𝑟 ′ = (400 + 10𝑥)′ (100 − 2𝑥) + (400 + 10𝑥)(100 − 2𝑥) 𝑟 ′ = 10(100 − 2𝑥) + (400 + 10𝑥)(−2) 𝑟 ′ = 1000 − 20𝑥 − 800 − 20𝑥 𝑟 ′ = 200 − 40𝑥 𝑟=0 200 − 40 = 0 𝑥=−

200 −40

𝑥=5

Utilidad: para el producto de un monopolista, la función de costo es c=0,004q 3 +20q+5000 y la función de demanda es p=450-4q. Encuentre la producción que maximiza la utilidad. 𝑐 = 0. 𝑞 3 + 20𝑞 + 500 𝑝 = 450 − 4𝑞 𝑢 = 450𝑞 ′ − 4𝑞 2 − (0,004𝑞 3 + 20𝑞 − 5000) 𝑢′ = 0.0012𝑞 2 − 8𝑞 + 430 𝑢′ = 0 −0,0012𝑞 2 − 8𝑞 + 430 = 0 8 ± √64 − 4(0,0012)(430) 2(−0,0012) 𝑞 ′ = 53,22 𝑞 ′′ = −6719,89

De los problemas 12.2, (Pag 549), realice el problema 46: 46) Relación depredador presa: En un artículo sobre depredadores y presas. Holling se refiere a una ecuación de la forma y=K(1-e-ax) donde x es la densidad de presas, y e el número de presas atacadas y. K y a son constantes verifique la afirmación de que dy/dx=a(K-y) 𝑦 = 𝐾(1−𝑒 −𝑎𝑥 ) 𝑦 = 1 − 𝑒 −𝑎𝑥 𝑘 𝑦 (−1) − 1 = −𝑒 𝑎𝑥 (−1) 𝑘 𝑦 ′ = 𝑘(−𝑒 𝑎𝑥 )(−𝑎)

𝑑𝑦 = 𝑦 ′ = 𝑘 𝑎 𝑒 −𝑎𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑘𝑦 = 𝑎 (𝑘 − ) 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑦 = 𝑎(𝑘 − 𝑦) 𝑑𝑥

4. De los problemas 12.3, (Pág. 554), realice los problemas 18, 24: 18) La ecuación de la demanda para cierto producto es . Encuentre la elasticidad puntual de la demanda cuando p = 40 y use este valor para calcular el cambio porcentual aproximado de la demanda si el precio de $40 (dólares estadounidenses) aumenta en 7 por ciento.

𝑞 = √3000 − 𝑝2 = √3000 − (40)2 = √1400

𝑝 𝑝 𝑑𝑞 𝑞 𝑒𝑝 = = ∗ 𝑑𝑝 𝑞 𝑑𝑝 𝑑𝑞 𝑝 = 40 𝑒𝑝 =

𝑝 √3000−𝑝2

𝑒𝑝 =

− (

1 2√3000−𝑝2

) (−2𝑝)-

𝑝2 √3000 − 𝑝2 ∗ √3000 − 𝑝2

𝑝2 −𝑝2 𝑒𝑝 = = 2 𝑞∗𝑞 𝑞 𝑒𝑝 = −

8 7

𝑒𝑝% = 𝑒𝑝 − (%) 8 𝑒𝑝% = − (7%) 7 𝑒𝑝% = −8%

24) Dada la ecuación de demanda, determine la elasticidad puntual de la demanda cuando p = 9. 𝑞 2 (1 + 𝑝)2 = 𝑝 𝑒𝑑 =

𝑝 𝑑𝑞 ∗ 𝑞 𝑑𝑝

𝑞 2 (1 + 2)2 = 𝑝 (𝑞 2 )′ (1 + 𝑝)2 + 𝑞 2 [(1 + 𝑝)2 ]′ = 𝑝 𝑑𝑞 1 − 2𝑞 2 (1 + 𝑝) = 𝑑𝑝 2𝑞(1 + 𝑝)2 𝑞 2 (1 + 𝑝)2 1 − 2𝑞 2 (1 + 𝑝) 𝑒𝑑 = ∗( ) 𝑞 2𝑞(1 + 𝑝)2 1 − 2𝑞 2 (1 + 𝑝) 𝑒𝑑 = 2 𝑞 2 (1 + 𝑝)2 = 𝑝 𝑞2 =

𝑞=√

𝑝 (1 + 𝑝)2

𝑝 𝑞 3 = = √ (1 + 𝑝)2 (10)2 10

1 − 2𝑞 2 (1 + 𝑝) 𝑒𝑑 = 2

𝑒𝑑 =

9 1 − 2 (100) (10) 2

18 1 − 10

𝑒𝑑 =

2

𝑒𝑑 =

1−

=−

9 5

2 2 5

4. De los Problemas 12.4, (Pág. 560), realice el problema 34: 34) Encuentre la razón de cambio de q con respecto a p.

𝑝=

𝑞3

3 +1

𝑑𝑞 1 = 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑞 𝑑𝑝 (𝑞 3 + 1)(0) − 3(3𝑞 2 ) 𝑞 = = (𝑞 3 + 1)2 𝑑𝑞 ′

𝑑𝑝 9𝑞 2 = 3 𝑑𝑞 (𝑞 + 1)2

𝑑𝑝 (𝑞 3 + 1)2 = 𝑑𝑞 9𝑞 2

De los Problemas 13.1, (Pág. 586), realice los problemas 74 y 75: 74) Servicio telefónico: En un análisis de precio del servicio telefónico local. Renshaw determina que el ingreso total r está dado por . Donde p es un precio indexado por llamada y a, b y F son constantes. Determine le valor de p que maximiza el ingreso. 𝑎 𝑎2 𝑟 = 2𝑓 + (1 − ) 𝑝 − 𝑝2 + 𝑏 𝑏

𝑎 𝑟 ′ = (1 − ) − 2𝑝 𝑏 𝑟′ = 0

1−

𝑎 − 2𝑝 = 0 𝑏

2𝑝 = 1 −

𝑎 𝑏

𝑏−𝑎 𝑝= 𝑏 2

𝑝=

𝑏−𝑎 2𝑏

75) Costos de almacenamiento y envío: En su modelo de costos de almacenamiento y envío de materiales para un proceso de manufactura, Lancaster obtiene la siguiente función de costo . Donde C(k) es el costo total de almacenamiento y transporte para 100 días de operación si una carga de k toneladas de material se traslada cada k días.

𝒄(𝒌) = 𝟏𝟎𝟎 (𝟏𝟎𝟎 + 𝟗𝒌 +

𝟏𝟒𝟒 ) 𝒌

;

𝟏 ≤ 𝒌 ≤ 𝟏𝟎𝟎

a) Encuentre C(1)

𝑐(𝑘) = 100 (100 + 9𝑘 +

144 ) 𝑘

𝑐(1) = 100(253) 𝑐(1) = 25300

b) ¿Para qué valor de k tiene C(k) un mínimo?

𝑐 ′ (𝑘) = 100(0 + 9 +

𝑘(0) − 144 𝑘2

𝑐 ′ (𝑘) = 100 (9 −

144 ) 𝑘2

𝑐 ′ (𝑘) = 0 100 (9 −

144 )=0 𝑘2

14400 = 900 𝑘2 14400 = 900𝑘 2 14400 = 𝑘2 900 𝑘=√

144 9

𝑘=4

c) ¿Cuál es el valor mínimo?

𝐶(𝑘) = (100 + 36 +

144 ) 4

𝐶(𝑘) = 100(172) 𝐶(𝑘) = 17200

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2.4

1. Del capítulo 12, Problemas 12.6 (Pág. 567), realice los problemas 11, 14 y 17. 11) Estime con precisión de tres decimales, la raíz cúbica de 73. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 73 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 𝒇(𝑿𝒏) = 𝑿𝒏𝟑 − 𝟕𝟑 𝑓 ′ (𝑋𝑛) = 3𝑋𝑛2

n 1 2 3

Xn 4 4.187 4.179

Xn+1 4.184 4.179 4.179

𝟒 − (𝟒𝟑 − 𝟕𝟑) 𝒙𝟏 = = 𝟒, 𝟏𝟖𝟕 𝟑(𝟒)𝟐 𝟒. 𝟏𝟖𝟕 − (𝟒. 𝟏𝟖𝟕𝟑 − 𝟕𝟑) 𝒙𝟐 = = 𝟒, 𝟏𝟕𝟗 𝟑(𝟒. 𝟏𝟖𝟕)𝟐

𝒙𝟑 =

𝟒. 𝟏𝟕𝟗 − (𝟒. 𝟏𝟕𝟗𝟑 − 𝟕𝟑) = 𝟒, 𝟏𝟕𝟗 𝟑(𝟒. 𝟏𝟕𝟗)𝟐

14) Encuentre con precisión de tres decimales, todas las soluciones reales de la ecuación Inx = 5 – x 𝐼𝑛𝑥 – 5 + 𝑥 = 0 𝐹(𝑥) = 𝐼𝑛𝑥 – 5 + 𝑥 𝐹 (4) = 𝐼𝑛 4 – 5 + 4 = −0,39

𝐹 (𝑥) = 𝐼𝑛 𝑥 – 5 + 𝑥 𝑓 (𝑥𝑛) = 𝐼𝑛 𝑋𝑛 – 5 + 𝑥𝑛 𝑓1 (𝑥) =

1 +1 𝑥

𝑋𝑛 + 1 = 𝑋𝑛 −

𝑋𝑛 + 1 = 4 −

𝑋𝑛 + 1 = 3,693 −

N 1 2 3

𝑓1 (𝑥𝑛) =

1 +𝑦 𝑥𝑛

𝐼𝑛 𝑋𝑛 − 5 + 𝑋𝑛 1 𝑥𝑛 + 1

𝐼𝑛 (4) − 5 + 4 = 3,691 1 + 1 4

𝐼𝑛 (3,693) − 5 3,693 = 3,693 1 + 1 3,693 Xn 4 3,691 3,693

Xn+1 3, 691 3 , 693 3 , 693

17) Equilibrio: Dada la ecuación de oferta y la ecuación de demanda , use el método de Newton para estimar la cantidad de equilibrio del mercado. Escriba su respuesta con tres decimales de precisión. 𝑝=

100 𝑞2 + 1

𝑝=𝑝 2𝑞 + 5 =

100 =0 𝑞2 + 1 100 𝑞2 + 1

𝑓 (𝑞) = 2𝑞 + 5 =

𝐹 (3) 6 + 5 − 10 = 1

𝑓 (𝑞 ′ ) 2𝑞 + 5 −

𝑓 ′ (𝑞) = 2

100 𝑞2 + 1

− (𝑞 2 + 1)(0) − (100)(2𝑞) ( 𝑞 2 + 1)2

𝑓 ′ (𝑞) = 2 +

200 𝑞 ( 𝑞 2 + 1)2

𝑓 (𝑞𝑛) = 2 𝑞𝑛 + 5 −

𝑞𝑛 + 1 = 𝑞𝑛 +

100 𝑞𝑛2 + 1

𝑓 (𝑞𝑛) 𝑓(𝑞𝑛)

𝑞𝑛 + 1 = 𝑞𝑛 + 2𝑞𝑛 + 5 − 2+

200 𝑞𝑛 (𝑞𝑛2 + 1 )2

100 𝑞𝑛 + 1

100 (3)2 + 1 = 2,875 200 (3) 2+ (32 + 1)2

2(3) + 5 − 𝑞1 = 3 +

100 (2,875)2 + 1 = 2,880 2 + 200 (2,8752 + 1)2

2 ( 2,875) + 5 − 𝑞2 = 2,875 +

100 (2.880)2 + 1 = 2,880 200 (2.880) 2+ (2.8802 + 1)2

2 (2.880 ) + 5 − 𝑞3 = 2,880 +

n 1 2 3

qn 3 2.875 2.880

Qn+1 2.875 2.880 2.880

2. Del capítulo 14, Problemas 14.1 (Pág. 630), realice los problemas 37 y 40: 37) Utilidad: Suponga que la utilidad obtenida al producir q unidades de cierto artículo es . Por medio de diferenciales, encuentre el cambio aproximado en la utilidad si el nivel de producción cambia de a . Encuentre el cambio verdadero. 𝑃 = 397𝑞 − 2,3𝑞 2 − 400 𝑑𝑝 = 397 − 4,6𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑝 = ( 397 − 4,6𝑞) 𝑑 𝑑𝑝 = ( 397 − 4, 6 (90)(1) 𝑑𝑝 = −17

𝑝 (90) = 397 (90) − 2,3 (90)2 − 400 = 16700 𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙 = 16700 − 16680.7 = −19.7

46) Demanda: Dada la función de demanda, use diferenciales para estimar el precio por unidad cuando se demandan 40 unidades.

200

𝑝=

√𝑞 + 8

𝑝 (𝑞 + 𝑑𝑞) = 𝑝 + 𝑑𝑝 𝑞 = 41 𝑑𝑞 = −1

𝑑𝑝 = 𝑑𝑞

(√𝑞 + 8 ) (0) − 200 (

1 ) 2√𝑞 + 8

( √𝑞 + 8)2

𝑑𝑝 100 √𝑞 + 8 = = 𝑞+8 𝑑𝑞 √𝑞 + 8 ( 𝑞 + 8) 1 𝑑𝑝 = [−

𝑝 ( 41 − 1 ) =

100 √𝑞 + 8 (𝑞 + 8)

200 √𝑞 + 8

𝑝 (40) =

+ [−

] 𝑑𝑞 100

√𝑞 + 8 (𝑞 + 8)

200 √49 (49)

𝑃 (40) = 28.86

] 𝑑𝑞

200

𝑝=

√𝑞 + 8

𝑞 = 41 𝑑𝑞 = −1

𝑑𝑝 = 𝑑𝑞

(√𝑞 + 8 ) (0) − 200 (

1 ) 2√𝑞 + 8

( √𝑞 + 8)2

𝑑𝑝 = [−

100 √𝑞 + 8 (𝑞 + 8)

] 𝑑𝑞

𝑝 ( 𝑞 + 𝑑𝑞) = +𝑑𝑝 𝑝 ( 41 − 1 ) =

200 √𝑞 + 8

𝑝 (40) =

+ [−

200 √49 (49)

100 √𝑞 + 8 (𝑞 + 8)

(−1)

𝑃 (40) ≈ 28.86

] 𝑑𝑞