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Ejercicios Lógica (ALG 111-TRC 100) Juan Carlos García Navas Abril 2010

1. Lógica Matemática 1. Se dan dos proposiciones: p: « el número 3 es divisor de 174» y q: « llueve» . ¿En qué consisten las proposiciones: a) (p _ q);

b)

p =) q;

c) p ()

q

2. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) No es verdad que 3 + 3 = 9 si y solo si 5 + 5 = 10; b) La sede del congreso está en Quito o está en Macas; 3. Realice las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. a) [(p _ q) ^

b)

(p ^ q) () r] =)

[r =) (p _ r) ^

4. La proposición (p_ a) ( b) c)

q) )

q;

(p ^ r)] _ [(p _ q) =)

p];

p es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

p ^ q) ) p;

(p ^ q) ) p; p ^ (q ) p).

5. La proposición « Luis juega, ya que Marco duerme y Ana estudia» es falsa. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: Ejercicios tomados del Texto Matemáticas Superiores, primera parte, Edwin Galindo

a) Si Luis juega, Marco duerme; b) Marco duerme, cuando Luis juega o Ana estudia. 6. Si p, q, r son proposiciones. Escriba las negaciones de las siguientes proposiciones: c) (p ^ q) ^ r;

d) (p ^ q) =) p; e) [(

p_

q) ^ q] =) (

p);

7. Determine en qué casos es verdadera la proposición es la proposición « 2 es un número impar» .

[(p =) q) _ r] () p, sabiendo que r

8. Si q es la proposición « 2+1>3» , ¿para qué valores de p y r la siguiente proposición es falsa? (p^

q) =) f[(

r^

q) _ p]^

[(

r^

q) ^ p]g:

9. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías: a) (p ^ p) () p;

b) [(

p =) q) ^ (

q =) r)] =) (p =) r).

10. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados: a) El cuadrado de todo número real es positivo; b) Hay números reales que no son múltiplos de 3. 11. Niegue las proposiciones: a) (8z) (z 2

0);

b) (8x)(9y) (x + y es número par). 12. Determine el valor de verdad de las siguientes a…rmaciones y niéguelas: a) 8x 2 R, x2 = x;

b) 9x 2 R, 2x = x; c) 8x 2 R, x2

d) 8x 2 Z,

x2

x;

x;

13. Sea U = f1; 2; 3; 4g el conjunto universo. Determine el valor de verdad de cada enunciado: a) 8x 2 U, x + 3 < 6;

b) 9x 2 U, 2x2 + x = 15. 14. Dado el conjunto A = f0; 2; 4; 6; 8g, indique el valor de verdad de las proposiciones: a) 8x 2 A, x + 4 < 10;

b) 8x 2 A, 9y 2 A, x

y.

15. Dados los conjuntos A = fx : x2

5x + 6 = 0g

y

B = fx : (x

5)(x

7) = 0g

Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (8x 2 A), x > 5;

b) (9x 2 B), x

5 = 0 =) (8x 2 A), x es par.

16. Dados los conjuntos A = f0; 1; 2g y B = f1; 2g. negación de la proposición (8x 2 A)(9y 2 B) (y = x2

Determine el valor de verdad y escriba la

2x + 2) _ (9x 2 B)(8y 2 A)(y + 1 6= (2x

1)(x

1)):

17. Dé el valor de verdad de la siguiente proposición (justi…que): (8x 2 R)(9y 2 R)(x + 1 6= y ^ x y 6= 12):

2. El Sistema de los Números Reales 1. ¿Es posible encontrar x de tal manera que se veri…que las siguientes igualdades? a) x 2 N: i. 2x

6 = 0, ii. 15x = 7, iii. 3x + 12 = 0; p b) x 2 Q+ : i. 3x = 0, ii. 5x + 7 = 0, iii. 3x = 1 + 2; p p 7 1 1 c) x 2 R: i. 5 + x + 2 = 0; 2 x = 1 + 2, ii. 4 3 12 p p 3 14 d) x 2 Z; i. 3x + 1 = 0, ii. x = , iii. 1 + 2 x + 3 2 = 3. 4 4 2. ¿Cuáles de los números 3 ; 7

28 ; 11

5 ; 3

1; 7;

p

p

3;

4;

p

son racionales? Represente cada número racional en la forma 3. Construya los segmentos de longitud 4. A cuánto es igual !2500 p 5+1 a) 2

p

5 1 2

!2500

p

2,

p

3,

;

b)

47 14

60 25 76 49 38 45 5 23 0; 58 16 2 14

332 7 0; 75

5,

p

b)

5. Calcule: a)

p

12 ; 55 20 ; 3

5;

0;

0; b 1

m , donde m 2 Z y m 2 N. n

7. p !621 1+ 3 p 2

1

p !621 3 p . 2

5 2 3 3+ + 4 4 c) 1 1 1 2 2 4 2 1+ 4 3+ 6 5+ 7 ; j) 2 1 4 3 6 5 7 1 1; 01b 1::: 2 5 k) 3 1 0; 8b 8::: 2

0; 4;

0; 75

1 2

3

+

1 4

0; 35

;

5 4

0; 04 0; 11

1 2

o)

2149 ; 3

2

3 4

d)

1 2 5 3

1)2

(0; 25

2 6

1 8

0; 3b 3 : : : 0; 6b 6:::

1 1

0; 16b 6:::

5

3 + 0; 5 3 + 71 ; 0; 4 2 2

1

1+

1+ e)

1

1 2 ;

1

1

1 2

1 0

B1 B l) B + @2

1

1C C C 3A

1 1 2

1 5

2

1 4 0; 3b 3:::

1+ 2 3

0; 4b 4:::

3 2

;

6. ¿Qué se puede deducir de las siguiente igualdades: a) xy(x

y) = 0;

b) (x + y)(x c) (b

c)(c

y) = 0; a)(a

b) = 0.

7. Exprese los siguientes números en potencias de 2 y de 3: a) b)

( 2)3 (16)

3

( 4)4 (54) ( 2)4 (8)

3

;

2

33

( 8)4 (54)

3

33

3

3

;

8. Dada la fórmula que se indica, despeje la variable que se especí…ca, con el empleo de las propiedades de los números reales. También indique para qué valores la expresión está de…nida. a) I = P rt (interés simple), despeje P ; r2 h (volumen de un cono), despeje h; b) V = 3 gt2 c) S = + V0 , (distancia de caída de un cuerpo), despeje t; 2 1 1 1 1 d) = + + (tres resistores conectados en paralelo), despeje R2 R R1 R2 R3 q (ley de Amdahl para supercomputadoras), despeje q; e) S = q + p(1 q) r r p(1 p) N n f) E = z (error en una muestra estadística), despeje n. n 1 N 9. Resuelva las siguientes inecuaciones: a) x

2>3

b) 8; 2 c) 2

x

2x; 4; 3 + x;

x ; h) 3 6 x 1 i) + 2; 5 > 7 3; 6x; 2 3 7x + 2; 1 . j) 8x + 5 4 g)

x3

10. Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones: a) jx

b) jx

c) j13

d) j13

2j = 3; 2j

3;

xj = 1; xj

4;

e) jx + 4j = 5; f) jx + j2xj

4j = j 12j;

3. Expresiones Algebraicas y Polinomios Expresiones algebraicas 1. Reduzca las siguientes expresiones, mediante términos semejantes: a) [2a

(b + c)]

[ 5a

(b

b) [2y

(x + z)]

[ (x

3z)

c) 3x

y

y)(2a

2(x 3b)

y

[6a

5y]

[ (2x + y) + (y

d) 5(x + y + z) e) (x

3c)] z)

z)

(b + 3c)];

[6y

(2x

(x + 3z)]; z)];

3(2x + 3y

(x + y)(2b

3a)

5z);

(5x + y)(a

b).

2. Simpli…que y halle el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para a = a = 2 y a = 3: a) b)

a2

(a + 2)2 a2 4a2 4

2a + 1 a 3

a2 2a + 4 4a2 1

2a2 a3

a 9

a2

3 a

a+2 2a2 + 2

;

1 a2

4 + 2a

a+4 . 3 6a

3. Simpli…que las siguientes expresiones algebraicas a) 3(x b) 18

2)

2(x

1);

5(x + 2)

3(x + 1);

c) 6(x 2) 13(x 3) 2x + 4; 0; 75 x 2x + 4 13 d) x ; 3 1; 5 3 0; 25 3x 3 x; e) 0; 5x 3 + 17 2 4 f) 2[a 2(b a)] 3[b 4(2a 3b)] + 2a; g) 6f2a 3[b 2(c + a)] 3bg 4fb 1 3 h) [c 4(b c) 2b] 0; 5 b 4 2 5a a 1 2a 4b k) 2 0; 4 8 5 15 4 6

2[a c 3 b 10

4(c

a)

2c] + 3ag; 4c 2 2c 0; 75 b ; 3 5 a b 2a 0; 2 b ; 3 4

4. Sean a, b, c 2 R. Veri…que las siguientes igualdades: a)

a+b 2

2

a 2

b) (a + b + c)3 c) (a

2

= ab;

3(a + b)(b + c)(c + a) = a3 + b3 + c3 ;

b)2 + (b

d) (a + b)2 + (a e) (m + n)2

b

(m

c)2 + (c

a)2

2

= 2 (a

b)2 = 2 a2 + b2 ; n)2 = 4mn;

b)4 + (b

c)4 + (c

a)4

2, a = 0,

5. Complete las identidades: )2 =

a) (x +

+

+ 25;

)2 =

b) (3a

12ax +

)2

c) (

=

25x2

; +

9y 2 ;

6. Realice la suma, la diferencia y el producto de los siguientes polinomios: a) P (x) = x2 + 1, Q(x) = x2 2x2

b) P (x) =

+ 3x

1;

1, Q(x) = x + 4;

c) P (x) = xm + 1, Q(x) = xm d) P (x) =

xm

e) P (x) =

ax2m

+ 1, Q(x) = 2axm

+

xn

1; + 1;

+ 1, Q(x) = 3axm + ax2m + x3m ;

f) P (x) = 6x + 6x2 + 7, Q(x) = 8

x2 + x4 .

7. Determine los valores de las constantes a, b y c de manera que se veri…quen las igualdades. a) x4 + 2x3

16x2

b) 3x5

3x + 1 = x2 + 1

x4

2x + 15 = (x + 1) x3 + ax2 + bx + c ;

c) x3 + ax2 + bx + 2 = x2

3x3 + ax2 + bx + c ;

3x + 1 (x + c).

8. Realice las siguientes divisiones de polinomios. Indique el cociente y el residuo. a) x2 + 9x b)

x3

7 por x

5x2

+x

3;

8 por

x + 4;

c) 36x7 + 42x6 + 91x5 + 34x4 + 51x3 + 88x2 + 17x + 96 por d) 51x6

39x5 + 29x4

18x3 + 101x2

9x3

x2 + 12x + 8;

71x + 61 por 4x3 + 2x2 + x + 4.

9. Dado un polinomio mónico P (x) de cuarto grado, halle P (x) y Q(x) de modo que: P (x) = x2 Q(x)

2x + 1

Q(x) + R(x),

(x + 1) da un residuo igual a 1,

Q(1) =

1,

R(x) =

(x

1)3 .

10. Determine el valor de m de suerte que sean divisibles: a) 4x2 b)

x4

c) x3

6x + m por x 5x2

+ 4x

m por 2x

max2 + ma2 x

d) 3x3 + 7x2 + mx

3;

a3

1;

por x2

ax + a2 ;

3 sea divisible por x + 3;

11. Encuentre los valores de las constantes m, n y p para que x5 divisible por (x 3)(x 1)(x + 1).

2x4

6x3 + mx2 + nx + p sea

12. ¿Qué valor debe tomar k para que el polinomio x6 + 2x5 + kx4 divisible por x3 + 2x2 3? 13. Si el polinomio 2x4

mx3 + x2

nx + 2 es divisible por (x

x3 + 2(8 + k)x2 + 6x

1) y (x + 2), halle el valor de n

14. Halle el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: a) x4 + x3 b)

x5

c) x6 d)

x5

+

x4

3x2 x3

2x

7x4 + 8x3 2x4

+

x3

1 y x3 + x2

4x

+

1 y

3x4

+

7x + 7 y 3x5 7x2

x

2x3

+

x2

1; + 2x

7x3 + 3x2 3x4

12x + 10 y

15. Se dan dos polinomios P (x) = x4 + ax3

6x3

2; 7;

+ 5x2 + 2x

x + 1 y Q(x) = x3 + (a

2; 1) x2 + x + 1.

a) Halle el valor de a para que el M.C.D. de los polinomios sea x + 1; b) Encuentre el m.c.m. 16. Dados los polinomios P (x) = x4 + x3

x2 + x

2 y Q(x) = x4

x3

x2

x

a) Halle el M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios; b) Determine los x tal que

x2 + 2x + 2 P (x)

x2 . Q(x)

Expresiones racionales 17. Simpli…que las siguientes expresiones e indique para qué valores están de…nidas: a) b) c) d) e) f) g) l) q) v)

2x2 + 4x ; 6x2 2x 2x3 2x ; 2 x 3x + 2 x2 + x 2 ; 4x2 + 8x 9x 3 ; 2 3x 13x + 4 4x2 9 ; 2x2 x 3 c4 3c2 + 2 ; c5 + 1 a2 b2 c2 + 2bc ; b2 c2 a2 2ac a6 b12 ; a2 + ab2 + b4 x2 1 ; (1 + ax)2 (x + a)2 6m2 n2 3m3 n 3mn3 ; mn3 m3 n

18 sea

2.

m.

18. Determine los valores de las constantes a, b, c y d de manera que se veri…quen las igualdades. x3 + 2x 1 a bx + c d = + + ; 3 x x x x 1 x+1 a b c x2 + 4x 1 = + + ; b) 3 2 x + 9x + 23x + 15 x+1 x+3 x+5 a)

19. Efectue las operaciones que se indican: a) b) c) h) k)

1 1 ab + ; a b c 1 1 + 1; 1 a 1+b 1 x x2 + 1 + + 2 ; x + 3 x + 1 x + 4x + 3 m2 mn 2m2 m2 n + n3 n3 mn2 + m2 n m2 mn 2m2 2 3 3 2 m n+n n mn + m2 n

m3 m3

; ;

20. Efectue las operaciones que se indican: a)

3x

x2

y2

; x y 9 a2 b2 15b b) ; 5 a+b am + m2 2bm cm2 ; c) 2b cm (a + m)2 l) m)

a2

x+

a+b 2(a b)

2x2 a2 + x

a2 + x ;

a b 2b2 + 2 2(a + b) a b2

a

b 2b

;

21. Efectue las operaciones que se indican: 5x 3x ; 3x 3 x 1 (x + y)2 x+y b) ; x y (x y)2 a)

27a3 64b3 9a2 + 12ab + 16b2 ; b2 4 b2 + 4b + 4 3 2 1 y2 p) ; 2x y 2x + y 2x 5y 4x2 y 2 4 1 6 1 2 3 t) 1 + 2+ 3 . 2 x x x x x x3

h)

22. Indique para qué valores de las variables están de…nidas las fracciones compuestas y simplifíquelas.

2a4 8ab ; 2 + a2 x2 a2 a2 x2 x a ; + a x a3 x3 a3 + x3 ; a x 2 a ax + x2 x y 1 x+y ; x+y 1 x y 1+a 1 a a2 1 a 1+a ; 1 1+a 1 1 1 a 1+a 5x x 3+ 2x 6 ; 15 2x 1 + x 3 2m2 2 m+ 2+m; 4a + am2 m2 x 4x 1 x 1+x + 2 1 x+x 1 + x + x2 ; 1+x 1 x 1 + x + x2 1 x + x2 8

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

4. Ecuaciones 1. ¿Pertenece el conjunto f1; 2g al conjunto de todas la soluciones de las siguientes ecuaciones: 1. 2x + 1 = 3(x 2. (x 4.

(x

7);

1)(x + 2) = 0;

3. 2x + x2 x6

2)

+

7x3

3 = 0; = 8;

2. Construya un polinomio con coe…cientes reales y de grado mínimo que tenga: 1. la raíz doble 1 y las raíces simples 2, 3 y 1 + i; 2. la raíz triple

1 y las raíces simples 3 y 4;

3. la raíz doble i y la raíz simple 1 i; p p 2 y 1 + 2i; 4. las raíces simples 1

3. Si (x

3)(y + 5)(z

7) = 0, ¿a cuánto es igual x + y + z?

4. ¿Para qué valores del coe…ciente m cada una de las ecuaciones tiene dos raíces iguales: 1. 4x2 + mx + 9 = 0; 2. x2

2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0;

5. Resuelva las siguientes ecuaciones, analice las soluciones e identi…que para que números reales las expresiones no están de…nidas: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

3x 5 = 15; x 1 x x x + + = x + 3; 3 6 x 3x 5x + = 15 2 4 6 (x + 3)(5x 2) = (x + 3)(x + 2) 1 1 2 y y y 2 = ; 6 3 3 5 3 a a b b 1 + 1 = 1; b x a x

x2 + 9;

3 + 2x 5 + 2x 4x2 2 =1 ; 1 + 2x 7 + 2x 7 + 16x + 4x2 x 1 2x + 3 mx = ; 8. m 2 3 4 1 m 1 9. = ; 2 2 1 m x 1 + mx 1 mx 10. x3 3x2 x + 3 = 0; 7.

11. z 3 + 11z 2 + 28z = 0; 7 6 3 + = ; 12. x+1 x+2 x 1 1 x 3 13. 2 = 2 x 3x 4 x x 2 p p 14. 16 + x + 4 = 5; p p 15. 5 + 3 + x = 3; p 2x 5 16. p = x + 2; x+2 p p 17. x 4 + x + 12 = 14; p p p 18. 4x 3a x + 6a = x

3a;

6. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 1.

4x + 3y 3x 5y

28 = 0; 21 = 0:

2.

kx y = k; x + ky = k 2 :

8 > >
x 1 1 > : = : y+2 2 4.

8