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1. Un profesor de ingeniería adquiere una computadora nueva cada dos años. El profesor puede elegir de entre tres modelos: Ml, M2 y M3. Si el modelo actual es Ml, la siguiente computadora puede ser M2 con probabilidad .2, o M3 con probabilidad .15. Si el modelo actual es M2, las probabilidades de cambiar a Ml y M3 son .6 y .25, respectivamente. Pero si el modelo actual es M3, entonces las probabilidades de comprar los modelos Ml y M2 son .5 y .1, respectivamente. Represente la situación como una cadena de Márkov.

Matriz de transición: M1

M2

M3

M1

0.65

0.2

0.15

M2

0.6

0.15

0.25

M3

0.5

0.1

0.4

 

Proceso de Markov: definido por el gráfico (FSM) (FSM: Finite Stochastic Machine) Cadena de Markov: cualquier recorrido aleatorio en el FSM

Proceso de Markov: Si el modelo actual es M1 y; πo = 0.65 0.20 0.15 m = 2 porque el profesor compra cada 2 años Entonces dentro de 4 años πm = πo Pm 2

πm = 0.65 0.20 0.15 x

0.65 0.2 0.15 0.6 0.15 0.25 0.5 0.1 0.4

πm= (0.61,0.17,0.22)

0.4

0.15

0.65 0.2 M1

0.25 5

M2

M3

0.1

0.6

0.5

2. Una patrulla policiaca vigila un vecindario conocido por sus actividades pandilleriles. Durante un patrullaje hay 60% de probabilidades de llegar a tiempo al lugar donde se requiere la ayuda; si no sucede algo, continuará el patrullaje regular. Después de recibir una llamada, hay 10% de probabilidades de cancelación (en cuyo caso el patrullaje normal se reanuda), y 30% de probabilidad de que la unidad ya esté respondiendo a la llamada anterior. Cuando la patrulla llega a la escena del suceso, hay 10% de probabilidades de que los instigadores hayan desaparecido (en cuyo caso reanuda su patrullaje), y 40% de probabilidades de que se haga una aprehensión de inmediato. De otro modo, los oficiales rastrearán el área. Si ocurre una aprehensión, hay 60% de probabilidades de trasladar a los sospechosos a la estación de policía, de lo contrario son liberados y la unidad regresa a patrullar. Exprese las actividades probabilísticas de la patrulla en la forma de una matriz de transición S1- Patrulla en vigilancia S2 -Patrulla respondiendo a una llamada S3 -Patrulla en la escena de la llamada S4 -Aprehensión realizada S5 -Transporte a la estación de policía

S1

S2

S3

S4

S5

S1

0.4

0.6

0

0

0

S2

0.1

0.6

0.3

0

0

S3

0.1

0

0.5

0.3

0

S4

0.4

0

0

0.6

0

S5

1

0

0

0

0

Probabilidades iniciales:

S1 0

S2 0

S3 0

S4 0

S5 0

Si, m= 2 segundo de patrullaje y S4= aprehensión Πm= Π° Pm Πm= [0 0 1 0 0] x

0.40

0.60

0.00

0.00

0.00

0.10

0.60

0.30

0.00

0.00

0.10

0.00

0.40 1.00

0.00 0.00

0.50 0.00 0.00

0.40 0.60 0.00

0.00 0.00 0.00

Πm= (0.25 0.06 0.25 0.20 0.26)

La probabilidad de que se haga una aprehensión en el segundo patrullaje es de20%

3. Cyert and Associates (1963). Banco 1 ofrece préstamos los que o se liquidan cuando se vencen o se retrasan. Si el pago sobre un préstamo se retrasa más de cuatro trimestres (1 año), Banco 1 considera el préstamo como una deuda incobrable y la cancela. La siguiente tabla proporciona una muestra de la experiencia anterior de Banco 1 con préstamos.

Definición de variable Xi: Estados de préstamos del Banco 1. Estados E0: Sin retraso. E1: 1 trimestre de retraso E2: 2 trimestres de retraso E3: 3 trimestres de retraso E4: 4 trimestres de retraso E5: Deuda pagada E6: Incobrable  o

Matriz de probabilidades de transición

P=

Suponga que actualmente Banco 1 tiene préstamos pendientes que ascienden a $500,000. De éstos, $100,000 son nuevos, $50,000 están retrasados un trimestre, $150,000 están retrasados dos trimestres, $100,000 están retrasados tres trimestres, y el resto están retrasados más de tres trimestres. ¿Cuál sería la situación de estos préstamos después de dos ciclos de préstamos?

Multiplicamos a la matriz vector resultante por la situación de préstamo actual que es 500 000 dólares. 500 000 x (0.00 0.00 0.03 0.05 0.09 0.53 0.30)

La situación después de dos ciclos de préstamos es: Sin retraso: 0 dólares. 1 trimestre de retraso: 0 dólares. 2 trimestres de retraso: 15 000 dólares. 3 trimestres de retraso: 25 000 dólares. 4 trimestres de retraso: 45 000 dólares. Deuda pagada: 265 000 dólares. Incobrables: 150 000 dólares