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Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

´ Algebra Lineal – Taller No 11 Instrucciones. Recuerde que los ejercicios marcados con * indican un mayor nivel de dificultad que el resto y es importante que el estudiante ataque una razonable cantidad de ellos por s´ı mismo.

Markov 1.

Suponga que el clima de una regi´ on particular se comporta de acuerdo con una cadena de Markov. Espec´ıficamente, suponga que la probabilidad de que ma˜ nana ser´a un d´ıa h´ umedo es de 0.662 si hoy es h´ umedo y de 0.250 si hoy es seco. La probabilidad de que ma˜ nana sea un d´ıa seco es de 0.750 si hoy es seco y de 0.338 si hoy es h´ umedo. (i) Escriba la matriz de transici´ on para esta cadena de Markov (ii) Si el lunes es un d´ıa seco, ¿cu´ al es la probabilidad de que el mi´ercoles sea h´ umedo? (iii) A largo plazo ¿cu´ al ser´ a la distribuci´ on de d´ıas secos y h´ umedos?

2.

Se han acumulado datos acerca de las estaturas de ni˜ nos en relaci´on con sus padres. Suponga que las probabilidades de que un padre alto tenga un hijo alto, de mediana o baja estatura son de 0.6, 0.2 y 0.2 respectivamente. Las probabilidades de que un padre de talla mediana tenga un hijo alto, de mediana o baja estatura son de 0.1, 0.7 y 0.2 respectivamente. Finalmente, las probabilidades de que un padre bajo tenga un hijo alto, de mediana o baja estatura son de 0.2, 0.4 y 0.4 respectivamente. (i) Escriba la matriz de transici´ on para esta cadena de Markov. (ii) ¿Cu´ al es la probabilidad de que una persona baja tenga un nieto alto? (iii) Si 20 % de la poblaci´ on actual es alta, 50 % es de estatura media y 30 % es de estatura baja ¿cu´ al ser´ a la distribuci´ on en tres generaciones? (iv) Si los datos del literal (iii) no cambian con el tiempo, ¿qu´e proporci´on de la poblaci´on ser´a alta de estatura mediana y baja a largo plazo?

3.

Cada a˜ no el 2 % de la poblaci´ on joven pasa a ser poblaci´on vieja y el 3 % de la poblaci´on vieja muere. No se registran nacimientos. Encuentre el estado estacionario para el proceso      j´ovenes 0,98 0,00 0 j´ ovenes  viejos  =  0,02 0,97 0   viejos  0,00 0,03 1 fallecidos k+1 fallecidos k

4.

Se han programado robots para recorrer el laberinto que se muestra en la figura (a) y en cada uni´on eligen qu´e camino seguir en forma aleatoria. (i) Construya la matriz de transici´ on para la cadena de Markov que modela esta situaci´on. (ii) Suponga que comienza con 15 robots en cada uni´on. Encuentre la distribuci´on de estado estacionario de robots. Suponga que a cada robot le toma el mismo tiempo recorrer la distancia entre dos uniones adyacentes.

5.

1

2

4

3

Complete la u ´ltima fila de la matriz P para que sea una matriz de Markov y encuentre su vector estacionario.   0,7 0,1 0,2 P =  0,1 0,6 0,3 

Escuela de Matem´ aticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın.

Grafos y Digrafos 6.

Determine la matriz de adyacencia de los grafos (a), (b) y (c) de la siguiente figura. v1

v2 v1

v4

v3

v2

v3

(a) Grafo 1

7.

8.

v1

v4

v5

v4

(b) Grafo 2

Dibuje un grafo que tenga la matriz de adyacencia  0 1 1  1 0 0 (i)   1 0 0 1 0 0

dada  1 0   0  0

v2

v3

v5

(c) Grafo 3



0  1 (ii)   0 1

1 1 1 1

 1 1   1  0

0 1 0 1

Determine la matriz de adyacencia de los digrafos (d) y (e) y (f) de la siguiente figura.

v1

v2

v1

v1

v2

v4

v4

v2

v5

v3

v4

v3

v3 (d) Digrafo 1

9.

(e) Digrafo 2

Dibuje un digrafo que tenga la matriz de adyacencia dada 

0  1 (i)   0 1 10.

(f) Digrafo 3

1 0 1 0

0 0 0 1



0 1   0  1

   (ii)   

0 0 1 1 1

1 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 1 1 0 0

1 0 1 0 0

     

Utilice potencias de matrices para determinar el n´ umero de trayectorias de la longitud especificada entre los v´ertices dados. Sugerencia. Utilice MATLAB para ejecutar sus c´alculos de potencias. (i) Longitud 2, v1 , v2 , grafo (a) problema 6. (ii) Longitud 3, v1 , v3 , grafo (c) problema 6.

11.

El digrafo de la figura 1 muestra los resultados de un torneo con seis jugadores: P1 , P2 , . . . , P6 . Utilice matrices de adyacencia para clasificar a los jugadores. En primera instancia determinando solamente las victorias y, en segunda instancia, combinando las victorias con las victorias indirectas. Sugerencia. Utilice MATLAB para hacer sus c´ alculos.

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P2

P3

P1

P4

P6

P5

Figura 1: Grafo Torneo

Ortogonalidad 12.

Determine cuales de los siguientes conjuntos de vectores son ortogonales       −3 2 1  1 ,  4 ,  −1  . 2 1 2       2 −1 3  −2  .  2 ,  1 , 4 1 −1       1 −1 1  1   1   0         1 ,  0 ,  1 , 0 −1 −1

 0  −1     1 . 1 

13.

Demuestre que los conjuntos de vectores son una base ortogonal de R2 o R3 (de acuerdo con la dimensi´ on de los vectores) y posteriormente escriba el vector w como combinaci´on lineal de la base. Sugerencia. Utilice proyecciones ortogonales para evitar c´ alculos pesados.       4 1 1 v1 = , v2 = , w= . −2 2 −3       3 −2 1 v1 = , v2 = , w= . 1 6 2         1 1 1 1 w =  2 . v1 =  0  , v2 =  2  , v3 =  −1  , −1 1 1 3

14.

Determine si las siguientes son matrices ortogonales, de serlo halle la inversa  1 1 " 1 #   2 3 √ √1 0 1  1 2 2 − 31  2 1 1 1 0 − √2 √2 − 21 0     

1 2 1 2 − 21 1 2

− 12 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 − 12

1 2 − 21 1 2 1 2

    



1

  0    0  0

0

0

2 3 − 32 1 3

√1 2 √1 2

0

√1 6 √1 6 − √16 √1 2

2 5 2 5 4 5

  

      



cos θ sin θ  cos2 θ sin θ

− cos θ sin θ 0

 − sin2 θ − cos θ sin θ  cos θ

15.* Sea Q una matriz ortogonal, demuestre que cualquier matriz obtenida reordenando las filas de Q es tambi´en ortogonal.

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16.

Sea Q ∈ Rn×n una matriz ortogonal y u, v vectores unitarios de Rn , demuestre que el ´angulo entre u y v es igual al ´ angulo entre Qu y Qv, es decir que Q preserva ´angulos. Indicaci´ on. Recuerde que si ~x, ~y son vectores de Rn , T entonces ~x ~y = ~x · ~y .

17.

Sea A una matriz de 3 × 3. (i) Si A tiene tres columnas ortogonales, cada una de longitud 4, ¿que matriz es AT A? (ii) Si A tiene tres columnas ortogonales, de longitudes 1, 2 y 3, ¿que matriz es AT A?

18.* De un ejemplo en cada uno de los siguientes casos. (i) Una matriz A cuyas columnas sean ortonormales pero que AAT 6= I. (ii) Dos vectores ortogonales de Rn que no sean linealmente independientes. 19.

Sea Q una matriz ortogonal de n × n. Demuestre que sus filas son una base ortonormal de Rn .

20.

Sea A ∈ Rn×n una matriz sim´etrica y ortogonal, demuestre que sus valores propios deben ser 1 o −1.

Gram-Schmidt 21.

Aplique el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortogonal y luego normalice la base para lograr una base ortonormal         1 1 1 2 (a) ~x1 = , ~x2 = (b) ~x1 = , ~x2 = 1 2 3 −2           3 1 0 0 1 (d) ~x1 =  1  , ~x2 =  4  (c) ~x1 =  1  , ~x2 =  1  , ~x3 =  0  2 0 1 1 1

 3 22. Encuentre una base ortogonal de R3 que contenga al vector  1 . 5  

  1 2  1   0 4   23. Encuentre una base ortogonal de R que contenga a los vectores   0 y 3 2 −1

  . 