• Author / Uploaded
• gabriela7007

Citation preview

Markov

Ejercicio Nº 1: Suponga que un jugador tiene entre $1 y $3, y que en cada jugada gana $1 con probabilidad p o pierde $1 con probabilidad (1 - p). El juego termina cuando el jugador acumula $3 o bien cuando quiebra. Este modelo es una cadena de Markov en la que los estados representan el dinero que tiene el jugador, esto es, $0, $1, $2 o $3. Hallar la matriz de probabilidad de transición de un paso. P= 0

1

2

3

0

1

0

0

0

1

1-p

0

0

0

2

0

1-p

0

p

3

0

0

0

1

Ejercicio Nº 2:

En el ejercicio 1, suponiendo que el jugador en un determinado momento posee $1, hallar: a) La probabilidad de que tenga $2 al cabo de 2 jugadas. b) La probabilidad de que tenga $3 al cabo de 2 jugadas. b) La probabilidad de que quiebre al cabo de 2 jugadas.

0

1

2

3

0

1

0

0

0

1

1-p

(1-p)p

0

P2

2

(1-p)(1-p

0

1-p

p

3

0

0

0

1

Ejercicio Nº 3:

En el ejercicio 1, suponiendo que antes de empezar a jugar las probabilidades de que el jugador tenga $0, $1, $2 y $3 son 0, p, 1-p y 0, respectivamente, hallar el vector de probabilidades de estado luego de una jugada e interpretar cada uno de sus elementos. P= [0 p (1-p) 0 ] Vector de prob luego de una jugada: P(1) = pP Ejercicio Nº 4: Vector de prob luego de 3 jugadas : p(3)= p.P3 Igual que el ejercicio anterior, pero después de tres jugadas.

Ejercicio Nº 5:

Suponga que una red de comunicaciones transmite dígitos binarios, 0 o 1, en donde cada dígito se transmite 10 veces sucesivas. Durante cada transmisión, la probabilidad de que ese dígito se transmita correctamente es de 0.99. En otras palabras, se tiene una probabilidad de 0.01 de que el dígito transmitido se registre con el valor opuesto al final de la transmisión. Si X0 denota el dígito binario que entra al sistema, X 1 el dígito binario registrado después de la primera transmisión, X2 el dígito binario registrado después de la segunda transmisión, y así sucesivamente, entonces {X n} es una cadena de Markov. (1  n  10) a) Determine la matriz de transición de un paso. b) Utilice el programa específico (o cualquier software que realice operaciones con matrices), para encontrar la matriz de transición de 10 pasos, P(10). Use este resultado para identificar la probabilidad de que un dígito que entra a la red se registre correctamente después de la última transmisión. c) Suponga que la red se rediseña para mejorar la probabilidad de la exactitud de una sola transmisión de 0.99 a 0.999. Repita el inciso b) para encontrar la nueva probabilidad de que un dígito que entra a la red se registre correctamente después de la última transmisión. a) Matriz de transición de 1 paso P= 0

1

0

0.99

0.01

1

0.01

0.99

b)

P ^10 0

1

0

0.9085

0.09146

1

0.09146

0.9085

La probabilidad de que un digito que entra a la red se registre correctamente después de la ultima transición es 0.9085.

c)P= 0

1

0

0.999

0.001

1

0.001

0.999

P^10 = 0

1

0

0.9900

0.009910

1

0.00991

0.9900

Ejercicio Nº 6:

En el ejercicio 1, hallar las clases comunicantes. Clase comunicante : Es un conjunto de estados que se comunican TODOS entre si. C1 ={ 1, 2} C2={0} C3= {3}

Ejercicio Nº 7:

Dadas las siguientes matrices de transición (de un paso) de una cadena de Markov, determine las clases de las cadenas de Markov y si son recurrentes o no. Graficar la cadena en cada caso.

0 0 1/3 2/3

1 0 0 0

1 0 0 0

0 ½ ½0

a) P= 0 1 0

0

b) P =

0 1 0 0 a)

0 ½ ½0 ½ 0 0 ½

Clase comunicante no recurrente : C= { A B C D } Cadena ergodica (Cadena ergodica o irreductible cuando todos sus estados se comunican . Constituyen una única clase comunicante concurrente)

b) Clase comunicante C={B c} [D} Recurrente {A} {B C} Transitoria {D}

Ejercicio Nº 8:

La cervecería más importante de un país (con etiqueta A) ha contratado a un analista de Investigación Operativa para analizar su posición en el mercado. Están preocupados por su mayor competidor (con etiqueta B). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov con 3 estados: los estados A y B representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado C representa a todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista construye la siguiente matriz de transición con datos históricos:

A

B

C

A

0.7

0.2

0.1

B

0.2

0.75

0.05

C

0.1

0.1

0.8

¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes? Rta: P^21 =

A

B

C

A

0.346

0.385

0.269

B

0.346

0.385

0.269

C

0.346

0.385

0.269

Ejercicio Nº 10: (Análisis de fallas) Una máquina de un proceso productivo puede estar en uno de los siguientes estados al final de cada día de operación:

E0: perfectamente operable E1: operable con deterioro menor E2: operable con deterioro mayor E3: inoperable Cuando el sistema se encuentra en alguno de los estados E1 o E3 pueden producirse artículos defectuosos durante el día siguiente. Los costos esperados (debido a la producción de defectuosos) para cada uno de los estados son: Estado

Costo

E1

$ 1000

E2

$ 3000

Cuando la máquina se encuentra en el estado 3 se la repara llevándola al estado E0. Esta trabajo toma un día para completarse, a un costo de $4000. El lucro cesante diario es de $ 2000. Asumiendo las siguientes probabilidades de transición:

Estado

E0

E1

E2

E3

E0

0

7/8

1/16

1/16

E1

0

¾

1/8

1/8

E2

0

0

1/2

1/2

a) Formular el problema como una cadena de Markov, hacer el grafo de transiciones de un paso. b) Calcular el costo promedio esperado a largo plazo. c) Calcular el número promedio de días de funcionamiento de la máquina.

1-

2 - Calcular el costo promedio esperado a largo plazo.

1- Calcular el número promedio de días de funcionamiento de la máquina.

IO

AN Ni = (I – N )^-1 x [ colunma de unos]

Ejercicio Nº 11: (“Brand switching”) Un cliente puede adquirir un televisor de alguna de las siguientes marcas: X, Y o Z. Se asume que estas alternativas cubren todas las posibilidades de compra. Con respecto al comportamiento de compra, los fabricantes de los televisores disponen de la siguiente información: El 30 % de los clientes que poseen un televisor X se mantienen leales a la marca en su próxima compra, mientras que el 40 % adquiere un Y y el 30 % restante un Z.  De los clientes que actualmente poseen un televisor Y, el 40 % compra un X, el 25 % vuelve a adquirir un Y y el resto uno de la marca Z.  El 20 % de los clientes que poseen un Z compran un X, el 30 % un Y y el resto no cambia de marca. Se desea saber: 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dueño de un X adquiera un Z al cabo de 2 compras? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el dueño de un X compre nuevamente un televisor de la misma marca luego de tres transacciones? c) ¿Cuál será el porcentaje de participación de cada marca en el mercado a largo plazo? d) ¿Cuál es el número esperado de compras que transcurrirán antes que el poseedor actual de un X compre un Z?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dueño de un X adquiera un Z al cabo de 2 compras? Calculamos la matriz P^2 , en la que se observan las probabilidades asociadas a l segundo paso para todos los estados

iniciales: X

Y

Z

X

0.31

0.31

0.38

Y

0.29

0.3275

0.3825

Z

0.28

0.305

0.415

Así la probabilidad de que el actual poseedores de un Y adquiera un Z en la segunda compra es 38.25% . La probabilidad de que el dueño de un TV marca Z vuelva a adquirir otro de la misma marca en 2 transacciones es 41.5%. , etc.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el dueño de un X compre nuevamente un televisor de la misma marca luego de tres transacciones? P^3 = X

Y

Z

X

0.293

0.3155

0.3915

Y

0.2945 0.3275

0.3928

Z

0.289

0.3982

0.3128

La probabilidad de que el dueño de un X compre nuevamente un X al cabo de tres pasos es de 29.3 % .

c) -¿Cuál será el porcentaje de participación de cada marca en el mercado a largo plazo? Lo calculamos para una potencia P para un número elevado de transiciones: ej P^8

X

Y

Z

X

0.2919

0.3135

0.3946

Y

0.2919 0.3135

0.3946

Z

0.2919 0.3135

0.3946

A largo plazo los porcentajes para las marcas X , Y , Z son 29.19% , 31.35% y 39.46% respectivamente.

a- ¿Cuál es el número esperado de compras que transcurrirán antes que el poseedor actual de un X compre un Z? Lo que se hace es modificar la matriz de transición P convirtiendo al estado Z en un estado absorbente . X

Y

Z

X

0.3

0.4

0.3

Y

0.4

0.25

0.35

Z

0

0

1

Calculamos la matris IO- AN

Z

X

Y

Z

1

0

0

X

0.3

0.3

0.4

Y

0 .35

0.4

0325

Calculamos la matriz (I - N) ^-1 = 2.0548 1.09594 1.0959 1.9178

Luego

1

P(i-> j ) ^-1 X

1 1

Obtenemos el numero de pasos promedio que transcurren hasta que el proceso se absorba para cada uno de los estados absorbentes: Z X

3.1507

Y

3.0137

Luego el numero esperado de transacciones que transcurren hasta que el actual posee dor de un TV X compra un TV Z es 3.1507 .

Estados accesibles y comunicantes:

Un estado i es accesible desde j si es posible pasar del estado i al j luego de un numero n de transiciones. Dos estados son comunicantes si j es accesible desde i y viceversa.

Clasificación de estados en Clases Comunicantes y Estados si Retorno Una clase comunicante es un conjunto de estados que se comunican TODOS entre si . Como caso particular la clase puede tener un solo estado. Las Clases Comunicantes se pueden clasificar en Recurrentes y Transitorias . Clases Recurrentes - Estados Absorbentes: 

Una Clase es Recurrente : si una vez que la cadena la ha alcanzado , siempre regresa o permanece en ella. Un caso especial de clases concurrentes lo constituyen los Estados Absorbentes.

Estados Absorbentes: Aquellos estados que una vez que la cadena los ha alcanzado no puede abandonarlos; es decir , son accesibles desde otros estados de la cadena pero no a la inversa. Un estado Absorbente i tiene Pii = 1. 

Clase Transitoria : Cuando una vez que la cadena ha salido de ella no vuelve a estar en ninguno de sus estados

Estados Sin Retorno : Son aquellos estados que no se comunican con ningún otro estado , ni siquiera consigo mismos. (La cadena los “visita” una sola vez a lo sumo)

Una Cadena de Markov homogénea es ergodica o irreductible cuando todos sus estados se comunican entre si . Es decir, constituyen una única clase comunicante recurrente. Cadena Ergodica Regular : Cuando todos los estados pueden comunicarse simultáneamente entre si en una cantidad r de pasos; en estas condiciones P^r es una matriz con todos sus elementos NO NULOS. Ej: P= 0.5

0.5

0

0.2

0.2

0.6

0.545

0.245 0.210

0.518

0.398

P^3 =

0.084

Como todos los elementos de P^3 son no nulos, la cadena es ergodica Regular.

Cadenas ergodicas regulares en régimen permanente : Se define como régimen permanente o estado estacionario de una cadena de Markov homogénea a la situación que el sistema alcanza luego de un periodo relativamente largo de tiempo. En las cadenas regulares se da que a largo plazo entran en una situación de “equilibrio estocástico”, es decir, las probabilidades incondicionales de se hacen estables. Dado que una cadena ergodica regular es aquella en la que todos sus estados pueden comunicarse simultáneamente en una cantidad r de pasos , puede demostrarse que el límite para n->infinito de la matriz de transición de n pasos, P(n) = P^n es una matriz con todos sus elementos positivos y con todas sus filas iguales.

Vector p.

Cadenas No Ergodicas Absorbentes Una cadena absorbente es una cadena ergodica separable en : 

Uno o varios estados Absorbentes : estados con probabilidad nula de ser abandonados, por lo tanto cuando son alcanzados el proceso se detiene definitivamente o se detiene para luego comenzar en otro estado.



Uno o varios estados NO Absorbentes : Constituidos por clases comunicantes transitorias o estados sin retorno, desde cada uno de los cuales se puede acceder a por lo menos un estado absorbente .

(Ejemplos : Procesos de inspección) En las cadenas absorbentes interesa conocer : a)

Numero esperado de veces que el proceso pasa por cada estado NO ABSORBENTE j habiendo partido de un estado NO ABSORBENTE i . Se calcula n i/j = ( I – N )^-1

b) El numero esperado de transiciones que el proceso tarda en ser absorbido , habiendo partido de un determinado estado no absorbente i. Ni = (I – N ) ^-1 x la columna de 1 c)

La probabilidad de absorción por cada estado absorbente habiendo partido de un determinado estado no absorbente i. Si llamamos P(i -> j) a la matriz de nxa cuyos elementos representan la probabilidad de pasar de i a j , dicha probabilidad es la probabilidad de hacerlo en un paso + la probabilidad de hacerlo en dos pasos+ .. es decir , P (i -> j ) = (I – N )x A

Se debe operar con la matriz P reagrupada , I

A

O

N

Poniendo como primeras filas y columnas los estados absorbentes.

Análisis de sensibilidad

3 productod que requieren Maquinado , Fundicion (De fabrica o subcontratada, para productos 1 y 2 , 3 solo en fabrica.) PRODUCTO

1

2

3

FUNDICION FABRICA

30

50

40

FUNDICION SUBCONTRATADA

50

60

MAQUINADO

20

10

ARMADO

30

20

Procesos --- Capacidad Fundicion

8000

Maquinado 12000 Armado

10000

X1: Prod 1 con fund de fabrica X2: Prod 1 con fund subcont X3: Prod 2 con fund de fabrica X4: Prod con fund subcon+ X5 : Prod 3

Los precios de venta de los productos son: $150, $180 y $ 190 respectivamente. PRODUCTOS

1

2

3

CAPACIDAD

FUNDICION

6

10

3

8000

MAQUINADO

6

3

8

12000

ARMADO

3

2

2

10000

El producto 1 tiene una cantidad demandada máxima de 400 unidades Maximizar Z = 70X1 + 50X2 + 100X3 + 90X4 + 13X5 - (150-(30+20+30) = 70) Las ecuaciones : 6X1+ 10 X3 + 3X5 = - 3200/0.33 = - 9696.97 2000 + (-0.67)D2 >= 0 -> D2= 0 (Lo max qe puede aumentar) -9696,97 = 0

->

d1= 16 entonces 116 por lo menos. Luego Z = 36800 – 116X1 - 30X2 – 230 X5 – S6 - ·S7 (S6 y S7 valen 0) Por cada unidad de producto 1 con fundicion de fabrica que se produzca Z disminuye en $ 116 . 116 es el costo reducido del producto 1 (La perdida seria 116$)

LOS COEFICIENTES Objetivos Óptimos de la Variables NO BASICAS se denominan COSTOS REDUCIDOS y representan la tasa neta del decremento del valor objetivo optimo que se obtiene al incrementar la variable NO BASICA ASOCIADa.

G ) Cuanto se pierde si se fabrican 2kg del producto 5 2 x 230 = 460 es lo qe se pierde. Donde 230 es el costo reducido de la variable X5 y 2 kg