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• Juan Carlos De Los Santos Santos

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1. Suponga la siguiente cadena de Markov con S = {1, 2, 3, 4, 5} y matriz de transición:

 0.1 0.3 0.2 0.2 0.2    0 0.1 0.3 0.3 0.3 P  0 0 0.4 0.6 0     0 0.5 0 0.5 0   0 0.8 0 0.2 0    a. b. c. d. e.

Determina las clases de comunicación, Encuentra el periodo de cada una de ellas Establece si se trata de clases recurrentes o transitorias. Reescribe la matriz de transición en la forma canónica Encontrar la probabilidad del primer arribo de 1 a 2 que ocurra en 4 pasos Encontrar el tiempo esperado del primer retorno a estado 3.

f. Solución a) Clases de comunicación: {1}, {2, 3, 4, 5} b) Periodo en cada clase Periodo de la clase {1}

2. En cada uno de los siguientes casos, 1) escribe el espacio de estados, 2) la matriz de transición y 3) dibuja la gráfica dirigida de una cadena de Markov que tenga las características indicadas. a) Una cadena con espacio de estados infinitos, irreducibles y aperiódicos. b) Una cadena con espacio de estados finito, con una clase de periodo 3 y otra de periodo 1. c) Una cadena en la que todos los estados sean transitorios y tengan periodo 0. 3. Considere una cadena de Markov con espacio de estados {0, 1, 2, 3} y matriz de transición: 0 1 0 0 a. b. c. d.

0 0 1 1

1/4 0 0 0

3/4 0 0 0

Determinar el Grafo Establecer las clases de comunicación Determinar si las clases son transitorios o recurrentes Determinar el periodo de cada clase

Parte 2. Determinación de distribuciones límite

1. A Joe le encanta salir a comer a los restaurantes del área. Sus comidas favoritas son la mexicana, la italiana, la china y la tailandesa. En promedio Joe paga $10 por una comida mexicana, $15 por una comida italiana, $9 por una comida china y $11 por una comida tailandesa. Los hábitos alimenticios de Joe son predecibles: hay 70% de probabilidad de que la comida de hoy sea una repetición de la de ayer y probabilidades iguales de que cambie a una de las dos restantes. a) b) c) d) e)

Define Xt, S y T Trazar el grafo Establecer la matriz de transición ¿A la larga qué comida le gusta más? ¿Cuánto paga Joe en promedio por su comida diaria?

2. Un proceso de producción incluye una máquina que se deteriora con rapidez tanto en la calidad como en la cantidad de producción con el trabajo pesado, por lo que se inspecciona al final de cada día. Después de la inspección, se clasifica la condición de la máquina en uno de los cuatro posibles estados: Estado 0 1 2 3

Condición Tan buena como una nueva Operable: deterioro mínimo Operable: deterioro mayor Inoperable y reemplazada por una tan buena como nueva 0

7/8

1/16

0 0 1

3/4 0 0

1/8 1/2 0

1/1 6 1/8 ½ 0

a) Elabora el grafo correspondiente b) Determina la proporción de tiempo que el proceso de producción pasará en cada estado a la larga. c) ¿Qué puedes decir acerca de las veces que la maquinaría estará en buenas condiciones (Tan buena como nueva y con deterioro mínimo)? d) Si se sabe que se tiene un costo de $1000 para una maquina buena como nueva, $300 para una maquina operable con deterioro mínimo, $600 para una maquina operable con deterioro mayor y $1200 para una inoperable. ¿Cuánto pagará en promedio a la larga?

16.3.3 (pag 1513) 3. Una particular se mueve sobre un circulo por los puntos 0,1,2,3,4 (en el sentido de las manecillas del reloj). La partícula comienza en el punto 0. En cada paso tiene una probabilidad de 0.5 de moverse un punto en el sentido de las manecillas del reloj (0 sigue al 4) y una probabilidad de 0.5 de moverse un punto en el sentido opuesto a la manecillas del reloj. Sea Xn (n≥0) la localización en el círculo después del paso n: A) Establece S y T, así como el grafo

B) Determina la matriz de transición. C) Encuentra la matriz Pn n=5, 10 D) A largo plazo, determina la proporción de tiempo que la cadena pasa en cada punto. E) Compara los resultados obtenidos en C y D. 4. Una tienda inicia una semana con al menos 3 PC. La demanda por semana se estima: Demanda Probabilidad de Demanda

0 0.15

1 0.2

2 0.35

3 0.25

4 0.05

La demanda insatisfecha se deja pendiente. La política de la tienda es colocar un pedido para entregarse al inicio de la siguiente semana siempre que el nivel del inventario se reduzca por debajo a 3 PC. El nuevo pedido siempre regresa las existencias a 5 PC. 1. Definir Xt, S y T (la variable aleatoria puede ser el inventario) 2. Plantear el grafo 3. Plantear la matriz estocástica 4. ¿Cómo se la distribución a la larga? ¿Cuántas unidades se tendrá en el inventario con mayor cantidad a largo plazo? ¿Cuál es la probabilidad de no colocar un pedido a largo plazo? 5. Si el costo de colocar un pedido es de $200 por computadora, el costo de almacenamiento por PC es de $5, y el costo de penalización por computadora faltante es de $20, determina el costo esperado del inventario por semana. 6. Suponga que la semana inicia con 4PC. Determinar la probabilidad que se coloque a lo más dos pedidos en dos semanas.