Ejercicios Cadenas de Markov
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Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide: a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola.
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Solución: Este ejercicio lo resolvemos aplicando cadenas de Markov, para ello definimos los siguientes estados: {coca cola, pepsicola} = {c,p}. La matriz de transición la obtenemos con los valores dados.
Coca cola
Pepsicola
Coca cola
0,9
0,1
Pepsicola
0,2
0,8
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
De esta manera obtenemos:
0.9 0.1 P =
0.2 0.8 Para el inciso a) se nos pide la probabilidad de que pasadas dos compras a partir de hoy el comprador pepsi se pase a coca cola, es decir que debemos buscar el valor de la fila 2 columna 1 de la matriz de segundo estado (.P2),:
0.9 0.1 P2 =
0.9 0.1 X
0.2 0.8
0.2 0.8
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Donde la fila 2, columna 1 de la matriz resultante P2 nos representa la probabilidad de que pasadas dos compras, el comprador de pepsi se cambie a coca cola.
P2 =
0.83
0.17
0,34
0.66
Con esto podemos concluir que la probabilidad de que el comprador de pepsi se cambie a coca cola es de un 34% luego de pasadas dos compras. Para el inciso b) se nos pide la probabilidad de que pasadas 3 compras el comprador de coca cola vuelva a comprar coca cola. Para ello calculamos la matriz de transición de orden 3, es decir, P3
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
De esta manera obtenemos:
0.9 0.1 P3 =
X
0.2 0.8
0.9 0.1
0.9 0.1 X
0.2 0.8
0.2 0.8
Usando la ayuda de Excel para multiplicar estas matrices, obtenemos el siguiente resultado:
P3 =
0.781
0.219
0,438
0.562
Con lo cual concluimos que existe un 78,1 % de probabilidades de que el compadrar vuelva a comprar coca cola.
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Para el inciso c) El vector de probabilidad inicial es (0,6; 0,4), por tanto la probabilidad de consumir ambos estados a partir de tres etapas es: (0,6 0,4)*P3
(0,6 0,4) X
0.781
0.219
0,438
0.562
Con lo cual obtenemos el siguiente resultado: (0,6438 0,3562)
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Lo que nos dice que al cabo de tres compras el 64,38% comprará coca cola y 35,62% comprará pepsicola.
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas. Cada mes el S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2.
a) Establecer la matriz de transición b) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre?
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Solución: Para el inciso a) establecemos la matriz de transición P, para ello generamos una tabla con los datos dados en el enunciado, definimos los estados {S1, S2, S3} .
S1
S2
S3
S1
0,9
0,1
0
S2
0,85
0,05
0,1
S3
0,5
0,1
0,4
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
De esta forma la matriz de transición nos queda:
P=
0.9
0.1
0
0,85
0.05
0,1
0,5
0,1
0,4
Para el inciso b) tenemos que del 1° de septiembre al 1° de noviembre han transcurrido dos meses de manera que para buscar la proporción de clientes en los supermercados al 1° de noviembre seria el equivalente a resolver la siguiente ecuación: (S1 S2 S3)*P2
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Donde (S1 S2 S3) = (0,25 0,333 0,417) Calculemos P2
P2 =
0.9
0.1
0
0,85
0.05
0,1
0,5
0,1
0,4
0.9 X 0,85
0,5
0.1
0
0.05
0,1
0,1
0,4
Con la ayuda de Excel calculamos el resultado de esta multiplicación.
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
Así, la matriz P2 nos quedad:
0,895 P2 = 0,8575
0,735
0,095
0,01
0.0975 0,045 0,095
0,17
Con este valor de P2 podemos resolver la ecuación que modela la proporción de clientes en los supermercados al 1° de noviembre.
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
De manera que tendríamos
0,895 (S1 S2 S3)*P2 = (0,25 0,333 0,417) X
0,095
0,01
0,8575 0.0975 0,045 0,735
0,095
0,17
Con la ayuda de Excel resolvemos la ecuación y obtenemos el siguiente resultado: (S1 S2 S3)*P2 = (0,8158 0,0958 0,0884)
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.
De esta forma podemos concluir que el 81,58 % de los clientes va al S1, 9,58 % de los clientes va al S2, y 8,84 % va al S3.
Ing. Bryan Adarfio. Ing. Ángel Verdú.