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• Jean Paul Badilla

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TAREA - 3 CADENAS MARKOVIANAS SISTEMAS ESTOCASTICOS 1. Si repetitivamente se lanza una moneda con probabilidad p de caer cara y se cuenta el número de caras resultantes de las tiradas sucesivas. Si se comienza con 0 y sea Tn= número de veces que hay que tirar la moneda para alcanzar n caras ¿Cuál es la distribución de probabilidades de Tn? 2. Si la máquina automática de venta de refresco tiene una probabilidad δ = 0,2 de fallar el próximo día y una probabilidad γ de repararse el próximo día. Si se observa que el día Lunes la máquina está bien: ¿Cuál es la probabilidad que la máquina permanezca trabajando sin fallar los días martes, miércoles y jueves. ¿Cuál es la probabilidad de que falle el jueves? 3. Un juego independiente se puede ganar con p= 18/38 se repite sucesivamente hasta que algún jugador obtiene tres triunfos sucesivos y gana. Si el jugador ha ganado 2 juegos consecutivos ¿Cuál es la probabilidad de ganar el pozo en las próximas 5 jugadas? 4. Para el juego anterior, si se gana con 4 juegos sucesivos a. Dibuje el diagrama de transición del juego b. Si p= 18/38 y el juego lleva 3 éxitos sucesivos ¿Cuál es la probabilidad de que gane el pozo en las próximas 5 tiradas? 5. Un experimento consiste en tirar 2 monedas balanceadas y contar el número de caras obtenido. Se repite sucesivamente el juego en forma independiente. Modélelo mediante una cadena de Markov y dibuje su diagrama de transición de estado para el número de sus caras. 6. Un juego que se puede ganar con probabilidad p, se repite sucesivamente en forma independiente por un jugador. Si las apuestas son múltiplos de $ 1 y el pago es doble o nada. Bajo el supuesto que el jugador sigue la estrategia del doblete económico hasta alcanzar $ 7. a. Dibuje el diagrama de transición del juego b. Calcule las probabilidades de obtener $ 7 en a lo más 6 juegos c. Calcule la probabilidad eventual de obtener $ 7 7. En el problema 2, sean X e Y los estados de la máquina automática de refrescos entre los días Martes y Miércoles sucesivos. Si se supone que el lunes estaba funcionando bien. a. Calcule la probabilidades de la distribución conjunta de X e Y. b. Calcule las distribuciones marginales de la densidad de probabilidades de X e Y, ¿Son independientes? ¿Son idénticamente distribuidas? 8. Si se tira una moneda balanceada repetitivamente. a. ¿Cuál es el valor esperado de los sellos que aparecen antes de que ocurran 3 caras sucesivas? b. Cuantos lanzamientos esperados ocurrirán hasta que ocurran tres caras sucesivas? c. Si el primer lanzamiento resulta cara ¿Cuál es la nueva respuesta de a? d. Si la primera lanzada resulta cara cuántos lanzamientos se esperan hasta la ocurrencia de 3 caras sucesivas 9. Considere el juego de la ruleta con N= 5 a. Escriba la matriz de transición de estado en forma estándar b. Calcule la matriz (I-Q)-1 para p= 0,3 y p= 0,7 c. Calcule las probabilidades de ganar y el promedio esperado de duración de l juego para p=0,3 y P= 0,4 si se parte de 1 10. Suponga usted administra una máquina de venta de café que genera ganancias diarias promedio de $ 200. Cuando la máquina esta funcionando, Si la tasa de falla δ = 0,2. Si una empresa de reparaciones ofrece un servicio de mantención de probabilidad γ de reparar en un día la falla. Si el costo del servicio es de $ 10(1-γ) por día. ¿Qué valor de γ optimiza la ganancia neta de la máquina?

11. Considere un ratón ubicado en un tablero con 9 compartimentos dispuestos de la siguiente forma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 El ratón se mueve de un compartimento a otro en forma aleatoria, si tiene k compartimentos contiguos escoge uno de ellos con probabilidad 1/k. Sea Xn el número de compartimiento en que se encuentra el ratón después de la movida número n. Obtenga la matriz de transiciones de estado 12. Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentarse en un juego en que en cada oportunidad cada jugador lanza una de sus monedas. Si ambas coinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario gana Pedro. El juego termina cuando uno de los jugadores se queda con las 4 monedas. a. Obtenga la distribución de probabilidades del número de jugadas necesarias para que Juan logre 3 monedas por primera vez. b. Explique cómo obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas para el término del juego. 13. Suponga que las ventas semanales de un cierto producto pueden ser descrita como una Cadena de Markov discreta. Suponga que estas oscilan entre 2 y 8 unidades. La matriz de probabilidades de transición es la siguiente: 2 3 4 5 6 7 8 2 0.6 3  0 4 0  P  5 0 6 0  7 0.5 8  0

0.4

0

0

0

0

1 0 0 0 0 0.4

0 0 0.8 0 0.3 0

0 1 0.2 0 0 0

0 0 0 0.4 0 0.6

0 0 0 0.6 0 0

0  0  0   0  0   0.2 0 

a. ¿Existe distribución límite estacionaria? Justifique b. Suponga que las ventas semanales pueden clasificarse en Bajas (2,3) medias (4,5) o altas (6, 7,8) y suponga que durante la primera semana se vendieron seis unidades. ¿Cuales son las probabilidades, en el largo plazo, de que las ventas en una semana cualquiera sean bajas, Medias o altas? c. Cuanto tiempo transcurre en promedio entre dos semanas con ventas iguales a 2 unidades? ¿Cual es la distribución de probabilidades de ese tiempo? 14. Considere una Cadena de Markov con la siguiente matriz de transición instantánea de estado. 1 2 3 4 5 6 7 1  0 .8 2  0 3  0 .1  P  4 0 5 0  6 0 7  0

0. 0

0 0

0 0

0 1

0 .2 0

0 0 0 .3 0 0 .5

0 .9 0 0 1 0

0 0.5 0 0 0

0 0 0 .7 0 0

0 0 0 0 0 .5

0  0  0   0.5 0   0  0 

a. Determine las clases de estados y clasifique los estados en transientes, recurrentes y determine si son aperíodicos o periódicos y el periodo. b. Analice el problema de la existencia de una distribución límite. c. ¿Cuál es la probabilidad de que si el sistema parte del estado 7 se llegue alguna vez al estado 6 y al 5? d. Suponga que el sistema parte del estado 1 ¿que tiempo transiciones promedios le toma volver al estado 1? e. Obtenga P(6;i) y P(6,3)

15. La Corporación de Educación Municipal de una cierta comuna está encargada de la gestión educacional de 100 colegios de enseñanza básica. Esta Corporación debe escoger una política de asignación de recursos a actividades de supervisión y apoyo pedagógicos a los colegios. Para evaluar la efectividad de su política cuenta con los resultados del SIMCE que anualmente aplica el Ministerio de educación Este programa mide el logro de los programas oficiales para los distintos niveles de Educación Básica. Esto permite obtener el promedio de logro de objetivos por nivel y colegio para todas la asignaturas evaluadas Si el resultado obtenido por un colegio puede clasificarse en; Malo < 30, Regular entre (30 a 50) y Bueno > 50 y Excelente > 70. Suponga que los resultados obtenidos por un colegio en el SIMCE del próximo año solo dependen del resultado del SIMCE actual y de la supervisión del colegio por la Municipalidad. Si los colegios no reciben ninguna supervisión sus resultados los próximos años quedarán definidos por la siguientes transiciones, instantánea Este año M R B E

Próximo año Resultado Actual 0,3 0,45 0,12 0,13

M 0,6 0,3 0,1 0,1

R 0,3 0,4 0,3 0,2

B 0,1 0,2 0,4 0,4

E 0 0,1 0,2 0,3

La Corporación Municipal dispone de $ 70.000.000 para gastar en supervisión. El costo de dar supervisión a un colegio con resultado actual M alcanza a $ 3.000.000 en los otros casos alcanza a $ 2.000.000 anuales por colegio. Se desea determinar la política óptima de asignación de recursos para la supervisión en la que se especifique el porcentaje de colegio de cada categoría de resultados que recibieran recursos para supervisión. Si los colegios reciben supervisión sus resultados SIMCE del próximo año se pueden predecir por la siguiente matriz de transición instantánea PROXIMO AÑO Este año M R B E M 0,4 0,5 0,1 0 R 0,2 0,4 0,3 0,1 B 0,1 0,3 0,3 0,3 E 0 0,3 0,3 0,4 Formule un modelo que permita obtener la política de asignación optima de recursos (maximizar colegios con resultados R o B). ¿Como cambiaría el modelo si quiere minibar la cantidad de colegio con resultados M? Suponga que quiere escoger una política optima valedera para un horizonte largo o estacionario. Formule un modelo que le permita minimizar el número de colegios con resultados M en el largo plazo. 16. Una Empresa debe decidir el tamaño de su aviso de publicidad en la edición dominical del mercurio. Hay dos alternativas: Un aviso pequeño con un costo anual de $ 100.000 y un aviso grande con un costo anula de $ 300.000 : Las ventas semanales de la empresa pueden clasificarse en Altas con un ingreso neto (no considera gastos de avisos) de $ 1.000.000 semanal con un ingreso neto semanal de $ 800.000 o Bajas con un ingreso neto semanal de $ 500.000 Se sabe que las ventas de una semana dependen de las ventas de la semana anterior y del tamaño del aviso en función de las siguientes probabilidades:

Ventas semana Pasada A M B

Ventas semana actual AVISO PEQUEÑO AVISO GRANDE A M B A M B 0,2 0,5 0,3 0,6 0,3 0,1 0,1 0,5 0,4 0,4 0,5 0,1 0,1 0,3 0,6 0,2 0,7 0,1

Suponga se desea analizar la política: si las ventas durante la semana pasada fueron bajas publicar un aviso grande. Formule como una cadena de markov y analice la política.

17. Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después de una cantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos glóbulos rojos nuevos o 2 glóbulos blancos nuevo. Las probabilidades de estos eventos son ¼ y ¾ respectivamente. Subsecuentemente cada glóbulo rojo se reproduce de la misma manera y cada glóbulo blanco muere sin reproducirse en una unidad de tiempo. Formule un modelo que le permita calcular la probabilidad de la extinción del cultivo. 24. Considere un sistema de atención al que llegan personas de acuerdo aun proceso de Poisson de tasa λ: Los tiempos de atención de las personas son variables independientes e idénticamente distribuidas de distribución F continua. Suponga que se observa el proceso cada vez que sale un cliente del sistema. Sea Xn = Nª de personas en el sistema a la salida del cliente Nª - ¿Es Xn una cadena de Markov? ¿Que sucede si observamos el sistema a la llegada de cada cliente? 25. La empresa Car Rental se dedica a arrendar autos para el uso diario y tiene oficinas en Santiago y en Viña. Una de las secciones de la empresa esta destinada exclusivamente a arrendar autos para viajes entre ambas ciudades. En este caso una persona que arriende el auto en una de estas ciudades debe devolverlo en las oficinas de la otra antes de la 8AM del DIA siguiente. Si los clientes llegan diariamente a arrendar en Santiago tiene una distribución Poisson con media α y en Viña Poisson con media β. y esta sección de la empresa tiene N autos que al comienzo de cada semana están asignados a alguna de estas oficinas. Formule un modelo de una cadena Markoviana que permita asignar los vehículos al comienzo de la semana de manera de minimizar el número de clientes esperando autos en ambas ciudades (considere una semana = 6 días hábiles). 26. En un pueblo el 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. 27. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes entre los pisos. El piso en que finaliza el viaje n-esimo del ascensor sigue una cadena de Markov, Se sabe que la mitad de los viajes parten del bajo y se dirigen a cada uno de los dos otros pisos con la misma probabilidad. Si parte del primer piso solo el 25% termina en el segundo. Si parte del segundo siempre finaliza en el bajo. Se pide a. b. c.

Calicular la matriz de probabilidades de la cadena Dibujar el grafo asociado ¿Cuál es la probabilidad que a largo plazo el sensor se encuentre en cada piso?

28. Un agente comercial realiza trabajos en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios esta todo el día en la misma ciudad y allí pernocta desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día entero en C la probabilidad de tener que seguir en C al día siguiente e 0,4 y la de tener que viajar a B de 00,4 y la de ir A es de 0,2. Si el viajante duerme un día en B con probabilidad 20% tendrá que seguir en la misma ciudad y un 60% de viajar a C al día siguiente y un 20% de ir a A. por último si el agente duerme en A permanecerá en A con 0,1 ira a B con 0,3 y a C con 0, 6: a. Si hoy el viajante esta en C ¿Cuál es la probabilidad que tenga que ir a trabajar en C al cabo de 4 días? b. ¿Cuáles son los porcentajes de días en que el agente esta en las tres ciudades durante un año? 29. La cervecería más importante del mundo (Guiness) ha contratado una analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados. los estado G y H representan a los clientes que beben cerveza producidas por las respectivas cervecerías y el estado I que representa todas las otras marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos.

G H I

G 0,70 0,20 0,10

G 0,20 0,75 0,10

I 0,10 0,05 0,80

¿Cuales son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos grandes cervecerias? 30. En una comunidad hay tres supermercado ( S1,S2 y S3) existe movilidad de un cliente a otro . El primero de septiembre , ¼ de los clientes va del Si al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas. Cada mes el super S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va a S2 y el resto se va a S3, el que retiene solo el 40% y pierde el 50% que se va a S1 y el 10% se va a S1. a. Establecer la matriz de transición b. ¿ Cuál es la proporcion de clientes para los supermercados el 1 de Noviembre? c. Hallar la solución estable 31. Un petrolero realiza las travesias entre una Plataforma Petrolifera y una refinería, y viceversa de forma ininterrumpida tardando 12 horas en cada viaje. El barco es propulsado por dos motores, cada uno de los cuales puede sufrir una avería durante el trayecto con una probabilidad de 0,1. El barco puede navegar con un motor averiado. En este caso, el mecanico de a bordo intenta reparar el motor averiado, con una probabilidad de éxito de 0.6 en cada travesía. Si se averían los dos motores, el barco es remolcado a du dstino y debe permanecer amarrado en el puerto durante 24 horas (el tiempo de realizar dos viajes) para ser reparado por completo. Inicialmente el barco navega en perfectas condiciones. a. Comprobar que el sistema se puede modelar mediante una Cadena de Markov. Definir los estados de la cadena, hallar la matriz de probabilidades de transición. b. Clasificar los estados de la cadena y hallar las clases de equivalencia. 32. Se realiza una sucesión de experimentos que consiste cada uno de ellos en lanzar una bola en una de tres cajas. La bola no puede caer fuera de alguna de estas cajas y la probabilidad de que la bola caiga en una de ellas es 1/3. Se X n, n  1, la variable aleatoria que describe el numero de cajas no vaciás despues del n-ésimo lanzamiento. Obtener la matriz de probabilidades de transición y la matriz de probabilidades de transición de n pasos de la cadena. 33. Considerar un proceso markoviano con la siguiente matriz de probabilidades de transición:

P=

a. b.

1/8

1/8

3/4

1/2

1/4

1/4

3/4

0

1/4

¿Cuál es el tiempo medio de primer paso de 3 a 2? ¿Cuáles deberían ser las probabilidades iniciales de estado (0) = [1(0), 2(0), 3(0)] para que el proceso entrase en estado estacionario después de una transición?

34. El siguiente proceso de Markov empieza en el estado 1 P=

0

0.5

0.5

0.4

0

0.6

0

0.2

0.8

Encontrar las probabilidades de que: a. El proceso esté en el estado 3 después de tres transiciones b. El proceso llegue al estado 3 por primera vez después de n transiciones c. El proceso no haya llegado aún al estado 2 después de n transiciones d. Después de la tercera transición desde el estado 3 hasta el 2 las dos transiciones siguientes sean (2 13) ó (233) e. El proceso entre en el estado 2 exactamente una vez en las tres primeras transiciones f. El proceso realice la transición 1  2 exactamente una vez en las tres primeras transiciones

g.

El número esperado de veces que el proceso entrará en el estado 2 primeras transiciones.

durante las tres

35. Supongamos que la probabilidad de que mañana llueva si hoy está lloviendo es 0.6, y que la probabilidad de que mañana haga buen tiempo si hoy hace buen tiempo es 0.4. a. Determinar la matriz de probabilidades de transición de la cadena de Markov correspondiente. b. Hallar la distribución de probabilidad del estado estacionario. 36. Determinar las clases de las siguientes cadenas de Markov y decir si son o no recurrentes

a)

0

0

1/3

2/3

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1/2

1/2

0

0

1

0

0

0

1/2

1/2

0

0

1

0

0

1/2

0

0

1/2

b)

37. Consideremos el siguiente juego: un jugador apuesta una unidad en cada partida. Tiene una probabilidad p de ganar y q=1-p de perder. Seguirá jugando hasta que se arruina o alcanza una fortuna de T unidades. Sea Xn la fortuna del jugador en la n-ésima partida. X n+1

=

Xn + 1

con probabilidad p

Xn - 1

con probabilidad q = 1 - p

Xn+1 = Xn

0 < Xn < T

Xn = 0 ó T

{Xn} es una cadena de Markov. Supongamos que las sucesivas partidas del juego son independientes y que la fortuna inicial del jugador es X0 b. Determinar la matriz de probabilidades de transición de 1 paso de la cadena de Markov c. Hallar las clases de la cadena de Markov d. Sean T = 3 y p = 0.3 Hallar  a.

Sean T = 3 y p = 0.7 Hallar  f. ¿Qué se puede deducir de c) y d)? e.

38. Supongamos que una red de comunicaciones transmite dígitos binarios 0 o 1. Al recorrer la red, existe una probabilidad q de que el dígito binario se reciba de forma incorrecta en el siguiente paso. Si X0 denota un dígito binario que entra en el sistema, X 1 el dígito recibido después de la primera transición, X2 el dígito recibido después de la segunda transición, ... Xn , entonces es una cadena de Markov. Hallar la matriz de probabilidades de transición y la distribución de probabilidad del estado estacionario. 39. Las familias de cierto país se clasifican según residan en áreas rurales, urbanas o suburbanas. Los estudios de movilidad demográfica estiman que, en promedio, en el curso de un año, el 15% de las familias urbanas cambia de residencia y se traslada a un área suburbana, y el 5% a un área rural; mientras que el 6% de las familias residentes en áreas suburbanas se traslada a áreas urbanas, y el 4% a áreas rurales, y finalmente el 4% de las familias rurales migra a las áreas urbanas y el 6% a las suburbanas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia que vive ahora en un área urbana siga viviendo en un área urbana dentro de dos años? ¿Y en una suburbana? ¿Y en una rural? b. Supongamos que en el presente el 40% de las familias del país viven en áreas urbanas, el 35% en suburbanas y el 25% en rurales. ¿Qué porcentaje de familias vivirá en áreas urbanas dentro de dos años? c. ¿Qué distribución de población es de prever en el futuro si las tendencias no cambian? 40. Un bosque consta de dos tipos de árboles: jóvenes (entre 0 y 3 mts de altura) y adultos (más de 3 mts). Cada año, el 30% de los árboles jóvenes muere, el 10% se vende por $20 cada uno, el 20% se mantiene entre 0 y 3 mts y el 40% crece superando los 3 mts. Cada año, el

40% de los árboles adultos se vende por $50, el 20% se vende por $20, el 30% permanece en el bosque y un 10% muere. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un árbol joven muera antes de ser vendido? b. Si plantar un árbol joven cuesta $5, ¿cuál es el beneficio esperado para cada árbol joven plantado? 41. En cierta ciudad los habitantes pueden tener alguna de las profesiones A, B, C. En cada caso los hijos tienden a seguir la profesión del padre con probabilidades 3/5, 2/3 y ¼ respectivamente. Quienes no siguen la tradición del padre eligen equiprobablemente alguna de las otras dos. Hallar: a. La distribución porcentual de las profesiones en la próxima generación, si actualmente es de 20% para A, 30% para B y 50% para C. b. La distribución límite de las generaciones cuando transcurren muchas generaciones. c. Una cierta distribución porcentual de las profesiones que no cambie de una generación a otra. 42. Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola. Cuando una persona ha comprado Coca Cola hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente. Si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente. Se pide: a. Si una persona actualmente es comprador de Pepsi. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas dos compras a partir de hoy? b. Si en la actualidad una persona es comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la probabilidad de que compre Coca Cola pasadas tres compras a partir de ahora? c. Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy Coca Cola y el 40% Pepsi. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando Coca Cola?. 43. El departamento de estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30% de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿Y dentro de dos meses? 44. En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes? 45. Una urna contiene dos bolas sin pintar. Se selecciona una bola al azar y se lanza una moneda. Si la bola elegida no está pintada y la moneda produce cara, pintamos la bola de rojo; si la moneda produce cruz, la pintamos de negro. Si la bola ya está pintada, entonces cambiamos el color de la bola de rojo a negro o de negro a rojo, independientemente de si la moneda produce cara o cruz. a. b.

Modele el problema como una cadena de Markov y encuentre la matriz de probabilidades de transición.

46. Las probabilidades de que cierto país sea gobernado por uno de tres partidos políticos X, Y o Z después de la próxima elección están dadas por la matriz de transición:

P= a.

X Y Z

X ½ ¼ 1/5

Y 1/3 ¾ 2/5

Z 1/6 0 2/5

¿Cuál es la probabilidad de que el partido Z gane la próxima elección si el partido X está ahora en el poder?

¿Cuál es la probabilidad de que el partido X esté en el poder después de dos elecciones si se supone que el partido Y se encuentra en el poder ahora? c. Si el partido Z se encuentra en el poder, ¿cuál es la probabilidad de que estará ahí después de dos elecciones? b.

47. La probabilidad de que una persona de baja estatura tenga un hijo también de baja estatura es de 0,75, mientras que la probabilidad de que un padre alto tenga un hijo algo es de 0,60 (se ignora la posibilidad de concebir un hijo de mediana estatura) a. ¿cuál es la probabilidad de que un hombre alto tenga un nieto de baja estatura? b. ¿cuál es la probabilidad de que un hombre de baja estatura tenga un nieto alto? c. Encuentre la matriz estacionaria del proceso y dé su interpretación 48. Las granjas de cierta región pueden clasificarse en tres tipos: agrícolas, pecuarias o mixtas. Actualmente 30% son agrícolas, 40% pecuarias y 30% mixtas. La matriz de transición de una año al siguiente es: A P M A 0.8 0.1 0.1 P= P 0.2 0.8 0 M 0.1 0.1 0.8 Encuentre los porcentajes de los tres tipos de granjas: a. el año próximo, b. dentro de 2 años, c. a largo plazo. 49. En cierto país 90% de la energía es generada por petróleo, gas o carbón y 10% provenía de la energía atómica. Cinco años después los porcentajes eran 80% y 20% respectivamente, mientras que 5 años más tarde fueron 75% y 25%. Suponiendo que el proceso es de Markov con (0.8, 0.2) = (0.9, 0.1) * P (0.75, 0.25) = (0.8, 0.2) * P Calcule la matriz de transición P. Encuentre la matriz estacionaria e interprétela. 50. Suponga que la ocupación de cada persona puede clasificarse como de profesional, calificado o no calificado. Suponga, además, que siempre es cierto que de los hijos de profesionales 70% son profesionales, 20% calificados y 10% no calificados, de los hijos de personas calificadas, 60% son calificados, 20% son profesionales y 20% son no calificados y de los hijos de personas no calificadas, 20% son profesionales, 30% son calificados y 50% no calificados. Suponga que el número total de personas con un ocupación es el mismo en cada generación y que en la generación actual, 35% son profesionales, 35% calificados y 30% no calificados. Encuentre la matriz de transición. Halle la distribución de trabajos después de una generación y después de dos generaciones.