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http://inoperacionesii.blogspot.com/ EJERCICIOS DE CADENAS DE MARKOV

1) En barranquilla existen 3 medios de transporte que son transmetro, busetas y taxis si una persona utiliza transmetro la probabilidad de que la próxima vez lo vuelva a hacer es de 60% de que utilice buseta es del 25% y de que utilice taxi es del 15%; si esta persona utiliza buseta la probabilidad de que lo vuelva a hacer es del 70% de que utilice transmetro es del 20% y taxi de 10%; si la persona utiliza taxi la probabilidad de que lo vuelva a hacer es del 55% de que utilice buseta es del 25% y de que utilice transmetro es del 20%. el estado inicial para transmetro buseta y taxi respectivamente es (20% 50% 30%) a) hallar la matriz de transición. b) ¿cuáles serán los porcentajes de cada uno de los servicios de transporte en 4 periodos? 2) El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide: a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena b) Dibujar el grafo asociado c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los tres pisos. 3) Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A, B y C. Para evitar desplazamientos innecesarios está todo el día en la misma ciudad y allí pernocta, desplazándose a otra ciudad al día siguiente, si no tiene suficiente trabajo. Después de estar trabajando un día en C, la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4, la de tener que viajar a B es 0,4 y la de tener que ir a A es 0,2. Si el viajante duerme un día en B, con probabilidad de un 20% tendrá que seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los casos viajará a C, mientras que irá a A con probabilidad 0,2. Por último si el agente comercial trabaja todo un día en A, permanecerá en esa BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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misma ciudad, al día siguiente, con una probabilidad 0,1, irá a B con una probabilidad de 0,3 y a C con una probabilidad de 0,6. a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga que trabajar en C al cabo de cuatro días? b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en los que el agente comercial está en cada una de las tres ciudades? 4) La cervecería más importante del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investigación de operaciones para analizar su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que el cambio de marca se puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados, los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado I representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos. G G 0,7 H 0,2 I 0,1

H I 0,2 0,1 0,75 0,05 0,1 0,8

¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes? 5) En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas. Cada mes esl S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2. a) Establecer la matriz de transición b) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre? c) Hallar el vector de probabilidad estable. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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6) Cada familia estadounidense se clasifica según donde vive como urbana, rural o suburbana. Durante un año especifico, 15% de las familias urbanas se mudaron a una ubicación suburbana, y 5 % se mudaron a un área rural; también, 6 % de las familias suburbanas se trasladaron a un área urbana y 4% se pasaron a una ubicación rural; por ultimo, 4% de las familias rurales se fueron a un área urbana y 6% se cambiaron a un lugar suburbano. a) Si una familia ahora vive en un lugar urbano, ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un área urbana dos años a partir de ahora? ¿Un área suburbana? ¿Un área rural? b) Suponga que en el presente, 40% de las familias viven en un área urbana, 35% viven en un área suburbana y 25% viven en un área rural. Dos años a partir de ahora, ¿Qué porcentajes de familias estadounidenses vivirán en un área urbana? 7) Woody´s Christmas Tree Farm cuenta con dos tipos de árboles: arboles pequeños (de 5 pieso menos) y grandes (más de 5 pies). Cada año, 16% de los arboles pequeños muere, 19% se venden a 30 dólares cada uno y 10% crece hasta superar los 5 pies. Cada año 5% de los arboles grandes muere y 45% se vende a 45 dólares cada uno. a) ¿Qué porcentaje del total de los árboles se venderá finalmente a 30 dólares? b) ¿Qué porcentaje de árboles se venderán a 45? c) ¿Qué porcentaje de árboles de árboles grandes se venderán? d) 8) una persona a la hora del almuerzo puede consumir pollo, carne o pescado, si esta persona consume hoy pollo la probabilidad de que mañana lo vuelva a hacer es del 35% de que consuma carne es del 45% y pescado 20%: si consumió carne la probabilidad que lo vuelva a hacer es del 60% de que consuma pollo de 25% y pescado del 15% si esta persona consumió pescado la probabilidad de que lo vuelva a hacer es es del 25% que consuma pollo es del 35% y carne del 40%. a) hallar la matriz de transición b) hallar el estado estable BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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9) En una carrera de automóviles se hace una prueba para definir las posiciones de la arrancada, si un piloto sale de primero la probabilidad que llegue primero es de 40%, que llegue segundo 30% y que llegue tercero 30%, la posibilidad que saliendo de segundo llegue de segundo es 35%, que llegue de primero es 30% y que llegue tercero es de 35%; si el piloto parte tercero la probabilidad que llegue tercero es de 40%, que llegue segundo es 45% y que llegue primero 15%. a) calcular la matriz de transición b) calcular el vector o estado estable 10) Los consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En Marzo de 1995 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron: Compra en el siguiente mes Compra Marca actual A 1690 B 3380 C 3380 Totales

Marca A

Marca B

Marca C

507 676 845 2028

845 2028 845 3718

338 676 1690 2704

totales 1690 3380 3380 8450

a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio? b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? c) En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café?

11) En una fila de cinco asientos, una persona está sentada en el asiento de en medio. Estos movimientos están decididos cada vez por lo que sale en una moneda tirada al aire. Las reglas son:

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http://inoperacionesii.blogspot.com/ i) Si no está en ninguna silla de los extremos, se mueve hacia la derecha si sale cara y hacia la izquierda si sale cruz. Supón que la moneda está "trucada" y que sale cara con 0.6 de probabilidad. ii) Si está en una silla de los extremos, se quedará allí, sea cual sea lo que salga en la moneda. A

B

C

D

E

Vector de probabilidad inicial: (0, 0, 1, 0, 0) Calcular las probabilidades de las siguientes secuencias (desde el inicio): S1 =  C, D, C, B, A, A, A } S2 =  C, B, C, D, E, E, E  S3 =  D, C, B, A, A, A, A  Si Xi representa la silla en la que está en el tiempo i-ésimo, calcular la probabilidad de la siguiente secuencia de movimientos: P{X3=B, X6=B, X7=C | X1=D} P{X5=A, X6=A, X8=A | X3=A} Representar la matriz de probabilidades de transición que rige dicho juego. 12) En el ejemplo del juego de las sillas vamos a cambiar las reglas. a) Los movimientos son indicados por un dado. i) Si no está en los extremos: Si sale 1 ó 2  a la izquierda. Si sale 3 ó 4  a la derecha. Si sale 5 ó 6  no se mueve. ii) Si está en los extremos: Si sale impar  vuelve a C. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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http://inoperacionesii.blogspot.com/ Si sale par  no se mueve.

b) Suponer que el vector inicial viene dado por el lanzamiento de una moneda ("no trucada"): Si sale cara  silla inicial B. Si sale cruz  silla inicial C. c) Si Xi representa la silla en la que está en el tiempo i-ésimo, calcular la probabilidad de la siguiente secuencia de movimientos: P{X3=A, X6=B, X7=C | X0=B} P{X4=A, X6=A, X9=A | X3=A} Representar la matriz de probabilidades de transición que rige dicho juego. Calcular las probabilidades de las siguientes secuencias (desde el inicio): S1 =  C, D, E, C, D, A, C  S2 =  D, B, D, E, E, A  S3 =  C, B, A, A, C, D  S4 =  B, C, D, E, C, B  13) se marcan 6 puntos en una circunferencia a intervalos regulares. Un proceso mueve los puntos de la siguiente forma: de un punto dado se mueve a otro vecino con probabilidad 1/4 y al punto diametralmente opuesto con probabilidad 1/2. Determinar la matriz de probabilidades de transición. 14) considerar el siguiente experimento: a) seleccionar una cifra al azar (0..9) y anotarla. b) repetir: seleccionar otra cifra al azar y multiplicarla por la última anotada. Anotar únicamente las unidades. Determinar el espacio de estados y la matriz de probabilidades de transición para la secuencia de cifras anotada. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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15) partiendo del ejercicio anterior, pero suponiendo que el espacio de estados es ahora {s1,s2,s3,s4} con s1={0}, s2={5}, s3={2,4,6,8} y s4={1,3,7,9}. Calcular la probabilidad de las sucesiones: a) s3 s2 s1 s1 b) s3 s4 s5 c) s4 s3 s3 s2 s1 s1 16) En un parque automovilístico hay tres coches que de averiarse, tienen que ser reparados por el mismo mecánico. Este es capaz de reparar al día uno o dos coches con la misma probabilidad, y en cualquier caso, un coche al menos, siempre cuando haya coches por reparar. Cada día, los coches tienen una probabilidad de averiarse de 0.25, que permanece constante de un día para otro en caso de que al final de la jornada el vehículo no se haya averiado. Los vehículos averiados son trasladados al taller al final de la jornada, y en ese momento se recogen, si los hay, los coches que el mecánico hubiera reparado durante dicha jornada. De media, ¿en cuántos días no hay ningún coche para ser reparado? 17) Supongamos que en un país hay tres tipos de Universidades: la literaria, científica y la politécnica. La influencia familiar en la elección de la Universidad se cifra en que el hijo de un graduado literario en el 80 por ciento de los casos sigue una carrera afín a la de su padre o si no ingresa en la Universidad científica. El hijo de un graduado en ciencias sigue el 50 por 100 de las veces en dicho tipo de Universidad y en caso contrario muestra igual preferencia por una carrera literaria o una politécnica. El hijo de un licenciado politécnico sigue en el 60 por ciento de los casos la senda del padre, el 30 por 100 pasa a la rama científica y el 10 por 100 a la literaria. Responde:  ¿Cuál es la probabilidad de que el nieto de un "politécnico" sea especialista en literatura?  ¿Cuál es la probabilidad de que un biznieto de un politécnico sea científico?  ¿Cuál será a la larga la distribución de la tipología de la población de universitarios? 18) Un profesor examina a sus estudiantes utilizando tres tipos de exámenes. El resultado obtenido por cada clase se clasifica como bueno o malo. Sea pi la probabilidad de que la clase obtenga la clasificación de bueno en el examen i, y supongamos que p1 = 0.3, p2 = 0.6 y p3 = 0.9. Si la clase hace bien el examen, el siguiente examen puede ser de cualquier tipo con la misma probabilidad. Si la clase hace mal el BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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examen, entonces el siguiente examen será siempre de tipo 1. ¿Qué proporción de exámenes son de tipo i = 1, 2, 3?. 19) 3 de cada 4 camiones en la carretera son seguidos por un coche. Uno de cada 5 coches es seguido por un camión. ¿Qué fracción de vehículos son camiones en la carretera? 20) Escribir una matriz de transición para una cadena de Markov que tenga un espacio de estados S =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, donde los estados 1, 4 y 7 forman una clase que tiene periodicidad 2, los estados 2, 3 y 5 forman una clase aperiódica, el estado 9 es absorbente y el resto de los estados son transitorios. 21) Un ratón se mueve entre dos habitaciones A y B con total seguridad. Si se sale de A es atrapado por un gato, mientras que si sale de B cae en una trampa. Inicialmente está en el cuarto A. Suponiendo que se mueve cada minuto de la forma siguiente: de A a B con probabilidad 3/4: de B a A con probabilidad 7/8; nunca se queda en una habitación más de un minuto. Establecer la cadena de Markov que modela el sistema y hallar las probabilidades de que el ratón sea comido por el gato o atrapado en la trampa tras ocho minutos. Gato

A

B

Trampa

22) Cada mañana una persona sale de su casa y va a correr. Puede salir de su casa por la puerta delantera o por la puerta trasera con igual probabilidad. Al salir de casa, elige un par de zapatillas o bien sale a correr descalzo si no hay zapatillas en la puerta que elige para salir de casa. A su regreso, escoge para entrar la puerta trasera o la delantera con igual probabilidad, donde dejará sus zapatillas (si las llevaba). Si posee un total de k pares de zapatillas, ¿Qué proporción de veces correrá descalzo?. 23) Una partícula se mueve por los vértices de un polígono de n vértices, numerados del 0 al n-1. En cada paso si la partícula está en el vértice i se mueve al vértice adyacente en sentido horario con probabilidad pi, y en sentido contrario con probabilidad 1-pi. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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http://inoperacionesii.blogspot.com/ i.

Estudiar si la cadena de Markov es irreducible, aperiódica, recurrente, en función de los valores de n. Deduce si existe o no la distribución límite. ii. Para n=3 hallar la distribución límite, si existe, para p0=0.5, p1=0.3 y p2=0.8. 24) En una serie de lanzamientos independientes de una moneda, sabemos que la probabilidad de obtener `cara' en un lanzamiento cualquiera es igual a (k+1)/(k+2), dónde k es igual al número de `caras' obtenidas en los dos lanzamientos previos. a) especificar la matriz de probabilidades de transición que modela dicho proceso estocástico b) dado que los dos primeros lanzamientos han sido `cara', calcular la probabilidad de que el cuarto sea `cruz' c) en el límite, ¿cuál es la probabilidad de obtener `cara'? Discutir acerca del sentido que tiene tratar sobre la probabilidad en el límite 25) Una persona posee r paraguas para ir de casa a la oficina y de la oficina a casa. Si cuando sale de casa a la mañana o de la oficina a la tarde y está lloviendo, coge un paraguas si es que hay alguno en donde se encuentra. Si por el contrario no llueve, el sujeto no cogerá ningún paraguas. La probabilidad de que un día llueva a la mañana es independiente del pasado y es p; la probabilidad de que un día llueva a la tarde es independiente del pasado y es p. a) definir una Cadena de Markov (suponer que Xn es el número de paraguas que la persona posee en casa al final del día n-ésimo) y dar la matriz de transición de estados que le permita calcular la proporción del tiempo que la persona se moja (el sujeto se moja cuando está lloviendo y no posee ningún paraguas en el sitio en el que se encuentra). b) demostrar que las probabilidades límite vienen dadas por: Пi = q/r+q Пi

si i=0

c) en el límite, ¿qué proporción de veces se moja la persona? BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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26) Suponemos que la predicción de lluvia para un día depende del tiempo en los tres días anteriores: a) lluvia - lluvia - lluvia: lluvia con prob. 0.8 b) sol - sol -sol: sol con prob. 0.7 c) cualquier otra combinación: lluvia con prob. 0.4 Determinar el espacio de estados y la matriz de probabilidades de transición. Si el primer y segundo día han sido lluviosos y el tercero soleado, di cómo harías el cálculo de la probabilidad de sol para el séptimo día. ¿Y para el noveno día? 27) Supongamos una Cadena de Markov de estados 0,1,2,3,4. Supogamos que P0,4=1 y que cuando la cadena está en el estado i-ésimo (i>0), el siguiente estado es, equiprobablemente, alguno de entre los siguientes: 0,1,...,i-1. Encontrar la distribución límite de la Cadena. 28) dos switches tienen las posiciones de ON y OFF. En el día n-ésimo, cada switch actúa independientemente y estará en ON con probabilidad [1+ número de switches en ON el día (n-1)-ésimo] / 4 En el límite, ¿qué proporción de días están ambos en ON? ¿Y ambos en OFF? 29) Un marino dispone de 4 veleros que alquila diariamente a los turistas para toda la jornada. Uno cualquiera de los veleros se avería con probabilidad 0.25, independientemente de la suerte de los demás. El marino sólo puede hacer reparaciones por las noches y repara exactamente un velero por noche. Por razones de seguridad, no alquila ningún velero a no ser que al menos tenga dos disponibles. La demanda siempre es suficiente para alquilar todos los veleros que haya disponibles. En el límite, ¿en qué proporción de días tendrá todos los veleros disponibles30). Supongamos que una red de comunicaciones transmite dígitos binarios 0 o 1. Al recorrer la red, existe una probabilidad q de que el dígito binario se reciba de forma incorrecta en el siguiente paso. Si X 0 denota un dígito binario que entra en el sistema, X1 el dígito recibido después de la primera transición, X2 el dígito recibido después de la segunda transición,... Xn , entonces es una cadena de Markov. BLOGGUTIL - http://inoperacionesii.blogspot.com/ | EJERCICIOS PROPUESTOS

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Hallar la matriz de probabilidades de transición y la distribución de probabilidad del estado estacionario. 31) Considerar la siguiente política (k,Q) de gestión de inventarios. Sean D1,D2,... las demandas de un producto en los períodos 1,2,...., respectivamente. Si la demanda durante un periodo excede el número de ítems disponibles, la demanda insatisfecha es retenida, de manera que se satisface cuando llega el siguiente pedido de reposición del inventario. Denotemos por Zn (n=0,1,2,...) la cantidad de inventario disponible menos el número de unidades retenidas antes de efectuar un pedido de reposición de inventario al final del periodo n (Z0=0). Si Zn es cero o positivo, no se retienen órdenes. Si Zn es negativo, entonces -Zn representa el número de unidades de demanda retrasada y no queda inventario disponible. Si al principio del periodo n, Zn=1. (La cantidad pedida es el menor múltiplo entero de 2, que lleva el nivel de inventario hasta al menos una unidad). Sean Dn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que toman cada uno de los valores 0,1,2,3,4 con probabilidad 1/5. Denotemos por Xn el valor del stock disponible después de efectuar el pedido al final del periodo n (X0=2). Resulta entonces: Xn= Xn-1 - Dn+2m, Xn= Xn-1 - Dn,

Si Xn-1-Dn=1

y Xn es una cadena de Markov con solo dos estados: 1,2. a) Encontrar la Matriz de Transiciones b) Encontrar las probabilidades del estado estacionario c) Suponer que el coste de efectuar un pedido de reposición es (3+3m). i. ii.

El coste de mantenimiento del stock es Zn, si Zn>=0, y cero en caso contrario. El coste de ruptura del stock es -4Zn, si Zn