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Cadenas de Markov ∣ 78

5

APLICACIONES

5.1

Aplicaci´ on comercial (“Brand switching”)

Un cliente puede adquirir un televisor de alguna de las siguientes marcas: X, Y o Z. Se asume que estas alternativas cubren todas las posibilidades de compra. Con respecto al comportamiento de compra, los fabricantes de los televisores disponen de la siguiente informaci´on: * El 30% de los clientes que poseen un televisor X se mantienen leales a la marca en su pr´oxima compra, mientras que el 40% adquiere un Y y el 30% restante, un Z. * De los clientes que actualmente poseen un televisor marca Y, el 40% compra un televisor X, el 25% vuelve a adquirir un Y y el resto uno de la marca Z. * El 20% de los clientes que poseen un Z compran un X, el 30% un Y y el resto no cambia de marca. Se desea saber: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que un poseedor de un televisor X adquiera un Z al cabo de dos compras? b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el due˜ no de un X compre nuevamente un televisor de la misma marca luego de tres transacciones? c) ¿Cu´al ser´a el porcentaje de participaci´on en el mercado a largo plazo? d) ¿Cu´al es el n´ umero esperado de compras que transcurrir´an antes que el actualmente poseedor de un televisor X adquiera un Z? Soluci´on: a) Se puede resumir el comportamiento de la pr´oxima compra con la siguiente matriz de transici´on:

Cadenas de Markov ∣ 79

𝑋 𝑌 𝑋 0, 3 0, 4 𝑃 = 𝑌 0, 4 0, 25 𝑍 0, 2 0, 3 0,3

0,4

 89:; j ?>=< 𝑋V

 * ?>=< 89:;

𝑍 0, 3 0, 35 0, 5

0,25

6𝑌 0,4

0,5 0,2

0,3 0,35

 ?>=< v 89:; 𝑍S 0,5

(1)

𝑉1

(2) 𝑉1

= [0, 3 0, 4 0, 3] =

(1) 𝑉1 .𝑃

0, 3 0, 4 0, 3 = [0, 3 0, 4 0, 3] 0, 4 0, 25 0, 35 = [0, 31 0, 31 0, 38] 0, 2 0, 3 0, 5

(2)

no de un televisor Si vector 𝑉1 informa las probabilidades de que el due˜ X adquiera un X, Y o Z despectivamente en la segunda compra. Luego, la probabilidad de que adquiera un Z en dos transacciones es 38%. La misma informaci´on puede obtenerse de la matriz 𝑃 2 . En ella podemos observar todas las probabilidades asociadas al segundo paso para todos los estados iniciales. As´ı la probabilidad de que el actualmente poseedor de un Y adquiera un Z en la segunda compra es 38,25%. 0, 31 0, 31 0, 38 2 La probabilidad de que el due˜ no 𝑃 = 0, 29 0, 3275 0, 3825 de un televisor marca Z vuelva a 0, 28 0, 305 0, 415 adquirir otro de la misma marca en dos transacciones es 41,5%, etc. b)

(3) 𝑉1

=

(2) 𝑉1 .𝑃

0, 3 0, 4 0, 3 = [0, 31 0, 31 0, 38] 0, 4 0, 25 0, 35 = [0, 293 0, 3155 0, 3915] 0, 2 0, 3 0, 5

Cadenas de Markov ∣ 80

Otra forma de calcular el vector V es: (3) 𝑉1

=

(1) 𝑉1 .𝑃 2

0, 31 0, 31 0, 38 = [0, 3 0, 4 0, 3] 0, 29 0, 3275 0, 3825 = [0, 293 0, 3155 0, 3915] 0, 28 0, 305 0, 415

Es decir, la probabilidad de que el ahora due˜ no de un X compre nuevamente un televisor de la misma marca el cabo de 3 pasos es 29,3%. Al mismo resultado pudo arribarse a partir de la 𝑃 3 . 0, 293 0, 3155 0, 3915 𝑃 = 0, 2945 0, 3127 0, 3928 0, 289 0, 3128 0, 3982 3

c) Se forma un sistema de ecuaciones formado por N-1 ecuaciones extra´ıdas del producto matricial 0, 3 0, 4 0, 3 [𝑝(𝑥) 𝑝(𝑦) 𝑝(𝑧)] 0, 4 0, 25 0, 35 = [𝑝(𝑥) 𝑝(𝑦) 𝑝(𝑧)] 0, 2 0, 3 0, 5 y por la ecuaci´on p(x) + p(y) + p(z) =1 ⎧ ⎨ 𝑝(𝑥).0, 3 + 𝑝(𝑦).0, 4 + 𝑝(𝑧).0, 2 = 𝑝(𝑥) 𝑝(𝑥).0, 4 + 𝑝(𝑦).0, 25 + 𝑝(𝑧).0, 35 = 𝑝(𝑦) ⎩ 𝑝(𝑥) + 𝑝(𝑦) + 𝑝(𝑧) = 1 Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones con 3 inc´ognitas resulta: p(x)=0,2919 p(y)=0,3135 p(z)=0,3946 Es decir, a largo plazo los porcentajes de participaci´on en el mercado ser´an 29,19%, 31,35% y 39,46?% para las marcas X, Y y Z respectivamente. Al mismo resultado pudo haberse arribado calculando una potencia de P para un n´ umero alto de transacciones:

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0, 2919 0, 3135 0, 3946 𝑃 = 0, 2919 0, 3135 0, 3946 0, 2919 0, 3135 0, 3946 8

d) Se modifica la matriz de transici´on P, convirtiendo al estado Z en un estado absorbente: 𝑋 𝑌 𝑋 0, 3 0, 4 𝑌 0, 4 0, 25 𝑍 0 0

𝑍 0, 3 0, 35 1

Esta matriz se descompone en 4 submatrices de la forma 𝑍

𝑋 𝑍 1 0 𝑋 0, 3 0, 3 𝑌 0, 35 0, 4

𝐼 𝑂 𝐴 𝑁

𝑌 0 0, 4 0, 25

Luego se procede a calcular la matriz (𝐼 − 𝑁 )−1 𝐼 −𝑁 =

1 0 0, 3 0, 4 0, 7 −0, 4 − = 0 1 0, 4 0, 25 −0, 4 0, 75

(𝐼 − 𝑁 )−1 =

2, 0548 1, 0959 1, 0959 1, 9178

El vector 𝑛 ¯ = (𝐼 − 𝑁 )−1 .¯1 nos dar´a el n´ umero promedio de pasos que transcurren hasta que el proceso se absorba para cada uno de los estados no absorbentes iniciales.

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𝑛 ¯=

2, 0548 1, 0959 1 3, 1507 𝑥 = 1, 0959 1, 9178 1 3, 0137

Luego, el n´ umero esperado de transacciones que transcurren hasta que el actualmente poseedor de un televisor X adquiera un Z es 3,1507. 5.2

Planeamiento de Personal

El Departamento de Relaciones con el Personal de una firma realiza un estudio de niveles de categor´ıa para proveer promociones adecuadas en el momento oportuno, controlar el pago de haberes, analizar necesidades: de contrataci´on de personal, etc. Esta empresa tiene 20 empleados de categor´ıa 3 (la mas alta), 80 de categor´ıa 2 y 200 de categor´ıa 1 (la mas baja de todas). En base a datos hist´oricos se espera que el 35% de los empleados de la categor´ıa 1, el 20% de la 2 y el 5% de la 3 dejen la empresa anualmente por renuncias, despidos, jubilaciones, fallecimientos, etc. Considerando las siguientes pol´ıticas de personal: - mantener la misma cantidad de empleados (total y por niveles) - realizar contrataciones solamente en el primer nivel - dar promociones a los empleados una sola vez por a˜ no el gerente del Departamento encarg´o al grupo de Investigaci´on Operativa de la empresa: 1. Averiguar qu´e cantidad de gente deber´a contratarse y qu´e cantidad deber´a promoverse a la categor´ıa inmediata superior para mantener los niveles de empleados estables, anualmente. 2. Determinar el tiempo de permanencia promedio de un empleado en la compa˜ n´ıa (´ındice de rotaci´on del personal)

Cadenas de Markov ∣ 83

3. Calcular la probabilidad de que un empleado que reci´en ingresa a la firma llegue a la m´axima categor´ıa. Soluci´on: 1. El siguiente gr´afico representa el proceso de promociones anuales de los empleados.  7654 0123 1

0,35

0123 7654 /8 0 qqq O q q qq 0,20qqqqq 0,05 q qqq q q qq  qqqq 0123 7654 0123 7654 /3 2K S

Todos los empleados llegar´an si estado 0, que es un estado absorbente. Las probabilidades de transici´on a los dem´as estados se desconocen, pero se puede resolver el problema analizando el flujo de empleados en cada nodo. Para mantener el mismo nivel de empleados en la categor´ıa, la cantidad promedio a promover - Nodo 3 a la categor´ıa 3 (x) debe ser igual a la cantidad O promedio que pasan al estado 0 (y). 𝑦 y=20 . 0,05 = 1 𝑥 / GFED @ABC x=1 20 Permanecen z = 20 - 1 = 19

- Nodo 2 > }} } } 𝑦 } 𝑥 }}  }}} @ABC GFED 80 3 /

El n´ umero medio de empleados a promover a la categor´ıa 2 (x) debe ser igual a los que se promocionan a la categor´ıa 3 m´as los que se absorben (y) y = 80 . 0,20 = 16 x= 16 + 3 = 19 Permanecen z = 80 - 19 = 61

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La cantidad media de empleados a contratar anualmente (x) debe igualar al n´ umero promedio de individuos que pasan al estado 0 m´as los que se promueven al estado 2. y = 200 . 0,35 = 70 x= 70 + 19 = 89 z = 200 - 89 = 111

- Nodo 1 𝑥

 ONML HIJK 200

/

𝑦

19 

Estos valores podemos resumirlos en el siguiente cuadro (o en su correspondiente matriz de transici´on): Cat. 1 2 3 1 111 19 2 61 3 3 19 0,555

 0123 7654 1

 0123 7654 /8 0 qq O qqq q q 0,20qqqqq 0,095 0,05 q qqq q q qq  qqqq 0,0375 0123 7654 0123 7654 /3 2K S 0,35

1 2 3 1 0, 555 0, 95 0, 7625 0, 375 𝑃 = 2 3 0, 95 4

0 Total 70 200 16 80 1 20

4 0, 35 0, 2 0, 05 1

1

0,95

0,7625

2. Agrupando la matriz de transici´on, se procede a calcular la matriz (𝐼 − 𝑁 )−1 : 1 2 3 0 1 0 0 0 1 0, 35 0, 555 0, 095 2 0, 2 0, 7625 0, 0375 3 0, 95 0

𝑁=

0, 555

0, 95 0, 7625 0, 0375 0, 95

Cadenas de Markov ∣ 85

𝐼 −𝑁 =

0, 555

0, 95 2, 2472 0, 8989 0, 6742 −1 0, 7625 0, 0375 (𝐼 − 𝑁 ) = 0 4, 2105 3, 1579 0, 95 0 0 20 Luego, el ´ındice de permanencia promedio en la empresa es de 3,82 a˜ nos por empleado.

3, 8203 𝑛 ¯ 𝑖 = 7, 3684 20, 0

3. Para calcular la probabilidad de que un empleado que se encuentra actualmente en el estado 1 logre la m´axima categor´ıa, se supone al estado 3 como un estado absorbente. 0,555

 0123 7654 1

1

 0123 7654 /8 0 q qq qqq q q 0,20qqqq 0,095 q qqq q q qq  qqqq 0,0375 0123 7654 0123 7654 /3 2K S 0,35

1

0,7625

La matr´ız de transici´on reagrupada en el formato 3

0

1

𝐼 0 es: 𝐴 𝑁

2

3 1 0 1 1 0, 35 0, 555 0, 095 2 0, 0375 0, 2 0, 7625 𝑁=

0, 555

0, 95 0, 7625

(𝐼 − 𝑁 )−1 =

(𝐼 − 𝑁 ) =

0, 445 −0, 095 0 0, 2375

2, 2472 0, 8989 0 4, 2105

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(𝐼 − 𝑁 )−1 .𝐴 =

2, 2472 0, 8989 0 0, 35 0, 03371 0, 9663 . = 0 4, 2105 0, 375 0, 2 0, 1579 0, 8421

Luego, la probabilidad de que un empleado de la primer categor´ıa alcance la m´axima es de 3,37%. Tambi´en se puede observar que la probabilidad de lograr esa categor´ıa para un empleado de la categor´ıa 2 es de 15,79%. Otra ´ınformaci´on u ´til es el n´ umero esperado de a˜ nos que transcurren hasta alcanzar la m´axina categor´ıa. Para ello, se multiplica la natr´ız (𝐼 − 𝑁 )−1 por un vector unitario: 𝑛 ¯𝑖 =

2, 2472 0, 8989 1 3, 1461 . = 0 4, 2105 1 4, 2105

En promedio, un empleado de categor´ıa 1 tardar´a 4,21 a˜ nos hasta alcanzar la categor´ıa 3. 5.3

Gesti´ on de inventarios

La demanda mensual de un repuesto en un proceso productivo tiene la siguiente distribuci´on de probabilidad: 𝑑 0 1 2 ≥3 𝑝 0, 6 0, 3 0, 1 0 Si el stock inicial es de 3 unidades, y la observaci´on del nivel de inventarios se realiza al finalizar cada mes, determinar: a. la probabilidad de que al cabo de dos meses se haya agotado el stock b. la probabilidad de que al cabo de cuatro meses haya dos o m´as de dos repuestos en stock

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c. el n´ umero promedio de meses que trancurren hasta agotar el stock d. el costo total de almacenamiento en cada ciclo de compra, si el costo de almacenamiento unitario mensual es de 10$. Soluci´on: a. Llamaremos: S0: ninguna unidad en stock al finalizar un mes S1: una unidad en stock al finalizar un mes S2: dos unidades en stock al finalizar un mes S3: tres unidades en stock al finalizar un mes 0,6

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0 𝑆3 0, 6 0, 3 0, 1 0 𝑆2 0, 6 0, 3 0, 1 𝑆1 0, 6 0, 4 𝑆0 1

0,6   0,3 HIJK HIJK ONML / ONML 𝑆3 GG 𝑆2 GG GG GG GG GG GG GG GG0,1 GG0,1 GG GG 0,3 GG GG GG GG 1 GG GG G#  G#  0,4 HIJK ONML HIJK / ONML 𝑆1V 𝑆2 0,6

Los estados S3, S2 y S1 son transitorios, mientras que el estado S0 es absorbente.

b.

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0 𝑆3 0, 36 0, 36 0, 21 0, 07 2 𝑃 = 𝑆2 0, 36 0, 36 0, 28 𝑆1 0, 36 0, 64 𝑆0 1

Luego la probabilidad de que trancurridos dos meses se haya agotado el stock es 0,07=7%

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆0 𝑆3 0, 13 0, 26 0, 29 0, 32 𝑆2 0, 13 0, 26 0, 61 𝑆1 0, 13 0, 87 𝑆0 1

La probabilidad de que haya dos o m´as repuestos al cabo de cuatro meses es 0,26 + 0,13 = 0,39 (39% ).

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c. Se reagrupa la matriz de transici´on P en cuatro submatrices y se calcula la inversa de I-N 𝑆0 𝑆3 𝑆2 𝑆1 0 0 0 𝑆1 0 𝑆3 0, 6 0, 3 0, 1 𝑆2 0, 1 0, 6 0, 3 𝑆1 0, 4 0, 6

0, 4 −0, 3 −0, 1 𝐼 −𝑁 = 0, 4 −0, 3 0, 4

𝑆3 𝑆2 𝑆1 𝑆3 0, 6 0, 3 0, 1 𝑁= 𝑆2 0, 6 0, 3 𝑆1 0, 6

(𝐼 − 𝑁 )

−1

10/4 30/16 25/32 = 10/4 30/16 10/4

10/4 30/16 25/32 1 5, 16 𝑛 ¯𝑖 = 10/4 30/16 x 1 = 4, 38 10/4 1 2, 5 La duraci´on promedio de un lote de tre unidades es de 5,16 meses.

d. El n´ umero prometido de meses que el sistema est´a en cada uno de los estados S3, S2 y S1 es, respectivamente, 10/4, 30/16 y 25/32, valores que obtenemos de la matriz (𝐼 − 𝑁 )−1 . Luego; el costo esperado de almacenamiento es: ] [ 30 𝑚𝑒𝑠 25 𝑚𝑒𝑠 $ 10 𝑚𝑒𝑠 + 2 𝑢𝑛. x + 3 𝑢𝑛. x x 10 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 x 4 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 16 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 32 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑢𝑛. 𝑚𝑒𝑠 = 85, 94

$ 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜

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5.4

Planeamiento de producci´ on

A un centro productivo de una f´abrica llegan piezas para someterse a un proceso de mecanizado en dos m´aquinas (A y B). Luego de cada etapa de elaboraci´on se realiza, un control de calidad (CCA y CCB). La secuencia de fabricaci´on de las piezas se muestra en el siguiente gr´afico: 0,03

de otro centro

 /

𝐴

0,05

`abc / gfed 𝐶𝐶𝐴

0,10 

 /

𝐵

0,02 

`abc / gfed 𝐶𝐶𝐵

0,09 

/ a Almacenes

0,05 

/ Desechos

Si durante el mecanizado una pieza se estropea, se la desecha sin pasar por Control de Calidad. En los centros de inspecci´on se puede devolver una pieza para ser reprocesada o considerarla defectuosa. Las probabilidades estimadas para cada caso se muestran en el gr´afico. Los tiempos esperados para la realizaci´on de cada operaci´on de mecanizado y de inspecci´on y los costos asociados son los siguientes. Mecanizado A Control A Mecanizado B Mecanizado A

𝑇𝑒 (𝐻𝐻) Costo($/𝐻𝐻) 2 1200 0, 1 2000 3 1800 0, 2 2000

El costo directo de cada pieza que llega al Centro es de 3000$/pieza y el costo de oportunidad del material defectuoso es de 500$/pieza. Determinar: 1. la probabilidad de completar satisfatoriamente una pieza que entra al centro. 2. el n´ umero esperado de piezas que deben ingresar al centro para producir 1000 piezas buenas.

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3. los requerimientos de personal para cada pieza terminada. 4. el costo directo esperado de cada pieza terminada que sale del Centro productivo. Soluci´on: Estado PA CCA 1. PB CCB D A

Operaci´on Procesamiento en m´aquina A Control de Calidad del proceso A Procesamiento en m´aquina B Control de Calidad del proceso B Defectuosas Almac´en de piezas terminadas

Los estados D y A son estados absorbentes. 0,03 ~ GFED @ABC PA

0,90

~ 0,91 0,90 / ONML 0,90 / ?>=< HIJK 0,95 / GFED @ABC HIJK 89:; / ONML CCA PB CCB A MMM < T