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• Raúl Sánchez

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Asignatura: Estadística III.

Carrera: Licenciatura en matemáticas

Alumno: Raúl Ibáñez Couoh Matrícula: ES172001745 Docente: Marco Antonio Olivera Villa Unidad 1. Procesos y series de tiempo

Evidencia de aprendizaje. Ajuste de modelos ARMA

10/07/2020, Zihuatanejo, Guerrero, México.

Contesta las siguientes preguntas: 1.- ¿Qué es un proceso ARMA? Acorde a (Ocerin, 2015) Los modelos 𝐴𝑅𝑀𝐴 se usan para representar la componente aleatoria estacionaria de una serie temporal y para modelizar la autocorrelación en modelos econométricos dinámicos. Las fases de elaboración de un modelo 𝐴𝑅𝑀𝐴 son: a. Especificación o identificación de los órdenes 𝑝 y 𝑞 de las partes autorregresivas y de media móvil. b. Estimación de los coeficientes de los polinomios 𝜙(𝐵) y 𝜃(𝐵) y de la varianza residual 𝜎𝑎2 . c. Contrastes diagnósticos sobre el modelo para ver si se han elegido adecuadamente los órdenes 𝑝 y 𝑞, y si los residuos 𝑎̂𝑡 , 𝑡 = 1 … 𝑛 no tienen ninguna estructura temporal de autocorrelación, ósea que su proceso generados 𝑎𝑡 es de tipo ruido blanco.

2.- Completa la siguiente tabla sobre modelos ARMA. Modelo Ruido blanco

Características Sucesión de variables aleatorias con distribución, normal, esperanza cero y varianza constante e incorreladas entre sí. 𝜀𝑡 es ruido blanco si 𝜀𝑡 ~𝑁(0, 𝜎𝜀2 ), para cualquier 𝑡, tal que: 𝐶𝑜𝑣(𝜀𝑡 , 𝜀𝑡 ) = 0, ∀𝑡 ≠ 𝑡 ′ .

Promedios móviles La notación 𝑀𝐴(𝑞) se refiere a un modelo de media móvil de orden 𝑞. 𝑞

𝑋𝑡 = 𝜀𝑡 + ∑ 𝜃𝑖 𝜀𝑡−𝑖 𝑖=1

Donde 𝜃1 , … , 𝜃𝑞 son los parámetros del modelo y 𝜀𝑡 , 𝜀𝑡−1 , … son, de nuevo, los términos de error. Autorregresivo

La notación 𝐴𝑅(𝑝) se refiere a un modelo autorregresivo de orden 𝑝. Un modelo 𝐴𝑅(𝑝) puede escribirse como: 𝑝

𝑋𝑡 = 𝑐 + ∑ 𝜙𝑖 𝑋𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡 𝑖=1

Donde 𝜙1 , … , 𝜙𝑝 son los parámetros del modelo, 𝑐 es una constante y 𝜖𝑡 es un término de error. ARMA (𝑝, 𝑞)

La notación 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) se refiere a un modelo con 𝑝 términos autorregresivos y 𝑞 términos de media móvil. Este modelo combina los modelos 𝐴𝑅 y 𝑀𝐴: 𝑝

𝑞

𝑋𝑡 = 𝜀𝑡 + ∑ 𝜙𝑋𝑡−𝑖 + ∑ 𝜃𝑖 𝜀𝑡−𝑖 𝑖=1

𝑖=1

3.- Completa la siguiente tabla sobre tu gasto en trasporte y realiza los pronósticos.

Fechas

Gasto

Simulación

31/01/2020

288

668.4772496

29/02/2020

700

383.7872196

31/03/2020

258

194.8235641

30/04/2020

500

1027.881548

31/05/2020

557

983.1164853

30/06/2020 333.58 380.6311583 31/07/2020

757

403.7590392

31/08/2020 1224.58 1048.731506 30/09/2020 333.78 401.4424695 31/10/2020

555

389.9823353

30/11/2020 785.95 899.8719152 31/12/2020 658.45 161.2883529

1Registro de gastos de transporte mensuales.

2Representación gráfica de gastos de transporte con predicciones.

A continuación se proporciona el código elaborado con Matlab, para la realización de la tabla de serie de tiempo, en el código se utilizó la herramienta de modelización econométrica de Matlab. Con ello establecí una simulación de Montecarlo y así obtuve un estimado de posible comportamiento de la serie de tiempo a futuro. Todo lo anterior se encuentra en el reporte mismo de modelización econométrica de Matlab.

Econometric Modeler Analysis Summary of results from the Econometric Modeler App Econometrics Toolbox Version 5.0 (R2018a) 10-Jul-2020

Table of Contents 1. Time Series: gasto.......................................................................................................................................3 1.1. Time Series Plot...............................................................................................................................3 2. ARIMA(0,0,3) Model (Gaussian Distribution) (MA_gasto)....................................................................... 4 2.1. Model Estimation............................................................................................................................ 4 2.2. Residual Histogram.........................................................................................................................7 2.3. Residual Quantile-Quantile plot.................................................................................................... 8 2.4. Residual Sample AutoCorrelation Function................................................................................. 9

ii

1. Time Series: gasto 1.1. Time Series Plot Time Series Plot

1400

gasto

1200

1000

800

600

400

200 Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Time Figura 1.1. Time Series Plot of gasto

3

Sep

Oct

Nov

Dec 2020

2. ARIMA(0,0,3) Model (Gaussian Distribution) (MA_gasto) Moving average model of time series gasto with the following equation:

2.1. Model Estimation Table 2.1. Estimation Results Parameter Value

StandardError TStatistic PValue

Constant

570.0556

147.5469

3.8636

0.00011175

MA{1}

-0.15943

1.0182

-0.15659

0.87557

MA{2}

-0.055349

0.88082

-0.062838 0.9499

MA{3}

0.30105

1.3052

0.23066

0.81758

Variance

59275.2739 41692.1378

1.4217

0.1551

Table 2.2. Goodness of Fit AIC 176.3785 BIC 178.803

4

2. ARIMA(0,0,3) Model (Gaussian Distribution) (MA_gasto)

Model Fit

1400

gasto MA_gasto

1200

1000

800

600

400

200 Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Time Figura 2.1. Plot the fit of model MA_gasto time series gasto

5

Sep

Oct

Nov

Dec 2020

2. ARIMA(0,0,3) Model (Gaussian Distribution) (MA_gasto)

Residual Plot

800

MA_gasto

600

400

200

0

-200

-400 Feb

Mar

Apr

May

Jun

Jul

Aug

Time Figura 2.2. Plot of the residuals of model MA_gasto

6

Sep

Oct

Nov

Dec 2020

2. ARIMA(0,0,3) Model (Gaussian Distribution) (MA_gasto)

2.2. Residual Histogram Residual Histogram

7

MA_gasto

6

5

4

3

2

1

0 -600

-400

-200

0

200

Figura 2.3. A histogram of the residuals of model MA_gasto.

7

400

600

800

2. ARIMA(0,0,3) Model (Gaussian Distribution) (MA_gasto)

2.3. Residual Quantile-Quantile plot Residual Quantile-Quantile Plot

800

MA_gasto

Quantiles of Input Sample

600

400

200

0

-200

-400 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Standard Normal Quantiles Figura 2.4. Quantile-quantile plot of the residuals of model MA_gasto.

8

1

1.5

2

2. ARIMA(0,0,3) Model (Gaussian Distribution) (MA_gasto)

2.4. Residual Sample AutoCorrelation Function Residual Sample AutoCorrelation Function

1

MA_gasto Confidence Bounds

0.8

Sample Autocorrelation

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6 0

1

2

3

4

5

6

7

Lag Figura 2.5. Sample autocorrelation function of the residuals of MA_gasto

9

8

9

10

11

10/07/20 02:50 PM C:\Users\R...\evidencia_matlab.m 1 of 2 %% %Limpiamos variables y consola clc,clear, close all format bank %% %Generamos el intervalo de fechas t1 = datetime(2020,01,01); fechas = dateshift(t1,'end','month',0:11)' %% %Elaboramos el análisis mensual [ MonthString] = month(fechas) %% %Elaboramos el vector de gasto gasto=[288 700 258 500 557 333.58 757,... 1224.58 333.78 555 785.95 658.45]'; %% %Elaboramos la tabla de datos en formato tabla=table(fechas,gasto) %% %Elaboramos la tabla en formato de tabla de tiempo tabla=table2timetable(tabla) %% %Graficamos para tener una vista previa del comportamiento %mensual de gasto figure(1); barh(tabla.fechas,tabla.gasto,'DisplayName','tabla.Gasto') title('Gasto en transporte mensual','Fontsize',16) xlabel('Gasto','Fontsize',13) ylabel('Fecha','Fontsize',13) legend('Gasto') %% %Convertimos la fecha a un vector numéricos tabla2=tabla; tabla2.fechas=datenum(tabla2.fechas) %% %Graficas simulacion=simulate(MA_gasto,12); x=1:12;

10/07/20 02:50 PM C:\Users\R...\evidencia_matlab.m 2 of 2 plot(tabla.fechas,tabla.gasto,'b','Linewidth',1.5) title('Gasto en transporte mensual vs Gasto estimado','Fontsize',16) xlabel('Gasto','Fontsize',13) ylabel('Fecha','Fontsize',13) legend('Gasto') hold on plot(tabla.fechas,tabla.gasto,'dr','Linewidth',3) hold on plot(tabla.fechas,simulacion,'-.y','Linewidth',1.5) legend('Gasto','Valores','Simulación') %% %Elaboramos la tabla final tabla_final=table(fechas,gasto,simulacion) %% %Exportamos la tabla final write(tabla_final,'tabla_final.xlsx')

Bibliografía Canavos, G. C. (1988). Probabilidad y Estadística Aplicaciones y métodos. México: Mc Graw Hill. Correa, R. B. (2016). Procesos estocásticos con aplicaciones. Barranquilla: Universidad del Norte. Devore, J. L. (2005). Probabilidad y estadística para ingenierías y ciencias. México: Thomson. Martínez Bencardino, C. (2012). Estadística y muestreo. Bogotá: Ecoe Ediciones. Núñez, J. (2011). Análisis dinámico mediante procesos estocásticos para actuarios y finanzas. Alcalá de Henares: Universidad de Alcalá. Ocerin, J. M. (2015). Econometria: modelos econometricos y series temporales. Tomo 2. México: Editorial Reverte. Rincón, L. (2011). Introducción a los procesos estocásticos. México: UNAM.