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Análisis Matemático II Unidad 3 Evidencia de Aprendizaje

ESPACIOS MÉTRICOS, CONJUNTOS MEDIBLES Y MEDIDA DE LEBESGUE 14 de marzo de 2015 Autor: Laura Pontón Becerril

Análisis Matemático II Unidad 3 Evidencia de Aprendizaje Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas. 1Obtén el intervalo (𝒄, 𝒅) de intervalos de la forma [𝒂, ∞), usando las propiedades de 𝝈-álgebra Sea 𝒮 una 𝜎-álgebra donde los elementos ∈ [𝑎, ∞). ⟹ (𝑐, 𝑑) con elementos de dicha 𝜎-álgebra. Entonces 𝑐 fijamos el número 𝑑 y el intervalo [𝑑, ∞) ∈ 𝒮, ⟹ su complemento [𝑑, ∞) = (−∞, 𝑑) ∈ 𝒮 por propiedad, 𝒮 es cerrada bajo complementos.

Ahora, 1 𝑛

Construimos el subconjunto de intervalos [𝑐 + , ∞) , ∀ 𝑛 ∈ ℕ y ∈ 𝒮, y como 𝒮 es cerrado bajo 1

1

∞ uniones numerables, ⇒ ⋃∞ 𝑛=1 [𝑐 + 𝑛 , ∞) ∈ 𝒮. Pero ⋃𝑛=1 [𝑐 + 𝑛 , ∞) = (𝑐, ∞).

∴ (𝒄, 𝒅) = (−∞, 𝒅) ∩ (𝒄, ∞)

2-

Sea (𝑿, 𝓢, 𝝁) un espacio de medida. a.

Si 𝑨, 𝑩 ∈ 𝓢 y 𝝁(𝑨∆𝑩) = 𝟎, prueba que 𝝁(𝑨) = 𝝁(𝑩).

Sea Análisis Matemático II | 14/03/2015

𝜇(𝐴∆𝐵) = 𝜇((𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴))

1

Comentado [LAPB1]: Por definición de diferencia simétrica de 𝐴 y 𝐵.

Como 𝜇(𝐴∆𝐵) = 0 tenemos que: 𝜇((𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)) = 0 Se tiene que: 𝜇(𝐴 − 𝐵) ∪ 𝜇(𝐵 − 𝐴) = 0 De aquí que: 𝜇(𝐴 − 𝐵) = 0 = 𝜇(𝐵 − 𝐴), Por la identidad: 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐵),

𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴) ∪ (𝐵 − 𝐴)

Comentado [LAPB2]: Por aditividad

La cual se deduce de que si 𝑥 ∈ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∨ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) = 𝑥 ∈ 𝐴. En este sentido: 𝜇(𝐴) = 𝜇(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝜇(𝐴 − 𝐵),

𝜇(𝐵) = 𝜇(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ 𝜇(𝐵 − 𝐴),

Y por 𝜇(𝐴 − 𝐵) = 0 = 𝜇(𝐵 − 𝐴) ⟹ 𝜇(𝐴) = 𝜇(𝐴 ∩ 𝐵), 𝜇(𝐵) = 𝜇(𝐵 ∩ 𝐴)

∴ 𝜇(𝐴) = 𝜇(𝐵) ∎

b. Definimos 𝑨~𝑩 si 𝑨, 𝑩 ∈ 𝓢 y 𝝁(𝑨∆𝑩) = 𝟎, prueba que ~ es una relación de equivalencia. Tenemos entonces que 𝐴 ~ 𝐵 si 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒮 y 𝜇(𝐴∆𝐵) = 0. Por la definición de relación de equivalencia:

a) Reflexividad: ∀𝑥 ∈ 𝐾, 𝑥𝑅𝑥. Es decir, 𝐾 está relacionado consigo mismo. b) Simetría: ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾, 𝑥𝑅𝑦 ⇒ 𝑦𝑅𝑥. Es decir, si un elemento está relacionado con otro, este otro también se relaciona con el primero. c) Transitividad: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐾, 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧 ⇒ 𝑥𝑅𝑧. Es decir, si un elemento se relaciona con otro y este otro con un tercero, el primero se relacionará con el tercero también. Como 𝜇(𝐴∆𝐵) = 0 Para ver si se cumple la propiedad Reflexiva: Consideremos 𝐴 ∈ 𝒮, de este modo: 𝜇(𝐴∆𝐴) = 𝜇(𝐴 − 𝐴) ∪ 𝜇(𝐴 − 𝐴) = 𝜇(∅) = 0 De aquí que 𝐴~𝐴 y se cumple la Reflexividad.

Análisis Matemático II | 14/03/2015

Para un conjunto 𝐾 no vacío y una relación binaria 𝑅 definida sobre 𝐾 es una relación de equivalencia si cumple con:

2

Luego sea 𝐴~𝐵 si 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒮 entonces: 𝜇(𝐴∆𝐵) = 𝜇(𝐴 − 𝐵) ∪ 𝜇(𝐵 − 𝐴)

𝜇(𝐴 − 𝐵) ∪ 𝜇(𝐵 − 𝐴) = 𝜇(𝐵 − 𝐴) ∪ 𝜇(𝐴 − 𝐵) = 𝜇(𝐵∆𝐴) Como 𝜇(𝐴∆𝐵) = 𝜇(𝐴 − 𝐵) ∪ 𝜇(𝐵 − 𝐴) = 0, se deduce que: 𝜇(𝐵 − 𝐴) ∪ 𝜇(𝐴 − 𝐵) = 𝜇(𝐵∆𝐴) = 0 Entonces: 𝜇(𝐴∆𝐵) = 𝜇(𝐵∆𝐴) = 0 ∴ si 𝐴~𝐵 ⇒ 𝐵~𝐴 se cumple la Simetría. Sea 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝒮 ⟹ Por el punto a. tenemos que si 𝜇(𝐴∆𝐵) = 0, ⟹ 𝜇(𝐴) = 𝜇(𝐵). Entonces 𝐵~𝐶 si 𝐵, 𝐶 ∈ 𝒮 y 𝜇(𝐵∆𝐶) = 0. Como 𝜇(𝐵∆𝐶) = 0, 𝜇(𝐵) = 𝜇(𝐶) ⟹𝜇(𝐴) = 𝜇(𝐶). ∴ se cumple la transitividad y ~ es una relación de equivalencia

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∎

3

Comentado [LAPB3]: Por la propiedad conmutativa de la unión de conjuntos

3- Si 𝑬 es un subconjunto medible de 𝑿, prueba que para todo subconjunto 𝑨 de 𝑿 se cumple la siguiente igualdad: 𝝁(𝑬 ∩ 𝑨) + 𝝁(𝑬 ∪ 𝑨) = 𝝁(𝑨) + 𝝁(𝑩). Podemos escribir: (𝐸 ∪ 𝐴) = (𝐸∆𝐴) ∪ (𝐸 ∩ 𝐴) = [(𝐸 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐸)] ∪ (𝐸 ∩ 𝐴) 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇(𝐸 ∪ 𝐴) = 𝜇[(𝐸 ∩ 𝐴) ∪ (𝐸 ∪ 𝐴)], Comentado [LAPB4]: Por aditividad

es decir: 𝜇[(𝐸 ∩ 𝐴) ∪ (𝐸 ∪ 𝐴)] = 𝜇[(𝐸 ∩ 𝐴) ∪ ([(𝐸 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐸)] ∪ (𝐸 ∩ 𝐴))] = 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇([(𝐸 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐸)] ∪ (𝐸 ∩ 𝐴)) = 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇[(𝐸 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐸)] + 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴)

Entonces: 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇(𝐸 ∪ 𝐴) = 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇[(𝐸 − 𝐴) ∪ (𝐴 − 𝐸)] + 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) = 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇(𝐸 − 𝐴) + 𝜇(𝐴 − 𝐸) + 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) Luego de: 𝜇(𝐴) = 𝜇(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝜇(𝐴 − 𝐵),

𝜇(𝐵) = 𝜇(𝐵 ∩ 𝐴) ∪ 𝜇(𝐵 − 𝐴),

Comentado [LAPB5]: visto os en el inciso a. del ejercicio 2

Tenemos que: 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇(𝐸 − 𝐴) + 𝜇(𝐴 − 𝐸) + 𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) = 𝜇(𝐴) + 𝜇(𝐸) ∴

∎

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𝜇(𝐸 ∩ 𝐴) + 𝜇(𝐸 ∪ 𝐴) = 𝜇(𝐴) + 𝜇(𝐸),

4

4- Demuestra lo siguiente: Sea 𝑨, 𝑬 ⊂ ℝ, 𝒇: 𝑨 → ℝ, 𝒇(𝑨) ⊂ 𝑬. Si 𝒇 es medible y 𝒈 es continua entonces 𝒈 ∘ 𝒇 es medible.

𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝐴)), ⟹ 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔: 𝑓(𝐴) → ℝ. Como 𝑓(𝐴) ⊂ 𝐸 y 𝐸 ⊂ ℝ, el dominio de 𝑔 ∘ 𝑓, i.e. 𝑓(𝐴), es un conjunto medible. Como 𝑔 es medible por ser continua, ∀𝛼 ∈ ℝ tal que 𝑔(𝑥) > 𝛼. ⟹ el conjunto de reales 𝑥 que satisfacen esto es 𝑔−1 ((𝛼, ∞)). El conjunto es abierto y por ser 𝑔−1 continua, su anti imagen es también un abierto y por el Teorema 9 pág. 21 del material desarrollado.

⟹ 𝑔 es medible. Como 𝑔: 𝑓(𝐴) → ℝ es continua para un abierto cualquiera

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𝐹 𝑔−1 (𝐹) es un abierto de 𝑓(𝐴), ⟹ ∃ un 𝐻 ∈ ℝ | 𝑔−1 (𝐹) = 𝐻 ∩ 𝑓(𝐴) el cual es un abierto

5

Entonces (𝑔 ∘ 𝑓)−1 (𝐹) = 𝑓 −1 (𝑔−1 (𝐹)) = 𝑓 −1 (𝐻 ∩ 𝑓(𝐴)) = 𝑓 −1 (𝐻) Siendo 𝐻 un abierto ⟹ (𝑔 ∘ 𝑓)−1 es medible ∴ 𝑔 ∘ 𝑓 es medible ∎

Comentado [LAPB6]: Por definición: