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Práctica de ejercicios

Nombre: Raúl Ibáñez Couoh

Matrícula: ES172001745

Nombre del curso: Análisis

Nombre del profesor: Braulio

Matemático II

Samuel Colmenero Mejía

Unidad: 2

Actividad: EA

Fecha: 06/08/2020 Bibliografía: Bartle, R. (2004). Introducción al análisis matemático de una variable. México: LIMUSA. Courant, R. (1999). Introducción al cálculo y al análisis matemático . México : Limusa . Haaser, N. (1999). Análisis Matemático. México: trillas. Rudin, W. (1980 ). Principios de análisis matemático . México: McGraw Hill . T.M.Apostol. (2006 ). Análisis Matemático . Barcelona: Reverté, S.A. .

Ejercicios a resolver: 1.

Demuestra lo siguiente : Si f  R ( ) y si g  R ( ) en  a, b  , entonces c1 f + c2 g  R ( ) en a , b  ,

para todo par de cons tan tes c1 y c2 ), y se tiene :

 ( c f + c g ) d = c  b

a

1

2

b

1 a

b

fd +c2  gd a

Demostración: Dado ℎ = 𝑐1 𝑓 + 𝑐2 𝑔 siendo 𝑓 y 𝑔 funciones, si generamos una partición 𝑃 de los límites [𝑎, 𝑏] esto se puede representar como: 𝑛

𝑆(𝑃, ℎ, 𝛼) = ∑ ℎ(𝑡𝑘 )∆𝛼𝑘 𝑘=1 𝑛

𝑛

𝑆(𝑃, ℎ, 𝛼) = 𝑐1 ∑ 𝑓(𝑡𝑘 )∆𝛼𝑘 + 𝑐2 ∑ 𝑔(𝑡𝑘 )∆𝛼𝑘 𝑘=1

𝑘=1

𝑆(𝑃, ℎ, 𝛼) = 𝑐1 𝑆(𝑃, 𝑓, 𝛼) + 𝑐2 𝑆(𝑃, 𝑔, 𝛼)

Práctica de ejercicios 𝑏

Tomando en cuenta que 𝜀 > 0. Elegimos {𝑃𝜀′ |𝑃 ⊇ 𝑃𝜀′ ⇒ |𝑆(𝑃, 𝑓, 𝛼) − ∫𝑎 𝑓𝑑𝛼 | < 𝜀} 𝑏

y {𝑃𝜀′′ |𝑃 ⊇ 𝑃𝜀′′ ⇒ |𝑆(𝑃, 𝑓, 𝛼) − ∫𝑎 𝑔𝑑𝛼 | < 𝜀}. Si para: 𝑃𝜀 = 𝑃𝜀′ ∪ 𝑃𝜀′′ Entonces, 𝑃 es más fina que 𝑃𝜀 y, por lo tanto: |𝑆(𝑃, 𝑓, 𝛼) + 𝑆(𝑃, 𝑓, 𝛼) − 𝐴| ≤ |𝑐1 |𝜀 + |𝑐2 |𝜀 𝑏

Por último, con lo anterior ∫𝑎 ℎ𝑑𝛼 es: 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

∫ ℎ𝑑𝛼 = 𝑐1 ∫ 𝑓𝑑𝛼 + 𝑐2 ∫ 𝑔𝑑𝛼 ⇔ ∫[𝑐1 𝑓 + 𝑐2 𝑔]𝑑𝛼 𝑎

𝑎

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑏

∫ ℎ𝑑𝛼 = 𝑐1 ∫ 𝑓𝑑𝛼 + 𝑐2 ∫ 𝑔𝑑𝛼 𝑎

𝑎

𝑎

∎ Demuestra : Si f  R ( ) en  a, b  , entonces   R ( f ) en  a, b  , y se tiene :

2.

 f ( x ) d ( x ) +   ( x ) df ( x ) = f ( b )  (b ) − f ( a ) ( a ) b

b

a

a

𝑏

Tomando 𝜀 > 0 como un número real determinado. Ya que ∫𝑎 𝑓𝑑𝛼 existe, entonces, habrá una partición tal que 𝑃𝜀 de [𝑎, 𝑏] para la cual cada 𝑃′ más fina que 𝑃𝜀 tendremos: 𝑏

|𝑆(𝑃′ , 𝑓, 𝛼) − ∫ 𝑓𝑑𝛼 | < 𝜀 𝑎

Si consideramos una suma del tipo 𝑅𝑖𝑒𝑚𝑎𝑛𝑛 − 𝑆𝑡𝑖𝑒𝑙𝑡𝑗𝑒𝑠 para la integral: 𝑏

∫ 𝛼𝑑𝑓 𝑎

Un ejemplo de ello sería: 𝑛

𝑆(𝑃, 𝛼, 𝑓) = ∑ 𝛼(𝑡𝑘 )∆𝑓𝑘 𝑘=1 𝑛

𝑛

𝑆(𝑃, 𝛼, 𝑓) = ∑ 𝛼(𝑡𝑘 )𝑓(𝑥𝑘 ) − ∑ 𝛼(𝑡𝑘 )𝑓(𝑥𝑘−1 ) 𝑘=1

𝑘=1

Si convertimos a: 𝐴 = 𝑓(𝑏)𝛼(𝑏) − 𝑓(𝑎)𝛼(𝑎):

Práctica de ejercicios 𝑛

𝑛

𝐴 ≔ ∑ 𝑓(𝑡𝑘 )𝛼(𝑥𝑘 ) − ∑ 𝑓(𝑡𝑘 )𝛼(𝑥𝑘−1 ) 𝑘=1

𝑘=1

De ello despejamos: 𝑛

𝑛

𝐴 − 𝑆(𝑃, 𝛼, 𝑓) = ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )[𝛼(𝑥𝑘 ) − 𝛼(𝑡𝑘 )] + ∑ 𝑓(𝑥𝑘−1 )[𝛼(𝑡𝑘 ) − 𝛼(𝑥𝑘−1 )] 𝑘=1

𝑘=1

′

Haciendo 𝑃 = {𝑥0 , 𝑡1 , 𝑥1 , 𝑡2 , 𝑥2 , … . , 𝑡𝑛 , 𝑥𝑛 } ambas sumas puden representarse a partir de una con la forma: 𝑆(𝑃′ , 𝑓, 𝛼) En dónde 𝑃′ ⊇ 𝑃 ⊇ 𝑃𝜀 . Por lo que, si se cumple la ecuación anterior, entonces: 𝑏

|𝐴 − 𝑆(𝑃, 𝛼, 𝑓) − ∫ 𝑓𝑑𝛼 | < 𝜀 𝑎

Siempre que 𝑃 sea más fina que 𝑃𝜀 , lo cual asegura la existencia de: 𝑏

∫ 𝛼𝑑𝑓 𝑎

Para la cual, por último, se representa por: 𝑏

𝐴 − ∫ 𝑓𝑑𝛼. 𝑎

∎ Demuestra : Sea f  R ( ) en  a, b  , y sea g una función continua estrictamente monótona definidad en un int ervalo S de extremos c y d . Supongamos que a = g (c), b = g (d ). Sean h y  las funciones compuestas definidas como sigue :

3. h( x) = f  g ( x )  ,  ( x) =   g ( x )  , si x  S . entonces h  R (  ) en S y tenemos que



g (d )

g (c)



b

a

b

fd  =  hd  . Esto es : a

f (t )d (t ) =  f  g ( x) d   g ( x)  d

c

Partimos de que la función 𝑔 es creciente en 𝑆. Lo cual implica que: 𝑐