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• Jaime Florez

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• Relaciones matematicas
• Cantidades fisicas

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I

M´ odulo de Ejercicios C´ alculo Multivariado

Jaime Florez 2016

II

M´ odulo de Ejercicios C´ alculo Multivariado

Ingenier´ıa Agroindustrial

Universidad Del Tolima

Z Vida=

muerte

felicidad nacimiento tiempo

Jaime A. Fl´orez S.

Primera Versi´on

Ibagu´e - 2016

d tiempo

Introducci´ on El presente m´ odulo taller pretende ser una herramienta de apoyo en el desarrollo del curso C´ alculo Multivariado del programa ingenier´ıa agroindustrial de la Universidad Del Tolima, por ende se encuentra organizado de manera que el educando identifique el conjunto de ejercicios a realizar tras finalizar cada una de las 12 clases que compone el total del curso.

La tem´ atica del curso y los ejercicios seleccionados responden a lo que en la experiencia de su servidor es m´as relevante para la formaci´on del ingeniero agroindustrial en contraste con las limitaciones del medio y de la intensidad horaria.

As´ı pues, esta primera versi´ on de m´odulo de talleres se encuentra dividido en tres Cap´ıtulos (uno por cada parcial) y cada uno en 4 secciones (una por cada clase presencial).

Los ejercicios del primer cap´ıtulo corresponden a las operaciones b´asicas de los vectores en el espacio tridimensional: suma, producto interno y producto externo finalizando con una u ´ltima secci´on de introducci´on al c´alculo vectorial, donde se plantean ejercicios sencillos de derivadas e integrales de funciones vectoriales. III

IV

En el segundo cap´ıtulo los ejercicios planteados responden a las principales gr´ aficas de superficies en el espacio tridimensional, finalizando con analisis diferencial b´ asico de algunas funciones multivaraidas: diferenciaci´ on parcial,direccional y algunos sencillos ejercicios de optimizaci´on.

Finalmente, el tercer cap´ıtulo se enfoca a la soluci´on de integrales dobles mediante el teorema de Fubini, para lo cual en las primeras secciones se plantean ejercicios de cambios de coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas, culminando con la soluci´on de integrales dobles en coordenadas polares. Cabe anotar que por las limitaciones que acarrea el tiempo, no es viable en el curso estudiar las integrales triples, limitando las herramientas de esta tem´ atica al estudio de las coordenadas cil´ındricas y esf´ericas como apoyo para los curiosos que en alg´ un momento se acerquen a este conocimiento.

Considero adem´ as, que este material puede ser de utilidad para otros actores, por lo que en mi calidad de acad´emico y como defensor del copy left, autorizo su reproducci´on y divulgaci´on por medio digital y f´ısico. Si es de su inter´es, puede solicitar una copia a la direcci´on electr´onica [email protected]

Fraternalmente,

Jaime A. Fl´ orez S.

´Indice general 1. Calculo Vectorial

1

1.1. Clase 1: Acuerdo Pedag´ ogico . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Clase 2: Suma y Producto punto entre vectores . . . . . . .

1

1.3. Clase 3: Producto Cruz y Mixto entre Vectores . . . . . . .

3

1.4. Clase 4: C´ alculo con Funciones Vectoriales . . . . . . . . . .

5

2. Funciones Multivariadas y Derivaci´ on Parcial

7

2.1. Clase 1:Repaso gr´ aficas bidimensionales . . . . . . . . . . .

7

2.2. Clase 2: Cilindros y superficies Cu´adricas . . . . . . . . . .

7

2.3. Clase 3: Derivadas Parciales y Direccionales . . . . . . . . .

12

2.4. Clase 4: M´ aximos y m´ınimos de Funciones Multivariadas . .

15

3. Integraci´ on M´ ultiple

17

3.1. Clase 1: Coordenadas Polares, Cil´ındricas y Esf´ericas. . . .

17

3.2. Clase 2: Integral doble (Teorema de Fubini) . . . . . . . . .

19

3.3. Clase 3: Integral en coordendas polares . . . . . . . . . . . .

21

3.4. Clase 4: Integral doble para calcular ´areas . . . . . . . . . .

23

V

Cap´ıtulo 1

Calculo Vectorial

1.1.

Clase 1: Acuerdo Pedag´ ogico

1.1.1 Repasar todo lo visto en c´alculo univariado sobre t´ecnicas de derivaci´on e integraci´ on.

1.2.

Clase 2: Suma y Producto punto entre vectores

1.2.1 Sean los vectores A = h1, 2, 3i, B = h4, −3, −1i, C = h−5, −3, 5i y D = h−2, 1, 6i. Calcula: a.2A − C

b.k2Ak − kCk

c.4B + 6C − 2D

d.k4Bk + k6Ck − k2Dk e.kAkkBk(C − D) f.kAkC − kBkD g. Escalares a y b tales que a(A + B) + b(C + D) = 0 h. Escalares a,b y c tales que aA + bB + cC = D 1

CAP´ITULO 1. CALCULO VECTORIAL

2

i. Vectores A0 ,B 0 ,C 0 y D0 unitarios en las direcciones de A,B,C y D respectivamente. 1.2.2 Encuentra A.B para: a.A = h5, 0, −2i, B = h3, −1, 10i b.A = h1, −2, 3i, B = h5, 0, 9i c.A = hs, 2s, 3si, B = ht, −t, 5ti

d.A = h1, et , e−t i, B = h2, et , −e−t i

e.A = ht, t2 , t3 i, B = h1, 2t, 3t2 i f.A = hsin t, cos t, 0i, B = hsin t, cos t, 1i gkAk = 12; kBk = 15 Si el ´angulo entre los vectores es de

π 6

h.kAk = 4; kBk = 10 Si el ´angulo entre los vectores es de 120◦ i.A(t) = ht + 1, t2 − 1, t − 1i, B(t) = ht − 1, 1, t + 1i j.A(t) = h4 − t2 , 4, t2 + 4i, B(t) = ht2 , t2 4, −4i k.A(t) = hcos t, − sin t, ti, B(t) = hsin t, cos t, −ti l.A(t) = hsec t, tan t, −2i, B(t) = hsec t, − tan t, ti

1.2.3 Sean A = h−4, −2, 4i; B = h2, 7, −1i; C = h6, −3, 0i y D = h5, 4, −3i. Calcula (si es posible): a.A.(B + C) b.A.(B.C) c.A.D − B.Cd. A + (B.C) e(A.B)(C.D)

1.3. CLASE 3: PRODUCTO CRUZ Y MIXTO ENTRE VECTORES

1.3.

3

Clase 3: Producto Cruz y Mixto entre Vectores

1.3.1 Encuentre el vector A × B, B × A y verifique que ´estos son ortogonales tanto a A como a B. a.A = h5, 0, −2i, B = h3, −1, 10i b.A = h1, −2, 3i, B = h5, 0, 9i c.A = hs, 2s, 3si, B = ht, −t, 5ti

d.A = h1, et , e−t i, B = h2, et , −e−t i

e.A = ht, t2 , t3 i, B = h1, 2t, 3t2 i

f.A = hsin t, cos t, 0i, B = hcos t, sin t, 1i

gkAk = 12; kBk = 15 Si el ´ angulo entre los vectores es de

π 6

h.kAk = 4; kBk = 10 Si el ´ angulo entre los vectores es de 120◦ j.A(t) = h4 − t2 , 4, t2 + 4i, B(t) = ht2 , t2 4, −4i k.A(t) = hcos t, − sin t, ti, B(t) = hsin t, cos t, −ti l.A(t) = hsec t, tan t, −2i, B(t) = hsec t, − tan t, ti

1.3.2 Determina si los vectores A y B son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos para: a.A = h−5, 3, 7iB = h6, −8, 2i

b.A = h4, 6i, B = h3, −2i

c.A = h−1, 2, 5i, B = h3, 4, −1i

d.A = h2, 6, −4i, B = h−3, −9, 6i

e.A = h−3, 9, 6i, B = h4, −12, −8i f.A = ha, b, ci, B = h−b, a, 0i 1.3.4 Indique cuales de las siguientes expresiones tienen sentido y cuales no. Si lo tiene, muestra un ejemplo; en caso contrario, justifica por qu´e no lo tiene: a. (A.B).C

b. (A.B)C

c. kAk(B.C)

d. A.(B + C) e. kAk.(B + C)

f. A.(B × C)

g. A × (B.C) h. (A.B) × C

i. (A.B) × (C.D)

j. (A × B).(C × D)

CAP´ITULO 1. CALCULO VECTORIAL

4 1.3.5 Demuestra:

a. La desig¨ ualdad de Cauchy-Schwarz para dos vectores A, B ∈ R3 : |A.B| ≤ kAkkBk b. La desig¨ ualdad triang¨ ular para dos vectores A, B ∈ R3 : kA + Bk ≤ kAk + kBk c. La ley del paralelogramo para dos vectores A, B ∈ R3 : kA + Bk2 + ≤ kA − Bk2 = 2kAk2 + 2kBk2 d. La identidad de la polarizaci´on para dos vectores A, B ∈ R3 : kA + Bk2 − kA − Bk2 = 4A.B e. El Teorema de pit´ agoras: si A ⊥ B, entonces kA + Bk2 = kAk2 + kBk2 . f. La identidad de Lagrange: si A, B ∈ R3 , entonces A.B × C = A × B.C g. Si A y B son dos vectores cualesquiera, entonces kBkA + kAkB y kBkA − kAkB son ortogonales. h. Si A, B ∈ R3 y θ es el ´angulo formado entre los vectores A y B entonces tan θ =

kA×Bk A.B .

i. Si A, B ∈ R3 , proporciona un contra ejemplo que donde se vea que (A × B) × C 6= A × (B × C)

´ 1.4. CLASE 4: CALCULO CON FUNCIONES VECTORIALES

1.4.

5

Clase 4: C´ alculo con Funciones Vectoriales

1.4.1 Encuentra la funci´ on vectorial R0 para la funci´on R: √ 2t − π 6 cot(5t3 + 2) 3x −t t 3 )i , , ((e + e ) )(4 t3 − t2 + t 3 tan(3t4 − 10) 5 x5 + x2 + x sin(cos(x2 + 4)) π x2 b. R(x) = h4 i , , 9 2 (log5 x)4 √ 5 p 4 t2 p 2 3 c. R(t) = h √ , 3 csc(sec3 (t))ecot t − ln(t + t2 − 1), ln x(arcsec x3 )4 + 52x −3 arccsc(2 − x5 )i 6 6r t   q √ √ cos 4 + x2 d. R(x) = h 1 + 1 + 1 + x, sin3 (πx2 + 2x − 4) cos( 3x + 2), ln i x p √ 3 (3x − 1)(2x − 1)4x tan(6x3 + 2) sec2 ( x6 ) arcsin 3 − 7x p e. R(x) = h ,7 i. , (3x3 + 1)2 log3 9x csc(2x)

a. R(t) = h

1.4.2 Encuentra la integral de las siguientes funciones vectoriales: √ Z Z 1 p 4 − x2 1 2 4 3 x 2 x 2 a. hx x − 5, cos (3x), √ idx b. hx sec x tan x, e tan (e ), idx x2 x2 4 − x2 Z π Z0 4 1 x2 c. hsin x(5 + cos x)4 , tan3 x, √ idx d. hx2 e−3x , sin3 (2x), √ idx x 4 + x2 6 + x2 Z Z0 1 t 1 2 idt f. hx sec2 (3x), sin2 x cos3 x, idx e. htet , cos5 t, √ , 3/2 2 2 (5x − 9)3/2 t t2 − 16 (3 + t ) Z π Z p x3 g. hex cos(x), sin3 x cos3 x, x3 x2 − 9idx h. hln x, tan4 x, √ idx x2 + 9 Z Z0 sec3 x 1 x3 √ idx j. hx5 ex , idx i. hsin3 x cos x, csc3 x, √ 4 x, 2 2 tan x −9 x 16x2 − 9

Cap´ıtulo 2

Funciones Multivariadas y Derivaci´ on Parcial 2.1.

Clase 1:Repaso gr´ aficas bidimensionales

2.1.1 Dibuja las siguientes relaciones en R2 : a. 4x2 + 9y 2 = 36 b. z = sin y c. y = |z|

2.2.

e. z = 2x2

f. z 2 = 4y 2

i. x2 + z 2 = 16

j. y = z 3

d. x2 − z 2 = 4 √ h. z = x

g. z = ey √ k. y = − z l. y = 3z 2

Clase 2: Cilindros y superficies Cu´ adricas

2.2.1 Dibuja los siguientes cilindros en R3 : a. 4x2 + 9y 2 = 36 b. z = sin y c. y = |z| e. z = 2x2

f. z 2 = 4y 2

i. x2 + z 2 = 16

j. y = z 3

d. x2 − z 2 = 4 √ h. z = x

g. z = ey √ k. y = − z l. y = 3z 2

2.2.2 En los incisos a-l relacione la ecuaci´on dada con una de las su7

´ PARCIAL 8CAP´ITULO 2. FUNCIONES MULTIVARIADAS Y DERIVACION perficies i-xii y nombre la superficie: a. 9x2 − 4y 2 + 36z 2 = 36 b. 5x2 − 2z 2 = 3y

c. 9x2 − 4y 2 + 36z = 0

d. 5x2 + 2z 2 = 3y

e. 9x2 + 4y 2 + 36z = 36

f. 9x2 − 4y 2 − 36z = 36

g. 4x2 − 16y 2 + 9z 2 = 0

h. 3y 2 + 7z 2 = 6x

i. 25x2 = 4y 2 + z 2 + 100

j. 3y 2 − 7z 2 = 6x

k. 25x2 = 4y 2 − z 2 + 100 l. 25x2 = 100 − 4y 2 − z 2

´ 2.2. CLASE 2: CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS

9

´ PARCIAL 10CAP´ITULO 2. FUNCIONES MULTIVARIADAS Y DERIVACION

2.2.3 dibuja la gr´ afica de las siguientes ecuaciones e identifica la superficie:

´ 2.2. CLASE 2: CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRICAS

a. 4x2 + 9y 2 + z 2 = 36 c. 4x2 + 9y 2 − z 2 = 36

b. 4x2 − 9y 2 − z 2 = 36

d. 4x2 − 9y 2 + z 2 = 36 x2 z2 e. x2 = y 2 − z 2 f. + = 4y 362 252 2 2 y x x z g. + = 4z h. − = 9y 25 36 36 25 2 2 p x z i. − =4 j. f (x, y) = 1 − x2 − y 2 36 25 p p k. f (x, y) = y 2 − 4x2 − 16 l. f (x, y) = 72 + 4x2 − 9y 2 p p m. f (x, y) = x2 + 4y 2 + 25 n. f (x, y) = y 2 − 4x2

11

´ PARCIAL 12CAP´ITULO 2. FUNCIONES MULTIVARIADAS Y DERIVACION

2.3.

Clase 3: Derivadas Parciales y Direccionales

2.3.1 Obtenga todas las primeras derivadas parciales de: a. f (x, y) = 2x4 y 3 − xy + 3y + 1 √ c. f (r, s) = r2 + s2 e. f (x, y) = xey + y sin x p g. f (t, v) = ln (t + v)/(t − v)

b. f (x, y) = (x3 − y 2 )2 d. f (s, t) = t/s − s/t f. f (x, y) = 7x log7 (xy)

i. f (x, y) = x cos(x/y)

h. f (u, w) = arctan(u/w) p j. f (x, y) = 4x2 − y 2 sec x

k. f (r, s, t) = r2 π 2s cos t

l. f (x, y, t) = (x2 − t2 )/(1 + arc cos(3y))

m. f (x, y, z) = (y 2 + z 2 )x

n. f (r, s, v) = (2r + 3s)cos v √ 2 p. f (r, s, v, p) = r3 tan s + sev − v cos(2p)

o. f (x, y, z) = xez − yex + ze−y √ q. f (q, v, w) = arcsin qv + sin(vw) r. f (x, y, z) = xyzexyz . 2.3.2 Halla la derivada pedida para la funci´on dada:

a. w121 para w = 3x2 y 3 z + 2xy 4 z 2 − yz b. wtut para w = u4 vt2 − 3uv 2 t3 c. w332 para w = y ln(x2 + z 4 ) e.

∂3w ∂z∂y∂x

para w = sin xyz

d. wrvr para w = v sec rt f.

∂3w ∂z∂y 2

para w = x2 /(y 2 + z 2 )

g. wrrs , wrsr , wsrr para w = r4 s3 t − 3s2 ert . h. wuvv , wvuv , wvvu para w = tan uv + 2 ln(u + v).

2.3.3 Una funci´ on f de x y y se llama arm´onica si

∂2f ∂x2

2

+ ∂∂yf2 = 0 en todo

el dominio de f . Demuestra que las siguientes funciones son arm´onicas. p a. f (x, y) = ln x2 + y 2 b. f (x, y) = arctan(y/x) c. f (x, y) = e−x cos y + e−y cos x. 2.3.4 Una funci´ on y de x y t satisface la ecuaci´on de onda

∂2y ∂t2

2

∂ y = a2 ∂x 2

en todo el dominio de y. Demuestra que las siguientes funciones satisfacen la ecuaci´ on de onda. a. y(x, t) = (sin akt)(sin kx) b. y(x, t) = (x − at)4 + cos(x + at)

2.3. CLASE 3: DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES

13

2.3.5 Dos funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann si ux = vy y uy = −vx . Demuestra que las siguientes funciones Satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann.

a. u = x2 − y 2 ; v = 2xy

b. u = y/(x2 + y 2 ); v = x/(x2 + y 2 )

c. u = ex cos y; v = ex sin y

2.3.6 La ley de los gases ideales se puede enunciar como P V = knT donde n es el n´ umero de moles de gas, V el volumen, T la temperatura, P la presi´on y k una constante. Demuestra que

∂V ∂T ∂P ∂T ∂P ∂V

= −1

2.3.7 Encuentra el gradiente de f en el punto dado

a. f (x, y) =

p x2 + y 2 ; P (−4, 3)

rc. f (x, y) = e3x tan y; P (0, π/4)

b. f (x, y) = 7y − 5x; P (2, 6) d. f (x, y) = x ln(x − y); P (5, 4)

e. f (x, y, z) = yz 3 − 2x2 ; P (2, 3, −1) f. f (x, y, z) = xy 2 ez ; P (2, −1, 0).

2.3.8 Sean u = f (x, y) y v = g(x, y) dos funciones diferenciables y c ∈ R. Demuestra que:

a. ∇(cu) = c∇u

b. ∇(u + v) = ∇u + ∇v

c. ∇(uv) = v∇u + u∇v d. ∇ uv =

v∇u−u∇v v2

2.3.9 Encuentra la derivada direccional de f en el punto P en direcci´on

´ PARCIAL 14CAP´ITULO 2. FUNCIONES MULTIVARIADAS Y DERIVACION del vector u. a. f (x, y) = x2 − 5xy + 3y 2

P (3, −1)

b. f (x, y) = x3 − 3x2 y − y 3

P (1, −2)

√ u = ( 2/2)(i + j) √ u = 12 (−i + 3j)

c. f (x, y) = arctan(y/x)

P (4, −4)

u = 2i − 3j

d. f (x, y) = x2 ln y p e. f (x, y) = 9x2 − 4y 2 − 1

P (5, 1)

u = −i + 4j

P (3, −2)

u = i + 5j

f. f (x, y) = (x − y)/(x + y)

P (2, −1)

u = 3i + 4j

g. f (x, y) = x cos2 y

P (2, π/4)

u = h5, 1i

h. f (x, y) = xe3y

P (4, 0)

u = h−1, 3i

i. f (x, y, z) = xy 3 z 2

P (2, −1, 4)

u = i + 2j − 3k

j. f (x, y, z) = x2 + 3yz + 4xy

P (1, 0, −5)

u = 2i − 3j + k

k. f (x, y, z) = z 2 exy √ l. f (x, y, z) = xy sin z

P (−1, 2, 3)

u = 3i + j − 5k

P (4, 9, π/4) u = 2i + 3j − 2k

m. f (x, y, z) = (x + y)(y + z)

P (5, 7, 1)

u = h−3, 1, 0i

n. f (x, y, z) = z 2 arctan(x + y)

P (0, 0, 4)

u = h6, 0, 1i

o. f (x, y) = ln(x2 + y 2 )

P (2, 1)

u = h−1, 2i

p. f (r, θ) = e−r sin θ p q. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2

P (0, π/3)

u = h3, −2i

P (1, 2, −2)

u = h−6, 6, 3i

r. f (x, y, z) = (x + 2y + 3z)3/2 ; P (1, 1, 2)

u = 2j − k.

´ 2.4. CLASE 4: MAXIMOS Y M´INIMOS DE FUNCIONES MULTIVARIADAS15

2.4.

Clase 4: M´ aximos y m´ınimos de Funciones Multivariadas

2.4.1 Halla las coordenadas de los puntos m´aximos, m´ınimos y de silla de las siguientes funciones: a. f (x, y) = x2 + 2xy + 3y 2

b. f (x, y) = x2 − 3xy − y 2 + 2y − 6x

c. f (x, y) = x3 + 3xy − y 3

d. f (x, y) = 4x3 − 2x2 y + y 2

e. f (x, y) = x2 + 4y 2 − x + 2y

f. f (x, y) = 5 + 4x − 2x2 + 3y − y 2

g. f (x, y) = x4 + y 3 + 32x − 9y

h. f (x, y) = cos x + cos y

i. f (x, y) = ex sin y

j. f (x, y) = x sin y

k. f (x, y) =

4y+x2 y 2 +8x xy

l. f (x, y) =

x x+y

m. f (x, y) = 9 − 2x + 4y − x2 − 4y 2 n. f (x, y) = x3 y + 12x2 − 8y 2 −y 2

o. f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 2

p. f (x, y) = e4y−x

q. f (x, y) = ex cos y

r. f (x, y) = x2 ye−x

2 −y 2

Cap´ıtulo 3

Integraci´ on M´ ultiple

3.1.

Clase 1: Coordenadas Polares, Cil´ındricas y Esf´ ericas.

3.1.1 Determina una ecuaci´ on en coordenas cil´ındricas y otra en coordenadas esf´ericas de la superficie dada e identifica la superficie.

a. x2 + y 2 + 4z 2 = 16

b. x2 − y 2 = 9

c. x2 + y 2 = 3z

d. 9x2 + 4y 2 = 36

e. x2 − y 2 = 3z 2 f. x2 + y 2 = z 2

g. x2 + y 2 + z 2 − 9z = 0 h. x2 + y 2 = 9

i. x2 + y 2 = 2z

j. x2 + y 2 + z 2 − 8x = 0

l. x2 + z 2 = 9.

k. y = x

3.1.2 Determina una ecuaci´ on en coordenadas cartesianas de la super17

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

18

ficie dada e identifica la superficie. a. r = 0

b. z 2 sin3 θ = r3 c. r2 cos(2θ) = z 3

d. z 2 + r2 = 4 e. ρ = 6 csc φ

f. ρ = 2 tan φ

g. φ = π/2

h. ρ2 = cos(2θ)

i. z = 1 − r2

j. r = 4

k. θ = π/4

l. φ = π/6

m. ρ = 9

n. r = 4 cos θ

o. r = sin(2θ)

p. ρ = 4 cos φ

q. ρ = sec φ

r. φ = 0

s. φ = π/2

t. ρ2 = cos(2θ)

u. z = 1 − r2 .

3.2. CLASE 2: INTEGRAL DOBLE (TEOREMA DE FUBINI)

3.2.

19

Clase 2: Integral doble (Teorema de Fubini)

3.2.1 Calcula la integral iterada: √

2Z

Z

x 2

a.

x y dydx Z1 2 Z1−x 2 d. xy dxdy Z 1π/2yZ cos θ esin θ drdθ g. Z 0e Z x 0 j. ln x dydx 1

0

Z

1

Z

x+1

Z

1 Z x2

x + 2y dydx Z 01 Z 02−x √ e. x dxdy f. x2 − y dydx 0 y 0 x Z 1Z vp Z 2Z x 2 h. ey/x dydx 1 − v dudv i. 3 Z 0π/40Z sec x Z1 π/4xZ sin x k. y + sen x dydx l. ey cos x dydx. (3x + 2y) dydx

b.

c.

x3 Z −1 1 Z ey

π/6

tan x

π/6

0

3.2.2 Eval´ ua la doble integral: x3 y 2 dA;

a.

RR

b.

4y R x3 +2 RR 2y R x2 +1

c.

R

RR

dA; dA;

2

ey dA;

d.

RR

e.

RR

f.

RR

g.

RR

dA;

h.

RR

x cos y dA,

R R R

4y R x3 +2

RR

x + y dA,

j.

RR

y 3 dA,

k.

RR

xy 2 dA,

RR

R = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x} √ R = {(x, y)|0 ≤ 1 ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x} R = {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

ex/y dA; R = {(x, y)|1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y 3 } p x y 2 − x2 dA; R = {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

i.

2x − y dA, RR m. 2xy dA, l.

R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, −x ≤ y ≤ x}

R = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x} R es acotada por y = 0, y = x2 y x = 1 √ R es acotada por y = x y y = x2 R es la regi´on triangular con v´ertice (0, 2); (1, 1) y (3, 2) p R es acotada por x = 0, y = x2 y x = 0 y x = 1 − y 2 R es el c´ırculo con radio en el origen y radio 2 R es la regi´on triangular con v´ertice (0, 0); (1, 2) y (0, 3)

3.2.3 Encuentre el volumen del s´ olido dado: a.Bajo el plano x + 2y − z = 0 y sobre la regi´on acotada por y = x y y = x4 b.Bajo la superficie z = 2x + y 2 y sobre la regi´on acotada por x = y 2 y

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

20 x = y3

c.Bajo la superficie z = xy y sobre el tri´angulo de v´ertices (1, 1) (4, 1) y (1, 2) d.Encerrada la superficie z = x2 + 3y 3 y los planos x = 0, y = 1, y = x y z=0 e.Acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1 f.Acotado por los planos z = x, y = x, x + y = 2 y z = 0 g.Encerrado por los cilindros z = x2 , y = x2 y los planos z = 0 y y = 4

3.2.4 Grafica la regi´on de integraci´on e intercambia el orden de integraci´ on R 4 R √x R1R4 b. 0 4x f (x, y) dydx 0 0√ f (x, y) dydx R 3 R 9−y2 R 3 R √9−y c. 0 √ 2 f (x, y) dydx d. 0 0 f (x, y) dxdy − 9−y R 1 R π/4 R 2 R ln x f (x, y) dydx e. 0 arctan x f (x, y) dydx d. 1 0 a.

3.2.5 Eval´ ua la integral intercambiando el orden de integraci´on: a. c. e.

R1R3 0 3y R3R9 0 y2 R1R1 0 x2

2

ex dxdy

b.

y cos(x2 ) dxdy d. x3 sin(y 3 ) dydx f.

R1R1 √

3 √ 0 y x + 1 dxdy R1R1 3 3 0 x2 x sin(y ) dydx √ R 1 R π/2 2 0 arcsin y cos x 1 + cos x

dxdy.

3.3. CLASE 3: INTEGRAL EN COORDENDAS POLARES

3.3.

21

Clase 3: Integral en coordendas polares

3.3.1

Para cada una de las regiones R ilustradas en las siguientes

figuras, decide donde usar coordenadas polares y donde rectangulares y RR escribe R f (x, y) dA como una integral iterada, donde f es una funci´on arbitraria continua sobre R.

3.3.2 Eval´ ua la integral cambiando a coordenadas polares: a.

RR D

xy dA

22

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

Donde D es el disco con centro en el origen y de radio 3. RR b. D x + y dA Donde D es la regi´on que yace a la izquierda del eje y entre los c´ırculos x2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 4. RR c. D cos(x2 + y 2 ) dA Donde D es la regi´on que yace sobre el eje X dentro del c´ırculo x2 + y 2 = 9. RR p d. D 4 − x2 − y 2 dA Donde D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0} RR 2 2 f. D e−x −y dA Donde D es la regi´on acotada por el semic´ırculo x = p 4 − y 2 y el eje y. RR x g. on del primer cuadrante acotada por D ye dA Donde D es la regi´ x2 + y 2 = 25. RR h. D arctan(y/x) dA Donde D = {(x, y)|1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x} 3.3.3 Demuestra, mediante integraci´on doble que el ´area de un c´ırculo de radio ρ es A = πρ2

´ 3.4. CLASE 4: INTEGRAL DOBLE PARA CALCULAR AREAS

3.4.

23

Clase 4: Integral doble para calcular ´ areas

3.4.1 Encuentra, mediante integraci´on doble el ´area de las siguientes regiones: a. R es acotada por y = 0, y = x2 y x = 1 √ b. R es acotada por y = x y y = x2 c. R es la regi´ on triangular con v´ertice (0, 2); (1, 1) y (3, 2) d. R es la regi´ on acotada por y = x y y = x4 e. R es el disco con centro en el origen y de radio 3. f. R es acotada por x = p 0, y = x2 y x = 0 y x = 1 − y 2 g. R es el c´ırculo con radio en el origen y radio 2 h. R es la regi´ on triangular con v´ertice (0, 0); (1, 2) y (0, 3) i. R es la regi´ on que yace a la izquierda del eje y entre los c´ırculos x2 +y 2 = 1 y x2 + y 2 = 4. j. R es la regi´ on acotada por x = y 2 y x = y 3 k. R es el tri´ angulo de v´ertices (1, 1) (4, 1) y (1, 2) l. R es la regi´ on que yace sobre el eje x dentro del c´ırculo x2 + y 2 = 9. m. R es acotada por las rectas x = 0, y = 1, y = x y z = 0 n. R = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0} o. R es acotada por las rectas x = 0, y = 0, y x + y = 1 p. R es acotada por las rectas y = x, x + y = 2 y x = 0 p q. R es la regi´ on acotada por el semic´ırculo x = 4 − y 2 y el eje y. r. R es la regi´ on del primer cuadrante acotada por x2 + y 2 = 25. s. R es acotada por y = x2 y y = 4 t. R = {(x, y)|1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}

3.4.2 Demuestra, mediante integraci´on doble que el ´area de un c´ırculo de radio ρ es A = πρ2

24

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

3.4.3 Demuestra, mediante integraci´on doble que el volumen de una esfera de radio ρ es V = 43 πρ3

Bibliograf´ıa [1] Stewart J., Calculus [2] Leithold L., El C´ alculo. [3] Swokowski E., C´ alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica. [4] Edwards y Penney, C´ alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica.

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