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Interés compuesto  Vanessa  12 de marzo de 2020  Finanzas  40 comentarios

El interés es la cantidad que se paga o se cobra, según el caso, por el uso del dinero. Intervienen tres factores importantes en el cálculo del interés, estos son, el capital, la tasa de interés y el tiempo. Verás cada uno de ellos con más detalle durante el artículo. Podemos diferenciar entre interés simple e interés compuesto. En este artículo vamos a ver el interés compuesto.          

Índice ¿Qué es el interés compuesto? Interés compuesto contra interés simple ¿Cuál es la fórmula del interés compuesto? La Fórmula del interés compuesto es:

o

¿Cómo se calcula el capital final en interés compuesto? ¿Cómo se calcula el tiempo en interés compuesto? ¿Cómo se calcula la tasa de interés en interés compuesto? ¿Cómo se calcula el capital inicial o valor presente en interés compuesto? Fórmula del interés compuesto en días meses y años. Equivalencias fórmula del interés compuesto  Caso práctico interés compuesto  Ejercicios interés compuesto o 

Interés compuesto

¿Qué es el interés compuesto? El interés compuesto consiste en calcular el interés sobre el capital inicial y también el interés de los intereses acumulados de períodos anteriores de un depósito o préstamo. El interés compuesto se puede considerar como » intereses sobre intereses» , y hará que un depósito o préstamo crezca a un ritmo más rápido que el interés simple , que es un interés calculado sólo sobre la cantidad principal.

Por otro lado, el interés compuesto se aplica tanto a los préstamos como a las cuentas de depósito. La velocidad a la que el interés compuesto se acumula depende de la frecuencia de la capitalización;cuanto mayor es el número de períodos de capitalización, mayor es el interés compuesto. Es decir, el importe de los intereses compuestos que se devengan de 100€ invertido a un 10% anual es menor que si invertimos 100€ al 5% semestral durante el mismo período de tiempo.

Interés compuesto contra interés simple Imagina que inviertes 10.000€ al 8% de interés simple. Esto significa que cuando haya pasado un año se agregan 800€ a la cuenta. En el segundo año se generan otros 800€ en intereses, y lo mismo ocurre con el tercer año, el cuarto año y así sucesivamente. Si en lugar de interés simple, la inversión es al 8% de interés compuesto, no hay diferencia en los intereses percibidos el primer año, pero diferente para el resto. El primer año se reciben 800€ como lo sucede con el interés simple. Sin embargo, es a partir del segundo año donde comienza a ser diferente. En el segundo año, el interés del 8% se calcula sobre el nuevo saldo 10.800€, no solo sobre los 10.000€ originales. Esto genera unos intereses para el segundo año de 864€, que luego se agrega al principal al calcular los intereses para el tercer año.

¿Cuál es la fórmula del interés compuesto? La tasa de interés compuesto se expresa normalmente como un porcentaje. Desempeña un papel importante en la determinación de la cantidad de intereses sobre un préstamo o inversión. La cantidad de interés que se paga o se cobra depende de tres cantidades importantes: El capital, la tasa de interés y el tiempo, que explicaremos a continuación con un ejemplo.

La Fórmula del interés compuesto es:

El capital inicial (Co), es la cantidad de dinero que se invierte o que se presta. La tasa de interés (i), es la cantidad de interés expresado en tanto por ciento por unidad de tiempo. El tiempo (n), es el tiempo que transcurre entre el momento de la inversión o préstamo y la devolución o pago. Recuerda que el tiempo se debe expresar en las mismas unidades que la tasa de interés. También puedes usar esta otra fórmula, cuando tengas los datos. I = Capital final – Capital inicial

También te puede interesar conocer la fórmula del interés simple  ► Fórmula del interés simple y ejercicios resueltos ◄

¿Cómo se calcula el capital final en interés compuesto?   ¿Cuál es el capital final de 125.000€ que generan unos intereses de 105.000€ después de 3 años? Identificamos los datos: C = 125.000€ i = 10% t = 3 años Cn?

Sustituimos los datos en la fórmula para calcular el capital final. Cn = 125.000 · ( 1+0,1)^3 = 166.375€ El capital final que se obtiene al invertir 125.000€ durante 3 años con una tasa de interés del 10% es de 166.375€.

¿Cómo se calcula el tiempo en interés compuesto? Con frecuencia necesitamos calcular el tiempo que tiene que estar una cantidad invertida para que produzca un determinado interés.

¿Cuánto tiempo tiene que estar un capital de 250.000€ a una tasa de interés del 2,5% anual para que se convierta en 320.000€? Identificamos los datos: Co = 250.000€ Cn = 320.000€ i = 2,5% Sustituimos los datos en la fórmula para calcular el tiempo.

n = 9,99 años. El tiempo que hay que invertir 250.000€ para que se conviertan en 320.000€ a una tasa de interés anual del 2,5% son 9,99 años.

¿Cómo se calcula la tasa de interés en interés compuesto?

Al igual que ocurre con el tiempo, en ocasiones necesitamos saber la tasa ala que debemos imponer un cierto capital, para que al final de un periodo consigamos un determinado capital final o unos intereses determinados.

  ¿Qué tasa de interés ha tenido una inversión de 200.000€ si al final de 5 años ha recibido 350.000€? Identificamos los datos: Co = 200.000€ Cn = 350.000€ n = 5 años Sustituimos los datos en la fórmula para calcular la tasa de interés.

i = 0,1184 · 100 = 11,84% anual La tasa de interés a la que hay que invertir 200.000€ para que dentro de 5 años nos de un capital final de 350.000€ es de 11,84%.

¿Cómo se calcula el capital inicial o valor presente en interés compuesto? Para calcular el capital inicial de una inversión o un préstamo cuando no sabemos su importe, utilizamos la siguiente fórmula.

¿Cuál es el capital inicial que al 10,5% anual durante 10 años produce un capital final de 5.000€? Identificamos los datos: Cn = 5.000€ n = 10 años i = 10,5% Sustituimos los datos en la fórmula para calcular el capital inicial.

Co = 1.842,24€ El capital inicial que al 10,5% anual durante 10 años produce un capital final de 5.000€ es de 1.842,24€.

Fórmula del interés compuesto en días meses y años. Equivalencias fórmula del interés compuesto Estas fórmulas están muy bien si la tasa de interés y el tiempo están expresados en la misma unidad, es decir, si el interés es anual y el tiempo está expresado en años. Pero, ¿qué ocurre cuando no coinciden? en ese caso tienes que usar la siguiente fórmula.

Caso práctico interés compuesto

Supongamos que estas invirtiendo 20.000€ al 1,5% de interés compuesto trimestral, durante 20 años. En este caso lo primero que tenemos hacer es pasar los años a trimestres. N serían 80 trimestres, ya que 1 año tiene 4 trimestres. A partir de esta información, podemos calcular el valor final de la inversión después de 20 años. Cn = 20.000(1+0,015) ^80 = 65.813,26€ Vamos a invertir 5.000€ en una entidad financiera que nos remunera el capital al 12% nominal y nos da a elegir el intervalo de tiempo en el que queremos que nos liquide los intereses, ¿cuál elegiríamos? a) Meses b) Trimestres c) Semestres d) Años Para saber que intervalo de tiempo nos conviene, vamos a aplicar la fórmula de los tantos equivalentes: Meses -> i = (1+0,12/12)^12 -1 = 12,68% Trimestres -> i = (1+0,12/4)^4 – 1 = 12,55% Semestres -> i = (1+0,12/2)^2 -1 = 12,36% Años -> i = (1+0,12) – 1 = 12% Si observamos los resultados obtenidos comprobamos, que partiendo de un mismo tanto nominal, obtenemos un tanto anual equivalente distinto en cada caso. De forma que, cuanto más corto sea el periodo de liquidación mayor TAE conseguimos. Por tanto la pregunta que nos hacíamos en el enunciado de este ejemplo es fácilmente contestable: a igualdad de tanto nominal, siempre preferimos invertir en aquellos que liquiden intereses con mayor frecuencia, es decir elegimos por meses.

Ejercicios interés compuesto La mejor manera de comprobar si te ha quedado claro es hacer estos ejercicios por tu cuenta antes de mirar las respuestas.

1.Invertimos 3.000€ durante 5 años al 0,35% de interés compuesto. mensual.  

¿Cuánto habrá en la cuenta al final de los 5 años? ¿Cuánto interés se ha ganado? 2. Invertimos 5.000€ en un depósito durante 18 meses pagando el 1,3% compuesto trimestral.

 

¿Cuál es el valor final? ¿Cuál es el importe del interés generado? 3.Calcula el montante compuesto y el interés compuesto sobre el capital prestado 20.000€ al 6 % compuesto anual durante 3 años . 4.Encuentra el capital final , que se obtiene a partir de un capital inicial de 2000€ a un interés compuesto trimestralmente del 6% durante 5 años . Soluciones: Respuesta ejercicio 1 Co = 3.000€ , n = 5 años i =0,35% mensual Cn = 3.000(1+0,0035)^60 = 3.699,68€ Pasados 5 años los 3.000€ invertidos se convierten en 3.699,68€ I = 3.699,68€ – 3.000€ = 699,68€ Respuesta ejercicio 2 C0 = 5.000€, n= 18 meses, i = 1,3% trimestral Cn = 5.000(1+0,013)^6 = 5.402,90€ I = 5.402,90€ – 5.000€ = 402,90€ Respuesta ejercicio 3 Co= 20000€ , i = 6 %, n = 3 Utilizando la fórmula

El interés compuesto = 23820,32€ -20000€ = 3.820,32€ Respuesta ejercicio 4 Capital inicial = 2.000 , i = 6 % ; n = 5 x 4 = 20 trimestres

2.000 ·( 1 + 0,06) ^20 = 6414,27€ El interés compuesto =6414,27€ – 2000€ = 4414,27€

Una persona está obligada a saldar una deuda de $ 50.000 exactamente dentro de tres años. ¿Cuánto tendría que invertir hoy a interés compuesto al 6% anual, para llegar a disponer de esa cantidad dentro de tres años y cumplir con el pago de su deuda

Hola, Esto es un simple problema de capitalización, donde no conocemos el valor inicial. Los datos son: Vf = $50.000 i = 6% anual = 0,5% mensual n = 3 años = 36 meses Aunque no lo dice asumimos una capitalización mensual. Sustituimos en la formula: Vf = Vi × (1 + i)^n Vi = Vf ÷ (1 + i)^n Vi = 50.000 / (1 + 0,005)³⁶ Vi = $41.782,25 Para obtener un monto de $50.000 al cabo de 3 años, con una tasa de 6% anual, la persona debe invertir al día de hoy un monto de $41.782,25. Ingreso 15 000 en un banco y se comprometen a pagarme un 3,7 % anual, abonando los intereses semestralmente. ¿Cuánto dinero tengo al cabo de 4 años?

Fórmula para calcular interés y monto compuesto   A continuación se brindan algunas explicaciones, ejemplos de aplicación y alternativas de resolución de problemas que se le pueden presentar. Del ejemplo visto  es posible deducir una fórmula, ya que en términos generales, el monto compuesto se puede escribir como:

Fórmula: Monto de capital más intereses, calculados como interés compuesto

M = C (1 + i)n Donde: M es la suma de capital más intereses al final del período C es el capital inicial i es la tasa de interés compuesto n es el número de períodos durante los cuales se capitaliza el interés compuesto

¿Cómo calcular una incógnita?   La fórmula vista contiene cuatro cantidades y permite el cálculo del monto a  interés compuesto. Si se conocen los valores de tres de esas cantidades, puede hallarse el valor de la cuarta, simplemente despejando y haciendo cuentas. Para el cálculo de la fórmula de interés compuesto, también es posible aplicar tablas o calculadoras con función potencia o calculadoras financieras o planillas de cálculo del tipo Excel con función potencia, etc. Las tablas, que se pueden encontrar en librerías, exponen resueltos diferentes montos compuestos para distintas tasas de interés compuesto a las que se colocaría $1 durante determinados períodos.

Ejemplos y aplicaciones: 

Una persona está obligada a saldar una deuda de $ 50.000 exactamente dentro de tres años. ¿Cuánto tendría que invertir hoy a interés compuesto al 6% anual, para llegar a disponer de esa cantidad dentro de tres años y cumplir con el pago de su deuda? Solución: Aplicando la fórmula M=C(1+i)n, despejaremos la incógnita que, en este caso es la C, es decir, el capital que hoy debería invertir a interés compuesto para obtener $ 50.000, dentro de tres años. M= $50.000 n=3 C= incógnita. i= 0.06 Invirtiendo la ecuación y dividiendo ambos miembros de la igualdad por (1+i)n, obtenemos que: C= M / (1+i)n Sustituyendo en la fórmula las cifras que se conocen: C = 50.000 / (1+0.06)3 = 50.000 / 1.191016 = 41.981 Es decir que alguien que disponga hoy de $ 41.981 y lo invierta con un rendimiento del 6% a interés compuesto, durante tres años, al cabo de esos tres años, tendrá: $ 50.000.



Del mismo modo, otro problema que es posible plantearse es ¿cuál es el interés compuesto sobre $ 15.000 al 4% anual durante 5 años? Solución: De aplicar la fórmula  M = C(1+i)n surgirá que el interés compuesto es la diferencia entre el capital C, que se invierte al 4% anual durante cinco años y el monto M, que se desconoce. Se deberá hallar en primer término el monto M, es decir, la cifra a la que se llegará, invirtiendo  $ 15.000 durante 5 años al 4%. M= 15.000 (1.04)5=18.250 El monto de interés compuesto surge como diferencia entre el monto compuesto y el capital inicial y en este caso asciende a $ 3.250, es decir: 18.250-15.000=3.250



En ocasiones es posible plantearse cuál sería el monto compuesto, es decir por ejemplo, cuánto tendré al cabo de seis meses en el caso de invertir hoy $ 10.000 al 5% anual. Solución: Aplicando la fórmula M = C(1+i)n ,despejaremos la incógnita que, en este caso es la M.

M= incógnita n=1/2  porque se trata de seis meses y la tasa es anual i%= 0.05 C = 10.000 Aplicando la fórmula entonces: M = 10.000*(1+0.05)0.5 = 10.000 (1.05) ½ = lo que es lo mismo que 10000 = 10.000 * 1,02469508 = 10.247 con lo cual si se dispone hoy de $ 10.000 y se coloca durante seis meses al 5% anual, se obtiene dentro de seis meses, la suma de $ 10.247. 

Si se dispone de dos opciones para invertir un capital de $ 10.000. Una de ellas implica colocar un dinero durante 2 años al 3% de interés compuesto y la otra,  colocar ese mismo dinero a 1 año al 5% anual de interés compuesto. ¿cuál es la opción de mayor monto? Solución: Aplicando la fórmula M = C(1+i)n, la primer opción me genera, para un capital de 10.000 que invierto hoy, un monto de $ 10.609 al cabo de 2 años. La segunda opción, implica que, al cabo de 1 año obtendré un monto de $ 10.500 Primera opción:  M=10.000 (1.03)2= 10.609 Segunda opción:  M=10.000 (1.05)1= 10.500



Si alguien deposita $ 5.000 en un banco que paga el 6% de interés anual, ¿cuántos años  tienen que pasar para obtener un monto superior a $ 8.500. Solución: Aplicando la fórmula M = C(1+i)n,  8500= 5.000 (1.06)n es lo mismo que: 8.500/5.000= (1.06)n

A los efectos de resolver este problema, se aplicará la siguiente tabla con el objetivo   de ilustrar sobre el uso y aplicaciones de la misma:

TABLA: Monto compuesto de 1 a interés compuesto Basado en la fórmula M=C*(1+i)n  

N

1%

2%

3%

4%

5%

6%

1

1,01000

1,02000

1,03000

1,04000

1,05000

1,06000

2

1,02010

1,04040

1,06090

1,08160

1,10250

1,1236

3

1,03030

1,06121

1,09273

1,12486

1,15762

1,19102

4

1,04060

1,08243

1,12551

1,16986

1,21551

1,26248

5

1,05101

1,10408

1,15927

1,21665

1,27628

1,33823

6

1,06152

1,12616

1,19405

1,26532

1,34010

1,41852

7

1,07214

1,14869

1,22987

1,31593

1,40710

1,50363

8

1,08286

1,17166

1,26677

1,36857

1,47746

1,59384

9

1,09369

1,19509

1,30477

1,42331

1,55133

1,68948

10

1,10462

1,21899

1,34392

1,48024

1,62889

1,79085

  Es decir 1.06n = 8.500/5.000, con lo cual, 1.70 = (1.06)n entonces para obtener un monto superior a 8500, me debo fijar en la tabla, en la columna del 6%, cuántos años debo colocar $1 al 6% anual para obtener un monto superior a $1.70. El resultado son 10 años. En efecto, colocando 5000 al 6% durante 10 años me dará un monto compuesto de: 5.000*(1.06)10 = 8.954.   Este ejercicio pudo haber sido resuelto con una calculadora que tenga la función potencia, o con una calculadora financiera o a través de una planilla electrónica de cálculo.   

Determinar a qué tasa es preciso colocar durante nueve años un capital de 5.000 para obtener una cifra mayor a $ 6.500. Solución: Utilizando la tabla, y aplicando la fórmula M=C*(1+i)n, 6.500= 5.000 (1+i)9,  lo que equivale a decir que 1.30= (1+i)9, por lo que i es al menos de 3%, según surge de la tabla.

En resumen: Se llama tasa de interés compuesto al proceso de ir acumulando al capital los intereses que éste produce, de forma que los intereses produzcan intereses a su vez.

Revisar entrega de examen: Unidad 1: Actividad de Recuperación.   Usuario Curso Examen Iniciado Enviado Fecha de vencimiento Estado Puntuación del intento Tiempo transcurrido Instrucciones

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FLORDELISE ENCARNACION ZABALA MATEMATICA FINANCIERA II Unidad 1: Actividad de Recuperación. 13/08/20 19:04 13/08/20 20:04 15/08/20 23:59 Completado 0 de 0 puntos   59 minutos

Realiza la actividad siguiente, la cual consiste en resolver los problemas planteados y seleccionar la opción correcta.

Pregunta 1 0 de 0 puntos

Un banco que opera por internet ofrece su cuenta azul a un 5,5 % anual de interés que se paga mensualmente. Si abro una cuenta con 4000 y acumulo en esa cuenta los intereses mensuales que me pagan, ¿cuánto dinero tendré al cabo de 3 años?



Pregunta 2 0 de 0 puntos

Si 2000 se han convertido, al 7 % de interés anual, en 3211,56 , ¿cuánto tiempo se ha mantenido la inversión?

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Pregunta 3 0 de 0 puntos

Si alguien deposita $ 5.000 en un banco que paga el 6% de interés anual, ¿cuántos años tienen que pasar para obtener un monto superior a $ 8.500.



Pregunta 4 0 de 0 puntos

¿Al cabo de cuánto tiempo se duplicará un capital colocado al 8 % de interés compuesto?



Pregunta 5 0 de 0 puntos

En el contrato de trabajo de un empleado se establece una subida anual del 7,2 %. Si empieza ganando 900 al mes, ¿cuántos años tienen que pasar para que gane 1700?



Pregunta 6 0 de 0 puntos

¿A qué tanto por ciento de interés compuesto se duplicará un capital a los  15  años?

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Pregunta 7 0 de 0 puntos

Si se dispone de dos opciones para invertir un capital de $ 10.000. Una de ellas implica colocar un dinero durante 2 años al 3% de interés compuesto y la otra, colocar ese mismo dinero a 1 año al 5% anual de interés compuesto. ¿cuál es la opción de mayor monto?



Pregunta 8 0 de 0 puntos

¿Al cabo de cuánto tiempo 10 000, colocado al 6 % de interés compuesto, producen un beneficio de 5000?

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Pregunta 9 0 de 0 puntos

Ingreso 15 000 en un banco y se comprometen a pagarme un 3,7 % anual, abonando los intereses semestralmente. ¿Cuánto dinero tengo al cabo de 4 años?

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Pregunta 10 0 de 0 puntos

Una persona está obligada a saldar una deuda de $ 50.000 exactamente dentro de tres años. ¿Cuánto tendría que invertir hoy a interés compuesto al 6% anual, para llegar a disponer de esa cantidad dentro de tres años y cumplir con el pago de su deuda? jueves 13 de agosto de 2020 20H04' AST

Revisar entrega de examen: Unidad 3: Actividad 2:Anualidades anticipadas.   Usuario Curso Examen Iniciado Enviado Fecha de vencimiento Estado Puntuación del intento Tiempo transcurrido Instrucciones

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FLORDELISE ENCARNACION ZABALA MATEMATICA FINANCIERA II Unidad 3: Actividad 2:Anualidades anticipadas. 13/08/20 21:50 13/08/20 21:57 22/08/20 23:59 Completado 3 de 3 puntos   7 minutos

Realiza la actividad siguiente para responder en línea, la cual consiste en resolver cada problema y elegir la respuesta correcta.

Pregunta 1 3 de 3 puntos

Realiza la actividad siguiente para responder en línea, la cual consiste en resolver cada problema y elegir la respuesta correcta. Pregunta

Cada 2 meses, el día 25, se depositan $1 000 en un fondo de inversión que paga 4% convertible bimestralmente. ¿Cuánto se habrá acumulado en el fondo un instante antes de realizar el vigésimo cuarto depósito? Un arquitecto desea ahorrar $4 000 mensuales durante 5 años. Si sus ahorros ganan 5.4% convertible mensualmente, ¿cuánto habrá acumulado al mes siguiente del último depósito? Para adquirir un automóvil a crédito se deben pagar 48 abonos mensuales de $4900 comenzando en el momento de la entrega del vehículo. Si los intereses que se cobran son a razón de 15% convertible cada mes, ¿cuál es el valor al contado de los pagos? Profesional joven desea reunir $300 000 en 5 años para dedicarse a viajar un tiempo. Si puede depositar cierta cantidad a 13.2% capitalizable al mes, y bajo el supuesto de que en todo ese tiempo no cambia la tasa de interés, ¿cuánto deberá depositar cada mes con el objeto de reunir la cantidad que desea exactamente antes de realizar el último depósito? jueves 13 de agosto de 2020 21H57' AST