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Ejercicios de Topolog´ıa General

Jaime Florez 2019

Introducci´ on

i

´Indice general 1. Reconstrucci´ on de presaberes

1

1.1. L´ ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4. Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2. Espacios m´ etricos

5

2.1. Definici´ on de espacio m´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2. Conjuntos abiertos, cerrados y puntos asociados a un espacio m´etrico . . . . . .

5

3. Fundamentos topol´ ogicos

7

3.1. Definici´ on de topolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.2. Puntos asociados a la topolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.3. Base y Ret´ıculo de topolog´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.4. Subespacio topol´ ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.5. Topolog´ıa producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Separaci´ on

13

4.1. Espacios T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2. Espacios T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.3. Espacios T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

ii

´INDICE GENERAL

iii

4.4. Espacios regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.5. Espacios T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.6. Espacios Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.7. Espacios T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5. Funciones

20

5.1. Imagen directa e imagen inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2. Funci´ on continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.3. Funci´ on abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.4. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Conexidad

25

6.1. Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7. Compacidad

26

7.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Referencias

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27

Jaime A. Fl´ orez S. ,

Cap´ıtulo 1

Reconstrucci´ on de presaberes 1.1.

L´ ogica

1.1.1. Considera la afirmaci´on “Si x < 0, entonces x2 − x > 0”. a) Escribe su rec´ıproco. b) Escribe su contrarrec´ıproco. c) Indica si la afirmaci´on, su rec´ıproco y/o su contrarrec´ıproco son ciertas. 1.1.2. Considera la afirmaci´on “Si x > 0, entonces x2 − x > 0”. a) Escribe su rec´ıproco. b) Escribe su contrarrec´ıproco. c) Indica si la afirmaci´on, su rec´ıproco y/o su contrarrec´ıproco es cierto. 1.1.3. Sean A y B conjuntos de n´ umeros reales. Escribe la negaci´ on del enunciado. a) Para todo a ∈ A, se verifica que a2 ∈ B. b) Para al menos un a ∈ A, se verifica que a2 ∈ B. c) Para todo a ∈ A, se verifica que a2 ∈ / B. d) Para al menos un a ∈ / A, se verifica que a2 ∈ B. 1.1.4. Sea A un conjunto de n´ umeros reales que satisface las proposiciones: Axioma I : 5 ∈ A Axioma II : x ∈ A → 3x + 2 ∈ A Axioma III : x ∈ A ∧ y ∈ A → (x + y) ∈ A 1

1.2. TEOR´IA DE CONJUNTOS

2

Axioma IV : 7 ∈ /A Realiza las siguientes demostraciones. a) 3 ∈ A → 16 ∈ A. b) 2 ∈ / A. c) 11 ∈ /A→3∈ /A d) 24 ∈ / A → (4 ∈ / A ∨ 12 ∈ A) e) 4 ∈ A → 23 ∈ A. f) 3 ∈ A→ 1 ∈ / A. Bonus La regla “toda regla tiene su excepci´on”, ¿Es verdadera?

1.2.

Teor´ıa de conjuntos

1.2.1. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} el conjunto universal, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6} y C = {1, 2, 7, 8}. Indica falso o verdadero justificando detalladamente tu respuesta. a) (∃x ∈ B)[x2 − 1 ∈ C]. b) (∀x)[x ∈ A → (x + 1) ∈ B]. 1.2.2. Sea X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} el conjunto universal, A = {x ∈ N : −3x + 2 = −13} , B = {2, 3, 4, 5} y C = {1, 2, 3, 6}. Indica falso o verdadero justificando detalladamente tu respuesta. a) (∃x ∈ C)[x ∈ C → x2 + 1 ∈ (A ∩ B)]. b) (∀x ∈ C)(∃y ∈ B)[(x + 1) = y]. 1.2.3. Demuestra las siguiente afirmaciones que sean verdaderas para los conjuntos A, B, C, D. En el caso que no se cumpla la doble implicaci´ on o la igualdad, corrige la afirmaci´on de modo se sea verdadera e ilustra con un contraejemplo el(los) caso(s) fallido(s). a) A ⊆ B y A ⊆ C ↔ A ⊆ (B ∪ C). b) A ⊆ B o A ⊆ C ↔ A ⊆ (B ∪ C). c) A ⊆ B y A ⊆ C ↔ A ⊆ (B ∩ C). d) A ⊆ B o A ⊆ C ↔ A ⊆ (B ∩ C). e) A − (A − B) = B. f ) A − (B − A) = A − B. [email protected]

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1.3. CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

3

g) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C). h) A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − (A ∪ C). 1.2.4. Considera los conjuntos A = {3z1 − 2}z1 ∈Z y B = {3z2 + 4}z2 ∈Z . ¿Es A = B? . Justifica detalladamente tu respuesta. Bonus Kurt Grelling y Leonard Nelson (Algunos dicen que Hermann Weyl) definieron en el universo de los adjetivos “del idioma espa˜ nol”(el problema se formul´ o originalmente para el Alem´an) los adjetivos autol´ ogico y heterol´ ogico. El primero, es aquel que se describe a s´ı mismo, tales como sustantivo, pues ´el es en si mismo un sustantivo, esdr´ ujula por ser esta una palabra esdr´ ujula o hexasil´ abico por tener tal palabra seis s´ılabas. Por otra parte, un adjetivo es heterol´ ogico si no se describe a s´ı mismo, tales como largo por ser una palabra corta, monosil´ abico por tener m´ as de una s´ılaba o invisible por ser una palabra visible. Con estas definiciones, se parece ser que todos los adjetivos deben ser o bien autol´ ogicos o bien heterol´ ogicos, ya que un adjetivo se describe a s´ı mismo o no lo hace. ¿Es heterol´ ogico una palabra autol´ ogica?

1.3.

Cardinalidad de conjuntos

1.3.1. Indica si la proposici´ on es falsa o verdadera. a) Sean a ∈ R y B ⊆ R un conjunto contable. El conjunto Aa,B = {a + b ∈ R}b∈B es numerable. b) El conjunto P = {mn }m,n∈Z es no numerable. 1.3.2. Comprueba que Z es contable. 1.3.3. Comprueba que N∗ = N ∪ {0} es contable. 1.3.4. Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si y s´ olo si existe una funci´on biyectiva entre ellos. a) Comprueba que |(0, 1)| = |(0, π)|. b) Comprueba que |(0, π)| = |R|.

1.4.

Familias de conjuntos

1.4.1. Sea A = {1, 2, 3}, B = {∅} y C = {{1}, {2, 3}, {2}}. Indica falso o verdadero. (Justifica detalladamente tu respuesta). [email protected]

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1.4. FAMILIAS DE CONJUNTOS

4

a) (∃x)[x ∈ C → x ⊆ A]. b) (∀x)[x ∈ A → {x} ∈ C]. c) (∀x)[x ∈ B → x = ∅]. 1.4.2. Determina cuales de las siguiente afirmaciones son verdaderas para una familia de conjuntos A = {Ai : i ∈ I}. En el caso que no se cumpla la doble implicaci´ on, corrige la afirmaci´on de modo se sea verdadera e ilustra con un contraejemplo el(los) caso(s) fallido(s). a) a ∈ b) a ∈ c) a ∈ d) a ∈ 1.4.3. Calcula

S

T

S

T

S

i∈I

Ai ↔ a ∈ A para al menos un A ∈ A.

i∈I

Ai ↔ a ∈ A para al menos un A ∈ A.

i∈I

Ai ↔ a ∈ A para todo A ∈ A.

i∈I

Ai ↔ a ∈ A para todo A ∈ A.

n∈N An

y

a) An = [ n1 , 1]

T

n∈N An

para las familias determinadas por An mediante:

b) An = (− n1 , n1 ) c) An = [e−n , en ] d) An = [1 − n1 , 2 + n1 ) 1.4.4. Sea An = {z ∈ Z : −n ≤ z ≤ n}n∈N∗ (Ver ejercicio 1.3.3). Calcula, a) A0 × A1 b) A1 × A2 c) (A3 − A1 ) ∪ (A0 ∩ A2 ) T d) n∈N∗ (Z − An )

[email protected]

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Cap´ıtulo 2

Espacios m´ etricos 2.1.

Definici´ on de espacio m´ etrico

2.1.1. Sean (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) dos puntos de de R2 . Demuestra que las siguientes m´etricas son en realidad una m´etrica para R2 .
p a) Usual: du (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
b) “Taxista”: dt (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 |. (¡Ayuda!, para demostrar la desigualdad triangular, usa la desigualdad de Minkowski: |a| + |b| ≥ |a + b|.)
c) Supremo: ds (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = Max{|x1 −x2 |, |y1 −y2 |}. (¡Ayuda!, para demostrar la desigualdad triangular, analiza los posibles casos.)

2.1.2. Demuestra que en todo espacio m´etrico (X, d) se cumple que |d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z) para cualquier tr´ıo de puntos x, y, z ∈ X. 2.1.3. Demuestra que la condici´ on d(x, y) ≥ 0 de un espacio m´etrico, se puede eliminar pues es deducible de los otros tres axiomas.

2.2.

Conjuntos abiertos, cerrados y puntos asociados a un espacio m´ etrico

2.2.1. Demuestra que todo subconjunto de un espacio m´etrico discreto es abierto. 2.2.2. En todo espacio m´etrico (X, d), X es abierto y cerrado. 2.2.3. En todo espacio m´etrico (X, d), ∅ es abierto y cerrado. 5

2.2. CONJUNTOS ABIERTOS, CERRADOS Y PUNTOS ASOCIADOS A UN ESPACIO ´ METRICO 6 2.2.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y A, B ⊆ X. Demuestra la veracidad de la afirmaci´on o ilustra su falsedad con un contraejemplo. a) El conjunto de puntos interiores de A es abierto. b) Si A ⊆ B, entonces Ao ⊆ B o . c) Ao ∪ B o = (A ∪ B)o . d) Ao ∩ B o = (A ∩ B)o . e) La uni´ on arbitraria de abiertos es abierto. f ) Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B. as peque˜ no que contiene g) A = ((Ac )o )c . (¡Ayuda! Usa el hecho que A es el cerrado m´ a A) h) La intersecci´ on arbitraria de cerrados es cerrado. i ) La uni´ on finita de cerrados es cerrado. j ) Si A es finito, A es cerrado. k ) La intersecci´ on arbitraria de abiertos abierto. l) A ∩ B = A ∩ B. m) A = A ∪ ∂A. n) A es cerrado si y solo si ∂A ⊆ A. 2.2.5. Determina Ao , A, A′ , ∂A, Ext A para: a) A = (−1, 2] ∪ {3} en R con la m´etrica usual. b) A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} − {(0, 0)} en R2 con la m´etrica usual. c) A = (−1, 2] ∪ {3} en R con la m´etrica discreta. 2.2.6. Sea R con la m´etrica usual y a < b ∈ R. Demuestra que a) El intervalo (a, b) un conjunto abierto. b) El intervalo (a, ∞) es un conjunto abierto.. c) El intervalo [a, ∞) es un conjunto cerrado. d) El intervalo [a, b] es un conjunto cerrado. e) Existen conjuntos abiertos que no son intervalos abiertos. f ) Z es un conjunto cerrado pero no un conjunto abierto. g) Q no es ni un conjunto cerrado ni un conjunto abierto. h) El intervalo (a, b] no es un conjunto cerrado ni un conjunto abierto.

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Cap´ıtulo 3

Fundamentos topol´ ogicos 3.1.

Definici´ on de topolog´ıa

3.1.1. Verifica si la colecci´ on τi (i = 1, 2, 3, 4) es una topolog´ıa para el conjunto X = {a, b, c, d, e}. a) τ1 = {∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}, X, } b) τ2 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, e}, {b, c, d}} c) τ3 = {∅, {a}, {c, d}, {a, b}, {b, c, d, e}, X, } d) τ4 = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}} 3.1.2. Sea X un conjunto, p ∈ X un punto fijo y τp = {U ⊆ X : p ∈ U } ∪ {∅}. a) Demuestra que τp es una topolog´ıa para X. (A esta topolog´ıa se le conoce con el nombre de punto incluido). b) Escribe por comprensi´ on como son los cerrados de τp . 3.1.3. Sea X un conjunto, p ∈ X un punto fijo y τep = {U ⊆ X : p ∈ / U } ∪ {∅}. a) Demuestra que τep es una topolog´ıa para X. (A esta topolog´ıa se le conoce con el nombre de punto excluido). b) Escribe por comprensi´ on como son los cerrados de τep . 3.1.4. Sea R el conjunto de los n´ umeros Reales. Demuestra o refuta si τ es una topolog´ıa para R. a) τ = {[x, ∞) : x ∈ R} ∪ {∅, R}.

7

3.2. PUNTOS ASOCIADOS A LA TOPOLOG´IA

8

b) τ = {[ n1 , ∞) : n ∈ N} ∪ {∅, R}. c) τ = {[−r, r] : r ∈ I} ∪ {∅, R}. d) τ = {[−n, n] : n ∈ N} ∪ {∅, R}. 3.1.5. Sea R con la topolog´ıa usual τu y a < b ∈ R. Demuestra que: a) El intervalo (a, ∞) es un abierto de τu . b) El intervalo [a, ∞) es un cerrado de τu . c) El intervalo [a, b] es un cerrado de τu . d) Existen abiertos de τu que no son intervalos abiertos. e) el conjunto unitario {a} es un cerrado de τu . f ) Z es un cerrado pero no un abierto de τu . g) Q no es ni cerrado ni abierto en τu . h) El intervalo (a, b] no es ni cerrado ni abierto en τu . 3.1.6. Sea X un conjunto diferente de vac´ıo. Demuestra que τ = {A ⊆ X : Ac es enumerable}∪ {∅} es una topolog´ıa para X. 3.1.7. Sea τ la topolog´ıa de los cofinitos para un conjunto X. a) Demuestra que si X tiene al menos tres elementos diferentes “aberrados”, entonces X es finito. b) Demuestra que τ es adem´ as la topolog´ıa discreta si y s´ olo si X es finito. 3.1.8. Sea {τi }ı∈I una familia de topolog´ıas para un mismo conjunto X. a) Demuestra que τ = b) Demuestra que τ =

3.2.

T

S

i∈I τi

es una topolog´ıa para X.

i∈I τi

no es necesariamente una topolog´ıa para X.

Puntos asociados a la topolog´ıa

3.2.1. Sea X = {a, b, c, d, e, f }, τ = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e, f }} y A = {a, b, f }. Determina Ao , A, A′ , ∂A, Ext A. 3.2.2. Sea A = (−1, 3] ∪ {4}. Determina Ao , A, A′ , ∂A, Ext A para: a) R con la topolog´ıa usual. b) R con la topolog´ıa discreta. [email protected]

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3.3. BASE Y RET´ICULO DE TOPOLOG´IAS

9

c) R con la topolog´ıa grosera. d) R con la topolog´ıa de colas abiertas a derecha. e) R con la topolog´ıa de punto incluido. (Toma al punto 2). f ) R con la topolog´ıa de punto excluido. (Toma al punto 2). g) R con la topolog´ıa de cofinitos. 3.2.3. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico y A ⊆ X. Demuestra que Ao =

S

A con

A = {V ⊆ X : V ∈ τ, V ⊆ A} . 3.2.4. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico y A, B ⊆ X. Demuestra la veracidad de la afirmaci´on o ilustra su falsedad con un contraejemplo. a) El conjunto de puntos interiores de A es abierto. b) Si A ⊆ B, entonces Ao ⊆ B o . c) Ao ∪ B o = (A ∪ B)o . d) Ao ∩ B o = (A ∩ B)o . e) Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B. f ) A = ((Ac )o )c . (¡Ayuda! Usa el hecho que A es el cerrado m´ as peque˜ no que contiene a A) g) La intersecci´ on arbitraria de cerrados es cerrado. h) Si A es finito, A es cerrado. i ) La intersecci´ on arbitraria de abiertos abierto. j ) A ∩ B = A ∩ B. k ) A = A ∪ ∂A. l) A es cerrado si y solo si ∂A ⊆ A. 3.2.5. Demuestra que en un conjunto infinito X con la topolog´ıa de los cofinitos, todo abierto no vac´ıo es denso.

3.3.

Base y Ret´ıculo de topolog´ıas

3.3.1. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico. Demuestra que B es una base para τ si y s´ olo si para todo abierto V y todo punto x ∈ V , existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ V . [email protected]

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3.3. BASE Y RET´ICULO DE TOPOLOG´IAS

10

3.3.2. Sea X 6= ∅ un conjunto. Demuestra que la colecci´on ∅ = 6 B ⊆ P(X) base de alguna topolog´ıa sobre X si y s´ olo si: i. X =

S

B∈B

B.

ii. Para todo B1 , B2 ∈ B con x ∈ B1 ∩ B2 , existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ (B1 ∩ B2 ). 3.3.3. Sea B = {(q1 , q2 ) : q1 < q2 ; q1 , q2 ∈ Q}. Demuestra: i. B es base de alguna topolog´ıa para R. ii. La topolog´ıa generada por B es la topolog´ıa usual para R. 3.3.4. Demuestra que la familia dada es una base para R: a) Bu = {(a, b) : a < b ∈ R}. (La topolog´ıa generada por Bu es la topolog´ıa usual y a R con esta topolog´ıa se le suele denotar como Ru ). b) B+ = {[a, b) : a < b ∈ R}. (A la topolog´ıa generada por B+ se le denomina topolog´ıa del l´ımite inferior o de Sorgenfrey y a R con esta topolog´ıa se le suele denotar como R+ ). c) Bk = {(a, b) : a < b ∈ R} ∪ {(c, d) − K : c < d ∈ R} con K = { n1 : n ∈ N}. ((A la topolog´ıa generada por Bk se le denomina K-topolog´ıa y a R con esta topolog´ıa se le suele denotar como Rk ).) 3.3.5. Para las topolog´ıas generadas por las bases del ejercicio anterior, demuestra: a) R+ es estrictamente m´ as fina que Ru . b) Rk es estrictamente m´ as fina que Ru . c) R+ no es comparable con Rk . 3.3.6. Demuestra que la familia dada es una base para alguna topolog´ıa R2 . Ilustra gr´ aficamente algunos abiertos de la topolog´ıa generada: a) Br = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d b) Bc = {(x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < c2

Con a, b, c, d ∈ R}. Con a, b, c ∈ R}.

c) Bv = {Bx : x ∈ R} con Bx = {(x, y) : y ∈ R}. (A la topolog´ıa generada por esta base, la llamaremos “verticales”) 3.3.7. Para las topolog´ıas generadas por las bases del ejercicio anterior, demuestra: a) R2r es la misma topolog´ıa R2c . (Llamada topolog´ıa usual) b) R2v es estrictamente m´ as fina que R2c . [email protected]

Jaime A. Fl´ orez S. ,

´ 3.4. SUBESPACIO TOPOLOGICO

3.4.

11

Subespacio topol´ ogico

3.4.1. Sea X = {a, b, c, d, e} y τ = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}. Si A = {a, c, e} determina cual es la topolog´ıa τA relativa de A. 3.4.2. Sea Y = [−1, 1] con topolog´ıa τy de subespacio de Ru . Indica si el conjunto es una abierto en (Y, τy ) y/o de Ru . a) A = {x : b) A = {x : c) A = {x : d) A = {x :

1 2 1 2 1 2 1 2

< |x| < 1}. < |x| ≤ 1}. ≤ |x| < 1}. ≤ |x| ≤ 1}.

3.4.3. Escribe una base de la topolog´ıa de subespacio que hereda cada uno de los siguientes subconjuntos de Ru . a) [a, b) (a < b). b) (a, b] (a < b). c) (−∞, b]. d) (−∞, b). e) [a, ∞). f ) (a, ∞). 3.4.4. Demuestra que la topolog´ıa que Z hereda de Ru es la discreta. 3.4.5. Demuestra que todo subespacio de un espacio discreto es discreto. ¿Es el rec´ıproco cierto? 3.4.6. Demuestra que todo subespacio de un espacio grosero es grosero. ¿Es el rec´ıproco cierto? 3.4.7. Sea (X; τ ) un espacio topol´ ogico y A ⊂ X. Demuestra que τA ⊂ τ si y s´ olo si A ∈ τ . 3.4.8. Sea (A, τA ) un subespacio de (X, τ ). Demuestra que CA ⊆ A es cerrado en τA si y solo si CA = C ∩ A donde C es un cerrado de τ . 3.4.9. Sea (X; τ ) un espacio topol´ ogico, (Y, τy ) un subespacio de (X, τ ) y A ⊆ Y . Demuestra que la topolog´ıa que A hereda de (X; τ ) es la misma que hereda de (Y, τy ). 3.4.10. Demuestra que si τ y τ ′ son topolog´ıas sobre X donde τ ′ es estrictamente m´ as fina que τ y Y es un subconjunto de X, entonces la topolog´ıa τy′ que Y hereda de τ ′ es estrictamente m´ as fina que la topolog´ıa τy que hereda de τ . [email protected]

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3.5. TOPOLOG´IA PRODUCTO

3.5.

12

Topolog´ıa producto

3.5.1. Para el producto topol´ ogico de los espacios (X, τ1 ), (Y, τ2 ), describe una base de (X × Y, τ× ) y grafica algunos abiertos de la topolog´ıa τx : a) X = R, Y = R, τ1 discreta, τ2 usual. b) X = R, Y = R, τ1 discreta, τ2 colas a derecha. c) X = R, Y = R, τ1 discreta, τ2 grosera. d) X = R, Y = R, τ1 colas a derecha, τ2 usual. e) X = R, Y = R, τ1 colas a izquierda, τ2 colas a derecha. f ) X = R, Y = R, τ1 grosera, τ2 usual. g) X = R, Y = R, τ1 grosera, τ2 colas a derecha. h) X = R, Y = R, τ1 grosera, τ2 grosera. 3.5.2. Sea R2 con su topolog´ıa usual y A = {x × y : x ≥ 0, y ≥ 0} (I.E. el primer cuadrante del plano cartesiano). Demuestra que A es cerrado en R2 . 3.5.3. Sean (X, τ1 ), (Y, τ2 ) dos espacios topol´ogicos con bases B1 , B2 respectivamente y B = {B1 × B2 : B1 ∈ B1 , B2 ∈ B2 }. Demuestra: i. B es base de alguna topolog´ıa para X × Y . ii. La topolog´ıa generada por B es la topolog´ıa producto para X × Y . 3.5.4. Sea B = {(a, b) × (c, d) : a, b, c, d ∈ Q}. Demuestra: i. B es base de alguna topolog´ıa para R2 . ii. La topolog´ıa generada por B es la misma topolog´ıa usual para R2 . 3.5.5. Sean (X, τ ), (Y, ω) dos espacio topol´ogicos y (A, τA ), (B, ωB ) dos subespacios de X y Y respectivamente. Demuestra que la topolog´ıa producto sobre A × B coincide con la topolog´ıa que (A × B) hereda como subespacio de (X × Y ).

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Cap´ıtulo 4

Separaci´ on 4.1.

Espacios T0

4.1.1. Demuestra o refuta si los siguientes espacios topol´ogicos son T0 : a) X = {a, b, c} con la topolog´ıa τ = {∅, X, {a}}. b) X 6= ∅ con la topolog´ıa coenumerable. c) R con la topolog´ıa de colas a izquierda. d) R con la topolog´ıa usual. e) R con la topolog´ıa de punto inclu´ıdo (p = 6). f ) R con la topolog´ıa de punto exclu´ıdo (q = 6). g) R con la topolog´ıa del l´ımite inferior. h) R con la topolog´ıa τ = {∅, R, Q, I}. i ) R con la K-topolog´ıa. 4.1.2. Demuestra o refuta: un espacio topol´ogico (X, τ ) no vac´ıo es T0 si y s´ olo si para todo x, y ∈ X con x 6= y se tiene x ∈ / {y} o y ∈ / {x}. 4.1.3. Demuestra o refuta: todo espacio m´etrico es T0 . 4.1.4. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico T0 no vac´ıo y ω otra topolog´ıa para X. a) Si ω es m´ as fina que τ , ¿ω es T0 ?. b) Si ω es menos fina que τ , ¿ω es T0 ?.

13

4.2. ESPACIOS T1

14

4.1.5. Demuestra o refuta: ser T0 es una propiedad hereditaria. (Si (X, τ ) es T0 y (Y, τy ) es un subespacio de (X, τ ) entonces (Y, τy ) es T0 .) 4.1.6. Demuestra o refuta: ser T0 es una propiedad finitamente productiva. (Para dos espacios topol´ ogicos X y Y , X × Y es T0 si y s´ olo si X es T0 y Y es T0 .)

4.2.

Espacios T1

4.2.1. Demuestra o refuta si los siguientes espacios topol´ogicos son T1 : a) X = {a, b, c} con la topolog´ıa τ = {∅, X, {a}}. b) X 6= ∅ con la topolog´ıa coenumerable. c) R con la topolog´ıa de colas a izquierda. d) R con la topolog´ıa usual. e) R con la topolog´ıa de punto inclu´ıdo (p = 6). f ) R con la topolog´ıa de punto exclu´ıdo (q = 6). g) R con la topolog´ıa del l´ımite inferior. h) R con la topolog´ıa τ = {∅, R, Q, I}. i ) R con la K-topolog´ıa. 4.2.2. Demuestra o refuta: un espacio topol´ogico (X, τ ) no vac´ıo es T1 si y s´ olo si para todo x ∈ X, {x} es cerrado. 4.2.3. Demuestra o refuta: un espacio topol´ogico (X, τ ) no vac´ıo es T1 si y s´ olo si para todo A ⊂ X finito, A es cerrado. 4.2.4. Demuestra o refuta: si X es un conjunto finito y (X, τ ) es T1 , entonces τ es la topolog´ıa discreta. 4.2.5. Demuestra o refuta: todo espacio m´etrico es T1 . 4.2.6. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico T1 no vac´ıo y ω otra topolog´ıa para X. a) Si ω es m´ as fina que τ , ¿ω es T1 ?. b) Si ω es menos fina que τ , ¿ω es T1 ?. 4.2.7. Demuestra o refuta: ser T1 es una propiedad hereditaria. 4.2.8. Demuestra o refuta: ser T1 es una propiedad finitamente productiva.

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4.3. ESPACIOS T2

4.3.

15

Espacios T2

4.3.1. Demuestra o refuta si los siguientes espacios topol´ogicos son T2 : a) X = {a, b, c} con la topolog´ıa τ = {∅, X, {a}}. b) X 6= ∅ con la topolog´ıa coenumerable. c) R con la topolog´ıa de colas a izquierda. d) R con la topolog´ıa usual. e) R con la topolog´ıa de punto inclu´ıdo (p = 6). f ) R con la topolog´ıa de punto exclu´ıdo (q = 2). g) R con la topolog´ıa del l´ımite inferior. h) R con la topolog´ıa τ = {∅, R, Q, I}. i ) R con la K-topolog´ıa. 4.3.2. Demuestra o refuta: un espacio topol´ogico (X, τ ) no vac´ıo es T2 si y s´ olo si para todo x ∈ X, {x} es cerrado. 4.3.3. Demuestra que si X es un conjunto finito y (X, τ ) es T2 , entonces τ es la topolog´ıa discreta. 4.3.4. Demuestra o refuta: todo espacio m´etrico es T2 . 4.3.5. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico T2 no vac´ıo.y ω otra topolog´ıa para X. a) Si ω es m´ as fina que τ , ¿ω es T2 ?. b) Si ω es menos fina que τ , ¿ω es T2 ?. 4.3.6. Demuestra o refuta: ser T2 es una propiedad hereditaria. 4.3.7. Demuestra o refuta: ser T2 es una propiedad finitamente productiva.

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4.4. ESPACIOS REGULARES

4.4.

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Espacios regulares

4.4.1. Demuestra que un espacio topol´ogico (X, τ ) no vac´ıo es regular si y solo si para todo abierto U y todo x ∈ U , existe un abierto V tal que x ∈ V ⊆ V ⊆ U . 4.4.2. Demuestra o refuta si los siguientes espacios topol´ogicos son regulares: a) X = {a, b, c} con la topolog´ıa τ = {∅, X, {a}}. b) X 6= ∅ con la topolog´ıa cofinitos. c) R con la topolog´ıa de colas a izquierda. d) R con la topolog´ıa usual. e) R con la topolog´ıa de punto inclu´ıdo (p = 6). f ) R con la topolog´ıa de punto exclu´ıdo (q = 6). g) R con la topolog´ıa del l´ımite inferior. h) R con la topolog´ıa τ = {∅, R, Q, I}. i ) R con la K-topolog´ıa. 4.4.3. Demuestra o refuta: todo espacio m´etrico es regular. 4.4.4. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico regular no vac´ıo y ω otra topolog´ıa para X. a) Si ω es m´ as fina que τ , ¿ω es regular?. b) Si ω es menos fina que τ , ¿ω es regular?. 4.4.5. Demuestra o refuta: ser regular es una propiedad hereditaria. 4.4.6. Demuestra o refuta: ser regular es una propiedad finitamente productiva. 4.4.7. Demuestra que ser T2 no implica ser regular, ni ser regular implica ser T2 . 4.4.8. Demuestra: Sea (X, τ ) es un espacio topol´ogico regular. (X, τ ) es T2 si y solo si (X, τ ) es T1 .

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4.5. ESPACIOS T3

4.5.

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Espacios T3

4.5.1. Demuestra o refuta si los siguientes espacios topol´ogicos son T3 : a) X = {a, b, c} con la topolog´ıa τ = {∅, X, {a}}. b) X 6= ∅ con la topolog´ıa cofinitos. c) R con la topolog´ıa de colas a izquierda. d) R con la topolog´ıa usual. e) R con la topolog´ıa de punto inclu´ıdo (p = 6). f ) R con la topolog´ıa de punto exclu´ıdo (q = 6). g) R con la topolog´ıa del l´ımite inferior. h) R con la topolog´ıa τ = {∅, R, Q, I}. i ) R con la K-topolog´ıa. 4.5.2. Demuestra o refuta: todo espacio m´etrico es T3 . 4.5.3. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico regular no vac´ıo y ω otra topolog´ıa para X. a) Si ω es m´ as fina que τ , ¿ω es T3 ?. b) Si ω es menos fina que τ , ¿ω es T3 ?. 4.5.4. Demuestra o refuta: ser T3 es una propiedad hereditaria. 4.5.5. Demuestra o refuta: ser T3 es una propiedad finitamente productiva.

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4.6. ESPACIOS NORMALES

4.6.

18

Espacios Normales

4.6.1. Demuestra que un espacio topol´ogico (X, τ ) no vac´ıo es normal si y solo si para todo abierto U y cada cerrado F ⊆ U , existe un abierto V tal que F ⊆ V ⊆ V ⊆ U . 4.6.2. Demuestra o refuta si los siguientes espacios topol´ogicos son normales: a) X = {a, b, c} con la topolog´ıa τ = {∅, X, {a}}. b) X 6= ∅ con la topolog´ıa cofinitos. c) R con la topolog´ıa de colas a izquierda. d) R con la topolog´ıa usual. e) R con la topolog´ıa de punto inclu´ıdo (p = 6). f ) R con la topolog´ıa de punto exclu´ıdo (q = 6). g) R con la topolog´ıa del l´ımite inferior. h) R con la topolog´ıa τ = {∅, R, Q, I}. i ) R con la K-topolog´ıa. 4.6.3. Demuestra o refuta: todo espacio m´etrico es normal. 4.6.4. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico normal no vac´ıo y ω otra topolog´ıa para X. a) Si ω es m´ as fina que τ , ¿ω es normal?. b) Si ω es menos fina que τ , ¿ω es normal?. 4.6.5. Demuestra o refuta: ser normal es una propiedad hereditaria. 4.6.6. Demuestra o refuta: ser normal es una propiedad finitamente productiva. 4.6.7. Demuestra: ser normal no implica ser regular, ni ser regular implica ser normal. 4.6.8. Demuestra: Sea (X, τ ) es un espacio topol´ogico normal. (X, τ ) es T2 si y solo si (X, τ ) es T1 .

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4.7. ESPACIOS T4

4.7.

19

Espacios T4

4.7.1. Demuestra o refuta si los siguientes espacios topol´ogicos son T4 : a) X = {a, b, c} con la topolog´ıa τ = {∅, X, {a}}. b) X 6= ∅ con la topolog´ıa cofinitos. c) R con la topolog´ıa de colas a izquierda. d) R con la topolog´ıa usual. e) R con la topolog´ıa de punto inclu´ıdo (p = 6). f ) R con la topolog´ıa de punto exclu´ıdo (q = 6). g) R con la topolog´ıa del l´ımite inferior. h) R con la topolog´ıa τ = {∅, R, Q, I}. i ) R con la K-topolog´ıa. 4.7.2. Demuestra o refuta: todo espacio m´etrico es T4 . 4.7.3. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico normal no vac´ıo y ω otra topolog´ıa para X. a) Si ω es m´ as fina que τ , ¿ω es T4 ?. b) Si ω es menos fina que τ , ¿ω es T4 ?. 4.7.4. Demuestra o refuta: ser T4 es una propiedad hereditaria. 4.7.5. Demuestra o refuta: ser T4 es una propiedad finitamente productiva.

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Cap´ıtulo 5

Funciones 5.1.

Imagen directa e imagen inversa

5.1.1. Sean X, Y dos conjuntos no v ac´ıos, f : X → Y una aplicaci´ on. Demuestra: a) f (∅) = ∅. b) f (X) ⊆ Y (La contenencia puede ser estricta). c) ∅ = 6 A ⊆ X implica f (A) 6= ∅. d) Si A1 , A2 ⊆ X, con A1 ⊆ A2 , entonces f (A1 ) ⊆ f (A2 ). S S e) Si Ai ⊆ X para cada i ∈ I, entonces f ( i Ai ) = i f (Ai ). T T f ) Si Ai ⊆ X para cada i ∈ I, entonces f ( i Ai ) ⊆ i f (Ai ) (La contenencia puede ser estricta).

g) f −1 (∅) = ∅. h) f −1 (Y ) = X. i) ∅ = 6 B ⊆ Y NO implica f −1 (B) 6= ∅. j ) Si B1 , B2 ⊆ Y , con B1 ⊆ B2 , entonces f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ). S S k ) Si Bi ⊆ Y para cada i ∈ I, entonces f −1 ( i Bi ) = i f −1 (Bi ). T T l) Si Bi ⊆ Y para cada i ∈ I, entonces f −1 ( i Bi ) = i f −1 (Bi ).

5.1.2. Sea Ai ⊆ X para cada i ∈ I. Demuestra que f ( inyectiva. 5.1.3. Sea A ⊂ X y f : X → Y . a) Demuestra que A ⊂ f −1 (f (A)). 20

T

i

Ai ) =

T

i f (Ai )

si y solo si f es

´ CONTINUA 5.2. FUNCION

21

b) Muestra con un contraejemplo que la contenencia anterior puede ser estricta.
c) Demuestra que A = f f −1 (A) si y s´ olo si f es inyectiva 5.1.4. Sea B ⊂ Y y f : X → Y .
a) Demuestra que f f −1 (B) ⊆ B.

b) Muestra con un contraejemplo que la contenencia anterior puede ser estricta.
c) Demuestra que f f −1 (B) = B si y s´ olo si f es sobreyectiva

5.2.

Funci´ on continua

5.2.1. Sean (X, τ1 ) y (Y, τ2 ) dos espacios topol´ogicos. Demuestra que f : X → Y es continua si y s´ olo si para todo cerrado K ⊆ Y , f −1 (K) es cerrado en X. 5.2.2. Demuestra que la composici´ on de funciones continuas es continua. 5.2.3. Sean (X, τ1 ) y (Y, τ2 ) dos espacios topol´ogicos, (X × Y ) su producto cartesiano dotado de la topolog´ıa producto. Demuestra que las funciones proyecci´on πx : (X × Y ) → X y πy : (X × Y ) → Y definidas respectivamente por πx (x, y) = x y πy (x, y) = y; son continuas. 5.2.4. Sea X = {0, 1, 2, 3} y las topolog´ıas τ1 = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {1}}, τ2 = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}}. ¿Es la funci´on id´entica continua? 5.2.5. Sea I : (R, τ1 ) → (R, τ2 ) la funci´on id´entica. Demuestra o refuta si I es continua para: a) τ1 Usual, τ2 grosera. b) τ1 Usual, τ2 discreta. c) τ1 Usual, τ2 cofinita. d) τ1 Usual, τ2 punto inclu´ıdo (con p = 2). e) τ1 Usual, τ2 colas a deracha. f ) τ1 cofinita, τ2 colas a derecha g) τ1 cofinita, τ2 punto incluido (con p = 2). h) τ1 cofinita, τ2 grosera. i ) τ1 cofinita, τ2 discreta. j ) τ1 colas a derecha, τ2 punto excluido (con q = 2).

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´ ABIERTA 5.3. FUNCION

22

5.2.6. Sea R con su topolog´ıa usual, a, b ∈ R y todos los intervalos con la topolog´ıa de subespacio. Demuestra o refuta si la funci´on f es continua para: a) f : (0, 1) → (a, b) definida por f (x) = a(1 − x) + bx. b) f : [0, 1] → [a, b] definida por f (x) = a(1 − x) + bx. c) f : R → (a, ∞) definida por f (x) = a+ex donde g(x) = ex es la funci´on exponencial tradicional del c´ alculo. d) f : R → (−∞, b) definida por f (x) = b − e−x donde g(x) = ex es la funci´ on exponencial tradicional del c´alculo. 5.2.7. ¿Es la funci´ on constante continua? 5.2.8. Sea (Y, τ2 ) un espacio topol´ ogico. Demuestra que (X, τ1 ) es un espacio topol´ogico discreto si y solo si toda funci´ on f : (X, τ1 ) → (Y, τ2 ) es continua. 5.2.9. Proporciona un ejemplo de una funci´on continua de un espacio que verifica T2 en un espacio que no verifique T2 . (La condici´ on de ser Hausdorff no se preserva por funciones continuas). 5.2.10. Muestra que si f : (X, τ1 ) → (Y, τ2 ) es una funci´on inyectiva y continua con (Y, τ2 ) Hausdorff, entonces X es Hausdorff. 5.2.11. Sean (X, τ2 ), (Y, τ3 ), (Z, τ1 ) tres espacios topol´ogicos no vac´ıos, f1 : Z → X,f2 : Z → Y
y f : Z → X × Y definida por f (z) = f1 (z), f2 (z) tres funciones. Demuestra que f es continua si y solo si f1 y f2 son continuas.

5.3.

Funci´ on abierta

5.3.1. Sea X = {0, 1, 2, 3} y las topolog´ıas τ1 = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {1}}, τ2 = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}}. ¿Es la funci´on id´entica abierta? 5.3.2. Sea I : (R, τ1 ) → (R, τ2 ) la funci´on id´entica. Demuestra o refuta si I es abierta para: a) τ1 Usual, τ2 grosera. b) τ1 Usual, τ2 discreta. c) τ1 Usual, τ2 cofinita. d) τ1 Usual, τ2 punto inclu´ıdo (con p = 2). e) τ1 Usual, τ2 colas a deracha.

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5.4. HOMEOMORFISMOS

23

f ) τ1 cofinita, τ2 colas a derecha g) τ1 cofinita, τ2 punto incluido (con p = 2). h) τ1 cofinita, τ2 grosera. i ) τ1 cofinita, τ2 discreta. j ) τ1 colas a derecha, τ2 punto excluido (con q = 2). 5.3.3. ¿Es la funci´ on constante abierta? 5.3.4. Sea R con su topolog´ıa usual, a, b ∈ R y todos los intervalos con la topolog´ıa de subespacio. Demuestra o refuta si la funci´on f es abierta para: a) f : (0, 1) → (a, b) definida por f (x) = a(1 − x) + bx. b) f : [0, 1] → [a, b] definida por f (x) = a(1 − x) + bx. c) f : R → (a, ∞) definida por f (x) = a+ex donde g(x) = ex es la funci´on exponencial tradicional del c´ alculo. d) f : R → (−∞, b) definida por f (x) = b − e−x donde g(x) = ex es la funci´ on exponencial tradicional del c´alculo.

5.4.

Homeomorfismos

5.4.1. Sea X = {0, 1, 2, 3} y las topolog´ıas τ1 = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {1}}, τ2 = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}}. ¿Es la funci´on id´entica un homemorfismo? 5.4.2. Demuestra o refuta si I es un homeomorfismo para: a) τ1 Usual, τ2 grosera. b) τ1 Usual, τ2 discreta. c) τ1 Usual, τ2 cofinita. d) τ1 Usual, τ2 punto inclu´ıdo (con p = 2). e) τ1 Usual, τ2 colas a deracha. f ) τ1 cofinita, τ2 colas a derecha g) τ1 cofinita, τ2 punto incluido (con p = 2). h) τ1 cofinita, τ2 grosera. i ) τ1 cofinita, τ2 discreta. j ) τ1 colas a derecha, τ2 punto excluido (con q = 2). [email protected]

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5.4. HOMEOMORFISMOS

24

5.4.3. Considera a R con su topolog´ıa usual. Demuestra que cualquier intervalo (a, b) con a, b ∈ R y a < b es homeomorfo al intervalo (0, 1). 5.4.4. Considera a R con su topolog´ıa usual. Demuestra que cualquier intervalo (a, ∞) con a ∈ R es homeomorfo a R. 5.4.5. Considera a R con su topolog´ıa usual. Demuestra que cualquier intervalo (−∞, b) con b ∈ R es homeomorfo a R. 5.4.6. Considera a R con su topolog´ıa usual. Demuestra que cualquier intervalo [a, b] con a, b ∈ R y a < b es homeomorfo al intervalo [0, 1]. 5.4.7. Sea la recta extendida el conjunto R = R ∪ {−∞, +∞}, con la topolog´ıa usual y la relaci´ on de orden usual. Demuestra que el intervalo [−1, 1] es homeomorfo a R. Ayuda: Usa la funci´ on f : R → [−1, 1] definida por  x    1+|x| f (x) = −1    1

si

x∈R

si

x = −∞

si

x=∞

5.4.8. Sean (X, τ1 ) y (Y, τ2 ) dos espacios topol´ogicos homemorfos. Demuestra que : a) (X, τ1 ) es T0 si y s´ olo si (Y, τ2 ) es T0 . b) (X, τ1 ) es T1 si y s´ olo si (Y, τ2 ) es T1 . c) (X, τ1 ) es T2 si y s´ olo si (Y, τ2 ) es T2 . d) (X, τ1 ) es T3 si y s´ olo si (Y, τ2 ) es T3 . e) (X, τ1 ) es T4 si y s´ olo si (Y, τ2 ) es T4 . 5.4.9. Sean (X, τ1 ) y (Y, τ2 ) dos espacios topol´ogicos; a ∈ X, b ∈ Y dos puntos fijos. Demuestra que las funciones f : X → X × Y y g : Y → X × Y definidas por f (x) = x × {b}, g(y) = {a} × y son una inmersi´on.

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Cap´ıtulo 6

Conexidad 6.1.

Espacios conexos

6.1.1. Un espacio es totalmente disconexo si sus u ´nicos subespacios conexos son los conjuntos unipuntuales. a) ¿Todo espacio discreto es totalmente disconexo? b) ¿Todo espacio totalmente disconexo es discreto? 6.1.2. Sea A un subconjunto conexo de un espacio topol´ogico (X, τ ). Demuestra que si B es tal que A ⊆ B ⊆ A, entonces B es conexo. 6.1.3. Sea R con su topolog´ıa usual. Demuestra que A ⊂ R es conexo si y s´ olo A es un conjunto unipuntual ´ o un intervalo. 6.1.4. Demuestra que la uni´ on no disyunta de conexos es conexa. 6.1.5. Demuestra que la conexidad es finitamente productiva. 6.1.6. Demuestra el teorema del punto fijo: Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Entonces existe un z ∈ [0, 1] tal que f (z) = z. 6.1.7. Sea A ⊂ X. Demuestra que si C es un subespacio conexo de X que interseca a tanto a A como a X − A, entonces C interseca a ∂A. 6.1.8. Demuestra que el subespacio de R2 conocido como “El espacio peine”    1 X = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1; y = 0} ∪ {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1 : x = 0} ∪ : n ∈ R × [0, 1] n es conexo. 25

Cap´ıtulo 7

Compacidad 7.1.

Espacios compactos

7.1.1. ¿Es R con la topolog´ıa cofinita compacto? 7.1.2. ¿Es la uni´ on de compactos compacta? 7.1.3. Demuestra que si X un espacio topol´ogico Hausd¨ orff , K ⊂ X es compacto y x ∈ / K, entonces existen abiertos disyuntos U, V tales que K ⊂ U y x ∈ V . 7.1.4. Demuestra que si X es un espacio topol´ogico Hausd¨ orff, sus subconjuntos compactos se pueden separar por abiertos. 7.1.5. Demuestra que si (X, τ ) es un espacio Hausd¨ orff y compacto, entonces (X, τ ) es regular y normal. 7.1.6. Demuestra que un conjunto K ⊂ R con la topolog´ıa usual es compacto si y s´ olo si es cerrado y acotado. 7.1.7. Demuestra que si X y Y son espacios topol´ogicos con X compacto y Y Hausd¨ orff, entonces toda funci´ on f : X → Y continua y biyectiva es un homeomorfismo. 7.1.8. Demuestra que la compacidad es finitamente productiva. 7.1.9. Se dice que una familia A de subconjuntos de X tiene la propiedad de la intersecci´ on finita (PIF) si cada subcolecci´on finita de A tiene intersecci´ on no vac´ıa. Demuestra que (X, τ ) es un espacio compacto si y s´ olo si toda colecci´on de subconjuntos cerrados de X con la propiedad de la intersecci´ on finita tiene intersecci´ on no vac´ıa.

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Jaime A. Fl´ orez S. ,