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• Fabrizio López

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3.9

´ n exponencial Distribucio

253

a) FY pyq en t´erminos de FX pxq. b) fY pyq en t´erminos de fX pxq.

370. Una forma de aproximar π. Escriba un programa de c´omputo para generar valores al azar x, y con distribuci´on uniforme dentro del ? intervalo p0, 1q, independiente un valor del otro. Si ocurre que y ď 1 ´ x2 , entonces el punto px, yq pertenece a la regi´on sombreada de la Figura 3.12 y se considera un ´exito, en caso contrario se considera un fracaso. As´ı, al repetir varias veces este procedimiento, el cociente del n´ umero de ´exitos nE entre el n´ umero de ensayos n ser´a una aproximaci´on del ´area de la regi´on sombreada. Siendo esta regi´on una cuarta parte del c´ırculo unitario, su ´area es π{4. Grafique la funci´on n ÞÑ 4nE {n para n “ 1, 2, . . . , 100 y comente su comportamiento conforme n crece. gpxq “

? 1 ´ x2

1

x 1

Figura 3.12

3.9.

Distribuci´ on exponencial

Decimos que una variable aleatoria continua X tiene distribuci´on exponencial con par´ametro λ ą 0, y escribimos X „ exppλq, cuando su funci´on de densidad es # λ e´λx si x ą 0, f pxq “ 0 en otro caso.

254

3.

Distribuciones de probabilidad

La gr´afica de esta funci´on, cuando el par´ametro λ toma el valor particular 3, se muestra en la Figura 3.13 (a). La correspondiente funci´on de distribuci´on aparece a su derecha. Es muy sencillo verificar que la funci´on f pxq, arriba definida, es efectivamente una funci´on de densidad para cualquier valor del par´ametro λ ą 0. Se trata pues de una variable aleatoria continua con conjunto de valores el intervalo p0, 8q. Esta distribuci´on se usa para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Los valores de f pxq pueden calcularse en el paquete R de la siguiente forma. # dexp(x,λ) eval´ ua f pxq de la distribuci´ on exppλq > dexp(0.5,3) r1s 0.6693905

3

f pxq

1

F pxq

2 1

λ“3 x

x

1

1

(a)

(b) Figura 3.13

Integrando la funci´on de densidad desde menos infinito hasta un valor arbitrario x, se encuentra que la funci´on de distribuci´on tiene la expresi´on que aparece abajo y cuya gr´afica se muestra en la Figura 3.13 (b).

F pxq “

#

1 ´ e´λx si x ą 0,

0

en otro caso.

En el paquete R, la funci´on F pxq se calcula usando el siguiente comando.

3.9

´ n exponencial Distribucio

255

# pexp(x,λ) eval´ ua F pxq de la distribuci´ on exppλq > pexp(0.5,3) r1s 0.7768698

Aplicando el m´etodo de integraci´on por partes puede comprobarse que a) EpXq “ 1{λ. b) VarpXq “ 1{λ2 . Simulaci´ on 3.11 Pueden generarse valores al azar en R de la distribuci´on exponencial usando el comando que aparece en el siguiente recuadro. Como un ejercicio de simulaci´on asigne un valor de su preferencia al par´ametro λ y genere valores al azar de esta distribuci´on. # rexp(k,λ) genera k valores al azar de la distribuci´ on exppλq > rexp(5,3) r1s 0.53847926 0.19371105 0.32025823 0.07144621 0.20201383

‚ Ejemplo 3.14 Suponga que el tiempo en minutos que un usuario cualquiera permanece revisando su correo electr´onico sigue una distribuci´on exponencial de par´ametro λ “ 1{5. Calcule la probabilidad de que un usuario cualquiera permanezca conectado al servidor de correo a) menos de un minuto. b) m´as de una hora. Soluci´ on. Sea X el tiempo de conexi´on al servidor de correo. Para el primer inciso tenemos que ż1 1{5 e´x{5 dx “ 0.181 . P pX ă 1q “ 0

Para el segundo inciso,

P pX ą 60q “

ż8 60

1{5 e´x{5 dx “ 0.0000061 . ‚

256

3.

Distribuciones de probabilidad

Ejercicios 371. Demuestre que la funci´on de densidad exponencial efectivamente es una funci´on de densidad. A partir de ella encuentre la correspondiente funci´on de distribuci´on. 372. Sea X una v.a. con distribuci´on exppλq con λ “ 2. Encuentre a) P pX ă 1q

c) P pX ă 1 | X ă 2q.

b) P pX ě 2q

d ) P p1 ď X ď 2 | X ą 0q.

373. Sea X una v.a. con distribuci´on exppλq. Use la definici´on de esperanza y el m´etodo de integraci´on por partes para demostrar que c) EpX 3 q “ 6{λ3 .

a) EpXq “ 1{λ.

b) EpX 2 q “ 2{λ2 .

d ) VarpXq “ 1{λ2 .

374. Sea X una v.a. con distribuci´on exppλq. Use la f´ormula (2.18) del Ejercicio 217, en la p´agina 165, para encontrar la esperanza de las variables no negativas X, X 2 y X 3 y demostrar nuevamente que c) EpX 3 q “ 6{λ3 .

a) EpXq “ 1{λ.

b) EpX 2 q “ 2{λ2 .

d ) VarpXq “ 1{λ2 .

375. Momentos. Sea X una v.a. con distribuci´on exppλq. Demuestre que el n-´esimo momento de X es EpX n q “

n! . λn

376. Sea X una v.a. con distribuci´on exppλq y sea c ą 0 una constante. Demuestre que cX „ exppλ{cq. 377. f.g.m. Sea X una v.a. con distribuci´on exppλq. Demuestre que la funci´on generadora de momentos de X es la funci´on M ptq que aparece

3.9

´ n exponencial Distribucio

257

abajo. Usando esta funci´on y sus propiedades, encuentre nuevamente la esperanza y la varianza de esta distribuci´on. M ptq “

λ λ´t

para t ă λ.

378. Cuantil. Sea p P p0, 1q. Encuentre el cuantil al 100p % de la distribuci´on exppλq. En particular, muestre que la mediana es pln 2q{λ. 379. Propiedad de p´ erdida de memoria. Sea X una v.a. con distribuci´on exponencial de par´ametro λ. Demuestre que, para cualesquiera valores x, y ě 0, P pX ą x ` y | X ą yq “ P pX ą xq. 380. Discretizaci´ on. Sea X una v.a. con distribuci´on exppλq. Demuestre que la variable aleatoria discreta, definida a continuaci´on, tiene distribuci´on geoppq con p “ 1 ´ e´λ . $ 0 ’ ’ ’ & 1 Y “ ’ 2 ’ ’ % ¨¨¨

si 0 ă X ď 1,

si 1 ă X ď 2,

si 2 ă X ď 3,

¨¨¨

381. Simulaci´ on: m´ etodo de la funci´ on inversa. Sea U una variable aleatoria con distribuci´on unifp0, 1q y sea λ ą 0 una constante. Demuestre que la variable aleatoria X, definida a continuaci´on, tiene distribuci´on exppλq. Este resultado permite obtener valores al azar de la distribuci´on exponencial a partir de valores de la distribuci´on uniforme continua. 1 X “ ´ ln p1 ´ U q. λ 382. Coche en venta. Un se˜ nor esta vendiendo su coche y decide aceptar la primera oferta que exceda $50,000 . Si las ofertas son variables aleatorias independientes con distribuci´on exponencial de media $45,000, encuentre

258

3.

Distribuciones de probabilidad

a) la distribuci´on de probabilidad del n´ umero de ofertas recibidas hasta vender el coche. b) la probabilidad de que el precio de venta rebase $55,000 . c) el precio promedio de venta del coche. 383. El tiempo medido en horas para reparar una m´aquina es una variable aleatoria exponencial de par´ametro λ “ 1{2. ¿Cu´al es la probabilidad de que un tiempo de reparaci´on a) exceda 2 horas? b) tome a lo sumo 4 horas? c) tome a lo sumo 4 horas dado que no se ha logrado la reparaci´on en las primeras 2 horas?

3.10.

Distribuci´ on gamma

La variable aleatoria continua X tiene una metros α ą 0 y λ ą 0, y escribimos X „ densidad es $ α´1 & pλxq λe´λx Γpαq f pxq “ % 0

distribuci´on gamma con par´agammapα, λq, si su funci´on de si x ą 0, en otro caso.

La gr´afica de esta funci´on de densidad, para varios valores de los par´ametros, se muestra en la Figura 3.14. En la expresi´on anterior aparece el t´ermino Γpαq, el cual se conoce como la funci´on gamma, y es de este hecho que la distribuci´on adquiere su nombre. La funci´on gamma se define por medio de la siguiente integral. ż 8

Γpαq “

tα´1 e´t dt,

0

para cualquier n´ umero real α tal que esta integral sea convergente. Para evaluar la funci´on gamma es necesario substituir el valor de α en el integrando y efectuar la integral infinita. En general, no necesitaremos evaluar esta integral para cualquier valor de α, s´olo para algunos pocos valores, principalmente enteros, y nos ayudaremos de las siguientes propiedades que