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DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.

APUNTES DE AULA.

Año académico: 2006-2007

I.E.S. “Cuenca del Nalón” Departamento Didáctico de Nivel: Bach. CCSS Matemáticas Complementos teórico-prácticos. Tema: Función exponencial. Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.

Función Exponencial.  Función exponencial: es una función real de variable real del tipo analítica trascendente. Representa muy bien un sinfín de fenómenos cotidianos, como el crecimiento de población, la reproducción bacteriana, la desintegración atómica, etc. … 

f : ℜ→ℜ+ x →y = f ( x ) = a x

con a ∈ℜ+ y a ≠1

 Propiedades de la función exponencial:  f (x +y ) =f (x ) ⋅f (y ) ⇒ transforma sumas en productos.  f ( x + y) = a x + y = a x ⋅ a y = f ( x ) ⋅ f ( y) f ( x)  f ( x − y ) = f ( y ) ⇒ transforma restas en cocientes. x−y = a x ⋅ a−y =  f ( x − y) = a



f (k ⋅ x ) =(f ( x ))

k

⇒

potencia.

transforma el producto por una constante entera en

( )

 f ( k ⋅ x ) = a k⋅x = a x



x f   = n f ( x) ⇒ n

ax f ( x) = a y f ( y)

k

= (f ( x))k

transforma el cociente por un constante entera en raíz.

( )

1 x x x n = n ax = n f ( x)  f  = a n = a n f ( 0) = 1  , para cualquiera que sea la base a.  f ( 0) = a 0 = 1

 

f (1) = a

, para cada valor a de la base. f (x ) =f (y ) ⇔ x =y , es una aplicación biyectiva. x  f ( x ) = f ( y) ⇒ a = a y ⇔ x = y

 Estudio local de la función: se deben distinguir dos casos bien diferenciados.  CASO I: a > 1  Dominio de definición: Dom( f ( x ) ) = ℜ = ( − ∞, ∞ ) ya que por ser a > 0, a x existe siempre y está bien definida.  Recorrido: Im( f ( x ) ) = ℜ + = ( 0, ∞ )  Signo de la función por zonas: siempre es positiva en el dominio.

Adaptaciones nivel 3.

Página.- i

Funciones.

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APUNTES DE AULA.

OX, nunca lo corta  Puntos de corte con los ejes:  OY, lo cortan todas en el punto y = 1 1 −x  Simetrías: no tiene, f ( x ) = a x y f ( − x ) = a = x , luego no se define ni a par ni impar.  Periodicidad: no es periódica. Horizontales y = 0   Asíntotas: Verticales no tiene Oblícuas, no tiene  x −∞ • Ya que lím f ( x ) = lím a = a = x → −∞

•

x → −∞

lím f ( x ) = lím a = a ∞ = ∞

1 1 = =0 ∞ ∞ a

x

x →∞

x →∞

 Continuidad: es continua en todo el dominio.  Monotonía: es creciente en todo el dominio. • p > q ⇒ a p > a q ⇒ f ( p ) > f ( q ) , ∀p , q reales.  Máximos y mínimos relativos: no tiene, es siempre creciente.  Concavidad: es siempre cóncava hacia arriba en su dominio.  Puntos de inflexión: no tiene.

Gráfica de a>1

a 1 1

 CASO II: 0 < a < 1

 Dominio de definición: Dom( f ( x ) ) = ℜ = ( − ∞, ∞ ) ya que por ser a > 0, a x existe siempre y está bien definida.

 Recorrido: Im( f ( x ) ) = ℜ + = ( 0, ∞ )  Signo de la función por zonas: siempre es positiva en el dominio. OX, nunca lo corta  Puntos de corte con los ejes:  OY, lo cortan todas en el punto y = 1 1 −x  Simetrías: no tiene, f ( x ) = a x y f ( − x ) = a = x , luego no se define ni a par ni impar.  Periodicidad: no es periódica. Horizontales y = 0   Asíntotas: Verticales no tiene Oblícuas, no tiene 

Adaptaciones nivel 3.

Página.- ii

Funciones.

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∞

1 1 1 • Ya que lím f ( x ) = lím a = a ≅   = ∞ = = 0 , por ser a < 1, es x →∞ x →∞ ∞ b b 1 como si a = con b > 1. b −∞ 1 x • lím f ( x ) = lím a ≅   = b ∞ = ∞ x →−∞ x →−∞ b  Continuidad: es continua en todo el dominio.  Monotonía: es decreciente en todo el dominio. p q 1 1 p q • p > q ⇒ a < a ya que ≅   <   , ya que fracciones de igual b b ∞

x

numerador es mayor la que menor denominador tenga, ∀p , q reales.  Máximos y mínimos relativos: no tiene, es siempre creciente.  Concavidad: es siempre cóncava hacia arriba en su dominio.  Puntos de inflexión: no tiene.

Gráfica de

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