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• jesus herazo

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Punto 1 Función exponencial La función exponencial es aquella en la cual el argumento o la variable independiente se encuentran como un exponente la cual se puede escribir de la siguiente forma: f ( x )=e x Gráficamente de puede representar de la siguiente manera:

Algunas de sus propiedades:   

Es una función creciente Su rango es ( 0 , ∞ ) Su dominio son todos los reales Función Logarítmica

Es una función cuyo argumento está ubicado en el logaritmo y que es de la forma: f ( x )=ln ( x ) Estos logaritmos pueden tener diferentes bases así como la función exponencial, cuando el logaritmo tiene base Euler, se le llama logaritmo natural. Propiedades: 

log ( a ∙ b )=log ( a ) +log ( b )

( ba )=log ( a)−log ( b )



log



log ( a b )=b ∙ log ( a )

Gráfica

Relación entre ambas funciones:

La relación que existe entre estas funciones es que una es la inversa de la otra y gráficamente lo podemos ver ya que son simétricas con respecto a la recta de y = x.

Aplicación en las ciencias económicas Anteriormente se vio la función exponencial y logarítmica cuando estas tenían de base a Euler, pero no siempre será así ya que pueden tener otro tipo de base como es en el caso de las aplicaciones en las ciencias económicas para determinar el crecimiento exponencial en el número de ventas, también se aplica mayormente en los intereses. Punto 2 Inciso a Ejemplo 1 exponencial: En el banco a pedro le dijeron que dentro de 10 años tendrá 5 millones inicialmente, si el banco le paga a una tasa del 5% anual, ¿con cuánto dinero comenzó?

μ=C ( 1+ r )

t

5000000=C ( 1+ 0.05 )10 5000000=1.6288 C C=3069566 Ejemplo 2 exponencial: De acuerdo al ejercicio anterior, cuanto tendrá dentro de 15 años

μ=C ( 1+ r )

t

y=3069566 ( 1.05 ) x

μ=3069566 ( 1+0.05 ) μ=6381407 Gráfica:

15

Ejemplo 1 logarítmica: El número de clientes fijos a medida que transcurre el tiempo está dado por la función: N=C log ( t ) Donde t esta dado en meses, N dado en número total de clientes Determine la constante C si al cabo de 5 meses el número de clientes es de 300 N=C log ( t ) 300=C log ( 3 ) C=

300 log ( 3 )

C=628.77 Ejemplo 2 logarítmica: Con base en el ejemplo anterior determinar el número de clientes que habrá en un año

N=628.77 log (t ) N=628.77 log (12 ) N=678.5 Gráfica:

Función logarítmica El logaritmo de x en base a, es simplemente buscar un exponente para la base que como resultado me dé x, dicho lo anterior entonces el logaritmo de x en base 10 es buscar un numero tal que si pongo como base 10 y exponente dicho número, el resultado me dé x, y para el caso del logaritmo natural se aplica lo mismo, simplemente que en este caso la base es el numero Euler Como cambiar de base logarítmica:

Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos: Para resolver las ecuaciones exponenciales con logaritmos es necesario aplicar el logaritmo en cada lado de la ecuación y posteriormente con las propiedades despejar la variable solicitada.

Ejemplo: Suponga que el crecimiento de la empresa se da de manera exponencial, donde G representa el dinero de la empresa y t el tiempo en años, asumiendo que comienzan con un capital de 5 millones, en que año la empresa tendrá 100 millones G ( t ) =3000000 et 100000000=5 000000 e t 100000000 t =e 5000000 e t =20 Aplicando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación: ln ( et )=ln ( 20 ) Aplicando la propiedad: log ( a b )=b ∙ log ( a ) Obtenemos: t ∙ ln ( e )=ln ( 20 ) t ∙ 1=ln ( 20 ) t=ln ( 20 ) t=3 En 3 años

Gráfica: