• Author / Uploaded
• Matías Reales

Citation preview

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

Losas con Armaduras Cruzadas - Método de Marcus 1. Generalidades El Método de Marcus permite calcular las solicitaciones de losas cruzadas de planta rectangular, con cargas del tipo uniforme completa, y con todos sus bordes apoyados. Los apoyos considerados pueden ser de dos tipos, articulados y perfectamente empotrados.

2. Tipos de Apoyos Por lo anterior tenemos entonces 6 posibilidades de apoyos:

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

3. Análisis Marcus propone el análisis de una placa rectangular con luces “Lx” y “Ly”, bajo carga uniforme completa “q” y con tipo de apoyo 1. De esta losa se asilaran de modo virtual 2 franjas centrales ortogonales entre si, cada franja tiene un ancho unitario. Se estudiaran sus deformaciones. # La carga total que solicita a la losa es “q”. # Cada franja toma una porción de esta carga total, pero paro mantener Σv=0, debe ser: q= qx + qy (1) # Ahora analizamos las flechas máximas fx, fy: fx= Wx qx Lx4 384 E Jx fy= Wy qy Ly4 384 E Jy

# Donde “Wx” y “Wy” dependen del tipo de apoyo: W m v

Tabla I Coef. Flecha Coef. Mom. Tramo Coef. Mom. Apoyo

5 8 ∞

2 9/128 8

1 24 12

# Por una condición de compatibilidad de deformaciones, fx = fy, en el punto del entrecruzamiento además se admite que Jx=Jy. Por esto nos queda: fx=fy 

Wx qx Lx4 = Wy qy Ly4 384 E Jx 384 E Jy

# Haciendo ahora W= Wy/Wx y E =Ly/Lx : resultara

qx = Wy Ly4 (2) qy Wx Lx4 qx = W E4 (3) qy

# Acomodando (1): q= qx + qy → qx=q – qy , poniendo esto en (3), nos queda: q – qy = W E4 , qy

q - 1 = W E4 (4) qy

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

# Llamando Kappa κ = qx/q y Rho ρ =qy/q

APUNTES JULIO 17

(5) , nos queda:

q = 1 → 1 – 1 = W E4 → ρ = 1 (6) 4 qy ρ ρ WE +1

# Acomodando (1): q= qx + qy → qy=q – qx , poniendo esto en (3), nos queda: qx = W E4 , q-qx

q - qx = 1 , q - 1 = 1 , a esto le agrego las (5) qx W E4 qx W E4

1 - 1 = 1 , 1 = 1 + 1 , 1 = 1 + W E4 nos queda finalmente: κ W E4 κ W E4 κ W E4

κ = W E4

1+WE

(7) 4

Como “q= qx + qy”, ”qx= κ q” y “qy= ρ q”; se deberá cumplir que: “κ + ρ = 1” Analizamos los momentos flectores de cada franja: Franja en X

Mx =qx Lx2 = κ q Lx2 mx mx (8)

Franja en Y

My =qy Ly2 = ρ q Ly2 my my

Estos momentos calculados de esta forma serian los correctos, si entre las franjas paralelas y adyacentes no existiera rozamiento, ni vinculación: Sin momentos Torsores. Los Momentos Flectores son según (8):

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

Con Movimientos Torsores (Mt), que provocan una reducción de los Momentos Flectores, según (8), típico comportamiento del H°A° macizo y monolítico:

# Para tener en cuenta el efecto favorecedor de la aplicación de los Mt, Marcus introduce los llamados “Coeficientes de Torsion”: Vx = 1 – κ Vx ≤ 1 2 0.15 mx E (9) 2 Vy = 1 – ρ E Vy ≤ 1 0.15 mY #Introducimos (9) en (8) Max Mx = Vx κ q Lx2 mx Max My = Vy ρ q Ly2 my # Haciendo: Vx κ = α mx Vy ρ = β , nos quedara: my Max Mx = αi q Lx2 Max My = βi q Ly2 # Momentos de apoyo X= - Vx κi q Lx2 vx Y= - Vy ρi q Ly2 vy Vx e Vy salen de Tabla I Siendo, los Coeficientes de Marcus, para el tipo de apoyo i : αi βi κi ρi Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

Estados de cargas en Sistemas Continuos

En el diseño d estructuras debe calcularse los efectos de la acción de las cargas. En el caso de cargas variables, debe tenerse en cuenta estas posibilidades de variación para poder determinar las situaciones más desfavorables, que serán usadas en los dimensionados y verificadas posteriormente. "No siempre los estados de carga completos conducen a sistemas mas desfavorables"

Caso 1 Sistema Isostático aislado: La situación mas desfavorable se obtiene para la carga completa (g+p).

Mmax = ( g+p ) L2 8 Qmax = ( g+p ) 1 2

#Nota: "g" al ser carga permanente siempre estará actuando, en cambio "p" puede o no estar.

Caso 2 Losa continúa de 2 tramos, armada en 1 dirección:

Max X; Max Q2izq; Max Q1der

Max M1; Min M2 Max Q1izq Min Q2der

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

Max M2; Min M1 Max Q2der Min Q1izq

Min Q1der Min Q2izq

Envolvente M

Envolvente Q

# Para el análisis de estado de cargas rigen las siguientes reglas: A) Se obtienen Max. M de tramo cargando el tramo considerado y descargando alternadamente los tramos vecinos. B) Se obtienen los Min. M de tramo descargando el tramo considerado y cargando y descargando a ambos lados en forma alternada. C) Se obtienen los Max. M de apoyo y también los Max. Q en ese apoyo cuando cargamos los 2 tramos adyacentes al tramo considerado y descargamos y cargamos alternadamente a ambos lados. D) Se obtienen los Min. M de apoyo y también los Min. Q en ese apoyo cuando se descarga los 2 tramos adyacentes al apoyo considerado y se cargan y descargan alternadamente a ambos lados del resto de los tramos.

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

Losa Cruzada Continua Los sistemas de losas cruzadas vinculadas entre sí con la posibilidad de transferir momento y deformación entre los tramos reciben el nombre sistema de “Sistemas de losas cruzadas continuas”. Dentro del método Marcus es posible su análisis pero siempre que se cumplan con las siguientes condiciones: “Para tramos adyacentes la luz menor debe ser mayor que 0,8 x luz mayor” Ejemplo:

# Para que se pueda resolver por Marcus, debe cumplirse, que:

& Lx1 ≥ 0,8 Lx2, pues Lx1 < Lx2 y & Ly2 ≥ 0,8 Ly1, pues Ly2 < Ly1

También es conveniente el estudio de “Los estados de carga” para tener en cuenta la “variabilidad de actuación de la sobrecarga”, y de esa manera poder determinar las situaciones más desfavorables. Las condiciones son 1) Máximos momentos de apoyo se obtienen para cargas completa g+p en todas las losas

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

2) Máximos momentos de tramo se obtienen cuando g actúa en todos los paños y p solo sólo en la disposición de “damero” cargando el tramo analizado.

3) Mínimos momentos de tramos se obtienen, para g en todos los paños y p en “damero” descargando el tramo considerado

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

Losas Cruzadas Continuas

# Solución 1 Usando la disposición de dameros Marcus adopta una generalización del método para considerar este caso:

Estado de cargas Parciales

Maximo / Minimo Mx = Lx2 [αi ( g + ½ p) ± αi ( ½ p) ] Maximo / Minimo My = Ly2 [βi ( g + ½ p) ± βi ( ½ p) ]

Pero como los estados de cargas en damero sólo se aplican a momentos de tramo, los momentos de apoyo se calculan con carga completa (g + p) en todos los paños, resultando entonces: X= - κmax q (Lxizq + Lxder) 2 rcx

Con rcx y rcy :

Y= - ρmax q (Lyizq + Lyder) 2 rcy

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban

UTN – FRT 2017

ESTRUCTURAS DE HORMIGON

APUNTES JULIO 17

# Solución 2 Usando promedios de momentos de apoyo (y reajuste de los momentos de tramo). Cuando se calculan los momentos según Marcus, se parte de la hipótesis del “empotramiento perfecto” (no hay giro de la tangente a la deformada sobre el apoyo). Por ejemplo:

En esta significación se supone que:

A) El momento de apoyo definitivo (igual para ambos tramos, sino el nudo no estaria en equilibrio), es el promedio de los momentos apoyos:

B) Si las parábolas se desplazan, lo harían una magnitud “ΔX/2” en el apoyo continuo, y/o en el apoyo extremo. Si suponemos que la figura de ajuste es un triángulo curvo, este tiene una ordenada en la zona central de “ΔX/4”:

Titular: Ing. Lucero, Enrique

Jefe T.P.: Ing. Rojas, Telmo

Aux.: Ing. Cuezzo, Esteban