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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

INDICE 1.1

INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................10

1.2

LA ESFERA .......................................................................................................................11

o

CIRCULOS MÁXIMOS.- ....................................................................................................12

o

PROPIEDADES ELEMENTALES.- .......................................................................................12

o

VOLUMEN Y SUPERFICIE DE LA ESFERA: .........................................................................13

o

DOMINIO SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA: ....................................................................13

o

TRIANGULO ESFÉRICO: ...................................................................................................14

1.3 o 1.4

FORMULAS DE LOS SENOS..............................................................................................15 LEY DE SENOS PARA UN TRIANGULO ESFERICO: ............................................................15 FORMULAS DE LOS COSENOS. ........................................................................................16

o

LEY DE COSENOS PARA UNA TRIANGULO ESFERICO.......................................................16

o

ALGUNAS OTRAS FORMULAS. ........................................................................................17

o

LEY DE COSENOS PARA VERTICES ...................................................................................17

1.5 o

FORMULAS DE BESSEL. ...................................................................................................18 CLASIFICACION DE LAS FORMULAS DE BESSEL: ..............................................................19 1ra FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para lados ................................................19 2da FORMULA DE BESSEL: Teorema del seno ....................................................................23 3ra FORMULA DE BESSEL: Teorema de las Cotangentes ....................................................25 4ta FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para ángulos ............................................26

1.6

FORMULAS DE BORDA....................................................................................................27 ENUNCIADO DEL TEOREMA:...............................................................................................27

1.7

ANALOGÍAS DE GAUSS-D'ELAMBRE................................................................................31 ENUNCIADO DEL TEOREMA................................................................................................31

1.8

REGLA DEL PENTÁGONO DE NEPER ................................................................................33

1.9

APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA ESFERICA..........................................................35

1.10

Conclusiones ..................................................................................................................36

1.11

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................36

2.1introduccion ..........................................................................................................................37

1

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

2.2 ASTROMETRÍA ......................................................................................................................40 2.3

ASTRONOMÍA DE POSICIÓN: ..........................................................................................40

o

LA ESFERA TERRESTRE: ...................................................................................................40

o

LINEAS Y CIRCULOS IMPORTANTES: ...............................................................................41

2.4 o

ESFERA CELESTE: ............................................................................................................42 MOVIMIENTOS DE LA TIERRA .........................................................................................42 Consecuencias de la rotación de la tierra ...........................................................................43 LOS SOLSTICIOS ..................................................................................................................44 LOS EQUINOCCIOS ..............................................................................................................45

3 .................................................................................................................................................46 2.5

LOS OBJETOS CELESTES Y SUS MOVIMIENTOS APARENTES............................................48

O

LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LAS ESTRELLAS CIRCUMPOLARES ...........................51

2.6

EL MOVIMIENTO DEL SOL EN EL CIELO ...........................................................................52

2.7

EL MOVIMIENTO DEL SOL EN LA ESFERA TERRESTRE .....................................................54

2.8

COORDENADAS ASTRONÓMICAS: ..................................................................................56

o

SISTEMA DE COORDENADAS DEL HORIZONTE: ..............................................................56

o

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS: .................................................................57

o

SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES: ................................................................57

o

COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS: ................................................................59

o

SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS: ......................................................................60

2.9

TRANSFORMACIONES ENTRE LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS ..............62

2.10

TIEMPO...........................................................................................................................66

o

EL TIEMPO Y SU MEDIDA. ...............................................................................................66

o

TIEMPO ROTACIONAL. ....................................................................................................67

o

DEFINICIÓN DE AÑO. ......................................................................................................69

2.11

CORRECCIONES A LOS SISTEMAS DE COORDENADAS ASTRONÓMICOS: ........................70

o

PARALAJE:.......................................................................................................................71

o

COORDENADAS TOPO CÉNTRICAS, GEOCÉNTRICAS Y HELIOCÉNTRICAS: .......................71

o

PARALAJE DIURNA: .........................................................................................................71

o

PARALAJE ANUAL: ..........................................................................................................72

2.12

Conclusiones ..................................................................................................................74

2.13

BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................74

3.1

INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN DE ELIPSE .......................................................................75

3.2

ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN: ...........................................................................................77

2

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o

ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN: ...........................................................................................78

3.3

DETERMINACION DE UN PUNTO SOBRE EL ELIPSOIDE ...................................................80

3.4

LA GRAN NORMAL O NORMAL PRINCIPAL (N) ...............................................................82

3.5

SECCIONES SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCION. CURVATURAS .................................84

3.6

RADIO DE CURVATURA DE LA ELIPSE MERIDIANA ..........................................................85

o

RADIO DE CURVATURA DEL VERTICAL PRIMARIO: GRAN NORMAL................................86

o

RADIO DE CURVATURA DE UNA SECCION NORMAL EN UN ACIMUT CUALQUIERA ........87

o

RADIO DE CURVATURA MEDIO .......................................................................................90

o

SECCIONES NORMALES RECIPROCAS. LA LINEA GEODESICA ..........................................90

o

LONGITUD DEL ARCO DE PARALELO ...............................................................................90

o

LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO ............................................................................91

3.7

ACIMUT GEODESICO Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS ..............................................95

3.8

ECUACIÓN DE LA LÍNEA GEODÉSICA, FORMULA DE CLAIRAUT.......................................96

3.9

APLICACIÓN ..................................................................................................................100

3.10

bibliografia ...................................................................................................................101

4.1

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................102

4.2

FUNCIÓN VECTORIAL Y CAMPO VECTORIAL .................................................................103

4.3

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR ...........................................................................104

4.4

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL .....................................................................105

4.5

CAMPO ESCALAR POTENCIAL .....................................................................................107

4.6

ATRACCION GRAVITATORIA DE NEWTON, POTENCIAL GRAVITATORIO .......................107

4.7

FUERZA CENTRIFUGA, POTENCIAL CENTRIFUGO ..........................................................109

4.8

GRAVEDAD Y POTENCIAL DE LA GRAVEDAD ................................................................110

o

UNIDADES DE GRAVEDAD ............................................................................................111

4.9 POTENCIAL Y GRAVEDAD NORMAL ....................................................................................112 4.9

EL GEOIDE.....................................................................................................................114

o

UTILIDAD EL GEOIDE.....................................................................................................115

4.10

ONDULACION DEL GEOIDE ...........................................................................................115

o

PROYECCION DE PIZETTI ...............................................................................................116

o

PROYECCION DE HELMERT ...........................................................................................117

4.11

FIGURA DE LA TIERRA ...................................................................................................117

o

LA GEODESIA CLÁSICA ..................................................................................................117

o

LA GEODESIA MODERNA ..............................................................................................117

4.12

GEODESIA FÍSICA ..........................................................................................................118

3

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o

MÉTODOS DE LOS ARCOS .............................................................................................119

o

MÉTODO DE LAS ÁREAS ...............................................................................................120

o

MÉTODO GRAVIMÉTRICO.............................................................................................121

4.13

BIBLIOGRAFÌA ...............................................................................................................123

5.1

INTRODUCCION ............................................................................................................124

5.2

SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONOMICAS O NATURAL .........................................125

o

SISTEMA GEOCENTRICO ASTRONOMICO. ....................................................................125 Latitud astronómica ( ): ..................................................................................................125 Longitud astronómica ( ): ................................................................................................125 Altura ortométrica ( ):.....................................................................................................126

o

SISTEMA TOPOCENTRICO ASTRONOMICO. ..................................................................126 Distancia cenital ( ): .........................................................................................................127 Acimut astronómico (

o

): .............................................................................................127

SISTEMA DE COORDENADAS GEODESICO ....................................................................128 3.1 SISTEMA GEOCENTRICO GEODESICO..........................................................................128 -

LATITUD GEODÉSICA(ϕ).- .........................................................................................128

-

LONGITUD GEODÉSICA (λ).- ......................................................................................128

-

ALTURA ELIPSOIDAL (h).- ..........................................................................................129

3.2 SISTEMA TOPOCÉNTRICO GEODÉSICO .......................................................................129 o

SISTEMA CARTESIANO GEOCENTRICO ..........................................................................130

o

SITEMA DE REFERENCIA GENERAL GEODESICO Y LOCAL CARTESIANO ........................134

o

TRIEDRO LOCAL DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES .....................................................138

o

DESVIACION DE LA VERTICAL .......................................................................................140

ECUACIÓN DE LAPLACE, PUNTO LAPLACE ............................................................................144 6.1INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................149 6.2.MARCO TEORICO .........................................................................................................150 o

EXCESO ESFERICO .........................................................................................................150

o

TEOREMA DE LEGENDRE: .............................................................................................151

o

TEOREMA DE GAUSS: ...................................................................................................151

o

ESFERA DE JACOBI: .......................................................................................................152

o

DESARROLLO DE WEINGARTEN-PUISEUX .....................................................................155

o

PROBLEMAS GEODÉSICOS PRINCIPALES .......................................................................158 Problema Directo .............................................................................................................158 Problema Inverso .............................................................................................................158

4

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

METODO ALGEBRAICO .....................................................................................................158 o

Problema Directo .........................................................................................................159

Problema Inverso .................................................................................................................162 Cálculo de acimutes y convergencia de meridianos .........................................................162 Cálculo de la distancia entre los dos vértices A y B........................................................164 7.1. INTRODUCCION .................................................................................................................166 7.2. TRASLADO DE POSICIONES GEOGRAFICAS ........................................................................167 o

Traslado de posiciones geográficas por métodos geodésicos.- ....................................167

o

Traslados de posiciones geográficas por métodos topográficos ..................................167 Los métodos planimétricos ..............................................................................................168 Los métodos altimétricos .................................................................................................168 El método taquimétrico ...................................................................................................168

7.3. TRASLADO DEPOSICIONES GEOGRÁFICAS POR MÉTODOS GEODÉSICOS ........................168 Poligonal ...........................................................................................................................168 Radiación ..........................................................................................................................170 Triangulación ....................................................................................................................171 Trilateración .....................................................................................................................174 7.4.DEFINICION DE TOPOGRAFIA .............................................................................................176 o

LEVANTAMIENTOS .......................................................................................................177 Clases de levantamientos .................................................................................................177 Topográficos .....................................................................................................................177 Geodésicos .......................................................................................................................177

7.5.LIMITE DE EXTENSION DE LOS LEVANTAMIENTOS TOPOOGRAFICOS ................................177 GRAFICISMO, ESCALA Y CENTIMETRO GRAFICO ..................................................................177 Escala: ..............................................................................................................................178 ERROR LINEAL ..................................................................................................................179 ERROR PERIFERICO ...........................................................................................................180 ERROR ANGULAR..............................................................................................................181 7.6.TRASLADO DE POSICIONES GEOGRAFICAS Y METODOS TOPOGRAFICOS ..........................182 NORTE GEOGRAFICO (NG):...............................................................................................183 NORTE DE CUADRICULA (Nc): ..........................................................................................183 CONVERGENCIA DE MERIDIANO : ....................................................................................183 ACIMUT (Z): ......................................................................................................................183 ORIENTACION (O): ............................................................................................................183

5

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

MARCACION (α): ..............................................................................................................184 DISTANCIAS Y SUPERFICIES...............................................................................................184 o

RADIACION ...................................................................................................................184 ITINERARIO .......................................................................................................................185 INTERSECCION ..................................................................................................................186 LA INTERSECCION DIRECTA ..............................................................................................186 LA TRISECCION DIRECTA ...................................................................................................188 LA INTERSECCION INVERSA ..............................................................................................189 LA INTERSECCION MIXTA..................................................................................................192

o

TRILATERACIÓN ............................................................................................................192

o

TAQUIMETRIA: .............................................................................................................195

7.7.LA REPRESENTACION UTM .................................................................................................198 o

LA ORIENTACION ..........................................................................................................200

o

CONVERGENCIA DE MERIDIANOS ................................................................................200

o

EL MODULO DE DEFORMACION LINEAL REDUCIDO .....................................................201

7.8.LA REFERENCIA TOPOGRAFICA Y LA PROYECCION U.T.M...................................................203 8.1.INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................205 8.2.LA RED GEODÉSICA CLÁSICA ..............................................................................................206 8.3. CONSTRUCCIÓN DE LA RED O TRIANGULACIÓN ...............................................................208 o

Proyecto de la Triangulación ........................................................................................209 Dimensiones de los lados .................................................................................................210 El Reconocimiento del Terreno ........................................................................................211 LA SEÑALIZACIÓN .............................................................................................................213

o

La Observación y El Control de Resultados ...................................................................214

o

La Compensación .........................................................................................................215

8.4.LA RED GEODÉSICA CLÁSICA ESPAÑOLA.............................................................................216 8.5.LAS REDES GEODÉSICAS TRIDIMENSIONALES ....................................................................218 8.6.ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LA RED GEODÉSICA ESPAÑOLA .................................................219 o

El Servicio Internacional de Rotación IERS ....................................................................221

o

El Servicio Internacional Para Geodinámica IGS ...........................................................222

o

El marco ETRF89. La campaña EUREF89 .......................................................................223

o

Las campañas IBERIA95 y BALEAR98 ............................................................................223

o

Le Red REGENTE ...........................................................................................................224

8.7. RED GEODÉSICA NACIONAL EN AMERICA Y EN EL PERU ...................................................225

6

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o

LA CAMPAÑA GPS DEL PROYECTO SIRGAS ...................................................................227 PAIS

o

N°. DE ESTACIONES ........................................................................229

RED GEODÉSICA HORIZONTAL NACIONAL CLASICA ....................................................230

8.8. RED GEODESICA EN EL PERU .............................................................................................230 CUMPLIMIENTO DE OBJETIVOS ........................................................................................231 o

MAPA DE LA RED GEODESICA NACIONAL .....................................................................233

o

DESCRIPCION DE LA INTEGRACION A SIRGAS ...............................................................234 ESTADO DE REALIZACION .................................................................................................234

o

PROGRAMACION PARA OBTENCION DE RESULTADOS FINALES ...................................235 ¿QUÉ PERMITE AL PAÍS CONTAR CON LA REGGEN? .........................................................235 RED GEODÉSICANACIONAL GPS .......................................................................................235

o

ACTIVIDADES DE MANTENIMIENTO EJECUTADAS EN 2005 ..........................................237 RESUMEN .........................................................................................................................238

o

RESOLUCION JEFATURAL N° 079-2006-IGN-OAJ-DGC ..................................................240 SE RESUELVE:....................................................................................................................241

o

RED GEODESICA GEOCENTRICA NACIONAL (REGGEN): ................................................244

8.9.PRINCIPALES PUNTOS GEODÉSICOS EN EL PERÚ ................................................................245 o

PRINCIPALES PUNTOS GEODÉSICOS EN LA REGIÓN JUNÍN ...........................................245

o

PROCEDIMIENTO PARA OBTENER LA FICHA TECNICA ..................................................247

8.10. FICHAS TECNICAS DE LOS PRINCIPALES PUNTOS GEODESICOS DE JUNIN ......................249 o

anexos ..........................................................................................................................253 RED GEODESICA MINERA .................................................................................................253 CUADRO DE COORDENADAS EN WGS-84 .........................................................................253 CUADRO DE COORDENADAS EN EL SISTEMA ITRF 94 .......................................................253 INSTITUTO GEODESICO DEL PERÚ ....................................................................................254 PROYECTO SNAPP-96 .......................................................................................................254 PUNTOS GPS .....................................................................................................................254 COORDENADAS DE LA SUB RED GEODESICA MINERA ......................................................255

9.1.INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................258 9.2. REDUCCIÓN DE DISTANCIAS ..............................................................................................259 9.3. CORRECCIÓN METEOROLÓGICA ........................................................................................259 1.12

.....................................................................................................................................260

9.4. CALCULO DE DESNIVEL ......................................................................................................260 o

A) REDUCCIÓN AL HORIZONTE .....................................................................................260

7

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o

B) REDUCCIÓN A LA HORIZONTAL DE A ........................................................................261

o

C) CORRECCIÓN POR ESFERICIDAD ...............................................................................261

o

D) CORRECCIÓN POR REFRACCIÓN ...............................................................................263

o

E) CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE REFRACCIÓN ...........................................................264

o

F) CORRECCIÓN CONJUNTA POR ESFERICIDAD Y REFRACCIÓN ....................................266

9.5. REDUCCIÓN DEL TERRENO A LA CUERDA ..........................................................................267 9.6. REDUCCIÓN DE LA CUERDA AL ARCO ................................................................................269 9.7. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS .................................................................................................270 o

A) CORRECCIÓN ANGULAR PARA PASO DE LA SECCIÓN NORMAL A LA LÍNEA GEODÉSICA 270

o

B) CORRECCIÓN ANGULAR DEBIDA A LA DESVIACIÓN DE LA VERTICAL .......................272

o

C) CORRECCIÓN ANGULAR DEBIDA A LA ALTURA DEL PUNTO DE ESTACIÓN ...............273

o

D) CORRECCION ANGULAR DEBIDA A LA ALTURA DEL PUNTO OBSERVADO ................274

10.1 INTRODUCCION ................................................................................................................277 10.1,TRANSFORMACION DE HELMERT .....................................................................................278 10.2. TRANSFORMACION DE AFINIDAD O DE 7 PARAMETROS:................................................281 10.3. ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA LOCAL: ....................................................................282 o

UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN: ...................................................................................282

o

UNAS COORDENADAS DE PARTIDA O DATUM: ............................................................283

o

UNA TERCERA COORDENADA LLAMADA ALTURA ORTOMETRICA: ..............................284

o

EFECTOS DE USAR DATUM DIFERENTES: .....................................................................285

FIG.10.8 ................................................................................................................................285 o

SISTEMA LOCAL UTILIZADO POR EL PERU ....................................................................286

10.4.ESTABLECIMIENTO DE UN SISTEMA GLOBAL: ..................................................................286 10.5.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: ..................................................................................288 10.6.MODELO DE LOS 7 PARAMETROS DE BURSA – WOLF: .....................................................289 10.7.MODELO DE 3 PARAMETROS: ..........................................................................................289 10.8.MODELO DE 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS: .............................................290 o

OBTENCION DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS .....................................................291

o

Transformaciones entre los sistemas ED50 y WGS84 ...................................................291 SISTEMA WGS84...............................................................................................................291 SISTEMA ED50 ..................................................................................................................291

o

CALCULO DE LOS 7 PARAMETROS DE MOLODENSKY-BADEKAS ...................................293

o

EJEMPLO .......................................................................................................................296

8

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

10.9. MODELOS ESTANDAR Y ABREVIADO DE MOLODENSKY: .................................................298

2.

o

FORMULA ESTÁNDAR DE MOLODENSKY: .....................................................................298

o

FORMULA ABREVIADA DE MOLODENSKY:....................................................................299 Cartografía y geodesia satelital por Roger Alejos, Víctor Hugo . .........................301

9

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La Trigonometría es una rama de la Matemática en la que se analiza la medida de las partes de los triángulos, tanto de los triángulos planos como de los esféricos así como de las figuras que se forman con ellos. Así como en Topografía y en Cartografía es muy importante la Trigonometría Plana, en Astronomía y en Geodesia es fundamental el análisis de los triángulos esféricos. En el posterior desarrollo de la Trigonometría Esférica se considera básico el conocimiento de la Trigonometría Plana y de las propiedades de las funciones trigonométricas.

El análisis de las figuras que se representan sobre la superficie esférica lo lleva a cabo la Geometría Esférica. Los conceptos fundamentales de esta Geometría son los siguientes: circunferencias máximas, circunferencias menores, distancia esférica, ángulo esférico Mediante estos conceptos se definen el triángulo esférico y su triangulo polar y además se deducen sus propiedades fundamentales

10

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

Fig. 1.1 Euclides

Euclides fue el que definió a la esfera como solido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular de su diámetro. Esfera proviene del término griego sphaíra, que significa pelota. Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por:

Fig. 1.2 superficie definida por:

E= {(x, y,z)

R3/(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=k2}

11

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o CIRCULOS MÁXIMOS.Una Circunferencia máxima, o ciclo, sobre una esfera, es el perímetro de la sección producida por la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera; por tanto, su radio será el de la esfera. Una Circunferencia menor es el perímetro de la sección producida por la intersección de la esfera con un plano que no pase por su centro.

Fig. 1.3 Circulo menor y máximo

o PROPIEDADES ELEMENTALES.a.- Cuatro puntos del espacio euclidiano R3 definen a una esfera. b.- Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos círculos máximos .Por dos puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un círculos máximo y solo uno. c.- Si la longitud de arco desde A hacia B es a y el radio de la esfera es k, el ángulo sobre el círculo máximo es a/k.

Fig. 1.4 puntos no coplanario Definen una esfera

12

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Fig. 1.5 Por cualquier punto P de la Superficie pasan infinitos punto

o

VOLUMEN Y SUPERFICIE DE LA ESFERA:

El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que gira alrededor del diámetro. Sabiendo que:

, es la ecuación del circulo de radio k.

CALCULANDO:

∫

∫

o DOMINIO SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA:

D

Fig.- 1.6 Dominio sobre la superficie esférica

13

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

∫ √ ∫

√

(

)

∫

Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.

o TRIANGULO ESFÉRICO: Un triángulo esférico de vértices A, B y C, es el dominio de superficie esférica limitado por tres círculos máximos que se cortan en A,B y C

Fig.- 1.7 Dominio limitado por tres círculos máximos

Los lados a, b y c, son respectivamente, los arcos de circulo máximo opuestos a A,B y C. En todo triángulo esférico de lados a, b y c; y de vértices A,B y C sobre una superficie esférica de radio k, se puede distinguir 6 ángulos: A, B y C: son los ángulos diedros que definen los círculos máximos que se cortan en dichos puntos. a/k, b/k y c/k; son los ángulos centrales (con vértice en centro de la esfera) barridos por cada uno de los lados a, b y c. De igual forma se aplican todas las formulas trigonométricas en cada uno de estos ángulos.

14

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o LEY DE SENOS PARA UN TRIANGULO ESFERICO: Los senos de los lados de un triángulo esférico son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

Demostración: Tracemos el plano perpendicular al radio OA que pasa por C y el plano perpendicular al radio OB que pasa por C; la intersección de estos dos planos con el ángulo triedro asociado al triangulo esférico ABC la forman

Fig.- 8 Ley de senos para un triángulo esférico Los triángulos planos CED y CDF, tal y como se aprecia en la figura: El

radio

de

=CE, así pues

la

=OE, .

=

esfera = CF y .

es

R=1,

es

claro

por

= OF; por otra parte, CD =

construcción .CE y CD =

que .CF;

, de donde:

15

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La otra razón, es decir

,

es igual, y para ello se razona análogamente.

o LEY DE COSENOS PARA UNA TRIANGULO ESFERICO En un triángulo esférico el coseno de cualquier lado es igual a la suma del producto de los cosenos de los otros dos lados y el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto, es decir:

=

+

=

+

=

+

Demostración: Según se aprecia en la figura anterior:

= OF = OD. =

(c – x) = OD.

+ CE.

=

.

+ OD.

=OE

+ DE

+

Los otros dos casos son similares.

16

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o ALGUNAS OTRAS FORMULAS.

Demostraremos solamente la primera ya que las demás son análogas.

(

)

o LEY DE COSENOS PARA VERTICES

Aplicando la ley de cosenos ya mencionada

al triángulo polar y teniendo en cuenta las

relaciones de sus ´ángulos resultan las siguientes fórmulas:

17

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Demostración:

Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran matemático Friedrich Wilhelm Bessel (Wesfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846).

C

a b

B

O c A

Fig.- 1.9 triangulo esférico para las fórmulas de Bessel

18

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

OBJETIVO: Poder calcular un lado o un ángulo cualquiera en triangulo esférico, a partir del conocimiento de otros tres elementos de dicho triangulo

o CLASIFICACION DE LAS FORMULAS DE BESSEL 1er GRUPO DE BESSEL: Teorema del coseno para lados 2do GRUPO DE BESSEL: Teorema del seno 3er GRUPO DE BESSEL: Teorema de la cotangente 4to GRUPO DE BESSEL: Teorema del coseno para ángulos

1ra FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para lados

Fig.- 10 Triangulo esférico Enunciado del teorema del coseno para lados:

En todo triangulo esférico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados, más el producto de los senos de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido, es decir:

cos a = cos b . cos c +sen b . sen c . cos A cos b =cos a . cos c +sen a . sen c . cos B cos c =cos a . cos b +sen a . sen b . cos C

19

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Conceptos previos a) Definición de altura esférica:

Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.

b) Proyecciones:

Proyección de C sobre el plano OAB produce P. Proyección de P sobre la recta OA es N. Proyección de P sobre la recta OB es M.

Fig.- 11 Triangulo esférico para la fórmula de Beseel

c) Triángulos formados:

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ACLARACION DE LOS ANGULOS:

RECORDAR Se llama ángulo correspondiente a un diedro, al ángulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara. El ángulo CON es b ya que es el mismo ángulo que COA.

ACLARACION DE LOS ANGULOS:

RECORDAR

Se llama ángulo correspondiente a un diedro, al ángulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara. El ángulo CON es b ya que es el mismo ángulo que COA.

DEMOSTRACION (Teorema del coseno)

C

A P

N

C

B M

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C r a O

M

C r b O

N

De 1 y 2

SUSTITUYENDO CN Y CM

Por tanto:

Dividiendo entre r:

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Análogamente para los cosenos de los lados “b” y “c”: Se tendría

cos b = cos a . cos c +sen a . sen c . cos B cos c =cos a . cos b +sen a . sen b . cos C Estas fórmulas permiten calcular: Los ángulos, conociendo los tres lados. Un lado, conociendo los otros dos y el ángulo comprendido.

2da FORMULA DE BESSEL: Teorema del seno

Enunciado del teorema del seno: En todo triangulo esférico, los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, es decir:

Permiten calcular un lado o un ángulo; conociendo su ángulo opuesto, o lado opuesto, y otro par de elementos opuestos.

DEMOSTRACION (Teorema del seno)

Fig.- 12 Triangulo esférico para la fórmula de Beseel Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.

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NECESITAMOS CALCULAR CP: C

A N

P

Y ahora CN:

Y sustituyendo:

Análogamente, volvemos a calcular CP:

Y ahora CM:

Y sustituyendo en:

Igualando:

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Simplificando y ordenando:

Trazando la altura esférica ha sobre el lado a, se probaría la relación:

Por tanto:

3ra FORMULA DE BESSEL: Teorema de las Cotangentes

Por el teorema del coseno y del seno se tiene:

cos a  cos b  cos c  sen b  sen c  cos A  cos c  cos a  cos b  sen a  sen b  cos C    sen c  sen a  sen C   sen A

Sustituyendo cos c y sen c en la primera fórmula, obtenemos: Cos a = cos b.(cos a.cos b + sen a.sen b.cos C) + sen b . sen a. senC .cosA Sen A

Simplificando: Cos a = cos a.cos 2 b + cos b.sen a.sen b.cos C + sen b.sen C.cot A.sen a



Pasamos el

Cos a - cos a. 



miembro:

= cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A

Sacamos factor común cos a en el

Cos a .(1Cos a.

sumando del 2º termino al

termino:

) = cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A. b = cos b.sen a.sen b.cos C + sen b. sen a. sen C.cot A.

Dividimos ambos miembros por sena . senb, se tiene:

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Cot a . sen b = cos b . cos C + sen C . cot A

DE FORMA ANALOGA Y POR PERMUTACION SE TIENE:

Cot a . sen b = cos b . cos C + sen C . cot A Cot a . sen c = cos c . cos B + sen B . cot A Cot b . sen a = cos a . cos C + sen C . cot B Cot b . sen c = cos c . cos A + sen A . cot B Cot c . sen a = cos a . cos B + sen B . cot C Cot c . sen b = cos b . cos A + sen A . cot C

4ta FORMULA DE BESSEL: Teorema del coseno para ángulos

Recordar: Triangulo Polar: Dado el triángulo ABC, hallamos el polo Del mismo modo determinamos el polo

del lado c más próximo al vértice C.

del lado b y el polo

del lado a.

A=Ap

O B

Bp

Cp C

Fig.- 1.3 Triangulo Polar Aplicando el teorema del coseno para lados al triangulo polar ABC, se tiene: Cos

= cos

.cos

+ sen

.sen

.sen

PORTANTO:

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SIMPLIFICANDO:

-cos A = (- cos B). (- cos C) + sen B. sen C. (- cos a) MULTIPLICANDO LA IGUALDAD POR (-1):

cos A = - cos B. cos C+ sen B. sen C. cos a OBTENIENDOSE LAS FORMULAS QUE RELACIONAN TRES ANGULOS Y UN LADO:

cos A = - cos B. cos C+ sen B. sen C. cos a cos B = - cos A. cos C + sen A. sen C. cos b cos C = - cos A. cos B + sen A. sen B. cos c

ENUNCIADO DEL TEOREMA: A partir de las fórmulas del ángulo mitad de la trigonometría plana, y sustituyendo las fórmulas del coseno, podemos obtener un grupo de fórmulas que explicitan la tangente del ángulo diedro mitad, obtenidas por primera vez por Jean Borda (París, 1733-1799). Si llamamos p al semiperímetro del triángulo definido por los arcos a, b y c, se tiene:

De las fórmulas del coseno para la esfera trigonométrica, se tiene:

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Y, a partir de la fórmula de la trigonometría plana que da la tangente del ángulo mitad, se puede escribir:

Podemos, entonces, escribir que:

Y, por analogía:

En definitiva, se obtiene, para una esfera de radio k:

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( )

( )

( ) O sea: La tangente del ángulo diedro mitad es la raíz cuadrada del cociente de dividir el producto de los senos del complemento semiperimetral de los ángulos centrales adyacentes por el producto del seno del semiperímetro por el seno del complemento semiperimetral del ángulo central opuesto. Para despejar desde estas fórmulas el seno y el coseno correspondientes, tengamos en cuenta las fórmulas de trigonometría plana que nos dan:

Por lo cual, al sustituir:

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Donde se ha simplificado la expresión del denominador haciendo:

Se obtienen, así, el seno y coseno del ángulo diedro mitad, referidos a una esfera trigonométrica, esto es, de radio unidad:

√

√ √

√

√

√

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ENUNCIADO DEL TEOREMA Usando las fórmulas de Borda, y teniendo en cuenta que por la fórmula del ángulo suma de la trigonometría plana es

Podemos obtener mediante una sencilla sustitución las fórmulas llamadas analogías de Delambre, obtenidas por Jean Baptiste Joseph Delambre (Amiens, 1749 - París, 1822). Efectivamente, se tiene:

√

√

√

√

√

√

√

√

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Se obtiene en definitiva:

Análogamente, se obtienen:

Permutando circularmente las letras se obtienen otras 8 fórmulas que completan el grupo:

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Esta es una regla mnemotécnica para la resolución de triángulos esféricos. Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo con A=90° Sea el siguiente triangulo la figura a analizar en el cual el Angulo A es 90º

C a

b

B A

c

Fig. 1.4 triangulo esférico de neper

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a

C

B A=90º

90º-c

90º-b

La regla del pentágono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vértices continuos e igual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos. Por ejemplo, en el caso de un triángulo rectángulo tenemos que :

De igual manera para un triángulo donde a=90º pasamos a formar nuestro pentágono. En el triángulo consideraremos al lado a =90º

180º-A

b

c

a = 90º 180º-- A

b

c a = 90º

90º -- C

90º- C

90º- B

Figura 1.5 : regla de los pentágonos de neper La regla del pentágono de Neper dice que el coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vértices continuos e igual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos. Por ejemplo, en el caso de un triángulo rectángulo tenemos que

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Cos(180-A)=cot(b)*cot(c)=sen(90-C)sen(90º-B)=cos(C)*cos(B) Y así podemos sacar varias relaciones con la regla de neper. Ejemplo: Demostrar que en un triángulo esférico se verifica: Un cateto y su ángulo opuesto son ambos ángulos agudos o ambos obtusos Del pentágono de neper figura numero 1:

CosB= sen(90º-b)* senC= cosb*senC SenC =cosB/cosb >0

Entonces: caso1 (b) < 90º y B 90º y B> 90º si cumple esta condición entonces B y b son obtusos.

La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos, los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos. La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.

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La trigonometría esférica es un tema muy importante para la medición de grandes distancias La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica



Pedro Garafulic Cabiedes - Universidad de Santiago de Chile



Francisco Luis Flores: Historia didáctica de la trigonometría



Calos S. Chinea : formulas de la trigonometría esférica



http://www.cartografia.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=96&It emid=9



http://www.geodesiasatelitall/index.option=com_content&task=view&id=96&Ite mid=9



www.monografias.com



www.rincondelingeniero.com

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La Astrometría o Astronomía de posición es la parte de la astronomía que se encarga de medir y estudiar la posición, y el movimiento propio de los astros. Estudia y mide la movilización, las paralajes y la posición de los astros para determinar Coordenadas geográficas de un lugar y la orientación del norte astronómico. La importancia del zodiaco Además del movimiento diario de la esfera de las estrellas fijas, nuestros antepasados observaron cómo el Sol cambiaba su posición diaria entre los astros. Su camino, llamado Eclíptica, atravesaba las conocidas constelaciones del Zodiaco. Aunque de origen babilónico, su división actual en doce constelaciones procede de los griegos. En la imagen adjunta podemos comprobar cómo se mueve el Sol por el Zodiaco a lo largo del año. El calendario anual de 12 meses, usado ya por los egipcios; pero mejorado por Julio César, inventor del año bisiesto, es una consecuencia lógica de la observación del movimiento del Sol. La Astronomía de Posición es la ciencia que estudia la posición y movimiento de los cuerpos materiales del universo en el espacio y en el tiempo, mediante medidas efectuadas en observaciones astronómicas.

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EL CIELO DE PTOLOMEO Aunque los planetas se movían por la eclíptica, lo hacían de una forma irregular. El sabio Alejandrino Claudio Ptolomeo explicó este movimiento como podemos ver en el modelo adjunto.

Fig. 2.1 cielo de Ptolomeo En el modelo notamos su obsesión por los círculos perfectos. Es la consecuencia lógica de las ideas sobre el Universo del filósofo griego Aristóteles, anterior a Ptolomeo y gran autoridad en el pensamiento filosófico del mundo grecolatino:

FIG. 2.2 orbitas

Los planetas se mueven en círculos perfectos llamados epiciclos. El centro de los epiciclos sigue un círculo perfecto alrededor de la Tierra, llamado deferente. El centro de la deferente no coincide con la posición de la Tierra. Existe un punto, el

ecuante, respecto al que el planeta se mueve siempre a la misma

velocidad. -El mundo supra lunar, el de los astros, es perfecto y todos los movimientos son circulares. -El mundo sublunar, el habitado por los hombres, es imperfecto y todos los objetos se disponen en él según su mayor o menor peso.

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La filosofía del Universo de Aristóteles y la astronomía de Ptolomeo dominaron el pensamiento humano hasta el Renacimiento.

LA HIPÓTESIS DE COPÉRNICO Aunque no el primero en pensarlo (ya lo había hecho Aristarco, sin aceptación en la Grecia clásica), fue Nicolás Copérnico, en el siglo XVI, el que desarrolló una alternativa heliocéntrica al sistema de Ptolomeo. 1. El Sol está inmóvil en el centro de las estrellas fijas, que no poseen ningún movimiento. 2. La Tierra y los demás planetas giran en órbitas circulares respecto al Sol. 3. La Tierra tiene además un movimiento de rotación diurno alrededor de su eje. 4. La Luna gira alrededor de la Tierra. Es una ciencia derivada de la Astronomía que sirve para determinar Coordenadas Geográficas de un Lugar y la orientación del Norte Astronómico.

FIG. 2.3 teoría geocéntrica

GALILEO CONFIRMA A COPÉRNICO Aunque Lippershey es el reconocido inventor del telescopio, Galileo Galilei fue el primero en emplearlo para la Astronomía (hacia 1610). En la escena de la derecha se muestra Júpiter y sus satélites como los veía Galileo. Las observaciones con su telescopio le llevaron a las conclusiones siguientes: 1. Al observar el cielo nocturno vio muchas más estrellas que a simple vista. Comprendió que había estrellas que no podíamos ver a simple vista porque estaban demasiado lejos. Las estrellas están a diferentes distancias, no unidas a una superficie esférica como suponían los pensadores antiguos. 2. La Luna presentaba montañas, valles y cráteres como la Tierra. Era un planeta similar al nuestro, no el astro "perfecto" que imaginaba Aristóteles 3. Venus presentaba fases como la Luna y cambiaba de tamaño. Evidentemente Venus giraba alrededor del Sol, no de la Tierra. 4. Júpiter presentaba 4 satélites que giraban a su alrededor. Era la prueba notoria de que la Tierra no era el centro de todos los giros celestes.

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Es la especialización de la astronomía que estudia la posición de los astros en el cielo, con el fin de establecer las coordenadas celestes y sus variaciones en el tiempo y reconstruir los movimientos de las estrellas. Como la parte experimental o técnica que permite medir la posición de los astros y los instrumentos que la hacen posible. La astrometría utiliza métodos fotográficos e instrumentos que permiten medir las posiciones estelares.

Usa la posición de los astros para elaborar un modelo de su movimiento o definir los conceptos que se usan. Se encarga de definir los distintos tipos de coordenadas astronómicas y sus relaciones. Describe el movimiento de los astros, planetas, satélites y fenómenos como los eclipses y tránsitos de los planetas por el disco del sol. Tiene pues por objeto situar en la esfera celeste la posición de los astros midiendo determinados ángulos respecto a unos planos fundamentales. La astronomía de posición tiene pues por objeto situar en la esfera celeste la posición de los astros midiendo determinados ángulos respecto a unos planos fundamentales.

o LA ESFERA TERRESTRE: Como los diámetros ecuatorial y polar son casi iguales, para resolver numerosos problemas de astronomía, se supone que la tierra es una esfera denominada esfera terrestre. La esfera terrestre cuenta con varias líneas y puntos principales, entre ellos el Eje, los Polos, el Ecuador, los Meridianos y los Paralelos. Diámetro ecuatorial: 12.756,28 km

Diámetro polar: 12.713,50 km

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FIG. 2.4 esfera terrestre

o LINEAS Y CIRCULOS IMPORTANTES: EJE: El eje de la Tierra está inclinado respecto a la elíptica, y esto produce las estaciones. Si el eje de la tierra fuese perpendicular a la elíptica, no habría estaciones, ya que el ángulo de incidencia de los rayos del Sol sobre cada parte de la Tierra sería siempre el mismo en cualquier época del año. ECUADOR: Es el círculo máximo normal al Eje de la Tierra. Los polos están separados 90º del Ecuador. El Ecuador divide a la Tierra en dos semiesferas o hemisferios, llamados Hemisferio Norte y Hemisferio Sur. Circulo máximo perpendicular al eje de la tierra. PARALELOS: Círculos menores paralelos al eje de la tierra. TROPICO DE CANCER: Paralelo al hemisferio norte separado del ecuador 23 ° 27’ TROPICO DE CAPRICORNIO: Paralelo simétrico al trópico de cáncer ubicado en el hemisferio sur, por tanto también separado del ecuador 23 ° 27’ CIRCULO POLAR ARTICO: Paralelo que se encuentra separado del polo norte 23 ° 27’ CIRCULO POLAR ANTARTICO: Paralelo que se encuentra separado del sur 23 ° 27’

FIG. 2.5 círculos máximos

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La tierra queda dividida por estos paralelos en cinco zonas que reciben los siguientes nombres: ZONA TORRIDA: Comprendida entre los trópicos y que el ecuador divide en dos partes. ZONA TEMPLADA: Limitada por los trópicos y los círculos polares. ZONA GLACIAR: Las extremas comprendidas entre los círculos polares y los polos. MERIDIANOS: Círculos máximos que pasan por los polos y son normales al ecuador,

Para ubicar objetos en el cielo, no basta con usar las constelaciones, hay que usar coordenadas celestes análogas a las coordenadas geográficas. Imaginen que estamos en el centro de la Tierra, y que ésta es una esfera transparente. Desde ese lugar podríamos ver los astros proyectados sobre esta esfera. Con este mecanismo, se utilizan dos sistemas de medición de posiciones en el cielo. Uno de ellos es el AZIMUTAL, en el cual se utilizan el azimut (sobre el horizonte) y la altura (cero en el horizonte y 90 grados sobre nuestras cabezas). ESFERA CELESTE LOCAL O TOPOCENTRICA: Tiene por centro el ojo del observador, es la que contemplamos en un instante dado vemos la mitad de una esfera la que está sobre nuestro horizonte. ESFERA CELESTE GEOCENTRICA: Tiene por centro la tierra. ESFERA CELESTE HELIOCENTRICA: Tiene por centro el sol.

FIG. 2.6 esfera celeste

o

MOVIMIENTOS DE LA TIERRA

La Tierra, como cualquier cuerpo celeste, no se encuentra en reposo sino que está sometida a movimientos de diversa índole. Los principales movimientos de la Tierra son los movimientos de rotación, traslación, precesión y nutación y otros más.

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MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Es un movimiento que efectúa la Tierra girando sobre sí misma a lo largo de un eje ideal denominado Eje terrestre que pasa por sus polos. Una vuelta completa, tomando como referencia a las estrellas, dura 23 horas con 56 minutos y 4 segundos y se denomina día sidéreo. Si tomamos como referencia al Sol, el mismo meridiano pasa frente a nuestra estrella cada 24 horas, llamado día solar. Los 3 minutos y 56 segundos de diferencia se deben a que en ese plazo de tiempo la Tierra ha avanzado en su órbita y debe de girar algo más que un día sideral para completar un día solar. La primera referencia tomada por el hombre fue el Sol, cuyo movimiento aparente, originado en la rotación de la Tierra, determina el día y la noche, dando la impresión que el cielo gira alrededor del planeta. En el uso coloquial del lenguaje se utiliza la palabra día para designar este fenómeno, que en astronomía se refiere como día solar y se corresponde con el tiempo solar.

FIG. 2.7 declinación del eje terrestre Como se observa en el gráfico, el eje terrestre forma un ángulo de 23,5º respecto a la normal de la eclíptica, fenómeno denominado oblicuidad de la eclíptica. Esta inclinación produce largos meses de luz y oscuridad en los polos geográficos, además de ser la causa de las estaciones del año, causadas por el cambio del ángulo de incidencia de la radiación solar.

Consecuencias de la rotación de la tierra A. La sucesión de los días y las noches. B. La forma achatada de la tierra. C. Los puntos cardinales. D. El movimiento aparente de la esfera terrestre. E. La desviación de los cuerpos en su caída. F. Los vientos y las corrientes marinas.

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Movimiento de traslación Es un movimiento por el cual la Tierra se mueve alrededor del Sol. La causa de este movimiento es la acción de la gravedad, originándose cambios que, al igual que el día, permiten la medición del tiempo. Tomando como referencia el Sol, resulta lo que se denomina año tropical, lapso necesario para que se repitan las estaciones del año. Dura 365 días, 5 horas y 47 minutos. El movimiento que describe es una trayectoria elíptica de 930 millones de kilómetros, a una distancia media del Sol de prácticamente 150 millones de kilómetros ó 1 U.A. (Unidad Astronómica: 149 675 000 km). De esto se deduce que la Tierra se desplaza con una rapidez media de 106 200 km/h (29,5 km/s).

FIG. 2.8 movimiento de traslación La trayectoria u órbita terrestre es elíptica. El Sol ocupa uno de los focos de la elipse y, debido a la excentricidad de la órbita, la distancia entre el Sol y la Tierra varía a lo largo del año. A primeros días de enero se alcanza la máxima proximidad al Sol, produciéndose el perihelio, donde la distancia es de 147,5 millones de km, mientras que en los primeros días de julio se alcanza la máxima lejanía, denominado afelio, donde la distancia es de 152,6 millones de km.

LOS SOLSTICIOS El 21 o 22 de junio, la tierra se encuentra en su posición de órbita, su eje se encuentra inclinado en un ángulo máximo de 30º hacia el sol. El hemisferio sur se encuentra más alejado. Esta circunstancia se conoce como solsticios de verano, para el hemisferio norte. Seis meses más tarde, 22 o 23 de diciembre, la tierra se encuentra en una posición equivalente, en un punto de su órbita diametralmente opuesto. En esta época, conocida como solsticios de invierno para el hemisferio norte, el eje presenta su inclinación máxima respecto al sol, aunque ahora es el hemisferio sur el que se encuentra inclinado hacia él. Y presenta el solsticio de verano. La posición del círculo de iluminación en el solsticio de invierno hace que el día y la noche tengan distinta duración en casi todos los puntos del globo.

Resulta evidente que:    

La noche es más larga que el día en el hemisferio en que se inicia el invierno. El día es más largo que la noche en el hemisferio que entra en verano. La desigualdad entre el día y la noche aumenta a medida que nos alejamos del ecuador geográfico. En las latitudes simétricas, respecto al ecuador geográfico, las duraciones del día y de la noche son exactamente opuesta.

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

  

Entre el círculo polar ártico y el polo norte, la noche dura 24 horas. Entre el círculo polar antártico y el polo sur, el día dura 24 horas. Solsticio de invierno, para el hemisferio norte.

LOS EQUINOCCIOS        

Equinoccio de primavera el 20 o 21 de marzo. Equinoccio de otoño del 22 o 23 de septiembre. El circulo de iluminación pasa por los polos y coincide con los meridianos a medida que la tierra gira. El día y la noche dura 12 horas en todas las latitudes. Las condiciones reinantes en el hemisferio norte y el hemisferio sur son las mismas. La salida del sol tiene lugar a las 6:00 A.M. y la puesta del sol a las 6:00 P.M. en todos los lugares del globo, exceptuando a los polos, donde existen condiciones especiales. El sol sale por un punto situado exactamente al oeste con la excepción de los polos en donde el sol permanece sobre el horizonte todo el día pero con un movimiento en sentido contrario. En el Ecuador el sol tiene al mediodía, una altura de 90º. La sombra de cualquier poste vertical, en este lugar, apunta directamente hacia el oeste desde las 6:00 A.M. hasta el mediodía y apunta directamente hacia el este, desde el mediodía hasta las 6:00 P.M.

MOVIMIENTO DE PRECESIÓN

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Fig. 2.9 movimiento de precesión

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MOVIMIENTO DE NUTACIÓN

Fig. 2.10 movimiento de precesión y nutación

Según las apariencias, la tierra parece estar inmóvil mientras su alrededor giran todos los cuerpos celestes aproximadamente 24 horas.

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Si se utiliza como origen de referencia el sistema topocéntrico, en el cual se considera a un observador en el centro ocupando el centro del Universo, se comprueba que el Sol, la Luna, los Planetas y las Estrellas giran alrededor nuestro. Estos objetos celestes se ven moverse de Este a Oeste dando la sensación de que es la bóveda celeste la que está girando alrededor de la tierra, cuando en realidad es la Tierra la que gira alrededor de su propio eje, en sentido Oeste-Este. Si contemplamos las estrellas durante horas veremos un movimiento común sin cambiar la figura de las constelaciones. Las estrellas que están hacia el Este, se elevan; las que están hacia el Sur se mueven hacia el Oeste, y las que están hacia el Oeste bajan hacia el horizonte hasta desaparecer. Solamente es la estrella Polar la que aparentemente no gira, pero en realidad si efectúa un giro completo, tan pequeño que a ojo desnudo nos parece que esta quieta. Tomando como punto fijo de orientación la estrella Polar, se reconoce que todo el movimiento común de las estrellas se realiza en un sentido contrario al de las agujas del reloj (sentido directo). Si nos fijamos en el lugar que ocupa en el cielo una constelación dada a una hora determinada (por ejemplo la Osa Mayor a las 10 de la noche en la estación invernal), al día siguiente a la misma hora, no nos damos cuenta y nos parece que está en el mismo sitio, pero realmente cada día adelanta casi 4 minutos, es el denominado día sideral, cuyo valor es exactamente 23 horas, 56 minutos, 4.091 segundos, lo que equivale a un arco de 1º. Cada 15 días adelanta 1 hora, que equivale a un arco de 15º, entonces el aspecto del cielo ya no es el mismo, y a los seis meses, la Osa Mayor la encontraremos en la posición opuesta, llegando al mismo punto de origen otros seis meses después. Sucederá lo mismo con las demás estaciones. Esto nos demuestra que la Tierra se desplaza alrededor del sol y al cabo de un año vamos viendo las distintas constelaciones. El día sideral es el tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos de una estrella por el meridiano del lugar. Su duración coincide con el periodo de rotación terrestre. El día solar verdadero es el tiempo que separa dos pasos consecutivos del centro del Sol por el meridiano del lugar (su duración es 24 horas). El Sol llega al Sura aproximadamente cada día a las 12 horas del mediodía, pero una estrella llega a la misma posición cada día cuatro minutos antes que el Sol, y debido al movimiento de traslación el día solar verdadero es unos minutos más largo que el sideral. El hecho de que veamos distintas constelaciones en diferentes estaciones del año, es consecuencia del circuito del Sol en la esfera celeste. Sólo podemos ver estrellas en aquella parte del cielo que está lejos del Sol, y como que este se mueve a través del cielo en dirección Este, cubre progresivamente unas constelaciones y dejar ver otras. Por ejemplo, en junio el Sol está en aquella parte de la Eclíptica que atraviesa Tauro y, durante un par de meses, antes y después de esa fecha, la constelación está situada en el cielo iluminado. En diciembre, cuando el Sol se ha desplazado a la parte opuesta de cielo, Tauro

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luce brillantemente a medianoche en el sur del cielo. Esa traslación es consecuencia de la diferencia entre el tiempo sideral y el tiempo solar. Si el observador se encuentra en una latitud septentrional media, como por ejemplo España, podemos considerar que la latitud media es 40ºN; la estrella Polar aparece a 40º por encima del horizonte norte. Vemos que las estrellas describen un movimiento a lo largo de su trayectoria (denominado movimiento diurno), unos cortan el horizonte del lugar de observación, de forma que las vemos salir, culminar y más tarde ocultarse. Las estrellas que distan menos de 40º del polo celeste nunca se pondrán, dichas estrellas no salen ni se ponen nunca, están siempre sobre el horizonte y siempre se ven, son la llamadas “estrellas circumpolares” siendo ejemplos típicos las constelaciones de Osa Mayor, Osa Menor, Casiopea, Draco, etc. El nombre “estrellas circumpolares” es relativo pues varían según la latitud del observador. Orientándonos hacia el horizonte sur, nos encontramos con que nunca podemos ver estrellas a menor distancia d 40º del polo sur, cuya declinación es de -50º. En la práctica, a causa de la atmosfera, el límite queda reducido. Esto significa que, objetos más al sur como las nubes de Magallanes y otros objetos celestes están perpetuamente escondidos a nuestra vista. Si el observador se encuentra en el polo Norte todas las estrellas describen círculos paralelos al horizonte, ninguna estrella sale ni se pone, es decir, nunca aparecen nuevas estrellas. La estrella Polar se encuentra en la cabeza del observador, en el cenit, que apunta hacia el eje terrestre. Vemos perpetuamente la mitad exacta de la esfera celeste, mientras que alguien situado en el polo sur tendría una visión análoga de la otra mitad de la esfera celeste.

FIG. 2.11 Movimientos aparente de las constelaciones circumpolares alrededor del eje del mundo o Polo Norte Celeste

Si el observador se encuentra en el Ecuador, podía ver que casi todas las estrellas describen círculos alrededor de la línea meridiana y todas las estrellas salen y se pone, excepto la Polar. La Luna también de la impresión de que recorre un círculo perfecto alrededor de la Tierra. Además del movimiento común de la bóveda celeste la luna está dotada de un movimiento propio de Este a Oeste. Podemos observar que cada hora se desplaza en casi la mitad de su diámetro, se pone unos 49º minutos más tarde cada día, o sea que se desplaza unos 13º cada día. Los planetas realizan un movimiento doble en la esfera celeste: por una parte, participan el movimiento diurno de la bóveda celeste trasladándose de Este a Oeste, y por otro poseen un movimiento propio de Oeste a Este. Si observamos y anotamos en un atlas estelar sus posiciones, podemos comprobar que los planetas se mueven en dirección Oeste-Este respecto

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a las estrellas que virtualmente parecen fijas. Pero su movimiento no es regular, sino que se interrumpe por periodos permaneciendo inmóvil por unos días, luego se mueven en dirección contraria, de Este a Oeste (denominado movimiento retrogrado), para posteriormente seguir su ruta normal, es decir la dirección Oeste-Este. Estos movimientos se deben a la combinación de la traslación de la Tierra y del planeta alrededor del Sol.

FIG 2.12 Trayectoria de las estrellas según la latitud del lugar

o

LA ALTURA DEL POLO CELESTE Y LAS ESTRELLAS CIRCUMPOLARES

La altura del polo celeste sobre el horizonte depende de la latitud del lugar de observación. Así, en el polo geográfico (esto es, el que se encuentra en la superficie de la Tierra), donde la latitud es de 90º, ya sea norte o sur, el polo celeste coincide perfectamente con el cenit. Al desplazarnos hacia el ecuador geográfico, donde la latitud es de 0º, la altura del polo celeste también disminuye, hasta llegar también a los 0º. Siempre que nuestra latitud no sea de 0º, todos los astros que se encuentren en las inmediaciones del polo celeste describirán un círculo completo sobre el horizonte y nunca se ocultarán. Cuanto más cerca del polo geográfico nos encontremos, mayor altura tendrá el polo celeste y mayor será el círculo de astros que no se ocultarán. Los astros que nunca se ocultan debido a esta circunstancia se llaman circumpolares. En el siguiente dibujo podemos observar cómo es el círculo de la circumpolaridad a una latitud de aproximadamente 40º norte, esto es, la latitud de la zona de Madrid o de Nueva York.

FIG 2.13 Si viajamos hacia el sur, hasta las latitudes de las Islas

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Canarias o del norte de México, mientras que la altura de la estrella polar sobre el horizonte disminuye, el círculo de la circumpolar dad se hace más pequeño.

FIG 2.14 Veamos ahora un hermoso video que muestra cómo gira El Carro en torno a la estrella Polar, en la latitud de Zamora. La Polar está arriba a la derecha de la imagen. Por cierto, que al no estar exactamente en el polo norte celeste, también tiene su propio movimiento, aunque es casi inapreciable. Este video es obra del astrónomo Manu Arregui:

El camino que recorre el Sol en la esfera celeste, motivado por la traslación de la Tierra en torno a él, se llama eclíptica, porque es la línea en la que se producen los eclipses (la eclíptica es lo que se conoce como un círculo máximo en una esfera). Existe una banda, más ancha, que rodea a la eclíptica, es el zodiaco, que se divide en doce signos, que antiguamente coincidían con las constelaciones de sus miembros nombres, pero que ya no es así. Esto último es debido al movimiento de precesión de los equinoccios, que ya hemos descrito más arriba. Los planetas y la Luna siempre se encuentran en el zodiaco.

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FIG 2.15 mov. Del sol

Ecuador celeste La Tierra, como sabemos, está dividida en dos mitades denominadas hemisferios. El círculo que divide la Tierra en dos se llama ecuador terrestre, y forma un ángulo de 90º con el eje del mundo. Si proyectamos el ecuador terrestre sobre la esfera celeste obtenemos lo que se conoce como ecuador celeste. Este concepto es necesario tenerlo muy claro para poder comprender lo que viene a continuación.

FIG 2.16

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El 21 de marzo, fecha del equinoccio de primavera el sol sale por el este y se pone por el oeste. Al pasar los días, estos puntos se desplazan hacia el norte, primero rápidamente, luego lentamente, hasta el 21 de junio, fecha del solsticio de verano, en el que el Sol alcanza su altura máxima. A partir del 21 de junio, los puntos se alejan del norte y se van acercando el este y al oeste, cuyas posiciones vuelven a ocupar el 22 ó 23 de septiembre, equinoccio de otoño. Luego se acercan al punto sur, hasta el 22 de diciembre, solsticio de invierno, del cual se alejan después. Transcurrido un año, vuelven a coincidir con los puntos este u oeste.

FIG 2.17 solsticios y equinoccios Si se construye un aparato denominado gnomon (constituye un importante instrumento de cálculo astronómico) que consta de una varilla colocada verticalmente en el suelo, se puede determinar el ángulo que nos da la altura del sol sobre el horizonte a cada instante, mediante un sencillo cálculo trigonométrico utilizando la fórmula:

A consecuencia del movimiento diurno, la sombra de la varilla se desplaza en el plano horizontal y cruza la línea Norte - Sur cuando el Sol pasa por el meridiano del lugar, eso ocurre al mediodía (es el momento en que el sol alcanza su culminación superior y cuando está en el inferior se dice que es medianoche).

El 21 de diciembre, solsticio de invierno, la sombra de la varilla es máxima, al estar el sol bajo en el horizonte, mientras que el 21 de junio, solsticio de verano, la sombra, la sombra

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proyectada por la varilla es mínima, consecuencia de la máxima altura alcanzada por el Sol sobre el horizonte. Un día antes de que el sol atraviese el ecuador el 21 de marzo su declinación es negativa, al día siguiente (21 de marzo) su declinación vale cero, en ese instante el Sol coincide con el punto Aries. La duración del día sería igual a la de la noche. En los días posteriores la declinación del Sol es positiva, sigue subiendo hasta que su declinación alcanza +23º27’, estando el sol en ese instante en el solsticio de verano o Trópico de Cáncer. En el hemisferio norte ese día es el más largo del año y la noche es la más corta. A partir de ese momento la declinación del sol empieza a disminuir hasta que nuevamente es cero el 21 de septiembre, coincidiendo con el paso del Sol por el punto Libra, momento en que otra vez la duración del día es igual a la de la noche. Sigue disminuyendo la declinación, ahora con valores negativos, hasta el solsticio de invierno o Trópico de Capricornio (21 de diciembre) alcanzando su declinación el valor de -23º27’, época a la que corresponden las noches más largas y los días más cortos.

FIG 2.18 método de la sombra

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Para especificar con exactitud y de forma univoca la posición de los astros en la bóveda celeste los astrónomos utilizan varios sistemas de coordenadas. Debido a que la posición de un astro es sobre una esfera, se usan los sistemas esféricos que tienen las siguientes características: El punto de origen de todos los sistemas es el centro de la Esfera Celeste. Cada sistema tiene un plano fundamental, un eje fundamental, un punto fundamental y un sentido de giro para la medida de los ángulos. En cada sistema una de las coordenadas, se mide a partir de una dirección fija del plano fundamental de 0º a 360º y la otra coordenada se mide a uno y otro lado del plano fundamental de 0º a 90º.

o SISTEMA DE COORDENADAS DEL HORIZONTE: Para fijar la posición de un astro haciendo uso de este sistema, se utilizan dos coordenadas: Azimut (Z) y Altura (h); en el cual el plano fundamental es el Horizonte, el eje fundamental es el que une el cenit y el nadir, el sentido horario y el punto fundamental al Sur; siendo: Altura (h): Es el arco comprendido entre el horizonte y el astro, medido sobre el círculo vertical que pasa sobre el astro. La altura varía de 0º a 90º hacia el cenit y de 0º a -90º hacia el nadir. Azimut (Z): Es el arco de horizonte medido (en unidades angulares) desde el punto cardinal sur hasta la intersección con el horizonte del círculo vertical que pasa por el astro, en sentido retrógrado (SONE), de 0° a 360°. Distancia Cenital (z): Es el arco comprendido entre el cenit y el astro medido sobre el círculo vertical que pasa por ella. La distancia cenital es igual a

(90º- h) y varia de 0° a 180°.

Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadas horizontales de un astro están cambiando permanentemente por lo que es necesario especificar el tiempo de la observación con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo instante de tiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes y/o longitudes difieren también.

FIG 2.19

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o SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS: Se usa para fijar la posición de un punto sobre la superficie de la Tierra, para el cual se hace uso de dos coordenadas: Latitud (Ø) y Longitud (λ). Latitud (Ø): Es el ángulo comprendido entre el Ecuador y el círculo paralelo que contiene al lugar de observación. La Latitud varía de 0º a 90º y es positiva hacia el Norte y negativa al Sur. Longitud (λ): Es el ángulo diedro comprendido entre el Meridiano de origen y el Meridiano que pasa por el lugar de observación, medido sobre el Ecuador a partir del Meridiano de origen. La longitud varia de 0º a 360º o de 0h a 24h y es positiva hacia el Este de dicho Meridiano; se toma como Meridiano de origen aquel que pasa por el observatorio de Greenwich (G). Puede medirse la Longitud de 0º a 180º siendo positiva hacia el Este de “G” y negativa hacia el Oeste de “G”.

FIG 2.20

o SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES: Usado para determinar la posición de los astros en la Esfera Celeste. Para fijar la posición de un astro haciendo uso de este sistema, se efectúa mediante dos subsistemas que son: 1. COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES. 2. COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS.

LA ESFERA CELESTE A un observador situado en la superficie de la tierra le parece que se encuentra en el centro de una esfera, de radio ilimitado en la que todos los otros cuerpos celestes se mueven de este a oeste. (a esta esfera se le da el nombre de esfera celeste). Pero con centro en el centro de la tierra, es útil para resolver problemas de astronomía y navegación. COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES: Que hace uso de las coordenadas de Declinación (δ) y ángulo horario (t).

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COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS: Que

hace uso de las coordenadas de

Declinación (δ) y ascensión recta (A.R.), (α). En el primer caso el plano fundamental es el Ecuador y el radio vector es la Meridiana; mientras que para el segundo caso solo varía el radio vector, el cual está dado por la “Línea de los Equinoccios”; siendo ésta la intersección de los planos del Ecuador con la Eclíptica y uno de sus extremos es el “Punto Vernal”, “Equinoccio de Aries” o “Primer Punto de Aries”, que se produce el 21 de marzo de cada año.

COORDENADAS ECUATORIALES LOCALES: Llamado así porque varía con la posición del observador, siendo: Declinación (δ): Es el arco comprendido entre el Ecuador y el astro medido sobre el círculo horario que pasa por ella; la declinación varía de 0º a 90º y es positiva hacia el norte y negativa hacia el sur. Angulo Horario (A.H.) ó (L): Es el ángulo diedro comprendido entre el Meridiano del observador y el círculo horario que pasa por el astro. El ángulo horario se mide sobre el plano ecuatorial y varia de 0 h a 24h y es positivo hacia el Oeste. Se mide el ángulo horario a partir del polo elevado del Ecuador hacia el Oeste. Cuando el astro pasa por el meridiano del observador se dice que ella está culminando y en ese momento el ángulo horario es igual a cero. Aplicaciones 1 determine las coordenadas ecuatoriales de una estrella que se observa con acimut igual a 205°26’12”, bajo una altura de 67°29’13”, en un lugar de latitud de12°03’. Solución:

FIG 2.21

FIG 2.22

Las coordenadas solicitadas vienen dadas por. T=24h-T’

(1)

δ = 90°-P Aplicando las relaciones

teniendo en cuenta B=T’

a=77°57’ c=p

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b=22°30’47”

Z=180°

=C=25°26’12”

Resolviendo tenemos:

T’= 0h44m46s

y P= 57°55’35”

Teniendo en cuenta la relación (1) se obtiene: T = 23h 15m 14s

y δ = 32°04’25”

o COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS: ASCENSIÓN RECTA (α): Es una de las coordenadas astronómicas que se utilizan para localizar los astros sobre la esfera celeste, equivalente a la longitud terrestre (coordenada geográfica). Es el ángulo diedro comprendido entre el círculo horario que pasa por el astro y el círculo horario de origen. Se mide a partir de la intersección del círculo horario de origen con el Ecuador; es positiva hacia el Este y varia de 0h a 24h ó de 0º a 360º. Se toma como círculo horario de origen, a aquel circulo que pasa por el Punto Vernal, Equinoccio de Aries o Primer Punto de Aries, el cual se produce por la intersección de la Eclíptica con el Ecuador, cuando el Sol parece pasar del Hemisferio Sur al Hemisferio Norte. El punto Aries (o punto Vernal) está en la posición del Sol en el equinoccio de Primavera o Equinoccio vernal.

Su

símbolo es α.

FIG 2.23

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DECLINACIÓN ( δ ):

Es el arco comprendido entre el Ecuador y el astro medido

sobre el círculo horario que pasa por ella; la declinación varía de 0º a 90º y es positiva hacia el norte y negativa hacia el sur. Una vez obtenida la declinación, el valor obtenido será la declinación aparente y si se desea conocer la declinación real es preciso tener en cuenta las correcciones debida al paralaje, la aberración anual, la precesión y la nutación. Además, si el astro pertenece al Sistema Solar habrá que tener en consideración la aberración planetaria y el paralaje geocéntrico. Se representa por δ. Un objeto en el ecuador celeste tiene una declinación de 0°. Un objeto sobre el Polo norte celeste tiene una declinación de +90°. Un objeto sobre el Polo sur celeste tiene una declinación de −90°. Un astro que está en el cenit, tiene una declinación igual a la latitud del observador. La Estrella Polar tiene una declinación +90° Una estrella circumpolar es aquella cuya declinación mayor a

, donde

, es la latitud

del observador. Estas estrellas son siempre visibles desde su hemisferio correspondiente, ya que no se ocultan bajo el horizonte. En latitudes altas (>67º) es posible que durante una parte del año el Sol tenga una declinación mayor que 90-67=23º produciendo que el Sol este siempre sobre el horizonte, fenómeno conocido como sol de medianoche. Como en las hipótesis de la Esfera Celeste se considera que los astros son fijos; las coordenadas ecuatoriales de los astros según declinación (δ) y ascensión recta (α); (referidos a los elementos fijos de la Esfera Celeste), hacen que las coordenadas para cada astro sean fijas; debido a ello las coordenadas de declinación y ascensión recta de los astros, vienen dado por catálogos que se editan anualmente como FK5, Almanaque Náutico, Almanaque Astronómico, etc.

FIG 2.25

o SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS: Usado este sistema para fijar la posición de los astros en la Esfera Celeste. En este sistema el plano fundamental es el plano de la eclíptica y el radio vector es el máximo de Longitud Celeste de origen; el cual contiene al Punto Vernal (Línea de los Equinoccios).

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Para fijar la posición de un astro en la Esfera Celeste, se usan dos coordenadas: Latitud Astronómica (βα) y Longitud Astronómica (λα). Siendo:

LATITUD ASTRONÓMICA ( βα ): Es el arco comprendido entre la eclíptica y el astro, medido sobre el círculo máximo de Longitud Celeste. La Latitud Astronómica es (+) al Norte y comprendida entre el polo de la eclíptica y el polo celeste.

FIG 2.26

LONGITUD ASTRONÓMICA ( λα ):

Es el

ángulo diedro comprendido entre el primer círculo máximo de Longitud Celeste y el círculo máximo de Longitud Celeste que contiene al astro. La Longitud Astronómica se mide a partir del Punto Vernal y en sentido anti horario es decir hacia el Este (siendo positiva en este sentido), sobre la eclíptica. La longitud varía de 0h a 24h ó de 0º a 360º.

FIG 2.27

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En la astronomía es muy útil poder pasar de unas coordenadas a otras, para un eficiente trabajo. Para tal fin es útil la trigonometría esférica, pero esta no nos proporciona formulas exactas para poder cambiar de coordenadas, por lo cual uno debe ser capaz de interpretar las diferentes situaciones. Transformación entre coordenadas horizontales, ecuatoriales horarias y ecuatoriales absolutas Consideremos un astro X de coordenadas horizontales (A; h) y de coordenadas ecuatoriales horarias (H; ) y un lugar de la Tierra de latitud . Sobre la esfera celeste se forma un triángulo esférico, denominado triángulo de posición o astronómico, cuyos vértices son el polo norte celeste (P), el cénit astronómico (Z) y el propio astro (X). El ángulo de vértice P y determinado por el meridiano del lugar y el meridiano celeste que pasa por el astro depende del ángulo horario H, y del acimut A depende el ángulo de vértice Z y determinado por el vertical que pasa por el polo norte celeste y el vertical que pasa por el astro. Los valores de estos ángulos dependerán del lugar que ocupe el astro y de la latitud del lugar. El ángulo cuyo vértice es el astro y que está determinado por el meridiano celeste y el vertical que pasa por el astro se denomina ángulo paraláctico (q).

El lado PX es el arco del meridiano celeste entre el polo norte celeste y el astro, el lado ZX es el arco del vertical entre el cénit y el astro y el lado PZ es el arco del meridiano del lugar entre el polo norte celeste y el cénit, siendo sus valores respectivos 90°-, 90°- h y 90°- o equivalentemente, la distancia polar, la distancia cenital y la colatitud.

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

FIG 2.28 Coordenadas horizontales y horarias.

Proposición.- Sea  la latitud de un lugar en el hemisferio norte ( > 0) y sea X un astro situado en el hemisferio norte, occidental y visible, de coordenadas horizontales (A; h) y coordenadas ecuatoriales horarias (H; ). Entonces las coordenadas horarias y el ángulo paraláctico en función de las coordenadas horizontales y la latitud del lugar vienen dadas por:

Recíprocamente, las coordenadas horizontales y el ángulo paraláctico en función de las coordenadas horarias y la latitud se obtienen mediante las expresiones:

Transformaciones entre coordenadas ecuatoriales absolutas y eclípticas Sea X un astro de coordenadas absolutas (; ) y coordenadas eclípticas (; ).

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Su situación sobre la esfera celeste determina un triángulo esférico cuyos vértices son el polo norte celeste (P), el polo norte eclíptico () y el propio astro (X). Los ángulos correspondientes a los vértices P y  dependen de la ascensión recta y de la longitud eclíptica, pues están determinados respectivamente por el coluro de los solsticios y el meridiano celeste y por el máximo de longitud que pasa por el polo norte celeste y el máximo de longitud que pasa por el astro. Los valores de estos ángulos dependerán de la situación del astro sobre la esfera celeste. El ángulo cuyo vértice es el astro y que está determinado por el meridiano celeste y el máximo de longitud que pasa por el astro se denomina ángulo en el astro () El lado PX es el arco del meridiano celeste entre el polo norte celeste y el astro, el lado X es el arco del máximo de longitud entre el polo norte eclíptico y el astro y el lado P es el arco del coluro de los solsticios entre los polos norte celeste

y

eclíptico,

siendo

sus

valores

respectivos 90°-, 90°- y .

FIG 2.29 Coordenadas absolutas y eclípticas

Proposición.-

Sea X un astro situado en el hemisferio norte celeste de coordenadas

ecuatoriales absolutas (; ) y coordenadas eclípticas (; ).Si la latitud eclíptica es positiva y la ascensión recta es menor de 90° entonces las coordenadas eclípticas y el ángulo en el astro en función de las coordenadas absolutas vienen dadas por:

 











Recíprocamente, las coordenadas absolutas y el ángulo en el astro en función de las coordenadas eclípticas por:











 

 

 



 





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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Siendo  la oblicuidad de la eclíptica. Transformaciones entre coordenadas absolutas y galácticas Sea X un astro de coordenadas absolutas (; ) y coordenadas galácticas (l; b), y consideremos las coordenadas ecuatoriales absolutas del polo norte galáctico (G; G). Su situación sobre la esfera celeste determina un triángulo esférico cuyos vértices son el polo norte celeste (P), el polo norte galáctico (G) y el propio astro (X).

Los ángulos correspondientes a los vértices P y G dependen de la ascensión recta y de la longitud celeste que contiene al polo norte galáctico y el meridiano celeste, y el segundo por los meridianos galácticos que pasan por el polo norte celeste y el astro. El lado PX es el arco del meridiano celeste entre el polo norte celeste y el astro, el lado GX es el arco del meridiano galáctico entre el polo norte galáctico y el astro y el lado PG es el arco del meridiano celeste que pasa por G, siendo sus valores respectivos 90°- , 90°- b y 90°-  G. galáctica, pues están determinados, el primero por el meridiano

FIG 2.30 Coordenadas absolutas y galácticas

Proposición.- Sea X un astro situado en los hemisferios norte celeste y galáctico de coordenadas absolutas (; ) y coordenadas galácticas (l; b). Entonces las coordenadas galácticas en función de las coordenadas absolutas se obtienen mediante:









 







  

 



Recíprocamente, las coordenadas absolutas en función de las coordenadas galácticas vienen dadas por:







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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL









Siendo (G; G) las coordenadas absolutas del polo norte galáctico

El concepto de tiempo siempre está relacionado con la idea de movimiento la medida del movimiento consiste en correlacionar las posiciones de un sistema físico con las posiciones de otro. Así, se ordenan una serie de sucesos con respecto a otra serie de sucesos. Por ejemplo, si queremos estudiar el movimiento de una pelota que se desplaza sobre el piso relacionamos las diferentes posiciones de la misma a lo largo de su camino con las diferentes posiciones de las agujas de un reloj. Una serie de sucesos una serie de posiciones de un sistema físico natural o artificial una serie de posiciones de un sistema físico natural o artificial constituye una escala de tiempo si definimos una unidad de medida y un origen de la escala podemos elegir una serie discontinua de sucesos periódicos, asumiendo que se repiten a intervalos regulares o una serie continua de sucesos dada por las posiciones de un sistema con movimiento continuo, asumiendo que los intervalos de tiempo entre dos sucesos son iguales cuando los espacios recorridos son iguales (movimiento uniforme) la medida del tiempo se reduce a medidas espaciales.

o EL TIEMPO Y SU MEDIDA. El objeto fundamental de la Astronomía de Posición es la determinación precisa de las posiciones de los astros y los cambios que en éstas se producen. Por ello, se hace imprescindible establecer alguna variable que nos mida estas variaciones posicionales. Si nos referimos al Universo podemos definir el tiempo como la variable que describe los cambios que experimentan las coordenadas espaciales de los astros, estando pues íntimamente relacionado con la idea de movimiento. La medida del movimiento consiste en correlacionar las posiciones sucesivas de un sistema físico con las posiciones de otro sistema y, por tanto, el tiempo consistirá fundamentalmente en la ordenación de diferentes estructuras espaciales sucesivas o sucesos con respecto a otras estructuras sucesivas. La ordenación de sucesos mediante comparación con otra serie de sucesos proporcionar a distintos tiempos en función de la serie de sucesos que se elija como base de la comparación. En cualquier caso, tanto la serie de sucesos a ordenar como el suceso o sucesos que se elijan de referencia, han de ser simultáneos.

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

ESCALAS Y UNIDADES DE TIEMPO Si se efectúan dos o más medidas de las coordenadas espaciales (x; y; z) de un cuerpo del Universo respecto de un sistema de referencia {O;X; Y;Z}, se obtienen valores diferentes de x, y , z en las sucesivas medidas. Para expresar esta variabilidad de las coordenadas espaciales se las considera como funciones de una variable t, denominada tiempo, cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Una escala de tiempo es estable si las unidades sucesivas tienen la misma duración y es exacta si la duración de las unidades sucesivas coincide con la definición de la unidad adoptada. La accesibilidad de una escala representa la posibilidad de conocer con la menor demora posible el valor correspondiente en esa escala a un instante determinado mediante cualquier sistema físico. Así, un reloj es cualquier sistema físico que permita determinar el valor numérico del variable tiempo t correspondiente a un estado del sistema.

o TIEMPO ROTACIONAL. Una escala de tiempo rotacional es una escala astronómica basada en el movimiento de rotación de la Tierra, cuyo origen es el instante de paso de un determinado punto de la esfera celeste por el meridiano superior del lugar de observación, y cuya unidad es el día, o intervalo de tiempo transcurrido entre dos culminaciones superiores de dicho punto. Para determinar mediante observaciones astronómicas una escala de tiempo rotacional, habría que medir el movimiento angular del meridiano local del observador con respecto a un punto fijo sobre la esfera celeste. Pero la no existencia de un punto fijo en el Universo hace que el punto que se elija sea cuanto menos accesible, fácilmente observable y que esté bien definido sobre la esfera celeste. Independientemente del punto de la esfera celeste que se elija, siempre es la Tierra en rotación la que sirve como reloj astronómico del tiempo rotacional. En este sentido, si el punto elegido es el punto Aries entonces tendremos una escala de tiempo denominada tiempo sidéreo, y si eligiéramos el Sol, tendríamos tiempo solar.

TIEMPO UNIVERSAL (TU): Se considera día (24 horas) el tiempo que tarda el sol en pasar dos veces consecutivas por el meridiano del lugar. Para medir el tiempo se toma como referencia un sol imaginario llamado sol medio que recorre arcos iguales en tiempos iguales (el sol verdadero recorre una elíptica y por lo tanto los días no son exactamente iguales). El día medio se divide en 24 horas. El día comienza a contar cuando el sol medio pasa por el meridiano inferior (00:00). para que cada lugar, de distinta longitud, no tuviera una hora distinta se tomó una hora base que es la contada a partir del meridiano de Greenwich a la cual se le denomina tiempo universal (tu) o también hora civil en Greenwich (HCG), GMT, UTC, hora ZULU (denominación militar o aérea). A esta hora están referidos los almanaques náuticos y de ella hay que partir para los distintos cálculos y horarios.

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HORA CIVIL DEL LUGAR: Es el tiempo que hace que pasó el sol medio frente al meridiano inferior del lugar. Al ser del lugar entra en función la longitud del mismo y como referencia para medirla se toma el meridiano cero o de Greenwich. Cada punto de la Superficie Terrestre tiene una hora diferente en función de su Longitud.

HORA LEGAL – HUSOS o ZONAS HORARIAS: Para que en cada lugar no se tuviera una hora diferente en función de su longitud, se dividió la tierra en 24 husos o zonas horarias de 15º cada uno (360º:24 = 15º), de manera que todos los lugares, dentro de cada huso, tuvieran la misma hora llamada hora legal, hora de huso u hora de zona (hz). Esto indica que hay que cambiar la hora cuando se pasa de un huso a otro. Una zona horaria abarca 7,5º a cada lado del meridiano central del lugar.

HORA OFICIAL: Es la establecida por el gobierno de un país por razones económicas,

nacional o

internacionales y se diferencia de la legal en números enteros. Es decir la Hora oficial será igual a la legal o zonal más el adelanto o el atraso que tenga ese país.

DÍA SIDÉREO: Se define el día sidéreo como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del punto Aries por el meridiano superior del lugar.

DÍA SOLAR: Como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos culminaciones superiores sucesivas del Sol por el lugar de observación.

LA HORA SOLAR: El tiempo solar es una medida del tiempo fundamentada en el movimiento aparente del Sol sobre el horizonte del lugar. Toma como origen el instante en el cual el Sol pasa por el Meridiano, que es su punto más alto en el cielo, denominado mediodía, al cual se le asigna el valor de 12. Sin embargo, el Sol no tiene un movimiento regular a lo largo del año, y por esta razón el tiempo solar se divide en dos categorías:

FENÓMENOS QUE INFLUYEN EN LA HORA La precesión y la nutación hacen que estas escalas no sean uniformes, por lo que habrá que buscar recursos que garanticen en la mayor medida posible la uniformidad de estas escalas.

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

LA PRECESIÓN: Se manifiesta en la variación del plano del ecuador terrestre causando un largo período que sin pérdida de generalidad puede achacarse a la acción gravitatoria conjunta del Sol y de la Luna

NUTACIÓN: Es la variación del plano de la eclíptica. Estas variaciones suponen que la posición del punto Aries también varíe como consecuencia de ser la intersección del ecuador celeste y de la eclíptica. De corto período debido aunque no de forma exclusiva a la acción de los planetas.

o DEFINICIÓN DE AÑO.

AÑO SIDÉREO : intervalo de tiempo que le toma al sol recorrer los 360 de su órbita = intervalo de tiempo entre 2 pasos consecutivos del sol por un punto fijo de su órbita (el equinoccio de una determinada época o las estrellas fijas)

AÑO TRÓPICO : intervalo de tiempo entre 2 pasos consecutivos del sol por γ El año trópico es ≈20m más corto que el año sidéreo Año sidéreo=365.25636 d m Año trópico=365.242199 d m

CALENDARIOS: Sistema de medida de intervalos largos de tiempo basados en acontecimientos periódicos como el movimiento de los planetas.

CALENDARIO JULIANO (46 A.C.):

basado en el calendario solar

egipcio de 365 días solares medios introducido en Roma por Julio César en el año 46ac basado en ciclos de 4 años: (3x365+1x366)/4=365.25, 366 días años bisiestos. 1) se le agregaron 85 días al año 46ac que resultó de 445 días (año de la confusión) para corregir el desfasaje con el ciclo natural de las estaciones 2) se adoptaron 3 años de 365 días solares medios, dividido en 12 meses de 31 y 30 días alternativamente, con febrero de 29 3) se adoptó 1 año bisiesto (los múltiplos de 4) de 366 días con un día agregado a febrero entre el 23 y el 24 El año del calendario juliano tenía en promedio 365,25 días solares medios

69

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

4) unos años después Marco Antonio introdujo una modificación a la duración de los meses que perdura hasta nuestros días

CALENDARIO GREGORIANO Basado en el calendario juliano de 365,25 días solares medios reformado por el papa Gregorio XIII en 1582 para que la Pascua se celebrase el primer domingo después del plenilunio siguiente al equinoccio de primavera, según lo determinado por el Concilio de Nicea en el año 325 1) el 4 de octubre de 1582 pasó a ser 15 de octubre (se omitieron 10 días) 2) se modificó el número de años bisiestos: ya no serían bisiestos los años divisibles por 400 el año del calendario gregoriano tiene en promedio 365,2425 días solares medios

Las posiciones aparentes de los astros en el cielo están afectadas por algunos fenómenos que originan pequeños desplazamientos en sus direcciones respecto de la dirección geométrica definida por tales sistemas de referencia. Atendiendo al efecto que causan, estos fenómenos se pueden clasificar en: geométricos y físicos. Los efectos geométricos afectan directamente a uno o varios elementos fundamentales del sistema de referencia considerado. A este grupo pertenece la paralaje diurna, paralaje anua, la precesión y nutación. Si se efectúa un cambio de origen del sistema de referencia entonces se producirá una variación en las direcciones de los objetos celestes. Cuando se realiza un cambio entre orígenes topo céntrico, lugar de observación, geocéntrico, centro de masas de la Tierra; este efecto geométrico se manifiesta como el ángulo desde el que se ve el radio terrestre, denominándose paralaje diurna, y cuando el cambio se efectúa entre orígenes geocéntrico y heliocéntrico, centro de masas del Sol; se denomina paralaje anua y es el mayor ángulo subtendido por la distancia Sol - Tierra. Por otra parte, la Tierra no es una esfera, sino que presenta un abultamiento ecuatorial aproximándose en mayor medida a un elipsoide de revolución. Debido a este abultamiento ecuatorial, las fuerzas externas que actúan sobre la Tierra en rotación producen un desplazamiento en sentido retrógrado del eje terrestre y, consecuentemente, se generará una variación en las posiciones de los planos fundamentales, el ecuador celeste y sobre la eclíptica y, por supuesto, sobre su intersección: el punto Aries. Por tanto variarán las coordenadas ecuatoriales y eclípticas. El desplazamiento del eje de rotación terrestre se descompone en la

70

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

precesión, o movimiento de largo periodo, y en otro movimiento de corto periodo, denominado nutación. Los efectos físicos afectan directamente a la dirección aparente de los objetos celestes. A este grupo pertenecen la refracción atmosférica, la aberración de la luz y el movimiento propio.

o PARALAJE: En general, el paralaje es la deviación angular de la posición aparente de un objeto, dependiendo de la posición del observador. Podemos evidenciarla paralaje cuando observamos con uno de nuestros ojos, y cubriendo un objeto con nuestros dedos con el brazo extendido, si cambiamos ahora el ojo de observación, veremos que ya nuestro dedo no oculta el objeto.

o COORDENADAS TOPO CÉNTRICAS, GEOCÉNTRICAS Y HELIOCÉNTRICAS: Si el origen del sistema de coordenadas astronómicas es el lugar de observación sobre la superficie de la Tierra, entonces las coordenadas se denominan coordenadas topo céntricas; si es el centro de masas de la Tierra se denominan coordenadas geocéntricas, y si es el baricentro del Sistema Solar, que coincide aproximadamente con el centro dinámico del Sol, se denominan coordenadas heliocéntricas. Transformación entre coordenadas topo céntricas, geocéntricas y heliocéntricas: Si (A; h) y (

;

) son las coordenadas topocéntricas y geocéntricas horizontales de un astro,

entonces las expresiones de transformación entre ambas coordenadas vienen dadas por:

Siendo R el radio de la Tierra, y d, d0 las respectivas distancias topo céntrica y geocéntrica de dicho astro.

o PARALAJE DIURNA: Se denomina paralaje diurna (p), o paralaje en altura, de un astro en un instante determinado, al ángulo bajo el cual se ve el radio terrestre desde el astro. Si z y z0 son las distancias cenitales topo céntrica y geocéntrica, entonces la paralaje diurna de un astro viene dada por p = z - z0: La paralaje diurna debe aplicarse cuando se realicen transformaciones entre coordenadas topo céntricas y geocéntricas y para astros del Sistema Solar. Su mínimo valor, 0o, se alcanza

71

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

cuando el astro está en el cénit y cuanto más alejado esté el astro, menor será su paralaje diurna. La paralaje diurna varía con el movimiento diurno pues, aunque la distancia geocéntrica sea constante, la distancia cenital topo céntrica varía. Se utiliza para el cálculo de distancias y semidiámetros angulares de astros del Sistema Solar. Semidiámetro angular de un astro del Sistema Solar: Se denomina semidiámetro angular (S) de un astro al ángulo subtendido desde el centro de la Tierra por el radio del astro. Si determinamos la distancia geocéntrica al astro y su semidiámetro angular podemos determinar el radio del astro. Si consideramos el modelo esférico de la Tierra, entonces el semidiámetro angular de un astro del Sistema Solar viene dado por:

Siendo z la distancia cenital topo céntrica, s el ángulo subtendido desde el lugar de observación por el radio del astro y P su paralaje horizontal.

o PARALAJE ANUAL: Se denomina paralaje anua (w) de un astro al mayor ángulo subtendido por la distancia entre el Sol y la Tierra.

Debido a que la distancia Sol-Tierra es muy pequeña respecto a las distancias geocéntrica y heliocéntrica de astros no pertenecientes al Sistema Solar, se asumirá que para dichos astros la órbita de la Tierra es circular y de radio igual al semieje mayor de la órbita elíptica. La paralaje anua de un astro viene dada por:

Siendo ST la distancia entre el Sol y la Tierra y d0 la distancia geocéntrica del astro.

FIG 2.31

72

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Nuevas unidades de distancia: Al ser la órbita de la tierra alrededor del Sol una elipse con éste en uno de sus focos, la distancia entre ambos no es constante. El punto de esta órbita más próximo al Sol se denomina perihelio, y el más distante afelio. Obviamente, ambos puntos son los extremos del semieje mayor. No obstante, en la mayoría de las situaciones astronómicas se considerará una órbita circular cuyo radio es la distancia media de las distancias entre el Sol y la Tierra. Si consideramos la órbita elíptica “aparente” del Sol alrededor de la Tierra, donde la Tierra está en uno de los focos, a los puntos del semieje mayor más próximo y más alejado de la Tierra se denominan perigeo y apogeo, respectivamente. Unidad astronómica (UA): A la distancia media existente entre el Sol y la Tierra, siendo aproximadamente igual a 149598000 Kms. Esta unidad es válida para medir distancias en el Sistema Solar y sus proximidades. Año-luz (A-L): A la distancia recorrida por la luz en un año, siendo su valor aproximadamente

Se considera que el valor de la velocidad de la luz es 300000Km/seg. Parsec (pc): A la distancia a que debe estar un astro para que su paralaje anua valga 1; su valor es La equivalencia del parsec con la unidad astronómica y con el año luz es:

La estrella más próxima al Sol es alfa-Centauro, que se encuentra a 1,31 parsecs. La estrella Sirio, que es la más brillante del hemisferio norte celeste, se encuentra a 2,7 parsecs

73

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La astronomía de posición es un tema muy importante para la determinación de distancias, tipo de movimiento de los astros tanto aparentes como absolutos. La astronomía de posición

es de gran importancia para la teoría de la proyección

estereográfica.



Pedro Garafulic Cabiedes - Universidad de Santiago de Chile



http://www.cartografia.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=96&Itemid



http://www.geodesiasatelitall/index.option=com_content&task=view&id=96&Itemid



www.monografias.com



www.rincondelingeniero.com

74

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La elipse se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Si se denomina 2a esa constante 2c a la distancia entre los focos F Y F` b a la distancia comprendida entre los centros de la elipse y el vértice superior p. en cualquier elipse se verificara.

√

Figura 3.1 el elipsoide

Elementos de la elipse Si se observa el punto M de la figura, por pertenecer a la elipse, verificara la condición del lugar geométrico, es decir la suma de distancias de M a F y F´ será constante e igual a 2a o lo que es lo mismo.

Figura 3.2 El punto M pertenece a la elipse

75

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Por tanto, se puede generalizar que para cualquier elipse, se cumple que las longitudes representadas en la figura tienen los valores señalados.

Figura 3.3

La distancia PF tiene la mismo valor que el semieje mayor a

A la magnitud horizontal a, se le llama semieje mayor de la elipse. La magnitud vertical b, es el semieje menor, La distancia c es la distancia focal. Para obtener la ecuación de la elipse se puede establecer

un sistema de coordenada

cartesiano como en la figura, cuyo origen sea el centro de la elipse, y cuyos diámetros principales coincidan con los ejes X e Y. Teniendo en cuenta la definición de elipse como lugar geométrico, se calcularan las distancias de un punto cualquiera A de la elipse, a los dos focos F y F´ (separados la distancia 2c) y se sumaran. Esta suma deberá ser constante e igual a 2a.

Figura 3.4

Obtención de la ecuación de la elipse

Es decir: √

√

Operando convencionalmente se llega a la siguiente expresión.

76

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Pero sustituyendo el valor de

Dividiendo por

en la expresión anterior, se tiene:

queda:

Que es la ecuación de la elipse de semiejes a y b centrada en el origen de coordenada (0,0)

El elipsoide de revolución (esfera achatada en los polos) es un modelo matemático de la Tierra utilizado para realizar cálculos y que se sitúa lo más cerca posible del geoide. Existen numerosos modelos de elipsoides. Para fines prácticos, se aproxima la Tierra a un elipsoide de revolución. El Elipsoide de revolución es un sólido generado por la rotación de una elipse en torno del eje de los polos (eje menor).

Figura 3.5

El elipsoide de revolución utilizado en geodesia se obtiene girando la elipse alrededor del eje menor.

77

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La ecuación del elipsoide de revolución se muestra a continuación. En ella el semieje mayor ``a´´ se denomina también radio ecuatorial y el semieje menor ´´b radio polar.

Se le llama aplanamiento

Si a=b, entonces es

a la siguiente relación:

=0, que es el caso de la esfera. Cuando mayor sea el aplanamiento

mas achatado será el elipsoide. Se llama primera excentricidad

o simplemente excentricidad

del elipsoide a la siguiente relación. √

De donde

Se llama segunda excentricidad √

del elipsoide, a la siguiente relación.

De donde

A partir de estas definiciones se pueden establecer las siguientes relaciones entre el aplanamiento

y la excentricidad primera

y segunda

.

Con cualquier pareja elegida entre los parámetros a, b c, la práctica se utilizan parámetros a y

, ,

queda definido el elipsoide. En

para su definición.

o ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN: Un elipsoide de referencia es un elipsoide que se utiliza como un marco de referencia en cálculos geodésicos. Se trata de una forma de la Tierra, con la que es más fácil trabajar que con el geoide. Es relativamente fácil de describir elipsoide de referencia utilizando empleando fórmulas matemáticas. La descripción del geoide es mucho más compleja, ya que conlleva realizar mediciones muy precisas. En el siglo XVII, había dudas sobre si la Tierra era una esfera perfecta. El 1688, Isaac Newton resolvió una controversia demostrando matemáticamente1 que la rotación de la Tierra generaba un allanamiento en la zona de los polos,. En la práctica esto no fue demostrado hasta medio siglo más tarde, por parte de Pierre Bouguer y Alexis-Claude Clairaut. Ambos hicieron

78

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

hacer unas expediciones al Perú y Laponia (1735-1741), respectivamente, tienen. Fue la comparación de ambos resultados que permitió demostrar este hecho.

ELIPSOIDE FECHA a(METROS) APLANAMIENTO DELEMBRE 1799 6.375.653 1/334 WABECK 1810 6.376.855 1/302.78 EVEREST 1830 6.377.276 1/300.8 BESSEL 1641 6.377.397 1/299.15 AIRY 1849 6.377.480 1/299.33 STRUVE 1860 6.378.298 1/299.73 CLARKE 1880 6.378.249.145 1/293.465 HELMERT 1907 6.378.200 1/298.3 HAYFORD 1909 6.378.388 1/297 KRASSOWSKY 1940 6.378.245 1/298.3 HOUGH 1956 6.378.270 1/297

Tabla 3.1 Posterior mente basándose en las observaciones de satélites artificiales han sido propuestos entre otros, los siguientes.

ELIPSOIDE KAULA VAIS LAMBECK RAPP KHAN GAPOSCHKIN

FECHA 1961 1965 1971 1973 1973 1973

a(METROS) 6.375.652 6.378.142 6.378.140 63.781.428 6.378.142 63.781.404

APLANAMIENTO 1/298.24 1/298.25. 1/298.25 1/298.256 1/298.255 1/298.256

Tabla 3.2 El elipsoide de HAYFORD fue adoptado por la IAG (Unión Geodésica Internacional) como elipsoide internacional

en su reunión de Madrid (1924). Posterior mente en la XVII La

Asamblea de la IAG, celebrada en Canberra (1979) fue establecido un nuevo cambio aprobado por la IUGG (Unión geodésica y geofísica internacional) en su resolución nº7 que asigna al elipsoide terrestre las siguientes dimensiones. IUGG (1980)

a=6378137m

f=1/298.257222101

Este, fue el denominado Sistema Geodésico de Referencia 1980(GRS80) El nuevo sistema de referencia, es el utilizado en el denominado World Geodesic System 1984 (WGS84). La denominación WGS 84 sirve para nombrar, tanto el sistema geodésico

de

referencia, como el elipsoide que este sistema emplea. Sus parámetros geométricos son: WGS84

a=6378137m

f=1/298.257223563

El elipsoide Hayford o internacional, es el adoptado en las últimas décadas como referencia para la península Ibérica, dentro del sistema European Datum 1950(ED50).

79

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Una vez determinadas las dimensiones del elipsoide por medio de sus semiejes a y b un punto A de su superficie viene determinado por unas coordenadas cuya elección depende, en general, del problema en el que vayan a ser utilizadas. Debido a la simetría del elipsoide con respecto a sus ejes, se suele definir la posición de un punto A mediante un par de coordenadas angulares y que reciben los nombres de latitud y longitud:

LONGITUD GEOGRAFICA ( ʎ ): Es el ángulo diedro que forma el meridiano de Greenwich PE con el meridiano PM del punto A .Se encuentra de 0˚ a

-180˚ hacia el oeste de 0˚ a

Fig. 3.6

+180˚ hacia el este.

La latitud admite varias definiciones sobre el elipsoide. Si se considera la sección meridiana de longitud geográfica ʎ y uno de sus cuadrantes, el OPM, se define:

Figura 3.7

LATITUD

GEODESICA

( ϕ ): Es el ángulo que forma la normal AN, al elipsoide en el punto A, con el plano del Ecuador, o bien, con el semieje mayor OM de la elipse meridiana que pasa por A.

LATITUD GEODESICA ( ω ): Es el ángulo que forma el radio OA con el plano del Ecuador.

LATITUD EXCENTRICA O REDUCIDA ( β ): Es el ángulo que forma la recta OA’ con el plano del Ecuador, siendo A’ la intersección de la paralela al eje de coordenadas que pasa por A con la circunferencia de centro O y radio el semieje mayor a de la elipse (circulo director).

RELACION ENTRE LA LONGITUD GEODESICA ( ϕ ) Y LA LONGITUD GEOCENTRICA ( ω ):

Para ello se obtendrá el valor de la

80

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

pendiente de la recta tangente al elipsoide en el punto A mediante el cálculo de la derivada de la elipse MAP en ese punto:

+

=1→

+

=0 →

=-

→ y’= -

(1)

Por otro lado, se sabe que la pendiente y’ en función de la latitud geodésica, es:

Y’=

-

Igualando ambas expresiones, se llega a la siguiente relación:

-

-

(2)

por tanto:

Sustituyendo (2) el valor de b²= a² (1-

, se obtiene:

=

de donde:

y = (1-

)

(3) Por otro lado, de la figura anterior, se obtiene la relación:

= ⁄ , que sustituida en la

expresión anterior da la relación buscada:

= (1- ) Para calcular la relación existente entre la latitud geodésica

y la latitud reducida β, se

considerara el método grafico para determinación de puntos de una elipse dado sus círculos directores que se exponen a continuación: Los circulos directores de la elipse son dos circulos concentricos de radio a y b, los semiejes mayor y menor de la eipse. Estos circulos estan representados por los de radio a=OM y b=OP. La elipse a construir, que sera concentrica con los circulos directores, se determinara punto a punto de la siguiente manera: se traza una recta horizontal cualquiera como la YA que corte al circulo de radio b, el punto de interseccion es A’’, seguidamente se traza una recta desde el origen que pasa por A’’ esta recta cortara al circulo de radio a en A’, ahora se traza por A’ una paralela al eje vertical que terminara en el punto de corte con la recta YA el punto A de la elipse. Por tanto, los puntos A’ y A’’ estan alineados con el origen O, por lo que se puede establecer la siguiente relacion:

Figura 3.8

=

=

→

y=

81

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Por otro lado, del triángulo OXA’, se puede obtener la relación:

=

=

→ x=a Teniendo ahora en cuenta la relación (2) y sustituyendo en ella los valores hallados X e Y:

=

→

(5)

Se llama Gran normal o normal principal (N) en un punto A del elipsoide al segmento normal al elipsoide en ese punto, comprendido entre el punto y el semieje menor de la elipse meridiana que pasa por él. Es el segmento AN de la siguiente figura:

Figura 3.9 Calculemos su valor, en función del semieje mayor a, la excentricidad e del elipse y la latitud ϕ del punto A. Para ello, se parte de la mencionada figura, teniendo en cuenta que:

X = OX = AY = AN

→

AN = N =

(6)

Por tanto es necesario calcular el valor de X, y se hará en función de a, sustituirá el valor de Y dado por (3) y el de b²= a² (1-

. Para ello, se

en la ecuación de la elipse:

82

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

+

= 1→

²

+

= 1→ x²(1-

+ x²(1-

= a² (1-

x² =

=

→

x=

√

Una vez calculado el valor de X, solo queda, sustituirlo en (6) para obtener el valor de la gran normal N:

N=

√

Se denomina función w, o también, primera función fundamental da la latitud geodésica, a la definida de la siguiente manera:

w² =

por tanto:

N= Como en algún momento del estudio de la geometría elipsoidal, será de utilidad el caculo de los segmentos OT y AT de la figura anterior, se procederá aquí su cálculo. El segmento OT, se tendrá en cuanta la semejanza de los triángulos ATX y NAY, y las expresiones (3) y (6):

=

→

=

Por tanto:

OT=X –

=N

= x (1-

)=N

(1-

)=

(1-

(7)

Para el cálculo del segmento AT, se tendrá en cuenta la semejanza de los mismos triángulos ATX y NAY, verificándose la relación:

=

→ AT = AN

=N

=N

→ AT =

(8)

83

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Las diversas secciones que pude producir un plano, al cortar el elipsoide de revolución, pueden catalogarse en dos clases: Secciones Normales, que son las producidas por planos que contengan a una normal al elipsoide en un punto determinado de su superficie, y Secciones Oblicuas, que son aquellas otras producidas por planos que no contienen a esa normal. Entre las infinitas Secciones Normales que puedan pasar por un punto A del elipsoide, se han de distinguir las dos que pasan a su vez por las direcciones principales del punto considerado. Dichas direcciones, son las tangentes en ese punto a la elipse meridiana, y al paralelo correspondiente. Por definición, estas dos direcciones son perpendiculares. La Sección Normal correspondiente a la tangente en el punto A, a la elipse meridiana, es precisamente la Elipse Meridiana. La Sección Normal correspondiente a la tangente al paralelo, en el punto A, es otra elipse normal a la anterior, y se denomina Vertical Primario.

Figura 3.10 En el punto A, y en la dirección de la elipse meridiana, corresponde la máxima curvatura sobre el elipsoide en ese punto, o el mínimo radio de curvatura ρ. En el mismo punto, corresponde, para el vertical primario, la mínima curvatura o máximo radio de curvatura. Como se verá más adelante, este radio de curvatura, tiene por valor a la gran normal N en el punto A. Estos dos radios de curvatura N y ρ, se denominan radios de curvatura principales, y las dos secciones normales a que corresponden, se han representado en la figura. Siendo la curvatura en un punto A del elipsoide, variable con la Sección Normal que se considere, se toma muchas veces como radio de curvatura del elipsoide, en el punto considerado la media aritmética de los infinitos radios de curvatura, correspondientes a las infinitas Secciones Normales que pasan por A, y cuyo valor es

√

, como ya se

demostrara mas adelante.

84

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Se define acimut geodésico de una sección normal cualquiera, al ángulo formado por dicha sección con la dirección norte del meridiano del lugar (su valor varía entre 0° y 360°). Se puede afirmar, que el radio de curvatura de una sección normal cualquiera de acimut α es:

Se sabe por geometría diferencial, que la formula general del radio de curvatura de launa curva plana cualquiera, es:

[

]

Para la elipse, ya se conoce el valor de la primera derivada

y’, hallado anteriormente.

Calculemos, ahora, la segunda derivada y”.

{

}

Sustituyendo y’ e y”, en la formula general del radio de curvatura, se obtiene:

[

(

) ] (

)

Teniendo en cuenta (2-9), (2-12) y (2-14), se llega a:

85

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Sustituyamos estas expresiones en (2-17). Además, tengamos en cuenta que deducir que

se puede

. Así, se puede obtener la siguiente expresión: (

)

[

]

Simplificando, Se obtiene la expresión que se buscaba, que da el valor del radio de curvatura de la elipse meridiana ρ.

En el ecuador y en el polo, donde las latitudes tienen el valor 0° y 90°, respectivamente, los k radios de curvatura vienen dados por las siguientes relaciones:

Estas expresiones, se deducen fácilmente que, teniendo en cuenta el valor de w para cada latitud, y el de e en función de a y b.

o RADIO DE CURVATURA DEL VERTICAL PRIMARIO: GRAN NORMAL En este apartado se va a calcular el radio de curvatura del vertical primario de un punto del elipsoide, demostrando que su valor es igual al de la gran normal N de este mismo punto. En efecto, considerando en el elipsoide de revolución la sección producida por el plano que contiene la recta según la dirección principal del paralelo de A y que pasa por el centro de ese elipsoide. Esta sección será el elipse

de

86

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Figura 3.11

semiejes a y OA :

El vértice A de esta sección, es el vértice superior de la elipse. Como se ha visto anteriormente, su curvatura en el punto A es En este caso b =OA por tanto

además se puede escribir como un

valor para el segmento OA, el siguiente

Luego

Ahora bien, según el teorema de Mesmer; el radio de curvatura de una sección normal, es igual al de una sección oblicua cualquiera, dividido por el coseno del ángulo que forman ambas secciones. Según este teorema el radio de curvatura que buscamos es:

Sustituyendo en la relación anterior el valor de tan

dado en la expresión, se tiene:

Recordando la formula, se constata que el radio de curvatura del vertical primario en un punto, se tiene por valor de la Gran Normal del elipsoide en ese punto.

o RADIO DE CURVATURA DE UNA SECCION NORMAL EN UN ACIMUT CUALQUIERA En esta parte se va a determinar cuáles el radio de de curvatura de una de estas secciones,

tomadas,

en

cualquier

dirección, o dicho de otra forma, en un acimut cualquiera. Para ello, se calculara primero, cuales al ecuación de la elipse coincidente con una de estas secciones normales en una dirección cualquiera, y después, su radio de curvatura.

Figura 3.12

87

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Consideremos el elipsoide de revolución de la figura , centrando en un origen O del sistema de coordenadas (O,

,

). Como ya se sabe, la ecuación de este elipsoide se

puede expresar de la siguiente manera;

Veamos los elementos A:

punto cualquiera que pertenece al elipsoide

AN :

gran normal

O:

origen del sistema

Oʼ:

origen del sistema X,Y,Z

M:

punto que pertenece al elipsoide

Mʼ:

es la proyección del punto M sobre el plano AOʼP, por tanto pertenece a este plano

,

C, D: son las proyecciones ortogonales de los puntos My Mʼrepectivamente sobre el plano ZX F, G: son las proyecciones ortogonales de los puntos Cy D respectivamente sobre el eje x L: es la proyección de ortogonal de Mʼ sobre el eje Z, que coincide con la proyección de C sobre el eje Z α: es el ángulo formado por CLMʼ E: es la proyección ortogonal de de L sobre el eje X B: es la intersección de las rectas perpendiculares de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ : es la latitud del punto A, se mide según el angulo AOʼX, además se sabe que el angulo CLBes igual

por ser angulos complementarios

Determinación de las coordenadas del punto M en ambos sistemas , y (X,Y,Z) X=MMʼ

,

XYZ Expresando la el punto M en

Y=LMʼ Z=OʼL

,

Relacionando ambos sistemas

Reemplazando

,

en

se tiene

88

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Una vez determinada la ecuación de la elipse buscada, ya solo resta su radio de curvatura a través de la ecuación general que lo proporciona

[

(

) ]

Reordenando la anterior expresión y reemplazando algunas equivalencias obtenidas anteriormente tenemos :

[

]

[

]

[

[

]

[

]

]

La cual se puede expresar, simplificada mente, de la forma Donde los valores de A, B, C, D, E, F son los que se han sustituido en la ecuación anterior Derivando y resolviendo se obtiene que :

(

)

HACIENDO QUE Y=0; Z=OA. El segmento OA es el AT ADEMAS OA=Z=

[

Para obtener

(

) ]

en forma más conveniente. Se hace que

y el

se obtiene

89

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

(

)

Si en esta fórmula (Teorema de Euler), se hace a=0˚, se obtendrá el radio de curvatura

de la

Dónde:

elipse meridiana; y para α=90˚se obtiene el radio de curvatura N del vertical primario

o RADIO DE CURVATURA MEDIO La media aritmética

de los infinitos radios de curvatura correspondiente a las infinitas

secciones normales que pasan por ese punto al radio de curvatura así obtenido , se le denomina radio de curvatura medio .

√ o SECCIONES NORMALES RECIPROCAS. LA LINEA GEODESICA Para cualquier superficie curva del espacio, la geometría diferencial define línea geodésica entre dos puntos de esa superficie, como aquella línea que, trazada sobre esa superficie proporciona el camino más corto entre ambos.

o LONGITUD DEL ARCO DE PARALELO E n este apartado, se va a determinar cuál es el valor de la longitud de un arco de elipsoide entre dos puntos de un mismo paralelo, en función de la diferencia de longitud entre esos dos puntos, la latitud del paralelo y el valor de la gran normal .El valor de la gran normal, lleva implícito los parámetros del elipsoide ya que depende de a y e.

Figura 3.13

90

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Se representa en un elipsoide, la elipse meridiana de un punto A y la de otro B, los dos en el mismo paralelo. Se sabe que la latitud

de A, es el ángulo que forma la gran normal AN con

el eje del elipsoide .Por estar B en el mismo paralelo, su gran normal será igual a la de A y coincidirán en N. El radio r del paralelo

correspondiente a la latitud

de A y B, es el

segmento AI o BI, que tiene por valor: En general, el valor de la longitud de un arco, es igual al producto del radio por el valor del ángulo que subtiende, expresado en radianes, así se puede establecer la siguiente relación en la longitud del arco de paralelo

entre A y B y la diferencia de longitudes

(en radianes)

entre ambos, en la circunferencia de radio r que contiene ese paralelo.

o LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO Se trata de determinar la longitud de un arco

de elipsoide entre dos puntos A y B de un

mismo meridiano .La expresión diferencial que da la relación entre arco, radio de curvatura y un ángulo subtendido, para cualquier, curva es:

∫

Figura 3.14 Donde

es el radio de curvatura de la curva en cuestión, y

el ángulo subtendido por cada

elemento diferencial de arco .Esta expresión integral es la que se va emplear para determinar la longitud de un arco de meridiano en el elipsoide de revolución.

⁄

91

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Desarrollando su denominador:

 +…. Despreciando los términos de orden superior 4 en la expresión anterior, y teniendo en cuenta las siguientes relaciones trigonométricas que sustituimos en ella:

Obteniéndose el valor del denominador:

(

)

Ahora reemplazamos en la ecuación del radio de curvatura de la elipse meridiana:

[



(

)

] Con este valor se empezara a plantear la integral dada:

[

∫



(

)

] Resolviendo la integral se obtiene la siguiente expresión:

[

 )

( ]

Teniendo en cuenta la siguiente relación trigonométrica:

92

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Y sustituyendo en la última expresión de

se tiene:

[



(

) ] El valor de radio de curvatura

m

de la elipse meridiana correspondiente a una latitud media

Es según el siguiente:

[



(

)

] Ahora multiplicamos por el valor de

resulta:

[ (

) ]

Y restando

, y se eliminan términos de orden mayor que

queda:

[

 ]

Aplicando el desarrollo en serie del senx, hasta la tercera potencia, al seno que aparece en la expresión anterior, queda:

[ ] Simplificando y despreciando términos de orden igual o superior a

y despejamos

:

93

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

 [

]

Por ser el segundo sumando de la expresión anterior muy pequeño, se puede sustituir el valor del semieje mayor

por el radio de curvatura de la elipse

Sustituyendo, también, el valor de

por

en el punto de latitud media. queda la expresión:

[

] [

]

La longitud de un arco de meridiano entre dos puntos, expresando las latitudes en radianes:

[ Se recuerda que el

]

que aparece en estas dos expresiones, es el radio de curvatura de la

elipse meridiana en el punto de latitud media

de los dos que definen el arco a medir.

El empleo de estas formulas, supone aceptar un error que llega al metro, cuando el arco de meridiano ronda los 2.200Km.por lo tanto, en general, son expresiones totalmente validas para distancias por debajo de los 500Km, pudiendo fijarse su límite de uso en el millar de kilómetros. Para mayor exactitud, es recomendable considerar mas términos del desarrollo en serie, manteniendo las potencias 8 .esta expresión de la longitud del arco de meridiano

desde el

ecuador al punto de latitud .

[

 ] *

Co,C2,…C2n

son coeficientes de la primera excentricidad del

elipsoide:

94

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Si en lugar de tomar el ecuador como origen, se desea obtener la longitud de arco entre dos puntos de latitudes

y

, situados en una misma elipse meridiana, bastara con restar

algebraicamente los respectivos valores de

, teniendo en cuenta el cambio de signo, si los

puntos se encuentran en hemisferios distintos del elipsoide .en general, se puede escribir:

[ ] Dónde:

(

)

Llamamos acimut geodésico de una sección normal, al ángulo formado por esta con la dirección norte del meridiano del lugar. Su valor varía entre 0° y 360°. Siendo así el acimut geodésico entre dos puntos A y B, el acimut correspondiente a la línea geodésica que une ambos puntos. La convergencia de meridianos se origina de llevar el acimut ZAB sobre la prolongación de la línea geodésica en B, siendo el lado superior de este que formara un ángulo ΔZ con el meridiano de B. Se obtendrá el valor de esta convergencia de meridianos ΔZ, lo que excede de 180°, la diferencia entre los acimutes recíprocos ZAB y ZBA.

ΔZ = ( ZAB – ZBA ) – 180°

Figura 3.15

95

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Figura 3.16

Llamamos línea geodésica a la línea de mínima longitud que une dos puntos de una superficie y está contenida en ella; son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie. Para hallar la ecuación de la línea geodésica de utilizaran conceptos como: 1. Relación trigonométrica en un triángulo esférico rectángulo utilizada en el caso de:

C

𝑎

a

𝐶

𝐵

b

Figura 3.17

B

c A

Longitud de un arco de meridiano en el elipsoide

𝜌 𝑑𝜑

ρ : radio de curvatura : Ángulo subtendido por cada

elemento

diferencial de arco.

Figura 3.18

96

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Se tiene la figura:

Figura 3.19 En el triángulo PCB utilizamos el concepto 1 antes mencionado:

Despejando Además

y

Según el concepto 2 mencionado antes y por relación trigonométrica en el triángulo ABC:

Para el lado BC del mismo triangulo ABC:

97

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Sustituyendo en :

Estas tres ecuaciones constituyen las ecuaciones diferenciales de las líneas geodésicas sobre la superficie del elipsoide. Con las ecuaciones anteriores y con el siguiente grafico se obtendrá la ecuación fundamental de la curva geodésica.

P

C

r + dr

𝜑 A

dr

r

Figura 3.20 La figura representa la sección meridiana de los puntos A y C de la primera figura y la recta tangente a dicha sección en C. Si r es el radio paralelo de A, r + dr será el radio del paralelo de C. Es así que se obtiene la siguiente expresión en la que el signo negativo del elemento dr es por la menor latitud de C respecto de A.

Despejando seno y coseno de:

98

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

multiplicar por r dr multiplicar por dr

sumando miembro a miembro

La cantidad entre el paréntesis es nula, por tanto

Es una ecuación diferencial cuya solución

Entonces se deduce

Es así que se obtiene la fórmula de clairaut, la que nos dice que las líneas geodésicas sobre la superficie del elipsoide de revolución son aquellas en las que el producto del radio del paralelo por el seno del acimut de la curva en cada uno de sus puntos es constante.

Se podría establecer otra relación respecto a la latitud reducida : Se sabe que:

99

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Sustituyendo en la expresión hallada anteriormente:

Pero

es una constante, queda finalmente:

Dados dos puntos P1 y P2 de un elipsoide de revolución: Se conoce: Las coordenadas geodésicas ( 1 , λ1) de P1 La longitud del arco P1 - P2 El acimut A12 de P2 HACIA P1 DETERMINAR Las coordenadas geodésicas ( 2 , λ2) de P2 El acimut A21 de P1 hacia P2

100

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Determinar el semieje menor, la excentricidad y la segunda excentricidad de un elipsoide en función de su semieje mayor a y el aplanamiento f. Aplicar al caso del elipsoide de hayford o internacional en el que a= 6378.388m y f= 1/297. SOLUCION Sabiendo que:

Despejando b tendríamos: b =a(1-f) Además: √

√ √

Luego: √

√

√

Reemplazando valores obtenemos: b = 6356.91 e = 0.08199 0.08226

“Geodesia Fisica”, (1985) Weikko A. Heiskanen yHelmut Montz “Fundamentos de Geofisica”, (1986) A. Udias yJ Mezcua “Geodesia Matematica”, (2000) Juan Mena Berrios “Calculo Superior y Teoria del Vector-Campo”, (1969) Kathleen M. Urwin hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gpot.html

101

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

En este trabajo estudiaremos el tema de la forma de la tierra desde el punto de vista físico. Para ello, se empezará introduciendo el concepto de geoide, concepto que se encuentra íntimamente relacionado con el estudio del campo de gravedad de la tierra, y por tanto, con la determinación del potencial de la gravedad sobre su superficie y en su espacio exterior. Realizaremos un estudio básico que permita definir la gravedad, el potencial de la gravedad, y el geoide. Para ello, recordaremos primero, primero algunas nociones elementales sobre teoría vectorial de campos.

Figura 4.1 GEOIDE: FORMA DE LA TIERRA

102

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

2.1 FUNCIÓN VECTORIAL Es una función que asigna una dirección, sentido y magnitud a cada punto de una región del espacio tridimensional. Un ejemplo de función vectorial puntual sería la velocidad, en cada punto, de un volumen de fluido en movimiento.

Figura 4.2 Función vectorial

2.2 CAMPO VECTORIAL Un campo vectorial para una región se define de la siguiente manera: ⃗⃗⃗ vectorial, correspondiente a los puntos El valor de ⃗⃗⃗

es una función

de una región

, es independiente del sistema de referencia utilizado. Si se efectúa un

cambio de dirección en los ejes de referencia, variaran las componentes de ⃗⃗⃗

, pero la

dirección sentido y magnitud de V permanecen invariantes en el espacio. Así, la velocidad del fluido es independiente de que rotemos o no la referencia.

103

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Figura 4.3 Campo vectorial

FUNCION ESCALAR

Una función escalar puntual es una función, que a cada punto de la región del espacio tridimensional, le asignamos un valor definido. Por ejemplo, la temperatura en cada punto del espacio, es una función escalar. Si definimos un sistema de referencia x,y,z a cada punto (x,y,z) le corresponde una temperatura determinada. Si Φ(x,y,z) es un función escalar, correspondiente a los puntos (x.y.z) de una región se dice que a sido definido un campo escalar para dicha región. El valor Φ(x,y,z)

es independiente del sistema de referencia utilizado. Por ejemplo, la

temperatura de cada punto es independiente de las regiones y origen de los ejes elegidos La ecuación Φ(x,y,z)= c , En la que c es una constante tridimensional, representa una superficie, es decir, los puntos de una región para los que una función escalar Φ(x,y,z) toma un nvalor c, esta sobre una misma superficie. A las superficies Φ(x,y,z) = c , a lo largo de las cuales el campo escalar es constante, se les llama superficies de nivel o superficies equipotenciales del campo.

Si la función Φ(x,y,z) es derivable, sus tres derivadas

Φ

Φ

Φ Interpretadas como

componentes de un vector, definida en cada punto el vector llamado gradiente del campo escalar Φ es decir:

Se suele escribir también ∇ Φ, designando con letra, ∇ (nabla) el operador.

104

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Sea Φ(x,y,z) una superficie. Tomemos dos puntos P(x,y,z) y Q(x+dx,y+dy,z+dz) sobre una superficie, de forma que estén en un mismo entorno. Como Φ(x,y,z)= c es constante, por ser una superficie, su diferencial será nula. dΦ = 0 por tanto:

De aquí se deduce que los vectores

Son perpendiculares ya que su producto escalar dΦ es nulo, el vector PQ es precisamente Por tanto

es perpendicular a

PQ. Si ahora Q se aproxima a P, el vector PQ tiende a convertirse en el vector tangente a la superficie en P, de ahí que el vector

es un vector normal a la

superficie en P, Se puede afirmar El vector gradiente de un campo escalares, en cada punto, perpendicular a la superficie de nivel que pasa por él, e indicara la dirección de máxima variación del campo.

Dado un campo vectorial definido por tres componentes Ax (x, y, z), Ay (x, y, z), Az (x, y, z) que son funciones uniformes y derivables:

 A  Ax ( x, y, z) xˆ  Ay ( x, y, z) yˆ  Az ( x, y, z) zˆ

105

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Se define rotacional del campo vectorial mostrado al vector resultante de realizar el producto vectorial simbólico siguiente:

xˆ    A  x Ax

yˆ  y Ay

zˆ  z Az

   A  Ay    Ay  Ax    A  Ax   xˆ   z   zˆ   A   z    yˆ   z  z  y   x  y  x

De

manera práctica para obtener la rotacional de un campo vectorial se procede a esbozar las componentes mediante el siguiente diagrama:

x z

y

- Para hallar el componente en el eje X se realiza los siguientes pasos:

x

z

y

 Ay    Az   A    z  y

   Ay  Ax  Az    Ax  xˆ      yˆ   x  y  z   x

  zˆ 

- Para hallar el componente en el eje Y se realiza los siguientes pasos:

x

z

y

   A  Ay    Ay  Ax    A  Az   xˆ   x   zˆ   A   z    yˆ    y  z  z  x  x  y      

106

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

- Para hallar el componente en el eje Z se realiza los siguientes pasos:

x

z

y

   A  Ay    Ay  Ax    A  Az   xˆ   x   zˆ   A   z    yˆ    y  z  z  x  x  y      

Si

significa que las derivadas usadas de los componentes

entonces que existe un campo escalar U llamado potencial de conservativo de

, o que el campo

son iguales. Se dice

también llamado campo

puede deducirse, o procede, de un potencial escalar U.

Es decir:

   Si : rotV  0   U tal que : V  grad U    Si V  grad U  rotV  0

 rotV  0 La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial proceda de un campo escalar o función potencial, es que su rotacional sea nulo.

De acuerdo con la ley de Newton, dos puntos con masas m1 y m2 separados una distancia r1 se atraen el uno al otro con una fuerza representada por el vector:

107

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

→ →

| |

Figura 4.4

Esta fuerza está dirigida a lo largo de la línea que une ambos puntos. El factor G es la constante de gravitación de Newton cuyo valor es:

Si se conviene en hacer la masa atraída igual a la unidad, y se llama m a la masa atrayente, la fuerza ejercida por m sobre la unidad de masa a una distancia r será el vector:

→

⃗

→

{

}

| |

Por ser F irrotacional, es decir F=0 , existiría una función escalar potencial V tal que:

⃗ Si

⃗

∇

→ →

se puede comprobar fácilmente que

| |

A este campo escalar V se le llama Potencial Gravitatorio debido a la particula m extendiendo este concepto a la masa de la tierra, y suponiendo su volumen homogéneo, se estará hablando de Potencial Gravitatorio Terrestre.

108

A

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La fuerza centrífuga que actúa sobre un cuerpo de masa m, moviéndose con velocidad angular w con respecto a un eje de giro situado a una distancia p de él, es por tanto, la fuerza centrifuga fc que actúa sobre la tierra será:

⃗

⃗⃗

|⃗ |

Donde:

|⃗ |

√

w es la velocidad angular de la Tierra y p es la distancia al eje de rotación de la Tierra. Esta fuerza esta dirigida en la dirección del vector p (hacia afuera).

Figura 4.5

⃗⃗⃗

Por ser la fuerza fc irrotacional es decir

existe una función escalar potencial

tal

que:

⃗⃗

∇

El valor de este potencial es el siguiente:

ya que

∇

109

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

A este campo escalar , se le llama Potencial Centrifuga Terrestre.

La gravedad o interacción gravitatoria es una de las cuatro interacciones fundamentales, también origina la aceleración que experimenta un cuerpo físico en las cercanías de un objeto astronómico. También hemos visto que las fuerzas que actúan sobre la masa unidad en un punto fijo de la superficie terrestre que está considerada como una esfera homogénea en rotación y a una velocidad angular uniforme

, son la atracción gravitatoria

y la fuerza centrífuga

c,

esta

última debido a la rotación.

Figura 4.6 Fuerza de Gravedad

FUERZA GRAVITATORIA: = -G

FUERZA CENTRIFUGA: c

=

𝐹

𝑓c

𝑔 g

2⃗

La fuerza total resultante de componer la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga se llama gravedad .

110

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

⃗ = -G

+

2⃗

………. (3-3)

A la dirección de , se conoce con el nombre de dirección de la línea de la plomada o vertical física y a la magnitud |

| se le llama intensidad de la gravedad o aceleración.

Por ser las dos fuerzas componentes de la gravedad irrotacionales, es decir que el rotacional de sus potenciales son igual a cero, también lo es la gravedad, por lo tanto existe una función escalar potencial U tal que:

⃗ = ∇U A este campo escalar se le llama potencial de la gravedad o potencial gravifico y tiene por valor el de la siguiente expresión:

U=V+

=G +

2(X2+Y2)

Las superficies cuyo potencial de la gravedad U es constante U(x, y, z) = U0 = cte., se les denomina superficies equipotenciales de nivel o geopotenciales. Por ser la gravedad en un punto, el gradiente del potencial U en ese punto, resulta que su dirección es normal a la superficie equipotencial que pasa por él. Como las superficies de nivel son, por así decirlo horizontales por todas partes, comparten el fuerte significado intuitivo físico de la horizontal y comparten la importancia geodésica de las líneas de la plomada, puesto que son normales a ella. La superficie de los océanos, es parte de una superficie de nivel, después de una ligera idealización.

o UNIDADES DE GRAVEDAD

En el sistema internacional la gravedad viene expresada en m/seg 2 En prospección se utiliza la unidad gravimétrica 1 ug = 10-6 m/seg2 En el sistema c.g.s. se expresa la gravedad en la unidad utilizada en gravimetría 1 gal = cm/seg2(propuesta por galileo), también se utiliza el submúltiplo:

1 mgal = 10-3 gal La mayoría de las mediciones gravimétricas, se realizan mediante la determinación de diferencias de gravedad entre puntos; por ello en lugar del gal, suelen utilizarse para esta tarea unidades más pequeñas como el mgal y el µgal. La correspondencia entre ellos es:

111

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

mgal = 103 µgal = 10-3 gal = 10-3 cm/ seg2 = 10-5 m/seg2 = 10 ug

De las consideraciones efectuadas hasta el momento, entre las que se ha supuesto que la tierra es esférica y que gira sobre sí misma, se ha obtenido una expresión para el potencial de la gravedad. En estas condiciones, se puede demostrar que las superficies equipotenciales del campo o potencial de la gravedad son elipsoides de revolución. Si se utilizan valores teóricos para G, M y

, se obtendrán según (3-3), valores de la gravedad para cualquier punto, para el

modelo de tierra esférica. Así, se obtienen para las siguientes latitudes los siguientes valores teóricos de gravedad en m/seg2. = 90°

= 9,820 m/seg2

= 45°

= 9,803 m/seg2

= 0°

= 9,785 m/seg2

Si se comparan estos valores con los reales observados para los polos y el ecuador se aprecia una diferencia:

= 90° = 0°

= 9,830 m/seg2 = 9,780 m/seg2

Los valores g reales son mayores que los teóricos en el polo y menores en ecuador. Esta diferencia se explica por el hecho de que la tierra esta achatada en los polos y ensanchada en el ecuador, en consecuencia el radio polar es menor que el que se ha tomado para la esfera y el ecuatorial mayor, con el consiguiente efecto para la atracción gravitacional. Aunque en principio no lo parezca, la diferencia entre estos valores reales y teóricos, son excesivamente grandes. Esto es debido a que el modelo utilizado, el de la esfera, es el más simple, pero aun alejado de la realidad. Estas diferencias, se reducirán si se utiliza un modelo más próximo a la realidad física de la tierra, como es considerarla, con la forma de un elipsoide de revolución, con la misma masa m, y velocidad angular w. pues bien, al potencial de la gravedad correspondiente a estas condiciones se le llama potencial normal

Figura 4.7

112

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

Todas las superficies equipotenciales o de nivel, del campo normal así definido, son superficies de revolución achatada en los polos y simétrica con respecto al ecuador. Además, entre todas ellas se elige como superficie de referencia aquella que mejor coincide con el nivel medio de los océanos, la cual con un cierto margen de precisión responde a la ecuación matemática de un elipsoide de revolución. Por esta razón, las superficies equipotenciales del campo normal se conocen, en general como esferoides de nivel. Una vez obtenido el potencial normal y con él los correspondientes esferoides de nivel, se puede estudiar la llamada fuerza de gravedad normal que es el valor teórico de la fuerza de la gravedad Sobre las superficies de los esferoides. Esta magnitud que se define como el gradiente del potencial normal y se representa con el símbolo , es una magnitud vectorial, dirigida según las líneas de fuerza del campo normal, o sea, perpendicular en cada punto al esferoide de nivel que pasa por él. En la superficie del esferoide de referencia, aquella que se adopta como figura dinámica aproximada a la tierra, la gravedad normal se representa con

o,

y su dirección, traza en cada

punto, la recta normal a dicha superficie. En 1929, el geodesta italiano somigliana, obtuvo una expresión para la fuerza de gravedad normal, tomando como referencia para el campo normal de la tierra, un elipsoide revolución de semiejes a y b. así para un punto situado sobre el elipsoide a una latitud geodésica e

y

, y siendo

los valores de gravedad teóricos en el ecuador y en los polos del elipsoide,

respectivamente, dio la expresión:

o

=a

e

cos2

+b

sen2

/√

Existe otra variante de esta expresión, denominada formula de clairaut, en la que se introduce el parámetro de aplanamiento f del elipsoide, correspondiente al campo normal y otros dos β y βt, según las expresiones que se dan a continuación:

f=

β=

=

–f

βt =

f2 + fβ

Figura 4.8 Si se mantiene en el desarrollo del denominador, los términos de igual orden que el cuadrado f2 del aplanamiento elipsoidal, se obtiene la expresión de Clairaut.

113

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o = e (1+ βsen2

– βtsen22 )

, β y βt son

Esta última expresión es una relación teórica en la que los coeficientes

desconocidos. Para determinarlos, se realizan mediciones gravimétricas, observando el valor real de la fuerza de gravedad g, en una serie de puntos de latitud conocida y regularmente distribuidos Sobre la superficie de la tierra. De esta forma, se obtienen ecuaciones con tres incógnitas por cada observación:

gi = ge (1+ βsen2 i – βtsen22 i) Si se realizan n observaciones, se tendrá un sistema de n ecuaciones con tres incógnitas, que se resuelve por mínimos cuadrados. Así, se han obtenido varias expresiones para el cálculo de los valores normales de la fuerza de la gravedad o formula de cassini, que se adoptó en 1930 con Carácter mundial, por el congreso internacional de geodesia celebrado en Estocolmo y en la que basaron sus observaciones gravimétricas la mayor parte de los países de Europa y América. Las constantes a y f que intervienen en ella, son las correspondientes al elipsoide internacional:

o = 978.049(1+ 0,0052884 sen2

– 0,0000059sen2

) gal

Existen otras expresiones, que dan la variación de la gravedad normal con la altura h, en función del valor de la gravedad

o

del elipsoide de referencia. Para el elipsoide internacional

es:

h = o – (0,30877 – 0,00045sen2 ) h + 0,000072h2 gal

En principio la palabra GEOIDE significa” forma de tierra”, este término fue definido por primera vez por el matemático alemán Gauss hace unos 200 años, en segundo instante definiendo la palabra geoide desde el punto de vista fundamentado en la ciencia Geodésica viene a ser: una superficie de nivel que representa al nivel medio del mar, la cual se prolonga por debajo de los continentes y cubre a la Tierra en su totalidad. Puede ser imaginada como la superficie del mar en condiciones ideales de quietud y es en todo punto perpendicular a la línea de plomada o

114

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

dirección de la gravedad. El geoide es un modelo físico que busca representar la verdadera forma de la Tierra calculándola como una superficie del campo de gravedad con potencial constante y es utilizada como referencia para determinar la elevación del terreno.

Ubicación del geoide con respecto de la superficie topográfica y el elipsoide geodésico de referencia.

Figura 4.9

o

UTILIDAD EL GEOIDE

La utilidad principal del geoide es establecer la superficie de referencia de la altura ortométrica, conocida también como altura sobre el nivel medio del mar y se aplica en trabajos de ingeniería topográfica, cartografía, GPS aerotransportado, apoyo terrestre para fotografía aérea y como un insumo para la generación de modelos digitales de elevación. Combinando información de un modelo de alturas geoidales con alturas geodésicas obtenidas mediante técnicas de posicionamiento satelital es posible obtener alturas ortométricas de cualquier punto sobre el terreno. La cual pasaremos a detallar en el siguiente ítem.

La manera de transformar el valor de altura geodésica (h) que proporciona un receptor GPS en un valor de altura ortométrica (H), es mediante la resta del valor de altura geoidal o ONDULACION DEL GEOIDE(N) dada por un modelo digital de elevación geoidal. Ahora bien si nosotros queremos hallar la Ondulacion del Geoide simplemente despejamos N en función de H y h.

115

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

P

Q

Figura 4.10 Altura Ortométrica(H), Geodésica(h) y Geoidal(N)

H=h–N

N=h–H

Donde: H :Valor de Altura ortometrica. h : Valor de Altura geodésica. N : Valor de Altura geoidal o Ondulación del Geoide.

o

PROYECCION DE PIZETTI

Se proyecta primero el vértice P sobre el geoide a lo largo de la línea de la plomada (ligeramente curvada) quedando la proyección en sobre el elipsoide referencia quedando el

.Este punto se proyecta nuevamente

.

116

INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o PROYECCION DE HELMERT Consiste en proyectar el punto P, desde la superficie física de la tierra directamente sobre el elipsoide de referencia, según la recta normal elipsodica, obteniendo asi el punto Q.

El conocimiento de la verdadera forma de la tierra y de los Sistemas de Referencias, ha sido el desvelo de topógrafos, geómetras y geodestas, desde 5.000 años A.C y hasta nuestros días. La parte teórica del problema general de la figura de la Tierra consiste en el estudio de las superficies de equilibrio de una hipotética masa fluida, sometida a las acciones gravitatorias y a un movimiento de rotación. Por una parte habrá que efectuar numéricamente una comprobación de que las formas teóricas que se establezcan sean compatibles con la realidad, y por otra, a partir de la observación, habrá que calcular los parámetros que definan su forma y sus dimensiones de la tierra.

o

LA GEODESIA CLÁSICA

Suponía en sus consideraciones teóricas que sus objetivos, forma de la Tierra, posiciones de puntos de su superficie y campo de gravedad no variaban con el tiempo salvo por el efecto periódico de marea. La Geodesia clásica trata de resolver el problema de la figura de la Tierra siguiendo el proceso siguiente: Determinación de un elipsoide de revolución como figura aproximada de la Tierra. Determinación del geoide sobre este elipsoide dando sus ondulaciones o cotas del

geoide

sobre el elipsoide. c)

Determinación de las posiciones de puntos de la superficie topográfica terrestre con relación a la superficie del geoide mediante nivelación.

o LA GEODESIA MODERNA Ha llegado a un estado de desarrollo tal que la precisión alcanzada nos dice que, como indica la teoría, ya no pueden seguirse considerando invariables los objetos de estudio.

En la seguridad que la verdadera forma de la tierra es física y no geométrica, al final del siglo XIX, se vio marcado por los grandes trabajos de mediciones de arcos de meridianos, realizadas por los geodestas junto con los astrónomos, para determinar los parámetros de un elipsoide que más y mejor se aproxime a la forma física de la tierra.

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La verdadera forma de la tierra es un Geoide, la cual no se define geométricamente sino que físicamente. La figura geométrica que más se asemeja a la verdadera forma de la tierra es el elipsoide de revolución.

Figura 4.11

(1) la superficie de los océanos. (2) el elipsoide. (3) la dirección de la plomada. (4) los continentes. (5) el geoide.

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Figura 4.12 Geoide

o MÉTODOS DE LOS ARCOS Desde tiempos inmemoriales se idearon métodos para conocer la figura de la tierra, mediante el cálculo del perímetro y radio de la esfera terrestre, a base de obtener medidas de arcos y ángulos por ellos subentendidos desde el centro de la tierra. En los dos últimos siglos, conociendo que la tierra esta achatada por los polos, se invirtieron grandes esfuerzos en determinar la forma del elipsoide mas adecuado a la forma real de la tierra. Para ello, y con la misma idea, se realizaron observaciones de longitudes S de arcos entre dos latitudes conocidas mediante observaciones astronómicas de forma que era posible conocer el ángulo correspondiente a dicho arco mediante la diferencia de latitudes ∆ᵩ entre ambos. Con S - ∆ᵩ. P, si se realizan n observaciones de arcos S, y ᵩ es la latitud media entre los puntos considerados, se tendrán n parejas de datos (p1, ᵩ1) (p2, ᵩ2),……….. (p n, ᵩn). De esta forma, es posible establecer un sistema de ecuaciones sobre dimensionados de n ecuaciones. Una cosa quedó clara después de los trabajos de Snellius y Picard y es que con medidas de ángulos y distancias podían obtenerse posiciones de puntos sobre la superficie de la Tierra. Pronto proliferaron, debidas principalmente a necesidades cartográficas con fines militares, civiles y de navegación, las invenciones de nuevos instrumentos de observación y se perfeccionaron los teodolitos para la medida de ángulos. Basado en la medición de un arco de meridiano, como lo que realizó Eratóstenes en su época. Posteriormente se ha perfeccionado y lo que se miden son cadenas de triángulos en el sentido del meridiano, que permiten compensar errores. Es el método que permitió determinar la forma elipsoidal de la Tierra (P. Picard, Cassini, La Hire). Posteriormente utiliza por geodestas como Delambre, Mechain, para definir elipsoides.

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Figura 4.13 Esquema del método de los arcos

o

MÉTODO DE LAS ÁREAS

Uno de los métodos que más importancia ha tenido en Geodesia para determinar el elipsoide terrestre ha sido el método de las áreas introducido por Hayford en el año 1909, y que después ha tenido grandes aplicaciones. El método está basado en la utilización de las desviaciones relativas de la vertical; que, como sabemos son, en cada punto, el ángulo formado por la vertical física y la normal al elipsoide de referencia. Ahora bien, estas desviaciones deberán referirse al geoide, por lo que habrán de estar corregidas teniendo en cuenta la influencia que sobre la dirección de la vertical tienen las desviaciones locales definidas por la topografía del terreno, además de la hipótesis admitida de compensación isostática, así como la profundidad de compensación. Entonces el método de las áreas nos dará como resultado: la profundidad de compensación isostática según la hipótesis admitida y las dimensiones del elipsoide que mejor se adapte al geoide. Consiste en calcular las coordenadas astronómicas y geodésicas de varios puntos de la Tierra. Esto equivale a disponer de las verticales y por tanto la desviación relativa de la vertical, con respecto a una serie de elipsoides. Con ello se podría determinar el elipsoide que mejor se ajustara a esta zona de la Tierra. Este fue el método que empleó Hayford y otros geodestas (Krassovski, etc.) para determinar sus elipsoides. El comienzo de la Geodesia moderna lo marcan los trabajos de Helmert, quien utilizó por vez primera el método de superficies, En 1909 el geodesta norteamericano Hayford con datos de la red geodésica de los Estados Unidos y aplicando el método de las áreas con la hipótesis.

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Figura 4.14 DESVIACIÓN DE LA VERTICAL

Figura 4.15 SISTEMA GEODESICO

o

MÉTODO GRAVIMÉTRICO

Para la determinación del geoide y del campo de gravedad de la Tierra se necesitan medidas de la gravedad, estas se obtienen con los instrumentos y métodos propios de la gravimetría Estudio de la gravitación terrestre y medición de sus variaciones en los diversos lugares. Se obtienen medidas de la gravedad tanto en zonas continentales como oceánicas. Se utiliza el péndulo, el gravímetro y el péndulo de Veining-Meisensz para zonas submarinas.

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A partir de las medidas se utilizan métodos de cálculo como la fórmula de Stokes, o la transformada rápida de Fourier (FFT). Los elipsoides del WGS-84 y el IERS - 89 han sido obtenidos con este método. Los instrumentos empleados para realizar mediciones de la gravedad se denominan gravímetros o gradiómetros. La mayor parte de los gravímetros emplean resortes cuyo efecto se opone a la fuerza de gravedad que actúa sobre una masa. Existen dos clases de gravímetros: Gravímetros absolutos: Permiten conocer el valor de g directamente mediante la determinación de una longitud y/o un tiempo. Los primeros instrumentos absolutos fueron de tipo pendular, actualmente son de caída libre. Gravímetros relativos: Estos instrumentos únicamente permiten conocer la diferencia relativa de g entre dos puntos o entre dos tiempos. El período de oscilación resulta:

  Φ2  g 0 T  2π 1   ...   l  16   

GRAVÍMETRICO

Figura 4.16

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

-

“Geodesia y Topografía”, (2006) Jose Manuel Millan Gamboa

-

“Geodesia Fisica”, (1985) Weikko A. Heiskanen yHelmut Montz

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“Fundamentos de Geofisica”, (1986) A. Udias yJ Mezcua

-

“Geodesia Matematica”, (2000) Juan Mena Berrios

-

“Calculo Superior y Teoria del Vector-Campo”, (1969) Kathleen M. Urwin

-

www.publicacions.ub.es/liberweb/astronomia_esferica/...1/2_4.htm

-

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/gpot.html

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

La determinación de coordenadas de los puntos de la superficie terrestre, toma como punto de partida el establecimiento previo de un sistema de referencia accesible al observador, que sirva de base a las medidas. Así, se introduce uno de los problemas fundamentales de la geodesia, al igual que ocurre en astronomía. La falta de accesibilidad directa a un supuesto sistema de coordenadas, solidario con el globo terrestre, obliga a efectuar medidas y transformación d coordenadas, basadas sustancialmente en datos astronómicos, por lo que se produce un inevitable enlace entre ambas ciencias. En general, los sistemas de coordenadas más utilizados, astronómico y geodésico, pueden ser a su vez, topocéntricos o geocéntricos, según que el origen del sistema se sitúe en algún punto de la superficie terrestre o en el centro de la tierra. Por tanto, es conveniente estudiar los tres sistemas de referencia fundamentales utilizados en geodesia. Estos son los sistemas de coordenadas astronómicos o naturales, los sistemas de coordenadas geodésicos y los sistemas de coordenadas cartesianos.

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El sistema de coordenadas astronómico es un sistema de referencia que se caracteriza porque se define dentro de los parámetros del campo de gravedad de la tierra. Por ello, también recibe el nombre de sistema de coordenadas natural. Es el sistema propio y natural bajo el cual se realizan las observaciones del campo. Este sistema de referencia astronómico puede ser geocéntrico o topocéntrico:

o SISTEMA GEOCENTRICO ASTRONOMICO. Consideremos la superficie real de la tierra y sobre ella, un punto A cualquiera. Establezcamos un sistema de referencia geocéntrico OXYZ, de forma que O es el centro de gravedad terrestre, el eje OZ es el eje instantáneo de rotación, el plano OXY, perpendicular a OZ, recibe el nombre de ecuador astronómico, y el plano OXZ es el correspondiente al meridiano de Greenwich. Si se considera la dirección de la vertical o línea de la plomada, en el punto A, y se prolonga esta dirección hasta el plano ecuatorial OXY, se observa que lo corta en un punto cualquiera P, que no tiene por qué pertenecer a la recta OE. Si se realiza la proyección ortogonal de A, sobre el plano ecuatorial OXY, se obtendrá el punto A’. Se denomina meridiano astronómico de un punto A, a el plano determinado por la dirección AP de la vertical en A y la paralela al eje de rotación OZ que pasa por A. en el plano APA’ de la figura. Asi se definen: Latitud astronómica ( ): de un punto A, es el ángulo medido sobre el meridiano astronómico de ese punto, que forma la prolongación de la línea de la plomada de A con el ecuador astronómico o plano ecuatorial OXY. Se cuenta de 0° a 90°. Se toma en sentido positivo desde el ecuador hacia el norte y en sentido negativo hacia el sur. Longitud astronómica ( ): de un punto A, es el ángulo medido sobre el ecuador astronómico o plano ecuatorial OXY, que forman el meridiano de Greenwich con el plano meridiano de A. Se cuenta de 0° a 180°. Se toma en sentido positivo hacia el este y en sentido negativo hacia el oeste.

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FIGURA 5.1.

Se puede introducir una tercera coordenada natural que permita distinguir entre puntos de distinta altitud y que siga manteniendo el sentido físico de estas definiciones: Altura ortométrica ( ): es la distancia, medida a lo largo de la vertical física, desde el geoide hasta el punto considerado A. se mide en metros. Se define numero geopotencial C de un punto A, a la diferencia entre el potencial de la gravedad y el geoide. Se mide en unidades de trabajo

o SISTEMA TOPOCENTRICO ASTRONOMICO. El sistema de referencia topocéntrico astronómico, se utiliza para obtener coordenadas de un punto con relación al observador. Los puntos observados desde el, pueden ser otros vértices de los que se quieren conocer sus coordenadas, o un astro. Para las definiciones que siguen se consideran este último caso. Para definir un sistema de referencia local o topocentrico en un punto A de la superficie terrestre, se hará coincidir la recta fundamental Az, con la dirección de la vertical o línea de la plomada en A. es la línea AP.

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

El plano xy coincidirá con la horizontal de A, y queda determinado en la dirección perpendicular a la vertical en A. el plano yz es el meridiano del lugar, de forma que la dirección coincida con el norte. Sea E un astro cualquiera, se define vertical del astro E a el plano que contiene a la línea vertical y al astro. Es el plano AE. En estas condiciones se definen: Distancia cenital ( ): de un astro E desde un punto A, es el ángulo, medido sobre la vertical, que forma la vertical del punto A y la visual desde el punto al astro. Se mide de 0° a 180°. Acimut astronómico ( lugar

): es el ángulo medido sobre la horizontal

, que forma el meridiano de

(norte) y la vertical del astro. Se cuenta de 0° a 360° desde el norte, y hacia el este en

sentido positivo. De la figura se puede deducir, de forma directa, las coordenadas del punto E, expresadas según la referencia cartesiana. Estas son:

FIGURA 5.2.

( )

(

)

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

o

SISTEMA DE COORDENADAS GEODESICO

Se ha estudiado que la superficie matemática que más se aproxima a la forma real de la tierra es la de un elipsoide de revolución achatado en los polos. Su máxima desviación con el geoide, en el sentido vertical, es de +- 30m. El sistema de coordenadas geodésico, toma como referencia este elipsoide, de forma que a cada punto de la superficie real de la tierra, le corresponde un punto sobre el elipsoide, que es el que define sus coordenadas. Esta correspondencia se realiza según la proyección de Helmert, es decir, según la recta normal episódica que pasa por el punto considerado. Las coordenadas geodésicas pueden tomar un sistema de referencia geocéntrico o topocentrico.

3.1 SISTEMA GEOCENTRICO GEODESICO

Se define plano meridiano del lugar, (ver figura), al plano formado por la normal episódica en un punto y el semieje menor del elipsoide. Si A es un punto cualquiera situado sobre la superficie real terrestre, se define:

FIGURA 5.3.ELIPSOIDE

-

LATITUD GEODÉSICA(ϕ).- Generalizando la definición dada en el tema dos, se define como el ángulo medido sobre el plano meridiano del lugar, que forma la normal al elipsoide que pasa por el punto A, con el plano ecuatorial del elipsoide. Se cuenta de 0° a 90°. Son positivas hacia el norte y negativas hacia el sur.

-

LONGITUD GEODÉSICA (λ).- Es el ángulo medido sobre el plano ecuatorial, que forma el plano meridiano origen (greenwich) y el plano meridiano del lugar. Se cuenta de 0° a 180°. Son positivas hacia el este y negativas hacia el oeste

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INTRODUCCIÓN A LA GEODESIA SATELITAL

-

ALTURA ELIPSOIDAL (h).- Es la distancia que separa el punta A, sobre el superficie terrestre, de la superficie del elipsoide, medida a lo largo de la normal al elipsoide que pasa por el punto A considerada. Es la distancia AQ.

FIGURA 5.4.PORCION DE ELIPSOIDE

FIGURA 5.5. SISTEMA DE COORDENADAS GEOCENTRICO GEODESICO

3.2 SISTEMA TOPOCÉNTRICO GEODÉSICO Es un sistema de coordenadas que tiene al origen al observador en A, se utiliza para obtener coordenadas de otro punto B, respecto del observador. La recta fundamental (eje AZ) es la normal al elipsoide que pasa por el punto A, (ver figura). Esta normal coincide con la normal AQ de la figura anterior. El eje X se orienta según el vertical primario, y el Y, según el meridiano. El

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plano XY se llama horizonte geodésico y es paralelo en A, al plano tangente al elipsoide, en el punto Q del elipsoide representado en la figura anterior. Así se define: -

DISTANCIA CENITAL GEODÉSICA (Z).- Es el ángulo que forma la normal que pasa por el punto origen A y la visual a otro punto B. se mide de 0° a 180°.

-

AZIMUT GEODÉSICO (Ag).- Es el ángulo medido sobre el horizonte geodésico, que forma la dirección Y (norte) y la del punto visado. Se cuenta de 0° a 360° y hacia el este.

FIGURA 5.6. SISTEMA TOPOCENTRICO GEODESICO

o SISTEMA CARTESIANO GEOCENTRICO

Una vez establecidas las coordenadas geodésicas geocéntricas, definamos el sistema de coordenadas cartesiano geocéntrico o terrestre, y la relación existente entre ambos sistemas. La referencia cartesiana geocéntrica queda definida por los ejes cartesianos rectangulares XYZ. De la figura, cuyo origen O es el centro del elipsoide, que se supone próximo al geocentro de la tierra. Estos tres ejes quedan definidos de la siguiente manera: .EJE Z.-Paralelo al eje de rotación terrestre. .EJE X.-Perpendicular al eje Z, determinado por la intersección del ecuador terrestre y el meridiano de Greenwich. .EJE Y.-Perpendicular al plano XOZ, formando un triedro recto.

Las coordenadas de cualquier punto sobre la superficie terrestre, quedan determinadas por las tres coordenadas XYZ. Que miden las distancias del punto considerado, a los tres ejes de

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coordenadas, tal como se muestra para un punto genérico A como el de la figura. Atendiendo a la misma figura, determinemos la relación existente entre el sistema de coordenadas episódicas geocéntrico y el sistema de coordenadas cartesianas geocéntrico: Sea un punto A sobre la superficie terrestre separado un altura h de la superficie del elipsoide, y Q su proyección sobre el. Los ángulos Φ y λ son la latitud y longitud geodésicas del punto A, que son las mismas que las del punto Q. Consideremos el radio vector r, con origen en O, que determina el punto A, y el radio vector q, con el mismo origen, que determina Q. Si n es un vector unitario en la dirección de la normal episódica, se puede deducir de la fig. Que se verifica:

⃗

⃗⃗

⃗

⃗

Las componentes de los vectores q (la coordenada Z se obtiene empleando la formula (2.16)) y n son las que se expresan a continuación:

⃗

[

]

[

]

⃗

[

]

Por tanto, las coordenadas del punto A, definido por el radio vector r, vendrán dadas por:

[

]

[

] →

[ ]

[

]

La operación inversa, obtención de las coordenadas elipsoidales a partir de las cartesianas, es posible, pero el cálculo no es tan inmediato y se resuelve únicamente por iteración. El sistema converge rápidamente siempre que h