• Author / Uploaded
• JohanN.Pérez

• Categories
• Exponenciación
• Notación Matemática
• Álgebra
• Teoría de los números
• Análisis matemático

Citation preview

LEYES DE EXPONENTES 

POTENCIA DE EXPONENTES ENTERO

Potenciación

𝑎𝑚

Exponente

𝑎𝑛

= 𝑎𝑚−𝑛 ; ∀𝑎 ∈ ℝ − {0}; ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ

(a.b)m = 𝑎𝑚 . 𝑏 𝑚 ; ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; ∀𝑚 ∈ ℕ

𝑥𝑚 = n

𝑎

( 𝑏 )m =

base Potencia Donde: a € IR p € IR n € IN

𝑎𝑚

; ∀𝑎 ∈ ℝ; ∀𝑏 ∈ ℝ − {0}; ∀𝑚 ∈ ℕ

𝑎𝑚

Radicación Índice

Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, multiplicando un factor denominado base, tantas veces como lo indica un elemento llamado exponente. Exponente natural

𝒂𝒏 = {

a; si: n = 1 𝑎 … 𝑎 … . 𝑎; 𝑠𝑖: 𝑛 ≥ 2 “n” veces

𝒏

√𝒂 = 𝒃 Raíz

Cantidad subradical

Sea un número real “a” y un número natural “n” mayor que uno “b” se llama raíz enésima 𝑛 de “a” y se denota: b= √𝑎 solo si 𝑏 𝑛 = a, bajo la condición de que si “n” es par, entonces a > 0 y b > 0. Exponente fraccionario 𝒎

𝒏

𝒏

𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎 = √𝒂𝒎 ;

Ejemplo:

𝒎 𝒏

∈ℕ

Teoremas 𝑛

𝑛

1. exponente cero

𝑎0 = 1 ; ∀ a € ℝ −

𝑛

𝑛

√𝑎. 𝑏 = √𝑎. √𝑏

5 veces

𝑛

𝑎

√𝑏 =

{0}

2. Exponente negativo

𝒏 𝒎

√𝑎

𝑛

√𝑏

√ √𝒂 =

𝒎

;b ∈ ℝ- {0}

𝑛𝑛.𝑚

𝒏

√𝑎

√𝒙 √𝒚 𝒑√𝒛 = 𝒎√𝒙.

𝒎.𝒏

√𝒚.

𝒎𝒏𝒑

√𝒛

1

𝑎−1 = ; ∀ 𝑎 ∈ ℝ − {0} 𝑎

3. Teoremas 𝑎𝑚 .𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 ; ∀ 𝑎 ∈ ℝ; ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑚 )n = 𝑎𝑚𝑛 ;∀ 𝑎 ∈ ℝ; ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ

Ecuaciones exponenciales Es aquella donde la incógnita se encuentra únicamente en el exponente. Teorema Si ax= ay ⇒ 𝑥 = 𝑦; 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 Si ax= bx ⇒ 𝑥 = 0; ∀ 𝑎 ≠ 𝑏; 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ − {0}

Ecuaciones trascendentes OJO:

Es aquella donde la incógnita se encuentra en la base y el exponente.

1

Es una excepción a la regla

Propiedad 𝒙

𝑋 … = n → 𝑥 = √𝑛; 𝑥 ≠ 0

𝒚

𝒙 = 𝒚 → 𝒙 = 𝒚; 𝒙𝒚 ≠ 0

TRABAJO EN CLASES Integral 1. Calcula: −2

E = 162

−1

÷ 273

2. Calcula: 1 1 -3

2 -2

4 -1

R= [( ) + ( ) + ( ) + 3 5 23

1 -1 (10) ] 2

3. Simplifica: 2

E=

23 −2 (−2)2 25 −1

PUCP 4. Calcula “X” en la ecuación: 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 112 Resolución: 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 112 2𝑥 (2 + 22 + 23 )= 112 2𝑥 . 14 = 112 2𝑥 = 8 ⇒ 𝑥 = 3 5. Calcular “X” en la ecuación 3𝑥 + 3𝑥+1 + 3𝑥+2 = 3159 6. Simplifica E=

1

(4)1/2 =(4)1/4

3𝑁+3 −3𝑛+1 72(3𝑛−1 ) 𝑥 𝑥

7. Si 25 + 4 = 2. (10)x calcular: A= (𝑋 − 2)(𝑋−4)(𝑋−2)

UNMSM 8. Resuelve 1

314 −3𝑛+4 8

(

3𝑛 −9

) =3

Resolución: 14

1 8

𝑛+4

3 −3 [( 𝑛 3 −9

8

] =[3]8 ⇒

)

314 −3𝑛−4 3𝑛 −9

= 38

⇒ 314 − 3𝑛+4 = 38 (33 − 32 ) ⇒ 314 − 3𝑛+4 = 3𝑛+8 − 310 ⇒ 314 − 310 = 3𝑛+8 − 3𝑛+4 ⇒ 310 (34 + 1)= 3𝑛+4 9. Calcula la suma de cifras de “n” si 1

715 −7𝑛 ( 𝑛−4 3 )8 7 −7

=7

10. Calcular a+b si “X” es un numero positivo tal que: 3

4

√𝑥 3 √𝑥 2 √√𝑥 = 𝑥 (𝑎)

−1

7(3𝑏−1 ) 9𝑏+1 −2.32𝑏

= 310

11. Si x y = 2 (donde x > 0), calcula el valor de la expresion: 𝑥 −𝑦

𝑦 (4𝑥 ) .

𝑦 y

-y

(𝑥 𝑥 ) + (𝑥 2 )

2𝑥 2𝑦 −6𝑥 −𝑦

TAREA 1. calcula : −2

−1

E = 812

÷ 273 1

1

814 ÷ 273 3

4

√81 ÷ √27

3÷3 =1 2. Calcula:

R=

1 1 −2 [( ) 36

1 8 3 −

+( ) +( ) 27 2

1

1 27 [362 . ( )3 +

8

2

22 ]

3

1 2

[ √361 − √27 + 4] 1

3 2 [6 − + 4] 4 1

10 3 2 [ 𝑥 ] 1 2 1 2

1

-2

20 − 3 √17 [ ] = 2 2

1 2

]

1 2

3. Calcula: -2

2

𝐴=

(3−2 ) + (32 )− 23−4 −1 (27 ) +3−2

3−4 + 3−4 − 2. 3−4 2−7 + 3−2 3−4 (1 + 1 − 2) 𝐴= 3−2 . 2−7 A=

3−2 (0) 2−7

=

0 8−7

=0

4. Calcula el valor de 2(n+3) si “n” es un numero entero. 𝟓𝒏+𝟏 + 𝟓𝒏+𝟐 𝟓𝒏+𝟑 + 𝟓𝒏+𝟒 = 𝟕𝟖𝟎 𝟓𝒏 ( 𝟓 + 𝟓𝟐 + 𝟓𝟑 + 𝟓𝟒 ) = 𝟕𝟖𝟎 5𝑛 . 780 = 780 5𝑛 =

780 = 5𝑛 = 1 780

2(n+3) = 2(0+3) = 6 PUCP 5. Simplifica A=

A=

𝟐𝒏+𝟓 +𝟐𝒏+𝟐 𝟕𝟐.𝟐𝒏−𝟐 𝟐𝒏 .𝟐𝟓 +𝟐𝒏 .𝟐𝟐 𝟐𝟑 .𝟑𝟐 .𝟐𝒏 .𝟐−𝟐

A= 2

⇒ A=

𝟐𝒏 (𝒏𝟑 +𝟐𝟐 ) (𝟑𝟐 .𝟐𝒏 )

=

𝟑𝟐+𝟒 𝟐.𝟗

=

𝟑𝟔 𝟏𝟖

6. Si 𝟗𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟐(𝟑𝟎)x Calcula A= (x-3)

(x-2)(x-1)

(32 )x -2 (30)x +(102 )x =0 (3𝑥 )2 -2 (3.10)x +(10𝑥 )2 =0 (3𝑥 − 10𝑥 )2 =0 3𝑥 = 10𝑥 = x =0 7. Determinar el conjunto solución: (25 )

(25 )

(25 )

𝑥3 𝑥3

𝑥3

= 3226 . 25

= 25

26

= 25

27

1

. 25

𝑥 3 = 27 3

X= √27

x=3

8. Si

𝒙

𝒙𝟓

𝟐−𝟏

√3

(𝑥 𝑥 )

= √𝟓 Determina (𝒙−𝟐 ) √3

= √5

(𝑥 √5 ) 𝑥√5=√5

√5

√5

√5

𝑥 √3 = √5 √5 -(𝑥 −2 )

−2 2 1 1 =(𝑥 √5 ) = (√5) = 2 = √5

5

9. Calcular el valor de E. 3

√(√𝑋 3/5 .𝑋 3√𝑋 )

E=

4

√𝑋 3

3

4

3

4

2

( √𝑋 ) . ( √𝑋 ) . ( √𝑋 )

3

4√𝑋 3 𝑋 9/20 . 𝑋 3/4 . 𝑋 1/4 𝑋 3/4 9 20

1

9+5

4

20

𝑋 + =X

=

4 20

=𝑋=

17 10