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Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes

DERIVADAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA

CURSO: CALCULO DIFERENCIAL DOCENTE: VICTOR PAZCE MACUKACHI ELVIS MARTINEZ REYES ALUMNO: ROSAS VASQUEZ NABIL HEIDER CÓDIGO: 20190467G

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes 1. ¿QUE SON LAS DERIVADAS? En la Matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométrica mente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′.

2. ¿Para qué sirve entonces la derivada? La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones, etc. Cinemática  La derivada de la posición con el tiempo es la velocidad  La derivada de la velocidad con el tiempo es la aceleración Dinámica  La derivada del momento lineal con el tiempo es la fuerza  La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía (potencial, cinética, trabajo, etc). Geometría

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes La derivada del volumen es la superficie o área La derivada de la superficie es la distancia Electrostática  La derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de corriente Física de Materiales  La derivada de la masa con respecto a la longitud/superficie/volumen es la densidad  

3. Aplicación de la Derivada La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc. 4. Máximos y Mínimos Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función. Máximos y mínimos absolutos Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.  El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio. 

El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.

Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales. Máximos y mínimos relativos Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio. Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.  La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

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En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si: También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente.  La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si: También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente. Teorema de los valores extremos Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto. Este teorema confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como se calcula. Para calcularlos el procedimiento es el siguiente: 1. Derivar la función, obteniendo f ’(x). 2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0. Supongamos que las raíces de f ’ son {r1, r2,…,rn}. 3. Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calcula la imagen de las raíces ( f(r1) , f(r2) ,…, f(rn) ). 4. El máximo y mínimo absolutos de f serán:

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes Ejemplo Encontrar el máximo absoluto y mínimo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-1,5], tal que:

Aplicaremos el procedimiento del teorema de los extremos. 1. Derivamos la función, obteniendo: 2. Hallamos las raíces de la derivada:

3. Las imágenes de los extremos del intervalo y de las dos raíces son:

4. Por lo tanto, el máximo y mínimo absolutos de f serán:

Se han comparado cuatro imágenes de la función en cuatro puntos, los dos en los que el valor de la derivada es nulo (0, 1) y (3, -12,5) con los correspondientes a los extremos del intervalo (-1, -4,5) y (5, 13,5). Resultado: máximo absoluto en el punto (5, 13,5) y mínimo absoluto en el punto (3, -12,5). Los máximos y mínimos nos sirven para la optimización, y así resolver problemas que son muy comunes y que los arquitectos deben solucionar para lograr la máxima eficiencia. 5. Razones de cambio Al definir la derivada de una función y = f(x) en un punto fijo x0, se mencionó que

Donde ∆y = f(x) − f(x0) = f(x0 + h) − f(x0) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de las variables y & x, respectivamente. Refiriéndonos a estos incrementos podemos decir que: El incremento ∆y = f(x) − f(x0) = f(x0 + h) − f(x0), nos muestra el cambio que ha tenido la variable y El incremento ∆x = x − x0 = h, nos muestra el cambio que ha tenido la variable x.

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes De esto se desprende que el cociente h es una razón de cambio que nos muestra el cambio que ha tenido la variable y, cuando la variable x ha tenido un cambio ∆x. Es decir es una razón que compara el cambio de la variable y, con respecto al cambio de la variable x. O sea que, es una razón que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado por x0 & x0 + ∆x. Esto es, es la razón de cambio promedio de la función y = f(x) con respecto a x, a lo largo del intervalo con extremos x0 & x0 + ∆x. 6. Reglas Básicas de la derivación

La derivada es un límite, por lo tanto una aplicación en la vida diaria de la derivada seria también del límite. La derivada se utiliza mucho en la Ing. Industrial, para reducir costos al fabricar un producto, a esto se le llama Optimización. También es muy usada en administración y economía, para calcular razones de cambio cuando se tiene una función que indica algún crecimiento o decrecimiento económico. En el campo de la física viene muy acompañada de la integración. Sirve para el cálculo del trabajo o energía utilizada, cálculos de cargas en una superficie y en circuitos eléctricos. Las derivadas o diferenciales tienen demasiadas aplicaciones, son la base de la mayoría de las ingenierías, con las derivadas puedes resolver muchos problemas relacionados con la variación. Se puede por ejemplo determinar la velocidad con la que desciende el nivel de agua en un embudo, o el tamaño de la sombra proyectada desde por un faro o un edificio y otra infinidades de problemas que se pueden plantear y los que se deben dar solución. Ya en el campo de la arquitectura tenemos algunas aplicaciones: Las derivadas te permiten calcular cuestiones como velocidades y aceleraciones que van más relacionado con la ingeniería, pero también en la funcionalidad de una vivienda al poder calcular la cantidad de sombra que ha determinada hora del día puede presentar alguna sección de una casa o construcción, solucionar estos problemas y en base a los datos recogidos diseñar para hacer más cómoda la vida de las personas que la ocuparían.

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http://jebensarchitecture.eu/knowledgebase/cad-y-laarquitectura-organica/

Las derivadas se utilizan para las ocasiones en que las construcciones propuestas requieren de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas, cuando tengas que calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares. Estas formas irregulares se pueden solucionar usando la derivada, que viene a ser la tangente. Superficie paraboloide hiperbólica http://www.cadwork.com/indexL1.jsp?n eid=12635

En arquitectura se usan las derivadas para calcular los valores o puntos máximos y mínimos de una figura geométrica, es decir, para calcular la concavidad, convexidad, y así también los puntos de inflexión de una figura o también de una estructura. Museo Guggenheim Bilbao Tipo Regatta, de Arquitectura: Hotel Dubai. Tipo de Contemporánea. Arquitectura: Moderna-Futurista Recuperado de: http://es.wikipedia.org/wiki/ Museo_Guggenheim_Bilbao

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes Edificios Futuristas El edificio principal, es un faro y los edificios adjuntos simulan ser barcos. http://estructurassiglo21.blogspot.com

Tanto en arquitectura como en las ingenierías es indispensable tener un dominio en el cálculo. Hay muchas cosas que se pueden construir y diseñar, que resultan limitadas básicamente por las dificultades técnicas para la ejecución de las obras, pero si se hace el cálculo preciso en el tiempo indicado se podrá lograr el éxito en nuestros proyectos. 7. DERIVADAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en arquitectura. En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean las derivadas para determinar el límite en superficies irregulares; áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución es decir de cilindros, conos, etc. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial. Además las derivaciones se las utiliza para hallar máximos, mínimos, concavidad, convexidad, inflexiones de alguna figura geométrica. Superficie paraboloide

LOS MANATIALES

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes La forma que caracteriza esta construcción es la de una superficie conocida como paraboloide hiperbólico o "silla de montar"

8. Tipo de arquitectura. Se lo utiliza en todo tipo de arquitectura; tradicional y moderna. No hay excepciones desde la optimización de materiales y costes, la construcción de superficies cóncavas o convexas, resistencias de materiales, etc. 9. Aplicación de las Derivadas En la arquitectura se la utiliza en obras que necesiten un estudio más avanzado, ya sea por su pendiente o diseño el cual requiera cálculos matemáticos como es aplicar las derivadas. Cuando se desee calcular diferentes superficies que no sean planas, o diferentes diseños. Los Arquitectos pueden trabajar en conjunto con Ingenieros, los cuales también tienen vastos conocimientos sobre el cálculo avanzado. Éstos son problemas netamente técnicos, los cuales pueden ser necesarios. 10. Ejemplos de Construcciones Se usó la derivada para desentrañar las cónicas de las que están formadas. Pabellón Philips Expo 58

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes El Pabellón Philips para la Expo Universal del 58 en Bruselas, Bélgica, situado en un pequeño sitio al lado de la sección holandesa y lejos del centro de la feria, fue construido en un estilo arquitectónico inusual y nuevo para la época: la parábola hiperbólica. El diseño fue realizado por Le Corbusier con la colaboración del compositor griego Iannis Xenakis Principio estructural Aunque Xenakis fue el diseñador principal del Pabellón Philips, la arquitectura se originó con los conceptos generales de Le Corbusier. Su punto de partida para la estructura era una serie de planos curvados hiperbólicos parabaloides, generados matemáticamente a partir de líneas rectas, que formarían un recinto con forma de tienda para cubrir la planta en forma de estómago. Las paredes inclinadas propuestas por Xenakis para cubrir los planos hiperbólicos paraboloides satisfarían la idea de Le Corbusier de superficies alabeadas irregulares para la proyección de imágenes. La forma geométrica también cubrió los deseos de Le Corbusier para la racionalidad matemática, mientras que las espectaculares pistas y contornos del pabellón lo relacionaban con un lenguaje más expresionista. Sistema estructural

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes La estructura se realiza con un sistema estructural combinado de acero y hormigón armado. Los cables de acero pretensado se fijan a fuertes soportes de hormigón y los espacios entre ellos son cubiertos con delgadas placas prefabricadas. En los extremos, unos mástiles de acero envuelven los cables que traccionan la estructura. Las complejas formas del pabellón hicieron imposible construir una estructura de hormigón vertido convencional, la solución alcanzada por Xenakis y su ingeniero Hoyte Duyster, fue crear un sistema de paneles prefabricados de hormigón colgados en los cables de acero tensado. Debido a que los planos hiperbólicos paraboloides son generados por líneas rectas, el método de usar paneles prefabricados era fácil de implementar. La textura del material de revestimiento permite que sea enfocado según el movimiento de las formas hiperbólicas resultantes de una simple ecuación matemática y que cuelgan de las tres puntas de la carpa que encierra el pabellón. Catedral de Brasilia La catedral de Brasilia tiene 40 metros de altura y capacidad para 4 mil personas. La base del edificio es circular y de unos 60 m de diámetro. Su techo de cristal mate, comienza en la planta y cuenta con el apoyo de 16 columnas curvas. Su estructura circular evita la existencia de una fachada principal. Su nave estaba hundida a lo largo de 70 metros de diámetro, de manera longitudinal a pesar de la planta circular de la Catedral. Su interior está decorado con vidrieras. Cerca de la entrada hay cuatro estatuas conocidas como los Cuatro Evangelistas. Finalmente, en sus diseños, Niemeyer combinó técnicas y materiales modernistas con líneas curvas, y la libre utilización de reminiscencias del barroco brasileño. Estructura

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes La estructura hiperboloide está construida de hormigón, y parece que con su techo de vidrio se alzara abierto hacia el cielo. La estructura de la Catedral de Brasilia fue terminada el 31 de mayo de 1970 y se basó en los hiperboloides de revolución, en donde las secciones son asimétricas. La estructura hiperboloide en sí es el resultado de 16 idénticas columnas. Estas columnas, que tienen una sección hiperbólica y pesan 90 toneladas, representan dos manos moviéndose hacia el cielo.

Parques de diversión Se utilizan en la fabricación de parques de diversión, Se tiene que asegurar que los juegos mecánicos sean seguros, ya que estos deben contar con una infraestructura adecuada ya que muchos de estos son de caída libre, se requieren análisis de velocidad, inercia, razón de cambio instantáneo, etc. Ejm: montaña rusa (cuando tiene subidas y bajadas), arco de fuego, gusano, etc. Restaurante los manantiales El diseño inicia desde su planta octagonal partiendo de una bóveda formada por la intersección de ocho gajos provenientes del encuentro de cuatro paraboloides hiperbólicos, con cerca de 42.7m de diámetro, apoyos inscritos en un cuadrado de 30 m de lado y una altura en el centro de la construcción es de 5,8396m mientras que en los puntos más altos alcanza los 9,9332m. El conjunto se completa con algunos muros independientes a un costado en donde se encuentran ubicadas las áreas de servicios que son las cocina, sanitarios y un vestíbulo de acceso, cada elemento visible mostrando su individualidad, inmediato al acceso se ubica el estacionamiento para veinte vehículos aproximadamente. El Salón está totalmente cubierto sin embargo gracias a sus enormes ventanales de cristal formados por los paraboloides hiperbólicos con un diseño de herrería cuadriculada proporciona el abastecimiento de luz natural permitiendo una magnífica vista desde el interior hacia sus jardines. Desde su interior la planta libre de cualquier obstáculo permite apreciar claramente el dualismo de la estructura en una sola envolvente que parte de los cimientos en forma de muro elevándose hasta transformarse en la cubierta como un elemento único, y al centro de esta la unión formada por la intersección de los ocho gajos provenientes del encuentro de los cuatro paraboloides hiperbólicos concentrando la descarga del peso de la estructura en los apoyos de arranque que se encuentran remetidos en el borde externo de los paraboloides.

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes La primera impresión es que el labio de hormigón en cada uno de sus apoyos nunca toca la tierra y que se mantienen flotando. Además al estar constituida por superficies no desarrollables a pesar de de que se trataba de una forma repetitiva integrada por ocho elementos idénticos, no se uso la misma cimbra para todas, sino que se montó una sola para construirlas al mismo tiempo , esto se debe a que los elementos de la estructura no estaban diseñados para funcionar por separado, sino como conjunto creando un solo elemento, así de esta forma logró proporcionar mucho más rigidez. Con su ingenio y calculo hizo posible el eliminar la viga del borde concentrando la descarga del peso de la estructura en los apoyos de arranque que se encuentran remetidos en el borde externo de los paraboloides y que gracias a que se eliminó desde su exterior es posible apreciar el grosor de las láminas de hormigón, de tan sólo 4 cm, nada común para su dimensión. Para rigidizar las juntas, se colocaron vigas cuya sección era una V, de tal modo que no son visibles ni por el interior ni por el exterior. En los extremos, estas vigas se encuentran ancladas al suelo mediante zapatas con forma de paraguas invertidos. La ventaja de este tipo de cimentaciones, diseñadas por el propio Félix Candela, es que contienen la tierra de manera que no se hunden en el suelo, las zapatas fueron unidas entre sí mediante barras de acero, con el fin de soportar los esfuerzos laterales.

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11. EJERICICIOS DE APLICACIÓN

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes Optimización a) Un arquitecto está trazando parcelas iguales y rectangulares sobre el plano de un terreno para construir chalets de 200m2 de superficie. Según la legislación de la zona, entre el chalet y la valla de la parcela debe haber un margen de 3 metros en los lados verticales y uno de 10 metros en los lados horizontales. Calcular las dimensiones que deben tener las parcelas para que su área sea mínima. ¿Cuál será el área de una parcela? Solución Sean x e y las longitudes de los lados de la parcela (sin contar los márgenes), siendo x el lado horizontal. El lado horizontal de la parcela, x, más el margen lateral izquierdo y el margen lateral derecho mide

El lado vertical de la parcela, y, más el margen superior y el margen inferior deben medir

Como la superficie de la construcción debe medir 200m2 sin contar los márgenes,

De donde podemos obtener y en función de x:

La función área de la parcela es

Como x está en el denominador, tenemos que exigir que sea distinto de 0. Derivamos la función:

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:

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Representamos la recta real con los puntos críticos y el punto x=0 (ya que en x=0 la función no está definida):

Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo. Nosotros escogemos los puntos x=−8, x=−1, x=1 y x=8:

Sólo hay un mínimo y está en la parte de los reales positivos que es la que nos interesa (ya que la longitud debe ser positiva). Por tanto,

Para calcular las dimensiones de la parcela tenemos que sumar los márgenes. El lado horizontal de la parcela (con márgenes) mide

Y el lado vertical (con márgenes) mide

Luego las dimensiones de la parcela deben ser 45.8 x 13.75 metros y su área total es 629.75m2.

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes b) A un arquitecto se le pide diseñar una cubierta de vidrio de la forma

Siendo L la longitud del ancho del rectángulo y R el radio del extremo semicircular. El precio del cristal a medida con forma rectangular es de S/.90 por metro cuadrado. Sin embargo, el precio del cristal con corte circular viene dado por la función Coste(R)=150⋅R2 Calcular las medidas de la cubierta condición 1≤R≤2.

de 6m2 para que el coste sea mínimo bajo la

Solución La altura de la cubierta coincide con el diámetro del semicírculo:

El área de la parte rectangular es

Y el área del semicírculo es

Luego la fórmula del área total de la cubierta es

Como el área de la cubierta ha de ser de 6m2, tenemos que

De esta relación podemos aislar el producto hL:

Para calcular el coste de la parte rectangular tenemos que utilizar el área del rectángulo (porque el precio es por metro cuadrado). Su coste es

S/.90hL

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes En cambio, el coste del semicírculo es función del radio es

El coste total es

La derivada de la función es

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación:

La función f es decreciente en los negativos y creciente en los positivos. Por tanto, el coste de la cubierta será mínimo cuando R tome el menor valor (no negativo) posible. Luego el radio de la cubierta debe ser R=1m. Calculamos la altura y la anchura de la cubierta:

El coste de la cubierta es S/.548.62:

c) A un arquitecto se le pide modificar la ventana de un salón que presenta forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Se debe aumentar la luminosidad de la habitación. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima, si su perímetro es de 10 m.

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Si A es el área que deseamos que sea máxima y P es el perímetro de la ventana, entonces

Sustituyendo ahora en A:

A(x) es la función de la variable x que queremos maximizar. Derivando y hallando puntos críticos

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d) En una obra con aporte principal de la comunidad, se ha de construir un tanque para almacenamiento de agua para una escuela pública, con una base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque tiene un costo de $10 por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del material? Las variables en el problema son las dimensiones del tanque y el costo de los materiales de construcción. El costo depende del área total de la base y de los lados los cuales determinan la cantidad de material usado en la construcción. Denotemos con x la longitud de un lado de la base y con Y la altura del tanque. La cantidad que debe minimizarse es el costo total de materiales, que denotamos con C. C es igual al área del tanque multiplicada por $10, que es el costo por unidad de área. La base es un cuadrado con lado x, de modo que tiene un área igual a x2. Cada lado es un rectángulo con dimensiones x e Y, y tiene un área xY. El área total de la base más los cuatro lados es por tanto 4.2 x + xY C = (x2 + 4xY).10 x2Y = 4. -------- Y = 4 /x2 , y así C= 10[x2+4x(4/ x2 )] =10[x2 +16/x2] Podemos derivar la última expresión y determinar los puntos críticos de C dC/dX=10(2x-16/x2)=0

------

x=2

La base del tanque debería tener en consecuencia un lado de 2 metros de longitud. La altura del tanque es ahora dada por 1 cuando x = 2,Se verifica la segunda derivada, de modo que este valor de x representa un mínimo e) Dos pueblos Pa y Pb se encuentran a 2km y 3km respectivamente de los puntos más cercanos A y B que se encuentran sobre una línea. Si se va a construir una pista que

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes una los dos pueblos, pero esta pista debe llegar a la carretera principal ¿Cuál debe ser la distancia para que el uso de materiales sea mínimo?

Elevando al cuadrado a ambos miembros de la igualdad

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La menor distancia lo conseguimos con x=1.6, esto minimiza el uso de material y permite una mayor eficiencia en los costes de la obra. 12. Bibliografía http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Optimizacion/FTOptimizacion.pdf https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos-funcion/ http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdf https://es.wikiarquitectura.com/edificio/catedral-de-brasilia/#catedralbrasilia12 https://es.wikiarquitectura.com/edificio/pabellon-philips-expo-58/

Optimizacion problematico urbano Minimizar los materiales o maximizar un volumen o un area Aplicaciones de la derivada a la arquitectura

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Artes Aplicaciones mas que teoria Desarrollo Teoria Forma de hallar, como se halla una funcion minima o maxima Tipo de programacion Iluminacion, numero de lamparas como una maxima y minima optimizacion Enfocados en la arquitectura Como carreteras, iluminacion

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