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• Mariluz Pilar Figueroa Robles

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Introducción En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométrica mente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial. La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. En la arquitectura se la utiliza en obras que necesiten un estudia más avanzado, ya sea por su pendiente o diseño el cual requiera cálculos matemáticos como es aplicar las derivadas. Cuando se desee calcular diferentes superficies que no sean planas, o diferentes diseños. Los Arquitectos pueden trabajar en conjunto con Ingenieros, los cuales también tienen vastos conocimientos sobre el cálculo avanzado. Éstos son problemas netamente técnicos, los cuales pueden ser necesarios.

Derivada de una función La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplos: Hal l ar l a de r iv a d a de

en

x = 1.

Derivadas laterales Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

Interpretación geométrica de la derivada La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:

Expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero,

esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a. Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de una función f, es aquella función, denotada por f”, tal que su valor, en cualquier número x del dominio de f, está dado por:

donde h = Δx Por lo visto anteriormente se puede concluir que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x), en el punto (x1 , f(x1)), es precisamente la derivada de f evaluada en x1.

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β .

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

m t = f'(a)

Reglas:

REGLA DE LA CADENA En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

FORMULA:

[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x) EJERCICIO: Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. RESOLUCIÓN: · Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 · f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2

SEGUNDA DERIVADA Al derivar la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x). EJEMPLOS:

ANÁLISIS DE CONCAVIDAD Y LÍMITES f''(x)> 0 …….CONCAVIDAD HACIA ARRIBA f''(x)< 0 ……..CONCAVIDAD HACIA ABAJO

Puntos de inflexión Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa. EJEMPLO: F(x) = x3 F´(x)= 2 x2 F´´(x)= 6x 6x= 0 X= 0

] - ∞ , 0 [ ; ] 0 , ∞ [ ……intervalos



6x = 0

]-∞,0[

-1

-6

] 0,∞[

1

6

6(-1)= -6 6(-1)= -6

Podemos ver en el ejemplo anterior que en el punto x=0 (en el origen de coordenadas) la función pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo tanto decimos que x=0 es punto de inflexión.

Derivada en la arquitectura Ya en el campo de la arquitectura tenemos algunas aplicaciones: 

Hay que señalar que la función derivada ES UN LÍMITE, por lo que los límites se aplican en todas las ciencias básicas. Las derivadas te permiten calcular cuestiones como velocidades y aceleraciones que van más relacionado con la ingeniería, pero también en la funcionalidad de una vivienda al poder calcular la cantidad de sombra que ha determinada hora del día puede presentar alguna sección de una casa o construcción. 

Las derivadas se utilizan para las ocasiones

en que las construcciones propuestas requieren de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas, cuando tengas

que calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares. En arquitectura se usan las derivadas para calcular los valores o puntos máximos y mínimos de una figura geométrica, es decir, para calcular la concavidad, convexidad, y así también los puntos de inflexión de una figura o también de una estructura. 

Tanto en arquitectura como en las ingenierías es indispensable tener un dominio en el cálculo. Hay muchas cosas que se pueden construir y diseñar, que resultan limitadas básicamente por las dificultades técnicas para la ejecución de las obras, pero si se hace el cálculo preciso en el tiempo indicado se podrá lograr el éxito en nuestros proyectos.

Ejemplos de la aplicación de la derivada en la arquitectura el restaurante “Los Manantiales” de Félix Candela en la ciudad de México

Auditorio de Tenerife de Santiago Calatrava

Pabellón Philips Expo 58

Catedral de Brasilia

Conclusión 

La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura. Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la aceleración con relación al tiempo.

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En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la derivada para obtener el área de superficies irregulares; áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución es decir de cilindros, conos, etc. Y las derivadas para determinar el límite.

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Podemos apreciar el uso de integrales y derivadas en construcciones, diseños de túneles, estadios, edificios, cúpulas y otras superficies que tengan formas irregulares; curvas, ovaladas, elipses, parábolas, hipérbolas, etc.

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El ’56 Leonard Street’ de Tribeca, la torre residencial más original diseñada en Manhattan, Nueva York

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Otro ejemplo es el restaurante “Los Manantiales” del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos. Las matemáticas a través de dimensiones y formas el diseño del edificio y le confieren una belleza aceptada universalmente.