ÍNDICE INTRODUCCIÓN ...................................................................................................
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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 2 DESARROLLO ..................................................................................................................... 3 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS ....................................................................... 3
Extremos de una función ...................................................................................... 3
Definición de Punto Estacionario ......................................................................... 5
Definición de Punto Crítico.................................................................................. 5
Condición Necesaria para la Existencia de Extremos .......................................... 6
Criterio de la primera derivada............................................................................. 8
Criterio de la segunda derivada ............................................................................ 8
Función Polinómica ....................................................................................................... 9
Máximos y mínimos relativos ............................................................................ 12
Función racional .......................................................................................................... 13 Funciones transcendentes ............................................................................................ 14
Aplicación de las Derivadas en la Física ............................................................... 17
Aplicación de las Derivadas en Geometría ............................................................ 18
Aplicación de las Derivadas en la Economía ......................................................... 19
INTRODUCCIÓN
La interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente proporciona información acerca del comportamiento de las funciones y de sus gráficas. Las aplicaciones del mundo real de máximos y mínimos se presentan en muchos campos diversos. En particular gracias a las derivadas se puede determinar desde la viga más resistente que pueda cortarse de un tronco cilíndrico, así como las dimensiones de una caja que requiere la mínima cantidad de material para un volumen específico. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón instantánea de cambio. Uno de los teoremas más importantes en Cálculo es el teorema del valor medio. Este teorema se utiliza en la demostración de muchos teoremas tanto de Cálculo Diferencial como de Cálculo Integral, así como otras materias como el Análisis Numérico. Las derivadas se aplican el término para graficas funciones. Estas técnicas son importantes debido a que proporcionan medios de confirmación analítica que pueden aplicarse a las conjeturas obtenidas a partir de la graficadora. En ocasiones, el comportamiento de cierta gráfica no es evidente, si pasa o no por ciertos puntos, según se muestra en las pantallas de las graficadoras, de modo que se necesita de Cálculo para determinar propiedades específicas de las gráficas. Por ejemplo, la derivada revela los intervalos en donde la función es creciente y no donde es decreciente la derivada también permite localizar los puntos donde la recta tangente es horizontal, así como determinar los intervalos en los que la gráfica está por arriba de la recta tangente y los intervalos en los que está por debajo de la recta tangente.
DESARROLLO
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Extremos de una función
Algunas de las aplicaciones más importantes del Calculo Diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se requiere encontrar la manera óptima para hacer algo. (Stewart, 2012) Una aplicación importante de la derivada es determinar donde una función alcanza sus valores máximos y mínimos (extremos).
Definición de Valor Máximo Relativo
La función 𝑓 tiene un valor máximo relativo en el número c si existe un intervalo abierto que contiene a-c en el que 𝑓 está definida tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 en ese intervalo. Las figuras 1 𝑦 2 muestran un aporcion de una grafica de una funcion que tiene un valor máximo relativo en 𝑐.
Definición de Valor Mínimo Relativo
La función 𝑓 tiene un valor mínimo relativo en el número c si existe un intervalo abierto que contiene a-c en el que 𝑓 está definida tal que 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 en ese intervalo.
Las figuras 3 𝑦 4 muestran un aporcion de una grafica de una funcion que tiene un valor mínimo relativo en 𝑐. Si la función tiene un valor máximo relativo o mínimo relativo en 𝑐, entonces se dice que la función tiene un extremo relativo en 𝑐.
Definición de valor Máximo absoluto en un intervalo
La función 𝑓 tiene un valor máximo absoluto de un intervalo si existe algún número 𝑐 en el intervalo tal que 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 del intervalo. El número 𝑓(𝑐) es el valor máximo absoluto de 𝑓 en el intervalo.
Definición de valor Mínimo absoluto en un intervalo
La función 𝑓 tiene un valor mínimo absoluto en un intervalo si existe algún número 𝑐 en el intervalo tal que 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) para toda 𝑥 del intervalo. El número 𝑓(𝑐) es el valor mínimo absoluto de 𝑓 en el intervalo. Un extremo absoluto de una función en un intervalo es un valor máximo absoluto o un valor mínimo absoluto de la función en el intervalo. Una función puede o no tener un extremo absoluto en un intervalo particular.
Definición de Punto Estacionario
Punto en una curva en donde la pendiente de la curva es cero. Todos los puntos máximos y mínimos son puntos estacionarios. Otro ejemplo es el punto
en donde la curva se equilibra y después continúa aumentando o disminuyendo como antes.
Definición de Punto Crítico
Si la función 𝑓 admite derivadas parciales (es decir, que existen) en un extremo relativo 𝑎 entonces son iguales a 0. Si 𝑐 es un punto del dominio de la función 𝑓, y si 𝑓´(𝑐) = 0 o 𝑓´(𝑐) no existe, entonces 𝑐 es un punto crítico de 𝑓.
Condición Necesaria para la Existencia de Extremos
El teorema siguiente se utiliza para determinar los números posibles en los que una función tiene un extremo relativo. Si 𝑓(𝑥) existe para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏), y si 𝑓 tiene un extremo relativo en 𝑐, donde 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, y además 𝑓´(𝑐) existe, entonces 𝑓´(𝑐) = 0. En términos geométricos el teorema establece que si 𝑓 tiene un extremo relativo en 𝑐, y si 𝑓´(𝑐) existe, entonces la gráfica de 𝑓 debe tener una recta tangente horizontal en el punto donde 𝑥 = 𝑐. Esta situación se presenta en las gráficas de las figuras 1 𝑦 3. El teorema también indica que si 𝑓 es una función diferenciable, entonces los únicos números posibles 𝑐 para los cuales 𝑓 puede tener un extremo relativo son aquellos en los que 𝑓´(𝑐) = 0.
Teorema del Valor Extremo
Si la función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado (𝑎, 𝑏), entonces 𝑓 tiene un valor maximo absoluto y un valor mínimo absoluto em [𝑎, 𝑏]. El teorema del valor extremo establece que la continuidad de una función en un intervalo cerrado es una condición suficiente para garantizar quela función tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo. Sin embargo, no es una condición necesaria. Por ejemplo, la función cuya grafica se muestra en la figura tiene un valor máximo absoluto en 𝑥 = 𝑐 y un valor mínimo absoluto en 𝑥 = 𝑑 , aunque la función es discontinua en el intervalo abierto (−1,1).
Un extremo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado debe ser un extremo relativo o un valor de función en un extremo del intervalo. Debido a que una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un número 𝑐 es que sea 𝑐 sea un número crítico, de modo que el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de una función 𝑓 continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] puede determinase mediante el procedimiento siguiente:
Determine ellos valores de la función en los números críticos de 𝑓 en (𝑎, 𝑏). Determine los valores de 𝑓(𝑎) 𝑦 𝑓(𝑏). El mayor de los valores determinados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor de los valores es el valor mínimo absoluto. (Leithold, 1998)
Criterio de la primera derivada Sea una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene al número 𝑐, y suponga que 𝑓´ existe en todos los puntos de (𝑎, 𝑏) excepto posiblemente en 𝑐:
Sí 𝑓´(𝑥) > 0 para todos los valores de 𝑥 en algún intervalo abierto que contenga a c como su extremo derecho, y si 𝑓´(𝑥) < 0 para todos los valores de 𝑥 de algún intervalo abierto que contenga a c como su extremo izquierdo, entonces 𝑓 tiene un valor máximo relativo en 𝑐:
Sí 𝑓´(𝑥) < 0 para todos los valores de 𝑥 en algún intervalo abierto que contenga a 𝑐 como se extremó izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en 𝑐. Criterio de la segunda derivada Sea c un número crítico de una función f en el que 𝑓´(𝑐) = 0, y suponga que 𝑓´´ existe para todos los valores de 𝑥 en un intervalo abierto que contiene a 𝑐.
Si 𝑓´´(𝑐) < 0, entonces 𝑓 tiene un valor máximo relativo en 𝑐. Si 𝑓´´(𝑐) > 0, entonces 𝑓 tiene un valor mínimo relativo en 𝑐.
Función Polinómica
Representa la función: 𝑦 = 5 + 4𝑥 − 𝑥 2 Tipo de función
Función polinómica. Dominio y rango o recorrido
• 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 = (−∞, +∞) • 𝑙𝑛(𝑓) = 𝑅 = (−∞, 9)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en toda la recta real 𝑅 por ser una función polinómica. Puntos de corte con los ejes • Corte con el eje 𝑂𝑋: 𝑓(𝑥) = 0
5 + 4𝑥 − 𝑥 2 = 0 → resolvemos la ecuación de segundo grado: 𝑥 = −1, 𝑥 = 5 Los puntos de corte son: (−1,0) 𝑦 (5,0)
• Corte con el eje 𝑂𝑌: 𝑓(0)
𝐹(0) = 5 + 4 ∗ 0 − 02 = 5 El punto de corte es: (0,5)
Intervalos de signo constante
Como los puntos de corte con el eje 𝑂𝑋 son 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 5, tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (−∞, −1), (−1,5), (5, +∞):
Intervalo
(−∞, −1)
Punto de prueba 𝑓(−2) < 0
Signo de f (x)
−
(−1,5)
(5, +∞)
𝑓(0) > 0
𝑓(6) < 0
+
−
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
Simetrías
𝑓(−𝑥) = 5 + 4(−𝑥) − (−𝑥)2 = 5 − 4𝑥 − 𝑥 2 ≠ 𝑓(𝑥) → 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑓(−𝑥) = 5 + 4(−𝑥) − (−𝑥 2 ) = 5 − 4𝑥 − 𝑥 2 ≠ −𝑓(𝑥) → 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Periodicidad
No es periódica porque las funciones polinómicas nunca lo son.
Asíntotas
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. Monotonía: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obtenidos: 𝑓´(𝑥) = 4 − 2𝑥 = 0 → −2𝑥 = −4 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2
Por lo tanto, tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (−∞, 2), (2, +∞)
Intervalo
(−∞, 2)
(2, +∞)
Punto de prueba
𝑓´(0) > 0
𝑓´(3) < 0
Signo de f ' (x)
+
−
Monotonía
Crece
Decrece
Máximos y mínimos relativos
Por el apartado anterior hemos obtenido un único punto que anula a la derivada primera, también llamado punto crítico 𝑥 = 2, vamos a determinar a través de la segunda derivada si se trata de un máximo o de un mínimo.
Hallamos la derivada segunda: 𝑓´´(𝑥) = 0
• 𝑓´´(2) = −6 < 0
Hay un máximo en 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 9 → 𝑀á𝑥 (2,9)
Como nuestra función es un polinomio de segundo grado el punto máximo obtenido coincide con el vértice de la parábola.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:
𝑓´´(𝑥) = −2 ≠ 0 para cualquier 𝑥€ ℝ no existen puntos de inflexión. Como la función no tiene puntos de inflexión, la curvatura será igual en todo su dominio. Veamos qué tipo de curvatura tiene:
(−∞, +∞)
Intervalo
Punto de 𝑓´´(0) = −2 < 0 prueba
−
Signo de f '' (x)
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 ∩
Curvatura
La función es cóncava hacia abajo o convexa en todo su dominio.
Punto de inflexión
En el apartado anterior hemos visto que la función no tiene puntos de inflexión. Podemos comprobarlo también calculando la tercera derivada: 𝑓´´´(𝑥) = 0
para cualquier 𝑥€ℝ
Como no existe ningún punto 𝑥 para el que la tercera derivada no se anule, la función no tiene puntos de inflexión.
Función racional
La función racional f(x)=1/x tiene una asíntota vertical por ambos lados en x=0
𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
1 = ±∞ 𝑥
𝑥→0
Funciones transcendentes
Analizar y representar la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 /𝑥
a) Dominio: El cociente no está definido para x=0, por tanto 𝐷𝑓 = 𝑅 − {0}
b) Cortes con los ejes coordenados: - 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑂𝑋: 𝑦 = 0 no es posible pues 𝑒 𝑥 no se anula. - 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑂𝑌: x= 0 no es posible pues no está definida para ese valor.
𝑥→0
c) Regiones: Como 𝑒 𝑥 es positiva para todo 𝑥, resulta que f(x) >0 para x>0 y f(x) 0, el signo de 𝑓(𝑥) es el signo de 𝑥 − 1.
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 1: 𝑓(𝑥)𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1
𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑖 𝑥 > 1: 𝑓(𝑥)𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 1 𝑓(𝑋) = 0 𝑠𝑖 𝑥 = 1: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 1
f) Información de la derivada segunda:
(𝑥 2 − 2𝑥 + 2)𝑒 𝑥 𝑓´´(𝑥) = 𝑥3
Es fácil probar que 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 > 0 para todo 𝑥, por tanto, el signo de 𝑓´(𝑥) es el mismo que el de 𝑥 3 𝑓´´(𝑥) > 0 𝑠𝑖 𝑥 > 0: 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 𝑓´´(𝑥) < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0: 𝑓(𝑥)𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 (Stewart, Cálculo de una Variable, 2012)
Aplicaciones físicas de las Derivadas
Ejercicio1.- La expresión 𝑆(𝑡) = 2𝑡 3 − 6𝑡 2 − 10𝑡, con 𝑡 > 0 da la función de posición de una partícula. ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de
8𝑚 𝑠
?
𝑆(𝑡) = 2𝑡 3 − 6𝑡 2 − 10𝑡
Derivada de la posición S´(t) = Velocidad V(t)
V(t)= 6t²- 12t – 10
En qué momento la velocidad toma el valor de 8m/s. 8 = 6t²- 12t – 10 0 = 6t²- 12t – 10 -8 0 = 6t²- 12t – 18 ÷6 0 = t²- 2t – 3 0= (t-3) (t+1) t- 3=0 t+1=0 t=3s
t= -1 tiempo negativo no existe
R= la velocidad equivale a v=8m/s en el tiempo t=3s
Ejercicio2.- La expresión S(t) = 8t³ - 3t² - 15t, con t>0 da la función de posición de una partícula. ¿Cuándo es cero la aceleración? S(t) = 8t³ - 3t² - 15t La segunda derivada de la posición S´´(t) = la aceleración a(t)= la primera derivada de la velocidad v(t)
Primera Derivada
S´(t) = 24t² - 6t - 15
Segunda Derivada
a(t) = 48t - 6
En qué momento la aceleración vale 0
0 = 48t - 6 6 = 48t 6/48 =t 0,125𝑠 = 𝑡
Aplicación de las Derivadas en Geometría
Ejercicio 1.- Un agricultor tiene 150m de malla planea construir un corral ¿Qué área máxima debe tener el corral?
x
Y P= 2X + 2Y =150
A= XY
(2)
Despejamos
y= 75 -x
Reemplazamos y
A= x(75-x)
A= 75x – x2
Derivamos
A´= 75 – 2x
0= 75 – 2x
El corral debería ser un cuadrado de 37,5 ∗ 37,5
y= 75 -37.5
y = 37.5
X= 37.5
Ejercicio 2.- con 800 m lineales se va a cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados es un muro de piedra ya construido. ¿De qué dimensiones debe ser el terreno para que su área sea máxima?
y
x
P= 2x + y = 800
A= x + y
Despejamos
y= 800 – 2x
y= 800 -2(200)
Reemplazamos y
A= x (800 -2x)
A= 800x – 2x2
Derivamos
A´= 800 – 4x
0=800 -4x
y= 400
x= 200
Aplicación de las Derivadas en la Economía
Ejercicio1.- Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R (x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
procedimiento Se deriva la función:
R´(x)=-0.004x+0.8
Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R´(x)=0, x=0.8/0.004 =200 Solución La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Ejercicio 2.- El número de unidades monetarias en el costo total de fabricación de x relojes, está dado por C(x)= 1500 + 3x + x2 Obtenga: La función de costo marginal; el costo marginal cuando x= 40 La función de costo marginal C(x)= 1500 + 3x + x2 Derivamos
C´(x)= 3 + 2x
El costo marginal cuando x= 40
C´(x)= 3 + 2x C´ (40) = 3 + 2(40) C´ (40) = 83
El costo del reloj número 40 es 83$
Conclusiones
Las derivadas son utilizadas en las matemáticas para calcular la rapidez de cambio entre un intervalo a otro de la gráfica de una función, siendo esta la recta tangente que cruza por un punto específico de dicha recta, por otra parte las derivadas se pueden utilizar para resolver problemas de optimización ya sea maximizar el uso de material o minimizar costos.
Para solucionar problemas de física y todas las materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo, etc. Son gracias a las derivadas. Aplicable también en la economía para hallar valores mínimos y máximos los cuales son importantes para proyectar en economía. Finalmente podemos deducir que las derivadas son la base fundamental ya que nos ayudan a entender, analizar y efectuar los diferentes cálculos pertinentes en las diferentes ramas de matemáticas, además gracias a ellas las funciones son manejables y comprensibles. FUENTES BIBLIOGRAFICA
Leithold, L. (1998). El Cálculo. México: Oxford University Press - Harla México,S.A. de C.V. Stewart, J. (2012). Cálculo de una Variable. México: Cengage Lerning Editores,S.A. de C.V. Stewart, J. (2012). Cálculo de una Variable . México: Cengage Learning Editores, S.A. .